人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第四章第5节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用.pdf

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1、第 5 节 函数y=A si n（3x+）的图象与性质及三角函数模型的应用课程标准要求1 .了解函数y=A si n（3x+e）的物理意义，能画出y=A si n（3x+）的图象，了解参数A,3,9 对函数图象变化的影响.2 .会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.必备 知 识 课前回顾 用 双 材 夯 实 四 基1.y=A si n（3x+0）的有关概念械知识梳理y=A si n(ax+e)(A 0,w 0),x eR振幅周期频率相位初相AT=0)q 1 3f=-=-T 2兀3 x+e(p2 .用五点法画y=A si n（3x+）（A 0,3 0,

2、x R）一个周期内的简图时,要找五个特征点如表所示:X0-P37TG)T l-(pG)37r二 夕3G)3 x+e07T2J I37T22 J iy=A si n(3x+w)0A0-A03.函数y=si n x的图象经变换得到y=A si n（0,0）的图象的两种途径|画出y=8 i n4的图象 阳骤1，画出y=si n4的图象|向左（右）平 移I回个单位长度|得到尸si n,摩）的函有一 骤横 坐 标 变 为 鬣 焉2横坐标变为原来的倍,（纵坐标不变）一|得到尸si nk的图象|向左（右 岸 移 个 单 位 氏 度I得到尸 i n（3%+W）的图象卜-得到尸si n（4+9）的图象|纵坐标变

3、为原来的4倍I硬坐标不变）|得到4si：（3%+e）的图象卜纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）得到尸A si n（a:+w）的图象|匡 重 要 结 论1 .先平移变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是I 9|个单位长度；先周期变换（伸缩变换）再平移变换,平移的量是此（3 0）个单位长O）度.2 .函数y=A si n（3x+）的对称轴由 x+=k TI+y,k Q Z 确定;对称中心由3x+o=k 五，k Z 确定其横坐标.对点自而1 .函数y=2 si n（t J 的振幅、频率和初相分别为（C ）A.2,4 冗，一 B.2,一3 4 3C-2,言，贷 D.2,4 ,解析：由题意知A=2,f=

4、初相为工.故选C.T 2 n 4 n 32.为了得到函数y=2 si n（2 x-1）的图象可以将函数y=2 si n 2 x 的图象（A ）A.向右平移：个单位长度B.向右平移十个单位长度C.向左平移 个单位长度D.向左平移孑个单位长度因此,为了得到函数y=2si n（2 x-1）的图象,可将函数y=2 si n 2 x 的图象向右平移看个单位长度.故选A.3.把函数y=si n x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的右纵坐标保持不变,再把图象向右平移9 个单位长度,则所得图象对应的解析式为（A ）A.y=si n（2 x-y）B.y=si n（2 x-）C.y=si n（）D.y=si n

5、 令弓）解析:把函数y=si n x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的右纵坐标不变,得到y=si n 2 x 的图象,再把y=si n 2 x 的图象向右平移？个单位长度，得到y=si n2（x-1）,即y=si n（2 x q）的图象.故选A.4.用五点法画函数y=si n（x-十）在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是、.答案：（右 0）（号,1）（0）（*T）（等,0）5 .某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.月份X1234收购价格y/（元/斤）6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位:元/斤)与相应月份之

6、间的函数关系为解析：设 y=A s i n(3 x+e)+B(A 0,w 0),由题意得 A=l,B=6,T=4,因为丁=空,所以3三，O)2所以 y=s i n gx+)+6.因为当 x=l 时,y=6,所以 6=s i n(/+9)+6,结合表中数据得3+9 =2 k 冗，k Z,可取(P =所以 y=s i n(x-)+6.答案:y=s i n(/x -1)+6关键能力课堂突破考点一函数y=A s i n (3 x+夕)的图象及变换美 小 考 点气窠四鬟1 .为了得到函数y=s i n(2 x+?)的图象,可将函数y=s i n 2 x 的图象6(B )A.向右平移工个单位长度B,向左平

7、移工个单位长度C.向右平移!个单位长度D.向左平移!个单位长度6解析:因为y=s i n(2 x q)=s i n 2(x +*),因此,为了得到函数y=s i n(2 x+的图象,可将函数y=s i n 2 x 的图象向左平移工个单位长度.故选B.2 .(多选题)将函数y=s i n (2 x+)的图象沿x 轴向左平移三个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则夕的值可能是(A B )A.-B.-4 4C.0 D.-4解析:将函数y=s i n(2 x+)的图象沿x 轴向左平移个单位长度后,得O到 y=s i n(2 x+；+)的图象，4由于所得函数为一个偶函数,则五+；,k e z,w=+k

8、JI,k e z,故4 2 4当 k=0 时，4当k=-l 时，故选A B.43.将函数y=s i n(3 x+的图象向右平移票个单位长度后与原图象重合,则正数3不 可 能 是(A )A.2 B,3C.6 D.9解析：因为函数y=s i n (a x+也的图象向右平移,个单位长度后得y=s i n w (x-y)+,所以当 3=2 时,y=s i n 2(x-争 +却 Ws i n(2 x+,当 3 =3 时,y=s i n 3(x-y)+=s i n(3 x+),当 c o =6 时,y=s i n 6 (x-y)+热=s i n (6 x+)当 3=9 时,y=s i n 9(x-争+g=

9、s i n(9 x+/).故选 A.*题 后悟通1 .函数y=A s i n(3 x+)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换Z=x+9 计算五点坐标.2 .由函数y=s i n x 的图象通过变换得到y=A s i n(3 x+)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.值 考点二 求函数y=A s i n(3 x+)的解析式G D (1)已知函数 f(x)=s i n(3 x+e)(3 0,|*吗)的部分图象如图所示,若 Xi,X2 e (-*，且 f(Xi)=f(x2),则 f(X1+X2)等于()A-BW2 2C.2 D.1已知函数f(x)=s i n(3 x+)(

10、3 0,|0,3 0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得此利用周期性求3,难 点 是 的 确 定.2.y=A s in(3 x+0)中夕的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.五点法:确定9值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.针对训练1.已知函数f (x)=A s in(a x+0),x R(其中A 0,3 0,-殳夕4)，其部分图象如图所示，将 f(x)的图象横坐标变为原来的2 倍,纵坐标不变,再向右平移1 个单位长度得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=s in (

11、x+l)B.g(x)=s in (x+l)C.g(x)=s in(/x+l)D.g(x)=s in(8-x+1)解析：由题图可得f (x)=s in(：x+：),横坐标变为原来的2 倍得y=s in*x+：)，再向右平移1个单位长度,得g(x)=s in*(x T)+：=s in x+；)=s in*(x+l).故选 B.2.a f(x)=A s in(o x+)(A 0,0,|夕|n )的部分图象如图所示,则函数f(x)的 解 析 式 为.解析：由题图可知A=V2.注工 一 r-7 n-T I-T I4 12 3 4)所以T=n，故3=2,因此 f (x)=V s in (2x+(P),又

12、0)对应五点法作图中的第三个点，因 止 匕 2X g+*=n+2k n (k Z),所以*三+2k J T(k Z),又 I。I 11,所以 9 g.故 f (x)=V2s in(2x+).法二 以G，0)为第二个“零点 ，当x 为 时,y 埒为-遮，5JL/-+0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为今求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m 0)个单位长度得到函数g(x)的图象,且g(x)的图象恰好经过点(,0),求当m取得最小值时,g(x)在仁,和上的单调递增区间.o 1Z解：(1)函数f(X)的图象与X 轴相邻两个交点的距离为*得函数f(x)的最小正周期为T=2X

13、今,得 3=1,故函数f(x)的解析式为2 2a)f(x)=V3 s in(2x+；).将 f (x)的图象向左平移m(m 0)个单位长度得到函数g(x)=V3 s in 2(x+m)+=V3 s in (2x+2m+)的图象,根据晨x)的图象恰好经过点(,0),可得 V3 s i n (-+2m+)=0,即 s in=0,所以 2m-j=k n (k G Z),解得 m=1+g(k Z),2 6因为m 0,所以当k=0 时,m 取得最小值,且最小值为g6此时，g(x)=V3 s in(2x+y).因为x 小 等，所以2 x+y e 串 等 .当2 x+e 弓事，即x$-*-工 时,g(x)单

14、调递增，3 3 2 6 12当2 x+e 百,岸 ，即X 曙,等时,g(x)单调递增.综上,g(x)在 区 间 上 的 单 调 递 增 区 间 是 仁,-3 和管,卯.6 1Z 6 1Z 1Z 1Z解题策略I函数图象与性质的综合问题.此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式,再来研究其性质.针对训练设函数 f (x)=s in(3 x q)+s in(3 x-),其中 0 w 3.已知 f 0=0.求3；将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移;个单位长度,得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在-三号上的最小值.4 4解：(1)因为 f

15、(x)=s i n(3 x q)+s i n(3 x(),所以 f(x)=-s i n w x-c o s w x-c o s a xV3.3=s i n x-c o s w x2 2=A/3(|s i n w x-c o s 3 x)=V3 s i n(3 x-).由题设知f )=0,6所以詈-n,k G Z,故 3=6 k+2,k Z.又 0 3 0,3 0,|9 )的模型波动(x 为月份)，已知3 月份达到最高价9 千元,9 月份价格最低为5 千元.则7 月份的出厂价格为 元.三角函数模型为y=As i n(3 x+)+B,由题意知 A=2 0 0 0,B=7 0 0 0,T=2X(9-

16、3)=1 2,所以a专 二 将(3,9 0 0 0)看成函数图象的第二个特殊点，贝 U有o 所Z以8二 0,故 f(x)=2 OOOs i n+7 0 0 0(1 2,x N*).6所以 f (7)=2 0 0 0 Xs i n+7 0 0 0=6 0 0 0.6故 7 月份的出厂价格为6 0 0 0 元.答案:6 0 0 0府 备选例题CIT D为了得到函数y=s i n习的图象,只需把函数y=c o s(2x-争的图象()A.向左平移;个单位长度B.向右平移;个单位长度C.向左平移与个单位长度D.向右平移个单位长度解析:y=c o s (2x-y)=s i n 号+(2x-y)=s i n

17、(2x ),故要得到函数y=s i n(2x)的图象，只 需 要 平 移-(x-工)q个单位长度,又:0,所以应向左平移.故选A.CW D 已知函数 f (x)=As i n(3 x+*)+B(A0,3 0,|0 吗)的部分图象如图所示,将函数f (x)的图象向左平移m(m 0)个单位长度后,得到函解析:依题意得解得4 A=V3,+”限-A+B=-)T n 2n n n2侬 3 6 2故 3 =2,则 f (x)=V 3 s i n(2x+(P)又 f 9)S s i n(2)+苧=,故;+(p g+2k 五(k Z),即 e =.+2k 冗(k Z).因为I 9 I故夕三，所以 f (x)=

18、JJs i n(2x+)+y.将函数f (x)的图象向左平移m 个单位长度后得到g(x)=V 3 s i n(2x+92m)+整的图象,又函数g (x)的图象关于点号 多对6L3 2称,故6 s i n(空+?+2m)=0,即也+2m=k n(k Z),故 m=-(k Z).令3 6 6 2 12k=2,则 m*.故选D.CU D 已知函数f(x)=A s i n(3 x+)(A 0,|力|0)的图象的一部分如图所示,则f(x)的图象的对称轴方程是.解析：由图象知A=2,1又 l=2s i n(3 X O+0)，即 s i n(p-,又 I *I 泉所以/吟又X 3 +7=2 3 1,所以 3

19、 =2,1Z 6所以 f (x)=2s i n(2x+),o令 2x+-=-+k J i (k Z),得 x=+-(k G Z).6 2 2 6所以f (x)=2s i n(2x+的对称轴方程为x=4(k Z).6 2 6答案：x=?+?(k Z)2 o课时作业选题明细表灵活于强密鼓提保知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数y=A s i n(3 x+)的图象及变换1,2,3,4,5,714求函数y=A s i n(s x+e)的解813A级基础巩固练析式函数y=A s i n（3 x+）的图象与性质的综合应用6,91618综合问题10,11,12,15,171.函数y=s i n（2

20、x）在区间，河上的简图是（A ）解析:令x=0得 y=s i n（-$=-?,排除B,D 项，由 f （三）=0,f （=）=0,f （-J =T,排除 C 项.故选 A.2.要得到y=s i n（2x-：）的图象，只需将y=s i n 2x的图象（D）A.向左平移;个单位长度B.向右平移;个单位长度C.向左平移三个单位长度D.向右平移三个单位长度8解析:因为 y=s i n（2x-?=s i n2（x-；）,因此,要得到y=s i n（2x）的图象，只需将y=s i n 2x的图象向右平移三个单位长度.故选D.83.已知函数f (x)=s i n(3 x+)(0 3 0)个单位长度，则m 的

21、最小值为(A )A.1 B 2C.-D.-6 2解析：由题意，得 s i nU3+9=0,2 6即3 +-=k J i (k Z),2 6则 3-2k JI(k e z),结合0 0,3 0,|夕|)的部分图象如图所示.则能够使得y=2s i n x 变成函数f (x)的 变 换 为(C )A.先横坐标变为原来的也再向左平移行个单位长度B.先横坐标变为原来的2 倍,再向左平移点个单位长度C.先向左平移?个单位长度,再横坐标变为原来的：D.先向左平移9 个单位长度,再横坐标变为原来的2 倍24解析:观察图象知A=2,f (x)周期为T,贝 1 工=比一区三即丁=口，3=空=2,4 12 6 4

22、T又 f 0)=2,g p 2X-+=2k Ji+-(k e z),6 6 2而 I。I G，则 k=0,(P gZ 6所以 f (x)=2s i n(2x+?),6把 y=2s i n x 图象向左平移，个单位长度得y=2s i n(x+)图象,再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的巳即得f(x).故选C.6.(多选题)函数f (x)=2s i n(2xf 的图象为C,则下列结论正确的是(A B )A.f(x)的最小正周期为口B.对任意的 x R,都有 f(x+)+f(-x)=O6 6口汽)在(-巳工)上是减函数D.由y=2 s i n 2 x 的图象向右平移三个单位长度可以得到图象C解析：

23、由 f(x)=2 s i n(2 x),所 以 f(x)的最小正周期为詈耳，故 A正确;f G)=2 s i n (2 X 2-2)=0,即函数f(x)的图象关于点邑0)对称，即对任意的X G R,都有f(x+乡+f(卜X)=0 成立，故 B正确；当 x(T，与6 6 12 12时,2 x-为(T9,所 以 f(x)在(三,为上是增函数，故 C错误；由y=2 s i n 2x的图象向右平移三个单位长度得到y=2 s i n 2 (x-三)=2 s i n (2 x-y)的图象，故D 错误.故选A B.7 .函数y=s i n x/3 c o s x的图象可由函数y=s i n x+V3 c o

24、 s x的图象至少向右平移 个单位长度得到.解析:y=s i n x-V3 c o s x=2 s i n (x f,y=s i n x+V3 c o s x=2 s i n(x+1),故应至少向右平移亨个单位长度.答案号8 .已知函数丫=$行(2*+夕)的图象关于直线对称,则夕的值为.解析：由题意得f9=s i n(g+#=l,所以争 *=k +/k Z,所以夕=k 兀k Z.6因为夕(_p ),所 以*6答案:q69.某城市一年中1 2 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+A c o s P(x-6)(x=l,2,3,，1 2)来表示，已知6 月份的月平均6气温最高，为

25、2 8 ,1 2 月份的月平均气温最低，为 1 8 ，则 1 0 月份的 平 均 气 温 值 为 .解析：依题意知，a=W 竺=2 3,A=北#=5,所以 y=2 3+5 c o s 弓(x-6),当x=1 0 时,y=2 3+5 c o s(，X 4)=2 0.5.答案：2 0.5B 级综合运用练1 0.(2 0 2 1 浙江杭州高三模拟)定义在R 上的奇函数f(x)=s i n(2 x+0)(I。I W,)的图象向右平移!个单位长度后与函数g(x)的图象重合,则函数g(x)在-盟的单调递增区间为(B )A.卷WB 屋，等C.6,-等 和 脸 与D.和口2 12 12 2解析：因为函数f(x

26、)是奇函数，又 I 夕I 所以夕=0,所以 f(x)=s i n 2 x,所以 g(x)=s i n 2(x-)=s i n(2 x-),根据正弦函数的性质，令+2 k JI 2 x-+2 k J i.k eZ,2 3 2解得-工+k r W x W 史+k J i,k G Z,12 12又因为X ,J所以吟即函数的单调递增区间是-巳工.故选B.1 1.(2 0 2 1 浙江温州高三模拟)若函数f(x)=c o s(2 x+p)(0 9无)在区间 q，口上单调递减，且在区间(0,I)上存在零点，则。的取值范围6 6 6是(D )A.C.(注 B.号季 第D.品)解 析:当 州 时,2 x+e

27、-+(P,g+e,又夕(0,兀)，所以2 x+(P (-p等)，因为函数f(x)=c o s(2 x+e)(0 0,7r 27r即 解得欠(p+-n,3 3令 f(x)=c o s (2 x+o)=0,贝！J 2 x+(P=+k 冗(k Z),即X 号转(k Z),由，*(-；,；),可得当且仅当k=0 时，有 x=H，4 2又函数f(x)=c o s(2 x+e)(0 w 0,I p l W、)，x=-:为 f (x)的零点，2 4X 三为y=f (x)的图象的对称轴,且f(X)在 脸 书 上 单 调，则3 的最大值为(B)A.1 1 B.9C.7 D.5解析:因为x=9 为 f(x)的零点

28、,x=：为 y=f (x)的图象的对称轴，4 4所 以 吧.T=-g p -=-(n e N),4 2 4 o)2即 3=2 n+l (n N),即3 为正奇数，因为f (x)在(-,-)上单调,则史=工 0),已知f (x)在 0,2 JI 有且仅有5个零点.下述四个结论：f (x)在(0,2 门)有且仅有3 个极大值点；f (x)在(0,2 J i)有且仅有2 个极小值点；f(x)在(0,白)单调递增；103 的取值范围是呼务其中所有正确结论的编号是(D )A.B.C.D.解析:如图,根据题意知,x,W 2 弘 xB,根据图象可知函数f （x）在（0,2 n ）上有且仅有3 个极大值点,所

29、以正确;但可能会有2 个或3 个极小值点，所以错误;根据X,W 2 冗XB,有三兀,得当W 3 所以5 co 5 co 5 10正确；当 x （0,M时,督3 x+g 等+g因为甘W 3 冬 所 以 W 0,3 0,|夕|）的部分图象如图所示.将函数y=f (x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的;,再把所得的函数图象向左平移?个单位长度,得到函数y=g(x)2 6的图象，求函数g (x)在区间 0,J 上的最小值.8解：设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知A=l,5 等4=三2 3 6 2即T=n ,所以n =0),解得3=2,所以f (x)=s i n (2 x+),又

30、 f (x)的图象过点G，0),6由 0=s i n(2 x 2+w)D J 得E+=k 五(k Z),6 3贝！J 夕=k 五 一 g (k Z),因为i?i q,所以故函数f (x)的解析式为f (x)=s in (2 x-).根据条件得g(x)=s in(4 x+g),当x 0*时,4 x+打 与 等,所以当x=J 时,g(x)取得最小值,且g(x)o2C 级应用创新练1 8.在f (x)的图象关于直线x=；对称;f (x)的 图 象 关 于 点 0)对称；f(X)在-p :上单调递增.这三个条件中任选一个,补充在下4 4面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值;若a 不存在，

31、请说明理由.已 知 函 数 f (x)=4 s in(a x+?)+a(N*)的最小正周期不小于？，6 3且,是否存在正实数a,使得函数 3)在 0 吟 上有最大值 3?解：由于函数f(x)的最小正周期不小于3所以空2日,所以1 W 3 W 6,3 co 33 N*.若选择,即f(X)的图象关于直线x专对称，6则有？3 +k n +式k Z),解得3 A+|(k Z),6 6 2 5 5由于 1 W 3 W 6,N*,k Z,所以 k=3,=4.此时，f (x)=4 s in(4 x+-)+a.6由x 。吟 ，得 4 +衿 /最，因此当4 x+g=T，即x=5 时，f (x)取得最大值4+a,

32、令 4+a=3,解得a=-l,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数f (x)在 0,上有最大值3.若选择,即f(x)的图象关于点塔,0)对称,则有得3+=k n (k G Z),解得-|(k Z),由于 1 W 3 W 6,3 N*,k Z,所以 k=l,3=3.此时，f (x)=4 s in(3 x+-)+a.6由x 0,可，得 3 x+匹 吟，与，因此当3 X+9J,即X 三时,f (x)取得12 6 6 1Z 6 lz 12最大值4 s in|+a=V 6+V 2+a,令遍+&+a=3,解得a=3-遍-鱼,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数f (x)在 0,上有最大值3.若选择,即f (x)在-2 3上单调递增，4 4则有谭+合2k响-1-2/CIT+-4 6 2(k e z),(J L)-8/c H 解 得+(由于 1 W 3 W 6,3 N*,k Z,所以 k=0,=1.此时,f (x)=4 s in(x+-)+a.6由X 0,中，得 x+匹 吟 5，因此当x+黑即X 三时，12 6 6 4 6 4 12f(X)取得最大值2 V 2+a,令 2 V 2+a=3,解得a=3-2 V 2,符合题意.故存在正实数a=3-2 近，使得函数f (x)在 0,上有最大值3.