南昌某大学第五届高数竞赛理工类试题及答案.pdf

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1、南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院：第 考场专业：学号：考试日期：2008年 9 月 2 1 日题号-二三四五六七八九十十一十二总分累 分 人签名题分15158677677787100得分注：本卷共七页，十二道大题，考试时间为8:3011:30.一、填空题(每空3 分，共 15分)得分评阅人4 、-y _(a r c s i n x)-2、设在0处可导，则 曾 3吟g“=.3、设/(%)是连续函数，且/(%)=%+2)(3，则世=.4、已知两直线方程是小土土=2=与小 工=)二二 三，则过右且平行乙的1 0-1-2 1 1平面方程为.5 由方程x y z +J x?+y?

2、+z?=&所确定的函数z =z(x,y)在点处的全微分为.二、单项选择题(每题3 分，共 15分)评阅人设/(%)=(A)0.(C)2.(B)l.(D)无穷.2、设 是 正 值 连 续 函 数，a 0,/(x)=J x-tpdt,a x 0,则+y2 ds=()(A)-a2.(B)a2.(C)42.(D)22.2设 un=4 tann xdx,则 (T)(A)发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)无法判断.三 （本题满分8 分）得分评阅人（x2+y2）sin-.x2+y2 0;设二元函数=y/x2+y2 试解答0,x2+y2=0,（1）f（x,y）在点（0,0）是否连续？（2）求（0,0

3、）,力（0,0）.（3）/,（%），4（X,y）在点（0,0）是否连续？（4）在点（0,0）是否可微?四、（本题满分6 分）得分评阅人7C 彳 sinxcosx)sinx+cosxdx.得分评阅人五 （本题满分7 分）计算曲线积分/一 办 其中/为椭圆”+一 的TF 向I I r（x-l）2+/9 4得分评阅人六、（本题满分7 分）设连接两点A（O,1）与5（1,0）的一条凸弧，点尸（x,y）为凸弧45上的任意一点，已知凸弧与弦A 尸之间的面积为求此凸弧的方程.得分评阅人七 （本题满分6 分）设Z 为非零常数敛）.,试判断级数的敛散性（发散、条件收敛还是绝对收得分评阅人八、（本题满分7 分）设

4、函数/（X）连续，且/Q）=JJ J z 2+/（%2+y2）/y,其中空间区域Q 为：0Z/2,Cx2+y2t2,求 导 数 更 和 极 限 lim 萼.dt e t得分评阅人九、（本题满分7分）设Z=/（Y 0（砂），其 中 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，夕二阶可导，求 黑（本题满分7分）+、n2+rn 4 nJ得分评阅人十一、(本题满分8 分)求级数zn=0(-l)(n2-n+l)r的和.十二、(本题满分7 分)得分评阅人设/(x)在 0,1 上有连续的导数，求证：当X G 0 ,有/(%)归南昌大学第五届高等数学竞赛（理工类）试题答案一、1.y ,2.+3.2,4.x-3 y +

5、z+2=0,5.d x-d y.二、1、B 2、C 3、A 4、D 5、B三、由于 lim(x2+y2)=0,sin,0 V、7 v 7J(Ax+(Ay)2=01于是/（x,y）在点（0,0）是可微.8 分1 四、原 式 Jj(sinx+cosx冗dx3 分sin -x(sinx-cosx)-、40rIn c sc%+-cot x+-2V2717t4J4 J5 分=I-产 In(V2-1)2 2V2 v)丝 y =(I)办 一 以(1)2 +/厂(1)2 +y2dQ _ d-(x-1)_(x-1)-y2嬴=4(X-1)2+/J=1)2+打由格林公式得./Pdx+Qdy=0,于是 R/x+Qdy

6、=*Pdx+Qdy,其中/为(x-l)2+V =1 的正向，令x-l=cos。，y=sin。，则sin6(-sin 0)cos6cos，Jocos2 sin2 0-de广 2乃-曲=一2兀6 分2 分3 分6 分7 分六、设凸弧的方程为y=/(x),依题意得()甘 1 +(/)”3 分两边对x 求导得xyr y=6厂1,即y，1 y=x-o x1X X通解为y=cx-6x2+1,6 分由 y(l)=0得c=5.故所求曲线为y=5x-6x2+1.7 分七、an=sin 乃卜/2+左 2 几)+/万(-1)s i n%4 k./1 n&(-1)Si n .Jn2+k2+n3分当充分大时，级数“是交

7、错级数.n=L.2ool i m s i n ,-=0,且当n 充分大时a l a J，因 此 级 数 收 敛.4分-0 Jn2+k2+n M其次，考 虑 级 数 由 于n=.a,k27i kF1 1 0 1 =h m n s i n ,=-T ,2 +公+2n因 此 级 数 发 散,/?=1所以级数 以n（乃 条 件 收 敛.八、尸O J I P加+7卜2 +丫2加Q C=2dz j|dxdy+d z /(x2+y1 t2 x2+y2 f25分6分2分x2+ydxdy-t2+h d 0 f(r2)rdr3分=胃-产5 分Tllct+2兀htf).6分由罗毕达法则得rF(r)力 力 3 tf(

8、e)7rh3lim-y=-1-lim 2jrh-=-1-兀 hf(0).一0 t2 3 J。2t 3 v 77 分九、令“=d-y,y =夕（孙dzdx2xf；+y(pf；,-=(p+xy(p)f-2 +(2x2-y)(p fJ+xy(p)2 f2.十、因为二一 J w二，+1n+i_ nn1 i n 2=f 2xdx=-,占 J。In 2 1 v r 1lim-V 2n=hm-hm/2n=-,8 n+f +1 f8 M In 2由夹逼准得limW00oo十一、L=100z=02n-+l22nr+n+2n2+rn+nJ1h?200/1=1 (T)卜 W=0 乙)(-一 +l)r2_8(1、令s(x)=X (-l)-彳/2n=2 Z),则s(l)=S(T)-5 =斤n=0 z7 Z/-n +T2 4 22 _ _ _3 27-272 分7 分2 分4 分6 分7 分2 分4 分6 分7 分十二、因为/(/)连续，也连续，所以由积分中值定理存在Je 0,l使*（*山，。转2 分又/（力/传）=r”助，即/（x）=/传）+,4 分所以|/（x）归/6 分邛 l+J f故/（小）（。卜仁（，）加 7分