十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题05导数及其应用解答题（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题05导数及其应用解答题.真题汇总，.1.【20 22年全国甲卷文科20】已知函数f(x)=炉曲线y =/(无)在点(不,/(%1)处的切线也是曲线y =g(x)的切线.(1)若%1=-1,求 a；(2)求。的取值范围.【答案】(1)3-1,+8)【解析】(1)由题意知，/(1)=1 (1)=0,/(%)=3%2 1,f(1)=3 1=2,则y =/(%)在点(1,0)处的切线方程为y =2(x +1),即y =2%+2,设该切线与g O)切于点(%2,9(%2)，5 W =2%,则g(上)=2x2=2，解得血=1，则9。

2、)=1+Q =2+2,解得a =3；(2)/(x)=3X2-1,则y =f Q)在 点J()处的切线方程为y -(%?-.)=(3后-1)(%-/)，整理得y=(3 /l)x 2%|,设该切线与g(%)切于点(%2，g(%2)，0 (x)=2 x,则9(%2)=2冷，则切线方程为y -(/+。)=2%2(%-2)，整理得y =2X2X 一/+Q,则?二:M整理得a =姆-=*I/-2看=泊-2/一 评+i 令/i(x)=-2x3-|%2+则九(x)=9%3 6%2-3%=3x(3%+1)(%1),令九(%)0,解得一1%1,令九(%)V 0,解得 ；或0 V%V 1,则%变化时，h(x),九(

3、%)的变化情况如下表：X(-0 0,1 3仁。)0(0,1)1(1,+8)九(X)0+00+八0)527714-1/则九(%)的值域为-1,+8),故a 的取值范围为-1,+co).2.【20 22年全国乙卷文科20】已知函数/(%)=。-：一(a +l)ln x.(1)当a =0时,求 f(%)的最大值；(2)若/(%)恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】(1)1(2)(0,+o o)【解析】(1)当。=0时，f(%)In x,x 0,则/(%)=5一：=，当 E (0,1)时，/(X)0,f(x)单调递增；当 G (1,+8)时，/(X)0,则/(x)=a +g _ 卓=上厂厂 D,当Q

4、 W O 时，a x -1 0,/(%)单调递增；当 G (1,+o o)时，/,(%)0,/(%)单调递减；所以fO)ma x=f(l)=Ql 0,此时函数无零点，不合题意；当 0a 1,在(0,1),。,+8)上，/(X)0,f(x)单调递增；在(1,，)上，/(X)0,/(x)单调递减；又f(l)=a-l 0.所以f(x)单调递增，又l)=a 1=0,所以/(乃有唯一零点，符合题意；当al 时，一 0,八乃单调递增；在弓,1)上，/(%)单调递减；此时/(I)=a-1 0,又/(/)=，K -a n +n(a +l)ln a，当趋近正无穷大时，/(玄)趋近负无穷，所以/(x)在(0、)有

5、一个零点，在(，+8)无零点，所以/(X)有 唯 零 点，符合题意：综上，4的取值范围为(0,+8).3.【20 21年全国甲卷文科20】设函数f(x)=a?*2+a*-3nx+1,其中a 0.(1)讨论f O)的单调性;(2)若y =/(*)的图像与x 轴没有公共点，求 a的取值范围.【答案】(1)/(X)的减区间为(0、)，增区间为弓,+8)：(2)ai(1)函数的定义域为(0,+8),又/:因为a 0,x 0,故2a x +3 0,当0%3 时，/(%)0；所以f(x)的减区间为(0,；),增区间为*,+8).(2)因为/(I)=a2+a 4-1 0且y=/(x)的图与工轴没有公共点，所

6、以y=/(x)的图象在x轴的上方，由(1)中函数的单调性可得fO Q mi n =/(；)=3-31n：=3+31n a,故3+3ln a 0 即a e4 .【20 21年全国乙卷文科21】已知函数/1(x)=炉 一 炉+1.(1)讨论/(久)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.【答案】(1)答案见解析；(2)(L a+l)和(一1,-1-a).(1)由函数的解析式可得：/(X)=3x2-2 x +a,导函数的判别式4=4-12a,当4=4-12a W 0,a 2 g时，f (x)0 J(x)在 R 上单调递增，当A=4-12a0,ag时，/(工

7、)=0的解为：力=匕 号,*2=经，当无(-8,上 手 当 时，单调递增；当x e (上 产，上产)时，r(x)a x)单调递增；综上可得：当心/时，(#)在R上单调递增，当时，,在(8,上 要 力(誓 至,+8)上单调递增，在 上苧亘,*三勺上单调递减.(2)由题意可得：/(x0)=XQ-XQ+ax0+1,f (x0)=3XQ-2x0+a,则切线方程为：y-(x -XQ 4-axQ 4-1)=(3XQ-2x0+a)(x-冗0),切线过坐标原点，则:0-(XQ 一说+ax0+1)=(3XQ-2x0+a)(0-x0),整理可得：2就-就 一 1=0,即：(%0 1)(2就+,+1)=0,解得：飞

8、=1，则/仇)=(l)=I T+a+l=a+L f(x0)=f(i)=1+a切线方程为：y=(a+l)x,与,(力=一/+4+1 联立得/x2 4-ax 4-1=(a+l)x,化简得3-x2-x+l =0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，(亢-1)是尤3 /一 为 +1的一个因式，该方程可以分解因式为(无一1)(小-1)=0,解得工1=1,X2=-1,综上，曲线丁=7()过坐标原点的切线与曲线丁=()的公共点的坐标为(L a+1)和(-1,-1-a).5.2020年全国1卷文科20已知函数/(x)=ex-a(x+2).(I)当a=l 时，讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点

9、，求a 的取值范围.【答案】(1 )减区间为(8,0),增区间为(0,+8);(2)(：,+8).【解析】(1)当a=l 时，f(x)=ex-(x +2),f(x)=ex-l,令/(*)0,解得x 0,解得x 0,所以/(%)的减区间为(一 o o,0),增区间为(0,+0 0)；(2)若/(%)有两个零点,即eX-a(x +2)=0有两个解，从方程可知，x=2不成立，即。=二 有 两 个 解，令3)=乐-I),则 有*)=曾患二瑞，令人(M)0,解得%-1,令(%)V 0,解得 V-2 或-2 M -1,所以函数八(外在(一 8,-2)和(-2,-1)上单调递减，在(一 1,+8)上单调递增

10、，且当-2 时，h(x)+0 0,当式-+8 时，h(无)T+8,所以当a=J 有两个解时，有 匕 八(-1)=工，所以满足条件的a的取值范围是：(；,+8).6.【2 0 2 0 年全国2 卷文科2 1】已知函数/(x)=2 1 n x+l.(1)若/(x)-l；(2)g(x)在区间(0,a)和(a,+8)上单调递减，没有递增区间【解析】(1)函数/(尤)的定义域为：(0,+8)/(x)/(x)2 x c 2nx 4-1 -2 x c 0),则有/i (%)=|-2 =也 三，当 工 1 时,h (x)0,E )单调递增，所以当=1 时，函数/I。)有最大值，即九(Wm ax=九(1)=2

11、1 n l +l-2x l-c=-l-c,要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，只需/l(x)m ax W 0 =-1 c 工 0 =C -1;/(八2)以z 稻=一21nx+口l-(21一na-l)=2(lnx-l(na%),、八。且口 为 一H 、)因此9 (%)=2设m(x)=2(x-a-xl n x+xl n a),则有m(元)=2(l n a-I n%),当x a 时，I n x I n a,所以加(元)V 0,m(%)单调递减，因此有z n(%)V m(a)=0,即g O)0,所以g(x)单调递减；当0尤Va 时，I n x 0,祖(冗)单调递增，因此有m(M)V m(a)=0,

12、即g(M)V 0,所以g(*)单调递减，所以函数9(为在区间(0,。)和(。,+8)匕单调递减，没有递增区间.7 .【2 0 2 0 年全国3卷文科2 0】已知函数/(x)=炉一 k x+(1)讨论/(X)的单调性；(2)若/(久)有三个零点，求A 的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)(0,5).【解析】(1)由题，/(x)=3 x2 k,当k W O 时，/(%)N 0 恒成立，所以/(%)在(一 8,+8)上单调递增；当 文 0时，令/(工)=0,得%=J,令/(工)o,得x 电，所以/(X)在(-哈电)上单调递减，在(一8,一与,(J,+8)上单调递增.(2)由(1)知，八-导。f

13、(x)有三个零点，则k0,且 ；【崎。k2+-k0叫 3 V,解得0k5，上苧心。当0/c 电,且/(a)=片 0,所以/(外在(g,4)上有唯一一个零点，同理一比 一 1 -4，f(-k-l)=-k3-(k+I)2 0,所以f(x)在(-1-1,-J j)上有唯一一个零点，又/(*)在(-上有唯一一个零点，所以/(*)有三个零点，综上可知人的取值范围为(0,/).8 .【2 0 1 9 年新课标3文科2 0 1 已知函数/(x)=2 x3-2+2.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当 0 a 0,则当(-8,o)U (，+0 0)时，/(x)0；当 xW(0,1)时，/(x)0.故/(x)在

14、(-8,0),4-0 0)上单调递增，在(0,上单调递减；若a=0,/(x)在(-,+8)上单调递增；若 a 0；当 在(*0)时，f (x)0.故/(x)在(-8,1),(0,+8)上单调递增，在(*0)上单调递减：(2)当0 a 3时，由 知，/(X)在(0,“上单调递减，在(*1)上单调递增，V (x)在区间 0,1 的最小值为/(“=一捺+2,最大值为/(0)=2或/=4”.于是,m=a327,(4-Q,0 a 2M=2 a3(2 Q+，0 V a-m R 3,2 2a7 3.V27当0 a 2时、可知2-a+5单调递减，机的取值范围是 吟，2)；当2，3时，肄 调 递 增，用-m的取

15、值范围是玲，1).综上，的 取 值 范 围 瑞2).9.【2 0 1 9年新课标2文科2 1】已知函数/(x)=(x-I)/n x-x-1.证明:(D/(x)存在唯一的极值点；(2)/(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】证明：(1)I函数/(x)=(x-1)M x-x-1.：.f(x)的定义域为(0,+8),/(x)=-+l n x-l =lnx-,*X单调递增，单调递减，/(x)单调递增,又/(1)=-1 0,二存在唯一的 xo (1,2),使得/(xo)=0.当xV xo 时，/(x)x()时，f(x)0,f(x)单调递增，.V (x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知

16、/(枇)0,/./(x)=0在(xo，+8)内存在唯一的根由 a x o l,得 彳 V 1 V g,V/(-)=(i-1)层 一 1 一 1 =3=0,a a a a a是/(x)=0 在(0,X 0)的唯一根，综上，=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.1 0.【2 0 1 9 年新课标1 文科2 0】已知函数/(x)=2 s i n x-xco s x-x,f(x)为/(x)的导数.(1)证明：/(x)在 区 间(0,n)存在唯一零点；(2)若 工 0,1 1 时，/(x)2 ax,求 a 的取值范围.【答案】解：(1)证明：(x)=2 s i n x-xco s x-x,:f(x)

17、=2 co s x-co s x+xs i n x-1=co s x+xs i n x-1,令 g(x)=co s x+xs i n x-1,贝 ij g (x)=-s i n x+s i n x+xco s x=xco s x,当xE (0,“时，xco s x 0,当 7 T)时，X C OS X 0,当时，极大值为g 0)=J-1 1T)为负，：.f(x)在0,xo递 增,在 x o,可递减,结合/(0)=0,/(IT)=0,可知/(x)在 0,n上非负，令 h(x)=ax,作出图示，f (x)(x),aWO,1 1.【2018年新课标1 文科21】已知函数/(x)=ae-ln x-.(

18、1)设 x=2 是/(x)的极值点，求。，并求/(x)的单调区间;(2)证明：当 工 时,/(x)20.【答案】解：(1)函数/(x)=ae 1.*.x0,f (x)=aex-iX：x=2 是/(x)的极值点，.f (2)=ae2 1=0,解得 a=力.f(x)=ex-Inx-I,-f(x)=5 ex%当 0 x 2 时，/(x)2 时，/(x)0,./(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.(2)证明：当 时，f 3 -Inx-1,e e设 g(x)=F -Inx-1,则g(x)=-：，由g(x)=亍一：=0,得x=l,当 0 x l 时，g (x)l 时，g(x)0,，x=l是

19、g(x)的最小值点，故当 x 0 时，g(x)(1)=0,二当心工时,/(x)2 0.1 2.【2 0 1 8年新课标2文科2 1已知函数/(x)=#-a(x2+x+l).(1)若。=3,求/(x)的单调区间；(2)证明：/(%)只有一个零点.【答案】解：(1)当。=3 时，/(%)=#-3(N+x+1),所以/(x)=-6 x-3 H寸，令/(x)=0 解得 x=3 2 g,当 x e(-8,3 -2 V 3),x G (3+2 V 3,+8)时，/(x)0,函数是增函数，当(3 -2 V 3,3 +2冉)时，/(x)0,2 4所以八X)=。等 价 于 鬲 的-a =。，令9(乃=/篇-则g

20、(x)=等言等仅当x=时，g G)=0,所以g(x)在R上是增函数；g(x)至多有一个零点，从而/(x)至多有一个零点.又因为=-6a2+2a-=-6 (a-)2 -0,故/(x)有一个零点，综上，/(x)只有一个零点.1 3.【2 0 1 8年新课标3文科2 1】已知函数/(x)=竺 手.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,-1)处的切线方程；(2)证明：当时，/(x)+e2 0.【答案】解：(1)r(x)=(ax2+x-l)ex _ (ax+l)(x 2)2/./(0)=2,即曲线y=/(x)在 点(0,-1)处的切线斜率k=2,曲线y=/(x)在 点(0,-1)处的切线方程方程为y-(-

21、1)=2 x.即2 x -y -1=0为所求.(2)证明：函数/(x)的定义域为：R,可得尸。)=(2ax+l)ex(ax2+x l)ex _ (ax+l)(x 2)令(x)=0,可得Xi=2,x2=-0,当xe(-8,-)时，/(x)0,x e(2,+8)时，/(x)0函数/(x)的图象如下：:J 3 min=一 所 -e,.当 心1 时，f(x)+e)0.1 4.【2 0 1 7年新课标1文科2 1】已知函数/(x)=e -a)-a2x.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)0,求a的取值范围.【答案】解：(1)/(x)=e (er-a)-a2x=elx-ea-a2x,.f(x)=2

22、e2x-aex-a2=(2ex+a)(ev-a),当a=0时，./(x)0恒成立，：.f(x)在R上单调递增，当 q 0 时，2 e+a 0,令/(%)=0,解得 x=/a,当时，f(x)0,函数/(X)单调递增,当 0 时，-a X),令/(x)=0,解得x=/(一如当x V/(-芸 时，/(x)/(一“时，/(%)0,函数/(x)单调递增，综上所述，当。=0时，/(x)在R上单调递增，当 0时，/(x)在(-8,na)上单调递减，在Qua,+)上单调递增，当a 0 恒成立，当。0 时，由 可得/(x)Una)=-a2lna0,：.lna 0,.0 a W l,当a 0时，由(1)可得：/(

23、x)=/(/(一 豺=苧一()o,：.ln(一号)|,2 43*.-2西 tz -1+及时，(x)0,所以/(x)在(-8,-鱼)，(-1+近，+8)上单调递减，在(-_&,-1+&)上单调递增;(2)由题可知/(x)=(1 -x)(1+x)8 下面对。的范围进行讨论：当时，设函数/?(x)=(1 -x)则/?(x)=-x ev 0),因此a(x)在 0,+8)上单调递减,又因为人(0)=1,所以(X)0 (x 0),所以g(x)在 0,+8)上单调递增，又g(0)=1 -0 -1=0,所以e=x+l.因为当 0 r (1 -x)(1+x)2,所 以(1 -x)(1+x)2-ax-1 =x(1

24、 -a-x-x2)f取配=%(0,1),则(1 -x o)(1+x o)2-axo-1 =0,所以/(x o)x o+l,矛盾；当 a W O 时，取 x o=与 如(0,1),则/(x o)(1 -x o)(l+x0)2=1 2的)+1,矛盾；综上所述，。的取值范围是 1,+8).1 6.【2 0 1 7年新课标3文科2 1】已知函数/(x)=lnx+ax2+(2 a+l)x.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当。0 时，证明/(x)0),X X X 当a0时，/(x)=+1 0恒成立，此时y f(x)在(0,+)上单调递增；当a 0,由于x 0,所 以(2 a x+l)(x+1)0恒成立，

25、此时y=/(x)在(0,+)上单调递增；当a 0、当 x C (,+)f(x)0,所以y=/(x)在(0,-上单调递增、在(一，+8)上单调递减.综上可知：当时/(x)在(0,+8)上单调递增，当a 0时，(x)在(0,-；)上单调递增、在(一工，+8)上单调递减；2a 2a(2)证明：由(1)可知I：当0时/(x)在(0,一)上单调递增、在(一；，+8)上单调递减,2a 2a所以当 X=月1寸函数)，=/(X)取最大值 f(X)max=f(一盘)=-1-。?2 +/().从而要证/(x)-2,即证/(一点)-2,即证-1 -出2上+1(-)0,问题转化为证明：-1+/2a2令g(力=-3+/

26、,则 g，(r)=1 +令g (/)=0 可知 r=2,则当 0 f 0,当 t 2 时 g (z)0,所以y=g(/)在(0,2)上单调递增、在(2,+8)上单调递减，即 g(/)W g(2)=gx 2+/2=-1+/2,即(*)式成立，所以当。0时，fJ (x)0,可得x l；由/(x)0,可得x l,即有/(X)在(-8,j)递减；在(J,+OO)递增(如右上图)：当4 0 可得x l 或(-2 )；由 f(x)0,可得 l x ln(-2 a).即有/(x)在(-8,),(/(-2a),+8)递增；在(1,/(-2 a)递减；若-a 0,可得(-2 a)或 x 1；由/(x)0.可得(

27、-2 a)x 0时，/(X)在(-8,J )递减：在(1 ,+8 )递增，且f-e X f+8,f(x)f+8；当X-8时/(x)0 或找到一个x 0 对于a 0 恒成立,/,(x)有两个零点；当 a=0 时，/(x)=(x-2)所以/(无)只有一个零点x=2；当a 0时，若 a V-郭寸，/(x)在(1,In(-2 a)递减,在(-8,1),(/(-2a),+8)递增，又当x W l时，/(x)0,所以f(x)不存在两个零点：当心一 时，在(-8,/(-2 a)单调增，在(1,+8)单调增，在(1(-2 a),1)单调减，只有/(历(-2 a)等于0 才有两个零点，而当x W l时，/G)0

28、,求a的取值范围.【答案】解：(/)当 a=4 时，/(x)=(x+1)Inx-4(x-1)./(I)=0,即 点 为(1,0),函数的导数/(x)=lnx+(x+1)-4,则/(1)=/n l+2-4=2-4=-2,即函数的切线斜率左=/(1)=-2,则曲线y=/(x)在(1,0)处的切线方程为y=-2 (x-1)=-2 x+2；(/)*.*/(x)=(x+1)Inx-a(x-1).f(x)=1 +-X+lnx-a,：x 1,：.f(x)0,：.f(x)在(1,+8)上单调递增，：.f(x)f=2-a.a W 2,f(x)f(1)2 0,：.f(x)在(1,+8)上单调递增，：.f(x)/(

29、1)=0,满足题意；a 2,存在x (1.+),f(xo)=0,函数/(x)在(1,xo)上单调递减，在(xo,+)上单调递增，由/(I)=0,可得存在xo (1,+8),/G o)0,可 得(x+1)Inx-a(x-1)0 即为 V 七 四，X-1由了=喟三的导数为y,=芸二由y=x：-2 加x 的导数为)/=+,：=C)0,X-21nx函数y 在 x l 递增，可 得 京 寸 ，则 函 数 歹=喑 上 在 递 增，则 7 n先叵=47nz=2,%T1 X-l I 1可 得 生 半 2恒成立,x-l即有a W 2.1 9.【2 0 1 6 年新课标3文科2 1】设函数/(x)Inx-x+1.

30、(1)讨论/(x)的单调性；(2)证明当 x (1,+8)时，ivlq；(3)设 c l,证明当 xe (0,1)时，1+(c-1)x t 0,可得 0 c x 1；由/(x)l.即有/(x)的增区间为 0,1);减区间为(1,+8)；(2)证明：当(1,+)时，1 x,即为 lnx x-1 xlnx.Inx由(1)可得/(x)=lnx-x+1 在(1,+8)递减，可得/G)1,F(x)=l+/?x-1 =lnx,当x l时，P(x)0,可得F (x)递增，即 有/(x)F(1)=0,即有xlnxx-1,则原不等式成立；(3)证明：设 G (%)=1+(c -1)x-(ff则需要证明：当 尤(

31、0,1)时，G(x)0 (c l)；G(x)=c-1-dine,G (x)=-Cine)2cv0,由(2)可得 G (1)=c -1-clnc=c(1 -Inc-l 0,xe (r,1)时，G1(x)0成立，不等式得证；即 c 1 当(0,1)时,1+(c -1)xcx.2 0.【2 0 1 5年新课标1文科2 1】设函数/(X)=0-a/x.(I )讨论/(x)的导函数/(x)零点的个数；(I I )证明：当。0 时;f(x)【答案】解：()/(X)=四-的定义域为(0,+8),：.f(x)=2-.X当a W O时，/(x)0恒成立，故/(x)没有零点，当0 0时，.=/为单调递增，产一9单

32、调递增，：.f(x)在(0,+8)单调递增，又/(a)0,假设存在6满足0 6 V/咿寸，且6 V%/(6)0时，导函数/(x)存在唯一的零点，(I I)由(I )知，可设导函数/(x)在(0,+8)上的唯一零点为期，当 xW (0,xo)时，/(x)0,故/(x)在(0,xo)单调递减，在(回，+8)单调递增，所欲当x=xo时，/(X)取得最小值，最小值为了(X 0)，由于 2e2xQ =0,X。所以/(xo)=于 +2必+始 2a+aln.故当 a 0 时，f(x)2a+aln.2 1.【2 0 1 5年新课标2文科2 1】设函数f(x)lnx+a(1 -x).(I )讨论：/(x)的单调

33、性；(I I)当/G)有最大值，且最大值大于2-2时，求a的取值范围.【答案】解：(I )/(x)=lnx+a(1 -x)的定义域为(0,+),若a W O,则/(x)0,.函数/(x)在(0,+8)上单调递增，若a 0,则 当 作(0,i)时，(x)0,当 在(：,+8)时，f(x)0时，/(%)在x=(取得最大值,最大值为 f()=-lna+a-I,V/(b 2a-2,lna+a-l 令g (a)=lna+a-1,：g(a)在(0,+8)单调递增，g (1)=0,.,.当 0 a l 时，g(a)l 时，g(a)0,的取值范围为(0,1).2 2.2 0 1 4年新课标1文科2 1 设函数

34、f(x)=a/x+与4 2 -hx),曲线y=/(x)在 点(1,/(D)处的切线斜率为0,(1)求 6；(2)若存在冽1,使得/(xo)V高，求a的取值范围.【答案】解：(1)/(x)=1+(l-a)x-b(x 0),.曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线斜率为0,：.f(1)=a+(1 -a)X I -6 =0,解得6=1.(2)函数/(x)的定义域为(0,+8),由(1)可知|：/(x)=alnx+-xi-X,.(x)=(1 -a)x-1 =T(x -士)(x-1).当 公3时,则 士 4 1，则当 x l 时，/(x)0,，函数/(x)在(1,+8)单调递增，存在必1,使得/G

35、o)六的充要条件是f(l)V六，即工子一 1 三7，解得一夜一 1a d -1;当g V a 1,则当x6(l,三)时，f(X)0,函数/(X)在(士，+8)上单调递增.存在xol,使得/G o)V 六的充要条件是f(士)六，而)=a F+导+9,不符合题意，应舍去.1a 1 a 2(1a)a-1 a1 若a l时，f(l)=一 一1 =千 二 卷，成立.L L a 1综上可得：a的取值范围是(一或一 1,V2 -1)U (1,+8).2 3.【2 0 1 4年新课标2文科2 1 已知函数(x)=x3-3 x2+a x+2,曲线夕=/(x)在 点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1

36、 )求 a；(H)证明：当左 0，当 xW O 时，g(x)=3 x2-6.v+l -0,g(x)单调递增，g (-1)=-1,g(0)=4,当 x 0 时，令 h(x)x3-3.r2+4,则 g(x)h(x)+(1 -k)xh(x).则/?(x)=3x2-6x=3x(x-2)在(0,2)上单调递减，在(2,+)单调递增,在x=2 时，h(x)取得极小值(2)=0,g(-1 )=k-1,g(0)=4,则 g(x)=0 在(-8,o有唯一实根.Vg(x)/?(x)(2)=0,g(x)=0 在(0,+8)上没有实根.综上当LV 1 时，曲线y=/(x)与直线歹=京-2 只有一个交点.24.2013

37、年新课标1 文科20 已知函数/(x)=*(ax+b)-x2-4 x,曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处切线方程为y=4x+4.(I)求 a,b 的值；(I I)讨论/G)的单调性，并求/G)的极大值.【答案】解：(I)V/(x)=zex(ar+b)-x2-4x,:(x)=夕(ax+a+b)-2x-4,.曲线=/(x)在 点(0,/(0)处切线方程为y=4x+4,V(0)=4,f (0)=4,.6=4,+b=8.a=4,6=4：(II)由(I)知，f (x)=4ev(x+1)-x2-4x,Jf (x)=4 d (x+2)-2 x-4=4 (x+2)(e-2),令/(x)=0,得 =-历 2

38、 或*=-2Axe(-8,-2)或(-In2,+8)时，f (x)0；xe(-2,-In 2)时，f (x)0,可解得 0 x 2：令/(x)0,可解得x 2,故函数在区间(-8,0)与(2,+8)上是减函数，在 区 间(0,2)上是增函数.,.x=0 是极小值点，x=2 极大值点，又/(0)=0,/(2)=小故/(x)的极小值和极大值分别为0,5.(I I)设 切 点 为(如 北 尸。)，则切线方程为y-x02ex=ex(2x0 x02)(x-xo),令y=0,解得=史 子=(&-2)+f+3,XQ Z 刈 一/,曲线y=/(x)的切线/的斜率为负数，/.eXQ(2XQ%o)0,Axo2,令

39、/(劭)=&+七+1,X Q 则 八 而)=1 一舟当 xo 0,即/(xo)0,，/(枇)在(-8,0)上单调递增，；./(x o)2时，令，(xo)=0,解 得 配=2+a.当Xo2+或 时，/(助)0,函数/(回)单调递增；当 2%2 +企 时，/(刈)0,证 明:f(x)x2+(e-3)x.【答案】(1)0;(2)证明见解析.斤】(1)解：由题意可得/。)=一 1.由/(x)0,得x 0；由/(%)0,得x *2 +(e 3)x,即证e*x 1 d+(e 3)久,即证巴H J.e_2.X设/1c o =0),则/l (x)=(X T)(；X T)由(1)可知当x 0 时，ex x 1

40、0.由/i (x)0,得x l,由/i (x)0,得 0 x%2+(e 3)x.2.已知函数/(x)=I n x ax2+2(a e R).(1)讨论外 的单调性；(2)若/(x)-(2 -a)x 2 0在x e l,e 上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(-8,-1【解析】(1)/()的定义域是(0,+8),/(x)=1.当a S 0时，f (x)0 恒成立，所以f(x)在(0,+8)上单调递增；当a 0时，令f(x)=0,解得=包 或 一 叵(舍)，令/(x)0,解得0 x 叵，令f(x)叵,2a所以f(x)在(0,第 上 单 调 递 增，在 彦,+8)上单调递减

41、.(2)若/(%)-(2 -a)x 0 在 6 l,e 上恒成立，即 I n x-ax2-(2 -a)x 4-2 0 在 E l,e 上恒成立.令g(%)=I n x ax2 (2 a)x+2，x G l,e ,则，(x)=i-2 a x-(2-a)=-2 a，:-a)x+i =一(y(2一)当a=0 时，g(x)=I n x 2 久 +2,g(e)=I n e 2 e +2 =3 2 e 0时，g(x)0在 6 l,e 上恒成立，所以g(x)在 l,e 上单调递减，又g(l)=0,所以g(e)g(l)=0,不符合题意；当a 0在x e l,e 上恒成立，所以g(x)在 l,e 上单调递增，又

42、g =0,所以g(x)N 0在x l,e 上恒成立，符合题意.若 1 -：e,即la 0,解得：x e,令 g(x)0,解得 lx%所以 g(x)在(1,一上单调递减，在(%e)上单调递增，所以g(x)mi n =9(1)=0，不符合题意；若 一 拉 e,即-1 w a 0,g(x)4 0在x e l,e 上恒成立，所以g(x)在 l,e 上单调递减，又g=0,所以g(e)0).(1)当a=2时，求/(%)的单调区间；(2)设函数/(%)的最大值为7,证明：m 0.【答案】增区间为(0 3)，减区间为，+8);(2)证明见解析.【解析】(1)当a=2 时，/(x)=I n x 2%+2.(%)

43、=：2 =令/(%)=0,得 =.当0 x 0,函数f。)单调递增；当时，/(x)0,函数f(x)单调递减.故函数/(x)的减区间为6,+8),增区间为(0,?)；(2)由/(X)=三二 令/(x)=0,得4 =；.当0 x 0,函数八x)单调递增；当x 5寸，/(X)函 数 单 调 递 减.m=/(x)max=/*)=a-In a -1.令h(a)=a Ina 1,则九(a)=1 =芋 .，当O VQVI时，h(x)1时，/i(x)0,函数九。)单调递增.九(1)=0,即m 0.4.已知函数/(%)=ex(sinx-a),/(%)为函数/*(%)的导函数.(1)若 函 数 在 定 义 域 内

44、 是 单 调 函 数，求实数a 的取值范围；(2)当。=1,函数9(%)=/。)+m在(一码兀)内有2 个零点，求实数机的取值范围.【答案(1)(oo,V2 U V2,+co)(2)mm=号晓一或一 而 m 2e_7r【解析】(1)函数/(%)是 A 上单调函数/(x)=ex(sinx+cosx Q)N 0 恒成立或f (%)=ex(sinx+cosx a)0 恒成立等价于Q sinx+cosx恒成立设九(%)=sinx+cosx,x E R Q 4 九(X)min或。九()max/i(x)=V2sin(x+；)Vsin(x-I-6 1,1,AV2sin(x+E -y/2,2,/.h(%)G

45、V2,y2 a V2.即实数a 的取值范围为(8,y/2 U V2,+oo)(2)当 a=l 时，/(%)=ex(sinx-1)9(X)=/(x)+m=ex(sinx+cosx-1)+m在(一江,江)内有 2 个零点等价于y=-m与(p(x)=ex(sinx+cosx-1)在(一兀zr)内有2 个公共点(p(x)=ex(2cosx-1)令9(%)=0,则工=三当 6(一 乃,*)U(g,7T)时，p(x)0.0(x)在(一兀,/),上单调递减，在(一辅)上单调递增.当X=-9时，火幻取极小值双一“=一 苧 当X=郛j,0。)取 极 大 值=与 i/(p(it)=2en,(p(n)=-2en (

46、)(p(n)要使y=-m与9(%)=ex(sinx+cosx-1)在(-兀兀)内有2 个公共点需满足一 m=8(一 9)或9(一 兀)-m p(1).V3+1 o 7/V3-1 5 m=-e 3取一 2e n m-e32 2 V3+1 n-n-m=3gK e3 m 2e n即实数m的 取 值 范 围 为=竽eV或 与 隹/x-|.【答案】(0.J(2)证明见解析【解析】(1)/(%)的定义域为(0,+8),/(x)=ln x-2 ax +l,由题意f(x)=0 在(0,+8)上有两解,即 Inx-2ax+1=0,即 2a=吧已有两解.X令。(%)=卓乂。)，即g(x)的图象与直线y=2a有两个

47、交点.。(%)=三 =。，得X=1，当x w(0,l)时，g(%)0,g(x)递增；当X E(L+8)时，g(x)o,递减，g(X)max=g(D =1，g g)=。，%T。时，g(x)00；%T+8 时，g(x)-*0,A 0 2a 1,0%j 即证xlnx+2 无 +：0,令九(x)=xlnx+2-x+1(%0),/i(x)=lnx-9，令m(%)=lnx-多则 加 =：+&当x 0 时，TH(x)0,.h(x)在(0,+8)递增.h(1)=2 0,存在唯一的&e(l,e),使得hOo)=ln&-看=0,当%o w (0,&)时，h(x)0,A(x)递增,：M%)min=九(%0).2又x

48、0 e(l,e),/i(x0)=0.lnx0 一焉=，2 2 2 4 4/i(%Q)=x()lnxQ+2-%Q 4 =F 2 XQ+-=2 XQ+-2 -e H 0,Xo XQ XQ X。e2/i(x)0,/(x)x6.已知函数/(%)=ex-a(x-l)(a G R).(1)当Q=1 时，求函数y=/(%)的极值；(2)若函数g(%)=f(x)4-Inx-e 在(1,+8)无零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)极小值为2,无极大值(2)a 6(-8,e +1【解析】(1)由题知，当Q=1 时，/(x)=ex-(x-1),x e R,/(%)=e-1,令f (%)0,%=0.(-8,0)

49、时，/(x)0,/(%)单调递增.第=0 是“%)的极小值点，/(%)的极小值为/(0)=2,无极大值.(2)由题知g(x)=/(%)+Inx e=ex a(x 1)+Inx-e,x 1(%)=e Q+%1；令h(x)=ex Q+1,%1/./i(x)=ex-Vx 1,0 恒成立,九 0)单调递增，即g(x)单调递增.当Q g(1)=e+l QZ O,.g(x)单调递增*-5(x)g(l)=0 恒成立，即g(x)在(1,+8)上无零点，a e(-oo,e+1.当Q e+1 时，令g(%)=0,%=x0,&E(1,+8),又g(x)单调递增，E(I,/)时，g x)0,；g(%)在 W (I,%

50、。)时单调递减,W(%o，+8)时,单调递增，g(%)min=g(%0)V g(l)=O,又次 T+8时,g(x)T+8*-3xx E(%o,+00),gOD=0,即g(x)在(1,+8)上有零点,不合题意；综上所述Q G(-8,e +1.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值以及根据函数的零点情况求参数的范围问题，有较强的综合性，考查学生的数学素养以及灵活应用相关知识的能力，解答时要注意分类讨论的思想，同时要注意零点问题结合函数的单调性以及最值来解决.7.己知/(%)=1%2 y Inx a(x 1),a 0.(1)若f(%)在区间(L+8)上有且仅有一个极值点m,求实数a 的取值范围；o2