安徽省阜阳市2023届高三上学期第一次月考数学试题（含答案与解析）.pdf

《安徽省阜阳市2023届高三上学期第一次月考数学试题（含答案与解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省阜阳市2023届高三上学期第一次月考数学试题（含答案与解析）.pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、太和中学2023届高三第一次月考试题数 学(时间：120分钟 分值：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =L,则A C 1 8=()A.-3,3 B.-3,2)C.(2,3 D.(0,2)2.已知复数z满足 =i +2i

2、，则z 3 2i)=()A.l+8i B.l-8 i C.-l-8 i D.-l+8 i3 .已知奇函数/(x)在R上单调递增，且/。)=1，则关于x的不等式/(l n r)/+4,8）B.,8 C.12/+2,8）D.（2V +4,J8.瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在 望庐山瀑布中写道：“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天.”为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山3道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为一，沿山道继续走2

3、0 m,抵达827T点位置测得瀑布顶端的仰角为一.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为3TT-，则该瀑布的高度约为（）3A.60 m B.90 m C.10 8m D.120 m9.已知且 =1,则下列错误的是()A a2 h2.2 B.+2a bC.e +e .2e D.l n(a +l)+l ne+l).21n210 .已知函数/(x)=cos x+e)(口0,0。5 ,若/(x)的图象向右平移展 个单位后，得到函数g(x)=si n(2x +g)的图象，则()兀7 C-兀-27cA.(D=B.(D C.(P D.(p 6 4 3 511.如图，在三棱锥 A BC

4、 D中，4?=B C=A C=CD=2,Z B C D =120,二面角 A 6 C-O的大小为120,则三棱锥A-3CZ)的外接球的表面积为()821A.380万C.27万244D.-91 n12.已知样本玉,，%的平均数为元，设/(%)=Z G-可(A w N*)为该样本的“左阶方差”，则 i=()A./(1)=1B.对任意仕经0恒成立C.当我 奇数时，/(左)不可能为负数D.若上一可Wl(i =l,2,)，则 左)2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a为锐角，且c o s aq,则si n(2a +聿)=.14.在平面直角坐标系x O y中，圆0:/+尸=2被

5、直线y =x +a截得的弦长2,则实数”的值为15.在平面直角坐标系X。)，中，r 0,M：(尤r +y 2=?与抛物线 2=4%有且仅有两个公共点，直线/过圆心M且交抛物线C于A,B 两 点,则 砺.砺=.16.若关于x不等式x +l n尤+l Wa x e-恒成立，则实数。的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在“IB C中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且满足2儿si nA =G(/+c 2 a 2)(1)求角A的大小；(2)若点。为AC的中点，8。=近，A B =2,求。的值.18.已知等差数列 4 前项和为S

6、“，等差数列也 的公差为1，且 S“=.(1)求数列 4 ,2 的通项公式；(2)求数列，/丁|的 前 项 和+2 J19.疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课形式回归到线下上课形式.为了检验网课学习的成果，某学校进行了一场开学考试.某年级实验班共有学生5 0人，数学考试成绩的频率分布直方图如下图所示.分布区间分别为 9 0,1 0 0),1 0 0,1 1 0),1 1 0,1 2 0),1 2 0,1 3 0),1 3 0,1 4 0),1 4 0,1 5 0 ,数学考试成绩不低于1 2 0分为优秀.0.02890 100 110120130 140 150 成绩/分(1)求该实验班数学考试成

7、绩达到优秀的人数；(2)从实验班所有学生的数学试卷中，按考试成绩是否优秀，利用分层抽样的方法随机抽取1 0 人的试卷，再在这1 0 人的试卷中，随机抽取3 份试卷，记 X为这3 份试卷中考试成绩达到优秀的试卷份数.求 X的分布列和数学期望.2 0 .如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=2,E为 C O的中点，将AAOE沿 A E 折起，使点。到点尸处，平面B4 E J平面A.BCE.(1)证明：平 面 见 平 面 P 8 E；(2)求二面角C 一办一B 的正弦值.2 1 .已知双曲线C：T =l(。0，b 0)一 条 渐 近 线 的 方 程 为 一 2 y=0,双曲线C 的右a b焦点为F

8、(3,0),双曲线C 的左、右顶点分别为A,B.(1)求双曲线C 的方程；(2)过右焦点尸的直线/与双曲线C 的右支交于P,。两 点(点 P在 x 轴的上方)，直线A P的斜率为K，直线B Q的斜率为质,证明：j为定值.2 2 .已知函数/(x)=t a n x-a s in x,xe0,y j,a e R .(1)若 x=?是函数/(x)的极值点，求函数/(X)的零点的个数；(2)当a =1 时，若关于X的不等式 x)M n(x+l)恒成立，求实数”的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=*,

9、2 4,则 A D 3=()A.-3,3 B,-3,2)C.(2,3 D.(0,2)【答案】C【解析】【分析】先求得集合A、B,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为 A=X|X2-9 0=X|(X+3)(X-3)4)=(2,+。),所以 A c 8=|-3,3c(2,+co)=(2,3.故选：C.2.已知复数Z满足W =l+2i，则z(3-2 i)=()A.l+8i B.l-8 i C.-l-8 i D.-l+8 i【答案】C【解析】【分析】由题意得复数z,代入z-(3 2i)即可得到答案.【详解】由之=l+2i，得z=l2 i，z-(3-2i)=(l-2 i)(3-2 i)=-l-8 i

10、故选：C3.己 知 奇 函 数 在R上单调递增，且/(1)=1,则关于x的不等式/(ln x)/(lnx)+2的解集为()A.(0,1)B.(l,+oo)C.(0,e)D.(e,+8)【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解【详解】因为/(X)为奇函数，所以/(-lnr)=/(Inx),所 以 原 不 等 式 可 化 为2,即 原)1,因为尤)单调递增，且/=1,所以ln x/3+4,-j【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的对称性椭圆的定义可得|4/1 +|8 E|=4,结合|A 6|的 范 围 求 的 周 长 的 取 值范围.【详解】的周长CB

11、F=IA5|+|AF|+|3E|,又因为A,B两点为过原点。动直线/与椭圆C的交点，所以A,2两点关于原点对称，椭 圆C的左焦点为/，贝i|8 F|=|A F|,所以 IAFI+I5尸 H AF+AF=4,又因为A B,歹三点不共线，所以 2 G|AB 0,0。=一+2 E,取左=0,则夕=一.6 6 3 3故选:C1 1 .如图，在三棱锥 ABCD中，AB=BC=AC=CD=2,N 3 C D =1 2 0。，二面角 A -。的大小为1 2 0。，则三棱锥A38 的外接球的表面积为（）C.274【答案】D【解析】【分析】根据图形作出二面角的平面角N O M N=?,利用几何知识可求A。=/万

12、，AC=BC=C D,则顶点C在平面ABD的投影为 ABD的外接圆圆心。一 则三棱锥A BCD的外接球的球心。在 直 线 上，根据=AO：+OO;求解半径.【详解】如 图1,过。作。M_LBC垂 足 为 取8C的中点,连接AE,CMAE=DM=也,CM=1,BD=2 也过 用 作MN AE,且MN=AE，连接4 V,则A7V=2；ABC为等边三角形，则/1EJ_8C2兀:.MN IB C,DM B C,根据题意可得 ND“V=3,/DN2=MN2+DM-2MN DM-cosZDMN=9，则 N=3由题意可得 A N J_D N,则 AD?=AN2 +0N2=13，则=如图2,：AC=5C=CC

13、,则顶点C在平面ABD的投影为ABD的外接圆圆心Q,则三棱锥A一 BCD的外接球的球心。在直线C。上，连接4 A,O,C,OA/“八 AB2+BD2-AD2 V3 川.D n 病cos NABD-=，贝 I J sin A ABD=-2ABBD 8 8；.ABD的外接圆半径 A。=,则 CO,=JCA=AO：=上1 2 sin ZABD 屈 V61设棱锥A-BC D的外接球的半径为R,则OA2=AO:+00,212.已知样本西,，%的平均数为。设/(4)=，力(%-可(AGN)为该样本的“攵阶方差”，则 i=l()A./(1)=1B.对任意 eN*J化”0恒成立C.当我为奇数时，/(A)不可能

14、为负数D.若 一 元 区l(i=L 2,则 左卜”2)【答案】D【解析】n【分析】由元=-Z%和上阶方差的定义可判断A；取 =左=3,丹=0,工2 =X 3 =3,求出x=2,7(3)的n?=1值可判断B C；由20=1),(,.-x)A 2),左阶方差的性质可判断D.1ni /n、【详解】对于A,因 为 亍=一 ;，所以1)=一 Y x-ri x=0,故A错误；对于 B,取 =后=3,内=0,=%3=3,则 x=2,3)=g(2)3 +2 x-=20,故 B 错误；对于C,由上述过程可知，C错误；对于D,易知/(2 0 =1),因为|七一入区1 =1,2,.,)，所以(七一力*&力2仕 之2

15、),所以fk)0,OM：(工 一 村 一 +=一与抛物线。：2=4 有且仅有两个公共点，直线/过圆心仞且交抛物线C于4，B两点，则 方.丽=.【答案】0【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心M的坐标，设出直线/的方程，与抛物线方程联立求解作答.【详解】因OM与抛物线C有且仅有两个公共点，而。M与抛物线C都关于x轴对称，因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一，(y _rV+V2=产由9 7?4消去y并整理得：x2-2(r-2)x+=0,且x 20,24r-2 0于是得0，分离参数为a 2x +l n x+1x e令/（幻=土 等，定义域为（o,+8）有（幻=(X 4-1)(x 4-I n X)x

16、2ex令g(x)=x+l n x,x 0,则 g（x）=l +L0，x所以g （x）=X+I n X在（）,+8）上单调递增，又g =1 0,=故存在使得w+l n 2=0,可得函数f（x）的递增区间为（0,m）,递减区间为（九“o）,*、，/、2+I n 2+1 1 1 1 1 .有/（X）m ax 一 f（m）（n m w -0 ，可 得:a 故实数的取值范围为U，+o o）【点睛】对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种常用方法，使用参变分离的题意，一是参变容易分离，二是分离后构造的新函数，求导后简单.三、解答题：本大题共6 小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

17、骤.17.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且满足2机s i n A =G（/+c 2-a 2）.（1）求角A的大小；（2）若点。为4C的中点，B D =不,A 3 =2，求。的值.7 T【答案】（1）-32用【解析】【分析】（1）利用余弦定理及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）在A 3。中由余弦定理求出AO,再在AABC中，由余弦定理计算可得;【小 问1详解】解：因为2cs i n A =6,2+/-储），所以s i n A =?二,即s i n A =6 c o s A，所以t an A =K，2bc因为4e（0,），所以A【小问2详解】解：在 A B D中，由余弦

18、定理有B L）?=A B2 +AZ）22A Dx A 5 co s A，即 7 =4+A C 2-2A。，解得 A O =3或 A D =1（舍去），又。为AC的中点，所以C Z）=3,即4）=6,在AA B C中，由余弦定理有B O?=A B2 +A C2-2 A CXA BCOSA，即 B O?=4 +36 12=28，所以 a=B C =2 5;18.已知等差数列 4的前”项和为S“，等差数列帆 的公差为1，且S,=年.（1）求数列 4,的通项公式；（2）求 数 列 的 前 项 和 乙.+切【答案】（1）=2-1,bn=n【解析】【分析】利 用 当(),0)的一条渐近线的方程为J lr

19、2 y =(),双曲线C 的右a b焦点为产(3,0),双曲线C 的左、右顶点分别为A,B.(1)求双曲线C 的方程；(2)过右焦点F的直线/与双曲线C 的右支交于，。两 点(点 P在 x 轴的上方)，直线AP的斜率为k、,直线BQ的斜率为心，证明：3 为定值.2 2【答案】（1）土-匕=1;4 5（2）证明见解析.【解析】【分析】（I）由题可得c =3,即求；a 2（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证.【小 问1详解】由题意可知在双曲线C中，c =3,2 =旦,c2=a2+b2,a=2,b=/5,所以双曲线C的 方 程 为 土-匕=1；4 5【小问2详解】证法一：由题可

20、知A（-2,0）,B（2,0）,设直线/：y =H%-3）,P（3，yJ,。（巧，丁2），由八：,得（5 4女2）炉+2 4k2%3 6公一2 0 =0,5X2-4/=2 0、）攵1_凶（工2-2）_（七一3）（工2-2）_%9一2%-3工2+6 _ 尤 -3（%1+）+王+6k2 y2（x j +2）（x2-3）（x j +2）x x2-3x1+2 x2-6 xx2-3（Xj +x2）+5 x2-63 6+2 0 3%4公 2 4 左 2-5-5-5-X,+6二 4A 2-5 4/一5 4公-5 -4 2 7,2 .o n Q u A1 2 公一1 0 1 2公-1 0Ar 2 c ,2 c

21、 X25 0-60 A:2 4人5 +5/一5（n k2-i o2）；4k2-5”）一 5k,1当直线,的斜率不存在时/:尤=3 此时1r-不综上，标定值.证法二：设直线PQ方程为x =/y +3,P（X|,y J,。（,必）,联立得x=ni y+_ 整理得(5 机2 一4)2+3 0 冲 +2 5 =0,5 x 4y =2 0,由过右焦点尸的直线/与双曲线C 的右支交于P，Q两点,5M -4 w 0,则-30 m5 m1 2-*541=r d-2)=)，吵+1)=s+y =*+%)+-&%(%+2)乂 Wx+5)m y,y2+5y2 一|+%)+5%证法三：设直线PQ方程为x =/y+3,P

22、（X1,y J,P（冷 火），；2 m2,2Q 整理得(5而 4)V+3 0 m y +2 5 =(),由过右焦点F的直线/与双曲线C 的右支交于P,。两点,5 机2-4#0,255 m2-4 0,0,2解得 0 m 0,-3 0/2?2 5y +y2-30 m 6 、(、段 必=7(x+%)由双曲线方程可得A（2,0）,3（2,0）,匕=二 4，%+2 X?L：x=my+3,：.X2-2 =m y2+1,玉 +2 =m y+5,1 5寸7_5联立得则-3 0/%5 m2-4255 m2-4 0,0,-3 0/n2 5w_4,由双曲线方程可得A（2,0）,8（2,0）,则X 7%+2%2 x；

23、4张2 _ 4)=5X,2-4 4,5 k 1所以占=丁,TKBP 254k pB,k?2 5k一 必 一%=5 m 2 4B P-Xj -2 X2-2(z n y+1)(机+1)加+加(+%)+2 55苏 _ 4 _ 2 5 _ 2 52 5 -30 m 2 5 m2-3 0 m2+5m2-4 4 5-+m-+15m-4 5 m -42 2.已知函数 f(x)=ta a x-a si n x,尤 0,j,G R .(1)若x =:是函数/(X)的极值点，求函数/(X)的零点的个数；(2)当a =1时，若关于x的不等式/(x)Z Mn(x+l)恒成立，求实数w的取值范围.【答案】(1)两个零点

24、(2)(-o o,2【解析】【分析】(1)求导根据极值点处导函数为0可得a =2啦.解法一：求导判断函数的单调性，结合零点存在性定理求解零点；解法二：直接根据求解零点，根据三角函数值的关系求解即可；(2)将题意转化为ta n x+si n x-wd n(x+l).O恒成立，令g(x)=ta n x+si n x-mln(x+l),求导根据加 和0,2的大小关系，结合函数的单调性与零点存在性定理与三角函数的范围分析即可.【小 问1详解】ff(x =Q COSX,COS X山x =?是函数“X)的极值点，可得/(7)=2 5 a =0,可得a =2 .解法一：有 尸(月=-一2缶0-=1-2岭。s

25、%,c o s X c o s X令/(力 0.可得0 c o sx 曰 .可得7 x.可得函数/(x)的 增 区 间 为 减 区 间 为(0,又由/（0）=0,/（7）=l _ 2&x 等=一1 3,/f t a n-2 V 2 s i n 3-2 0,1 2 U2 J 1 2 1 2可得存在玉使得/（毛）=0.由上知函数/（x）有两个零点，一个为0,一个为4；解法二：当a=2夜 时，J（x）=。存t an x-2&s i n x =0，有皿-2&s i n x =0.C O S XW s i n x f-2/2|=0,.cosx）可得 s i n x =0 或 co s x =V24又由0

26、,x、，可 知 函 数 有 两 个 零 点；【小问2详解】当a=-l吐若不等式“X).m ln (x+1)恒成立，可得t an x+s i n x -m ln (x +1).0恒成立.令 g(x)=t an x+s i n x-dn(x+l),存，(x)=+co s x-.C O S I 1当,0时,由0,x 0时，令(x)=g(x),有丸，(耳=智7加+3=(2一二山+0,)co s3x (x +l)2 co s3x (x+1)2可知函数(x)单调递增.又由g(o)=2-加，I)当0 2时.由 g(0)=2-，0,又当0 co s x 0,必定存在5n cosx使得g(x 2)=且当时函数g(x)单调递减，无得g(w)g(O)=O,不合题意.由上知当。=一1时.若不等式/（同.加1 1（+1）恒成立.则实数用的取值范围为（一8,2【点睛】本题主要考查了利用导数分析与三角函数相关的单调性、零点与恒成立问题，需要根据题意构造函数，结合零点存在性定理与三角函数的值域，从而分情况讨论参数的范围，分析函数的单调性与最值进行求解.属于难题