人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第八章第5节　抛物线.pdf

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1、第 5 节 抛 物 线课程标准要求1 .掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.2.理解数形结合思想.3 .了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.必备知识课前回顾 超 激 材夯实国基朕知识梳理1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直 线 1叫做抛物线的准线.释疑当定点在直线上时,它的轨迹是过定点与此直线垂直的直线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y-2px(p 0)y2=-2px(p 0)x2=2py(p 0)x2=-2py(p 0)P的几何意义:焦点F 到准线1

2、的距离图形1方二工7呆顶点坐标0(0,0)对称轴X 轴y 轴度 重 要 结 论隹 占/、/、坐标F 0)F (4,0)F(0()F (0,-今离心率e=l准线方程X=-2x 2yV-P-2y“一 p2范围x 20,yx W O,y Ry20,x G RyW O,x R开口方向向右向左向上向下若 A B 为抛物线y2=2px (p 0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A,B 两点的坐标分别为(X 1,yj,区,y2),弦中点为M(x o,y。)，|A B|=1,则:(1)XIX2=Y-(2)yiy2=-p2.(3)l=x i+x2+p,因为XI+X222后 为=P,所以当X F X2时，1 取得最

3、小值，最小值为2p,此时弦A B 垂直于x 轴,所以抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短.(4)1=居(。为弦A B 的倾斜角).s m20(5)白+焉为定值士AF BF p(6)以A B 为直径的圆与准线相切.以 A F 或 B F 为直径的圆与y 轴相切.(8)若A 在第一象限,B 在第四象限,则|A F I =产 IB F|=-(9 为1-C O S 0 1 +C O S 0弦A B 的倾斜角).力2(9)0 为弦A B 的倾斜角).2sin6(1 0)过焦点弦的端点的切线互相垂直，且交点在准线上.对点自测1 .抛物线y=4 x 2的焦点到准线的距离为(

4、D )A.2 B.1 C.-D.-4 8解析：由y=4 x2,有 x y,所以2p=i P=1,即抛物线的焦点到准线的距离为 故选D.4 8 82.抛物线y2=8 x 上一点P到其焦点的距离为1 0,则 点 P的坐标为(C )A.(8,8)B.(8,-8)C.(8,8)D.(-8,8)解析：由抛物线的标准方程可得其准线方程为x=-2,设点P的坐标为P(x yp),由抛物线的定义有XP-(-2)=10,所以XP=8,结合抛物线方程可得yp=J Q=8,据此可得点P的坐标为(8,8).故选C.3.(选择性必修第一册P 1 3 6 练习T 3 改编)过抛物线y2=4 x 的焦点的直线 1 交抛物线于

5、P(xb yi),Q (x2,y2)两点,如果XI+X2=6,则|P Q|等于(B )A.9 B.8 C.7 D.6解析:抛物线y=4 x 的焦点为F(l,0),准线方程为x=-l.根据题意可得，IP Q I=IP F|+1 Q F|=XI+1+X2+1=XI+X2+2=8.故选 B.4.顶点在原点,且过点P Q 2,3)的 抛 物 线 的 标 准 方 程 是.解析:设抛物线的标准方程是y2=kx 或 X?初y,代入点P(-2,3),解得 k=-1,m g所以 y2=-1x 或 x2=y.答案：y2=_jx 或 x2=|y5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线1与抛物线有公

6、共点，则直线1的 斜 率 的 取 值 范 围 是.解析：由题意得,Q (-2,0),当直线1的斜率不存在时，不满足题意,故设直线1的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k=0,由 A=(4k2 8)2 4k2 4k=64(l-k2)20,解得一1 WkWL答案：T,1关键能力课堂突破慢 考点一抛物线的定义及应用类小考点怎实四翼1.设抛物线C:y=-x2的焦点为F,直线1交抛物线C于A,B两点，|AF|=3,4线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,则|BF|等于(B)7A.-B.5 C.4 D.32解析:抛物线C的方程可化为x2=4y,由线段AB

7、的中点到抛物线C的准线的距离为4,可得|AF|+1BF|=8.又|AF|=3,所以|BF|=5.故选 B.2.已知直线li：4x-3y+6=0和直线b：x=T,抛物线y2=4x上一动点P到直线L和直线b的距离之和的最小值是(B)A.B.2 C.D.35 5解析：由题可知l2：x=-l 是抛物线y2=4 x 的准线，设抛物线的焦点为F(1,O),则动点P 到卜的距离等于|PF|,则动点P 到直线L和直线12的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l1：4 x-3 y+6=0 的距离,所以最小值是生音组2.故选B.3.已知F 是抛物线C:y=8x 的焦点,M是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N.

8、若 M为 FN 的中点，则|FN|=.解析：由y2=8x 可得F(2,0),FM 的斜率一定存在,设为k,则直线FM 的方程为y=k (x-2),令 x=0 可得 N (0,-2 k),又M为FN 中点，所以 M(l,-k),代入 y2=8x 得 k2=8,所以 I FN|=22+(-2 k)2=V 4 +4/c2=V 3 6=6.答案：6一 题 后 悟 通应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.注意灵活运用抛物线上一点P(x o,y0)到焦点F 的距离|PF|=|x。|+：或|PF|=|y。|号戚 考点二抛物线的标准方程与几何性质口 角 度-

9、求抛物线的标准方程C B H）过抛物线y2=2 p x（p 0）的焦点F 的直线交抛物线于点A,B（点 A在第一象限）,交其准线1 于 点 C,若|BC|=2 1 BF|,且|AF=3,则此抛物线的方程为（）A.y j|x B.y =9xC.y g x D.y2=3 x解析:分别过点A,B 作 AA 1,B B-1,且垂足分别为Ab Bi （图略）,由已知条件|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BBj,所以 N BCBi=3 0 .又|AA=|AF|=3,所以 I AC|=2|AAi|=6,所以|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,所以F 为线段A C 的中点.故点F 到准线的距离为p=

10、1|AA,|=|,故抛物线的方程为y=3 x.故选D.一解题策略I求抛物线的标准方程的方法（1）求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有P,所以只需一个条件确定P 值即可.因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位,再定量.。角度二抛物线的几何性质C S H)抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线1与X轴交于点A,点M在抛物线C上，当黑二应 时,4AMF的面积为()I MFA.1 B.V2 C.2 D.2V2解析:过M作MP垂直于准线,垂足为P(图略)，则“短二皿二.,MF M P C O S Z.A M P贝ij cosNAMP=j.又 0 ZAMP0)的焦点,过抛物

11、线上一点P 作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交 y 轴于点A(0,2),且APOF的面积为1 0,则该抛物线的方程为.解析：(1)法一 抛物线y=4 x 的焦点为F(l,0),准线方程为x=-l.因为直线AF的倾斜角为1 2 0。，所以N AF0=6 0 .所以 yA=2 V 3.因为PA1,所以 yP=yA=2 V 3.将其代入y2=4 x,得XP=3,所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4.法二 抛物线y2=4 x 的焦点为F(l,0),准线方程为x-1.因为PA1,所以|PA|=|PF|.又因为直线AF的倾斜角为1 2 0 ,所以 N AF0=6 0 ,所以 N PAF=6 0

12、,所以4 PAF为等边三角形，所以|PF|=|AF|=/=4.cosZ-AFO根据题意作出如图所示的图象.其中,F 0),直线Q E为抛物线的准线,且准线方程为x=,PQ_ LQE,A(0,2).设 P(x o,y o),则 Q y o),PQ=x o+p在a a E F中,0为E F的中点,则A为Q F的中点，即 IQE|=4,y0=4.因为PQF的面积为1 0,所以j(x o+,X 4=1 0,即 x 0=5-*因为羽=2 p x o,所以4 2=2 p(5(),即 p2-1 0 p+1 6=0.所以p=2或p=8,所以该抛物线的方程为y2=4 x或y2=1 6 x.答案：(1)4 y 2

13、=4 x 或 y 2=1 6 x慢 考点三直线与抛物线的位置关系口 角 度-直线与抛物线的综合(S O 已知抛物线C:y 2=3 x的焦点为F,斜率为|的直线1与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.若|AF|+|BF|=4,求1的方程;(2)若/P=3PB,求|AB.解:设直线 1:y=x+t,A (xb yi),B(x2,y2).(1)由题设得 F 0),故|AF|+1BF|=xi+x2+,由题设可得 Xi+X2=f.4 2 2 3y=5+可得 9X2+12(t-1)x+4t2=0,y2=3x,EH,12(t-l)贝Ixi+x2=-.从II 川-r-一-12(e-l)_5 Z得B _t=-7

14、y z o所以1的方程为y=|x-J.2 8 (2)由 力P=3PB可得 y i=-3y2._ 3 2 +、可得 y-2y+2t=0,所以 yi+y2=2,从而-3y?+y2=2,故y2=3x,y2=-l,yi=3.代入C的方程得x,=3,x2=|,故|AB|=手.解题策略I直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.。角度二焦点弦问题(S H)过抛物线y2=4x的焦点F的直线1与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于()9A.4 B.-C.5 D.62解析:法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方,设A,B在准线上的射影分别为D,C,

15、作BE1AD于E(图略),设|BF|=m,直线1的倾斜角为0,则|A B|=3 m,由抛物线的定义知|A D|=|A F|=2 m,|B C|=|B F|=m,所以 tan 9 =2A/2,则 s in2 9 =8 cos2 9 ,所以 s in-9 =-.9又 y J 4 x,知 2 p=4,故利用弦长公式I A B|=瑞芸.sin20 2法二 因为 I A F|=2|B F|,+1,AF BF 2 BF BF 2 BF p解得|B F|=|,|A F|=3,故|A B|=|A F|+|B F|彳.故选B.，解 题 策 略 I1 .有关直线与抛物线相交的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点

16、,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|A B|=|XA|+1 XB|+p 或|A B|=|yA|+|yB|+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2 .涉及焦点将线段分成为线段比的问题,常用数形结合求解.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.针对训练(1)过抛物线/=2 P x(p 0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线 1 于点C,若 F是A C 的中点，且|A F|=4,则线段A B 的长为()A.5 B.6 C.-D.3 3过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线1与抛物线C交于P,Q两点,与_ _ 抛物线的准线交于M,且9M=3EP,则|FP|等于()3 2 4 3A.2 3 3

17、 4如图所示，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.若线段AB的中点在直线y=2上,求直线1的方程；若线段IAB|=20,求直线1的方程.解析：因为F是AC的中点，且|AF|=4,所以p fA F|=2.设A(xb yi),B(x2,y2),则|AF|=Xi+Xi+l=4,所以xi=3.力2又 x1x2=1,4所以X2=|,所以 I AB I =Xi+x2+p=3+|+2=y.故选C.解析:设直线1的倾斜角为0,过点P作PN垂直准线于点N (图略),由抛物线定义知|PN|=|PF|.因为|FM|=3|FP|,所以|F M|二3|P N|,即|P M|=

18、2|P N|.在 R tA M N P 中，cos ZM P N=1.因为P N x轴，所以c o s。三，由抛物线焦半径的性质可得I P F I=_E _J1+C O S。1+1 3 即|F P|故选C.解:由已知,得抛物线的焦点为F(l,0).因为线段A B的中点在直线y=2上，所以直线1的斜率存在，设直线 1 的斜率为 k,A (x y,),B (x2,yz),A B 的中点 M (x0,y。),由 七 一 竽 得(yi+y2)(yy2)=4(xX 2),yz=4外，所以 2 yok=4.又 y=2,所以k=l,故直线1的方程是y=x-l.设直线1的方程为x=my+l,与抛物线的方程联立

19、得，丁，1消去 x,得 y2-4 my-4=0,所以 yi+y2=4 m,yiy2=-4,A =1 6(m2+l)0.I A B|=y/m2+1 1 y-y21=Vm2+1 J (%+为)2-4%为=Vm2+1 ,J(4 m)2 4 x(-4)=4 (m2+l),所以 4(m2+l)=2 0,解得m=2,所以直线1 的方程是x=2 y+l,即 x2 y-l=0.I K 用点四与抛物线有关的最值问题h角度一到焦点与到定点距离之和最小问题(SH)(1)若点A的坐标为(3,2),F 是抛物线y2=2 x的焦点，点M 在抛物线上移动时，使I M F|+1 M A|取得最小值的M的坐标为()A.(0,0

20、)B.(1,1)C.(1,V2)D.(2,2)已知M是抛物线x My 上一点,F为其焦点，点A 在圆C:(x+lL+(y-5)2=l上，则|M A|+1 M F|的 最 小 值 是.解析：(1)过点M 作准线的垂线，垂足为N(图略)，则|M F|+|M A|=|M N|+1 M A|,当A,M,N 三点共线时，|M F|+1 M A|取得最小值,此时M (2,2).故选D.(2)依题意，由点M 向抛物线x2=4 y的准线1:y=T 引垂线,垂足为此(图略)，则有代人|+愠5|=|+|恻，结合图形可知|皿|+|阿|的最小值等于圆心C(-l,5)到直线y=-l的距离再减去圆C的半径，即6-1=5,

21、因此|M A|+|M F|的最小值是5.答案：D (2)5。角度二到定直线的距离最小问题C 例”已知直线li：4 x-3 y+6=0 和直线1,2：X=T,抛物线y2=4 x上一动点P到直线L和直线卜的距离之和的最小值是()A.B.2 C.D.35 5解析：由题意可知l2：x=-l是抛物线y2=4 x的准线,设抛物线的焦点为F(1,O),则动点P至 IJ 1 2 的距离等于|P F|,则动点P到直线L和直线12的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l1：4 x-3 y+6=0 的距离,如图所示,所以最小值是二手.故选B.4a-3y+6=0解题策略与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线

22、上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.针对训练(1)在抛物线y=2 x 2 上有一点P,它到点A(l,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的 坐 标 是()A.(-2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(-1,2)已知P是抛物线y*1 2=*44 x上一动点，则点P到直线1:2 x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是()23 _=圾 所 以d+|p F|T的最小值为遥T.故选D.J 22+(-1)2一 备选例题若抛物线y2=2 p x (P

23、 0)上的点A(x。,V 2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()1 3A.i B.1 C.-D.22 2解析：由题意得3 x =x。+捺即 x,即 A(3 V 2),4 4r12代入抛物线方程，得号=2,A.V 3 B.V 5 C.2 D.V 5-1解析：(1)设直线1为抛物线y=2 x?的准线,F为其焦点，作P N 1于点N,AN 1于点N L图略),由抛物线的定义，知|P F|=|P N|,所以|AP|+|P F|=|AP|+|P N|2|AN 1|,即当且仅当A P,N三点共线时，取等号，所以点P的横坐标与点A的横坐标相同，即为1,则可排除A,C,D.故选B.(2)由题意知

24、,抛物线的焦点为F(l,0).设点P到直线1的距离为d,由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|P F|T,所以点P到直线1的距离与到y轴的距离之和为d+|P F|-l.易知d+1 P F|的最小值为点F到直线1的距离，故d+|P F|的最小值为因为p 0,所以p=2.故选D.C D已知直线1 过抛物线y2=-2 p x （p 0）的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是（）A.y2=-1 2 x B.y2=-8 xC.y2=-6 x D.y2=4 x解析:过点A,B 分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为A B,（图略），由抛物线定

25、义知|AF|=|AAj,|BF|=|BB,则|AA+|BB=2（2+2=8,解得P=4,所以此抛物线的方程是y2=-8 x.故选B.C M）设抛物线C:y2=4 x 的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为|的直线与C ）交于此N 两点，则FM -FN 等于（）A.5 B.6 C.7 D.8解析:设 M （x i,yi）,N（X2,y2）由已知可得直线的方程为y=|（x+2）,得 y2 _6 y+8=0.由根与系数的关系可得yi+y2=6,y 2=8,所以 x1+x2=|（y1+y2）-4=5,_（yi y2）2 _ 4x 冈 1 6%因为 F（1,O）,所以/M F N=（xl）,（X2-l）+

26、yi y2=Xi X2-（X1+X2）+l+yi y2=4-5+l+8=8.故选D.课时作业 灵活方强密效提混值选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练抛物线的定义2,5,6,7抛物线的标准方程3,8抛物线的几何性质1,41 1直线与抛物线的综合91 0,1 2,1 3,1 4,1 5,1 61 7,1 8A级基础巩固练1 .抛物线y=8 x 2的焦点坐标是（A）A.（0,或）B.（0,a）C.（0,2）D.（0,4）解析：因为抛物线的标准方程为x2=1 y,所以焦点坐标为（0,点）.故选A.2.若抛物线x2=1 6 y上一点（X。,y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则 加

27、等于（D ）A.-B.V 2 C.1 D.22解析:抛物线x2=1 6 y上一点(x o,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3 倍，口J 得 yo+=3 yo,所以 故选 D.3点M(5,3)到抛物线丫=2*2匕#0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是(D )A.y=1 2 x2B.y=1 2 x?或 y=-3 6 x2C.y=-3 6 x2D.y=x 或 y=-x212 J 36解析：分两类a 0,ayiy2=-2t,由 0A_L0BnxiX2+yiy2=01%-+yiy2=0=yiy2=-4,4所以t=2,即直线AB过定点(2,0).所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-1=

28、|,故选C.8.如图是抛物线形拱桥,当水面在1时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意将点A (2,-2)代入x?=-2py,得p=l,故 x2=-2y.设 B(x,-3),代入 x2=-2y 中，得 x=V6,故水面宽为2遍m.答案：2伤9.已知F 是抛物线C:y2=1 6 x的焦点,过F的直线1 与直线x+V 3 y-l=0垂直,且直线1 与抛物线C 交于A,B 两点,则|A B|=.解析：因为F 是抛物线C:y2=1 6 x的焦点，所以 F(4,0).又过F的直线1 与直线x+V 3 y-

29、l=0 垂直，所以直线1 的方程为y=V 3 (x-4),代入抛物线C:y2=1 6 x,易得 3X2-40X+48=0.设 A(xb yi),B(X 2,y2),贝!J X i+X2=y,XIX2=1 6,所以 I A B|=V 1 +3 J (/+犯)2-4 x1x2=y.答案号B级综合运用练1 0.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p 0)的焦点为F,直线1 字母的斜率为遮,且经过点F,直线1 与抛物线C交于A,B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D,若|A F|=4,则以下结论正确的是(A B C )A.p=2 B.F 为 A D 中点C.|B D|=2|B F|D.

30、|B F|=2解析：由题意F 0),直线1 的斜率为8，则直线方程为y=8(xq),联立y2=2px,y=V3(%-),得 1 2x2-20 px+3 P2=0.解得 xA=|p,XB=；P,2 6由|A F|1p+：=2p=4,得 p=2,所以抛物线的方程为y2=4 x,所以 xB=p-,则 I BF I q+i W，6 3 S34|B D|-3 6 0。1 3所以|B D|=2|B F|.又|B D|+|B F|=1+|=4,则 F为A D中点.所以运算结论正确的是A B C.故选A B C.1 1.(20 21 江苏常州高三一模)过抛物线y2=2x上一点P 作 圆 C:x2+(y-6)2

31、=l的切线,切点为A,B,则当四边形PA C B 的面积最小时,P 点的 坐 标 是(C )A.(1,V 2)B.(|,V 3)C.(2,2)D.(|,V 5)解析:由题意可设P(#,a),当四边形PA C B 的面积最小时，点 P 到圆心C(0,6)的距离最小，即 I PC 12=G a2)2+(6-a)2 a+a-1 2a+3 6,可令 f(a)=-a+a2-1 2a+3 6,4则 伊(a)=a+2a-1 2=(a-2)(a2+2a+6),则当 f(a)=0 时,a=2,此时取得最小值，四边形PA C B 的面积为2 x|x i x J PC 1 2-1=1 22+(6-2)2-l=V 1

32、 9,所以 P(2,2).故选 C.1 2.在平面直角坐标系xO y中，设抛物线y2piX(pi 0)与x2=2p2y(p2 0)在第一象限的交点为A,若。A的斜率为2,贝片.解析：设A(x,y),由 y2=2pix=-=,x yx、2p2y=F=l2P2 X贝 ij服=2=也 4=y 2P2%=4 P2,y=Pi，故 A(4 p2,pi),代入抛物线得翦=2Pl-4 P2n”Pl 8答案31 3.设F 为抛物线C:y2=2px(p 0)的焦点,过F 作倾斜角为6 0 的直线交抛物线C于AB两点，若|A F|-|B F|=4,则|A B|=解析:设 A (xi,y),B (x2,y2)(X 1

33、 O,x2 0),则I A F|-1 B F|=(xi+今-区+,=xf=4直线A B 的方程为y=V 3 (x-1),由y2=2px,得 3 x-5 px+-p2=0,4-*5 1所以 x,+x2=-3p,X 1 X2=-4P,所以(%2)2=(%1 +久2 V一4 X iX 2=p2=4；9因为po,所以p=3,所以 I A B|=xi+x2+p=%)=8,答案：81 4.已知点M(xo,yo)(yo O)是抛物线C:y2=4 x上一点，以M为圆心,r为半径的圆M与抛物线C的准线相切,且与x轴的两个交点的横坐标之积为5,则圆M的方程为,若过抛物线C的焦点F作圆M的切线交抛物线于A,B两点，

34、则|A F|BF|=.解析:设圆M与抛物线的准线相切于点D,与x轴交于P,Q两点,如图所示.因为|M P|=|M D|=r,所以P为抛物线的焦点F,则P(l,0),又因为XP XQ=5,所以 Q(5,0).因为 I M P|=|M Q|=r,所以 X o=3,yo=V4 x 3-2V3,M(3,2V3),r=(3-1)2+(2 仔 0/=4,所以圆 M:(x-3)2+(y-2V 3)2=1 6.设 A (xi,yi),B 3,y2)，如图所示.kM I.=|=V 3,3-1所以 kA B=-y,IA B：y=-y(x-1),联立 y =T(%T)，=x2_ 4 x+=0,y2=4x得 xi+x

35、2=1 4,x 1 X 2=1,所以|A F|I B F I =(%1-l)2+yf*/(x2-l)2+3 2(x j-l)2+4 4 J (%2-1)2+4%2=J (%1+1)2 J (%2+1)2=(X 1+1)(x2+l)=X|X2+X|+X2+1=1 6.答案：(x-3)2+(y-2g)2=1 6 1 61 5.如图,已知点P(t,5)(t 0),抛物线x2=2py的焦点是F(0,1),A,B 是抛物线上两点，四边形F A PB 是矩形.(1)求抛物线的方程;求矩形F A PB 的面积.解：因为抛物线x=2py的焦点是F(0,1),所以解得P=2,所以抛物线的方程为x2=4 y.(2

36、)设 A (23,tf),B(2t2,tf),因为四边形F A PB 是矩形，所以以+久 B-町+孙 y4+ys-yp+yp 且凡4 FB=0,即 2J +2t2，+%1 +5 32 2 2 2 且 2ti-2t2+(及T)(g-1)=0,2所以 ti+t2=,tit2=3,且 t4-1 6 t2-5 1 2=0,所以2-3 2)2+1 6)=0,解得 t2=3 2,tit2=l,由抛物线的定义得|F A|=M+1,|F B|=+1,所以矩形F A PB 的面积为S=|F A|F B|=(片+1)(g+1)二好豆+片+年+1=1+6+1二 8,所以矩形F A PB 的面积为8.1 6.在平面直

37、角坐标系xO y中，抛物线C:x2=2py(p 0)的焦点为F,点A在抛物线C 上，若|A O|=|A F|=|.(1)求抛物线C的方程；设直线1 与抛物线C 交于P,Q 两点,若线段PQ 的中点的纵坐标为1,求A C I PQ 的面积的最大值.解：(1)因为点A 在抛物线C 上，|A 0 1=|A F|=|,所以点A的纵坐标为:，所 以 巳+匕 三，4 2 2所以p=2,所以抛物线C的方程为x?=4 y.(2)由题意知直线1 的斜率存在，设直线1 的方程为y=kx+b (b 0),代入抛物线方程,可得x2-4 kx-4 b=0.设 P(xi,yi),Q(X2,y2),贝！J xi+x2=4

38、k,xix2=-4 b,所以 yi+y2=4 k+2b,因为线段PQ 的中点的纵坐标为1,所以 2k2+b=l,即 2k=l-b 0,所以O b W l,S A 0 PQ=|b I X-X2|=：bj(%i+X2)2-4X1X2=1bV16/c2+16b=bV2+2b=V2 Vb3+b2(O 0,函数单调递增，所以当b=l时,A O P Q 的面积最大,最大值为2.C 级应用创新练1 7.(2 0 2 1 辽宁沈阳高三一模)已知抛物线x?=4 y,点M(t,-2),t T,1,过 M 作抛物线的两条切线M A,M B,其中A,B 为切点,直线A B 与y 轴交于点P,则黑的取值范围是_ _ _

39、 _ _ _ _.P D解析：设切点 A (xi,yi),B(X 2,y2),由抛物线 y=；x；y=；x,4 2所以切线M A:X i X=2 y1+2 y,同理切线 M B:x2x=2 y2+2 y,又点M是两条切线的交点，所以 X i t=2 y-4,x2t=2 y2-4.所以直线A B 的方程为tx=-4+2 y,即y-2 音.此直线恒过P (0,2),则 警产(小)【迎 里/P B鬲百国百X2 _ xy 一 万 消去 y,得 x2-2 tx-8=0,x2=4y,所以 xi+x2=2 t,XIX2=-8,所以（+建+2*.工1%2%2 2因为 t -1,1,所以-0,即这+2 W 0,

40、2 久2 X1令 m=,+2 0,x2 2 m（i i-m H-1-2,即 2 rnm+-+2 0)交于M l,岫两点,直线y=：与 y 轴交于点F,且直线yq恰好平分 N M F M 2.(1)求 p的值;设 A 是直线y音上一点,直线A M 2 交抛物线于另一点M：“直线“交 直线y4于点B,求。a 。8 的值.解：(1)由y=2x-2,x2=2py,整理得 x2-4 p x+4 p=0,设 M i(xi,yi),M2(X2,y2),(A=1 6 P 2 T 6 P 0,则上i +x2=4 p,=4 p,因为直线y3平分N M F M z,所以以+心幻=0,所以Fy.-+P?y=2-oP,

41、1 z X1 x2即+q i o,Xi X2所以 4-(2+g)立2=0,得 p=4,满足 0,2 XrX2所以P=4.由知抛物线方程为x2=8 y,且修 Y&1 6,M i(xi，金,M2(X2.),(%1%2 =1 6,8 8r2设 M 3(X 3,争，A(t,2),B(a,2),o由A,M2,M 3三点共线得k M 2%=心M 2,所 以 告 言I即言+X 2 X 3 T (x2+x3)=X 2 1 6,整理得 x2x3-t(X 2+X 3)=-1 6,由 B,M 3,M i 三点共线，可得 xi x3-a(x1+x3)=-1 6,式两边同乘 X 2得 X 1 X2x3-a(X 1 X 2+X 2 X 3)=-1 6 x2,即 1 6 x3-a(1 6+X 2 X 3)=1 6 x2,由得 x2x3=t(X 2+X 3)T 6,代入得 1 6 x3-1 6 a-ta(x2+x3)+1 6 a=-1 6 x2,即 1 6 (x2+x3)=at(X 2+X 3),所以 at=l 6.所以。4 Ofi=at+4=16+4=20.