向量模、夹角与坐标运算高考数学一轮复习题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）.pdf

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1、专题5 向量模、夹角投影与坐标运算目录一、热点题型归纳【题型一】向量夹角1：坐标运算.1【题型二】向量夹角2：夹角锐钝.3【题型三】向量夹角3：模.4【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角.6【题型五】投影.7【题型六】模与数量积.9【题型七】范围最值.1 1二、真题再现.1 2三、模拟检测.1 6综述：1 .模公式：_ _ _ _同=y/aa=Qx2+y 2I 止 J H Ama+nb=yj(ma+nb)2=yin21 6?|2+2mna*b+n21|22 .平面向量数量叫公式：（1）d-b=|a|h|c os 0o（2）a-b=xrx2+%丫2。主要应用以下几个方面：（1）求向量的夹角，c

2、os 0 =（此时五7往往用坐标形式求解）；Mb（2）求投影，a在3上的投影是磬；（3）G卷向量垂直，则五3=0;（4）求向量m五十九3的 模（平方后需求五 3）.【题型一】向量夹角1:坐标运算【典例分析】（2 0 2 2 福建南平高三期末）设向量 =（2,0）,石=（1,1）,则与B 的夹角等于（）A.2 B.工 C.至 D,4 2 4 6【答案】A【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可【详解】设 与石的夹角为8,因为a =(2,o),-=(l,l),所以。汽。=丽=j4 +0 x ji+rW7T因为。以0,幻，所以。=:，故选：A【提 分 秘 籍】基本规律两个非零向量、B的夹角：已知非零向

3、量 与记)=入OB=b,则Z A O 8 =e1)叫做 与B的夹角.说明：当夕=0时，2与刃同向；当。=万时，与 反 向；TT 1 1当6 =5时，2与石垂直，记【变式演练】1.(2 0 2 1吉林白山高三期末(文)若向量2 =(1,-1)与向量石=(一1,3)的夹角为6，贝i j s i n =()D.4c-V【答案】D【分析】由向量的夹角公式和同角三角函数关系，即得解八 a,bl x(-l)+(-l)x 32石【详解】由题意，c os 6 =+=ab又。0,乃 二 s i n 0 0s i n，=A/1-CO S2 0=4 故 选:DJl2+(-l)2 X7(-D2+32 2小 52.(2

4、 0 2 2全国高三专题练习)己知 =(1,0,1),b=(x,l,-2),且2=一3,则向量2与各的夹 角 为()A.券 B.?C.-D.63 3 6【答案】A【分析】先由7坂=-3求出X，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量与石的夹角为8,因为 =(1,0,1),b=(x,l,-2),且$=一3,所以 x 2 =3 ,得 x =1 ,所以。=(1,1,2),na-b 1 +0 -2 6 5 万所以8也丽=标标7=一 三 因 为 北 。，所以，=不，故选：A3.(2 0 2 3全国高三专题练习)已知向量 =向量-丐二(6 +1,百+1),则2与B的夹角大小为（A.3 0【答案】D)

5、B.6 0 C.1 2 0【分析】计算可得1 =卜 1,-6）,利用数量积公式计算即可得出结果.【详解】.向量 =（6 ），向量-方=（6+1,6+1）,b=（-1,-，cos=-=,J1 0 T I，2 x 2 2.工 工的夹角为芝=1 5 0。.故选：D.D.1 5 0【题型二】向量夹角2：夹角锐钝【典例分析】（2 0 2 3 全国高三专题练习）若Z =（x,2）石=（-3,5）,且与区的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（）A.（一 8,号）B.卜 ，与c.（y,+oo）D.5 收）【答案】C【分析】直接由且 与石不共线求解即可.【详解】由题意知，/0 且与万不共线，-3 工+1 0 0日

6、 与石不共线，即1 2%0 IL%w-2 ,即4 0 且 与石不共线,即1-2202+2h0*-A 且 r 2,2 .“义 g”是Z 与万的夹角为锐角 的必要不充分条件.故选：B.3.（2022 全国高三专题练习）已知向量Z=（x,3x）石=（-2x,l）,若 与石的夹角为钝角,则X的取值范围是（）A.I。B.C.（-0,0）U（M+8D-1时 加（一 川 呜,+9【答案】D【4 析】根据向量数量积的定义计算即可.3【详解】因为 与B的夹角为钝角，所以 4 0,即 2 f+3 x 0,解得尢 x-,a=-,-,b=-y,b=-2a,x 3x 6 I 6 13 J此时和各反向，不满足题意，故 x

7、 的范围为U佶,+）；故选：D.【题型三】向量夹角3：模【典例分析】r（2022江苏南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）若 非 零 向 量 后 满 足 口=收,（+2b）a,则向量与B的夹角为（）A.色 B.2 C.红 D.红6 3 3 6【答案】C【分析】由伍+2或，得（+2牛=（）,化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.【详解】设向量 与 另的夹角为。（6 才 解 泪）,因为R+*）_L,所以仅+*”=0,所以2+273=0,得q+2耶 卜 0$6=0,因为非零向量,B满足什=卜|,所以cosO=-；,因为0e0,，所以。=与，故选：C【提 分秘籍】基本规律|而|=4 一 百）2+（2-|

8、）2=而7|ma+nb|=J（ma+nb）2=ym21 a|2+2mna*b+iv b|2【变式演练】1.（2 0 2 2.浙江.高三开学考试）已知向量祇B 满足降1=2,=3,隋-2 治=2 而则”与5 的夹 角 为（）A.巴 B.工 C.幺 D.26 3 3 6【答案】C【分析】先对|,-2 刈=2 屈平方，代入已知条件整理得了 石=-3,再利用数量积公式可求得.【详解】.|一 2 万|=2 万，一讶|2=1 2 一 4 无石+昉2=52，又|利=2,|司=3,.无万=一3，设&与另的夹角为。，8、9八 =丽=一 51 ,从而6=2千兀 ，所以与B的夹角。=2手兀.故选：c2.（2 0 2

9、 3.全国高三专题练习）已知非零向量涧满足同=2 忖，且与口，则与五的夹角 为（）兀-627-31案答A.cIB【分析】利 用 得 到 数 量 积 为 0,得到 石=忸卜 然后由数量积的定义可得夹角余弦值，从而得夹角大小【详解】因为（。-所以（。一 3）出=。/一囚=0,所以=W,所以3 住 3=d=才=:，结合出”0,司，所以 与加的夹角为三，故选：B.3.（2 0 2 3 全国高三专题练习）已知单位向量入5满足|一，=6 忖+可，贝工与丐的夹角为（）A.3 0 B.6 0 C.1 2 0【答案】c【3析】根据数量积的运算律及夹角公式计策用户【详解】解：因为2,分为单位向量，所以,=M=I,

10、D.1 5 0 又卜-q =6k+林，所以=3 0 +町，B P a-2a-b+b=3 fl+2a-b+b所以2（才+4 一+了）=0,即2（同2+4 7 石+忸 =0,所以7 5 =-g,所以c os,%箭=一；,因为（出 闫 0,句，所以（=g：故选：C【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角【典例分析】（2 0 2 2.安徽师范大学附属中学模拟预测（理）非零向量痴满足卜+司 小 叫=2 同，则万-5 与a的夹角为（）【答案】B【分析】根据给定条件，求出Z 石，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由k+田 小-可 得：仿+4=（1 4，即：+2 3）+22,2_力+r，解得 3 =0,一 一

11、一 一 2 一 -因此，cos a-B,a）=g _）f=9=.而 a-a e0,?i ,解得 a-&a =g,a-ba 2 1 a l2 2 3所以2-5 与1的夹 角 为 故 选：B【提分秘籍】基本规律实际教学中，许多学生对于复合型向量求夹角，容易混淆不清，可以直接把复合向量设为新向量来代入公式求解。【变式演练】1.（2 0 2 2 河北邯郸二模）若向量a ,行满足|a|=2 ,W=2 ，且=3,则向量加与B a夹角的余弦值为（）.A 6 R 2A/5 r 7 V2 n 3 闻2 9 1 6 2 0【答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因

12、为W=26,且 出=3,所以 -）=片 益 4=（2G）2 3 =9，因为忸一4=府存=而+a-2b a=J 1 2 +4-6 =V1 0，所以向量万 与 加 夹角的余弦值为b-(b-a)9|斗 忸-12x/103 病故选：D2.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知非零向量1、5 满足 切石=0,(a +)(a-)=0 ,则向量5与向量夹角的余弦值为()A.-B.02C.D.立2 2【答案】A【分析】根据无5 =0,设4 =(1，0)，5 =(0,f),根据(0+5(1-5)=0 求出/=1,再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为无5 =0,所以可设方=(L 0),5 =(0/)

13、,则万+5 =(1 1),a-b=(l,-t),因为(a+5)R-5)=o,所以 _/=0,即r=i.则c o s=,=一 与,故选：A.ha-h I d-V l +r l x V 2 23.(2 02 2 辽宁锦州.一模)若同=6卜一司=2 同，则 向 量 与 G的夹角为()【答案】A【分析】首先求得1 石=0,再利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由条件可知,+耳=,一同，两边平方后得力/=0，并且卜-目=2 叵同,c o s =(a-ba gi-g.b y/3胴理 司 2 2因为向量夹角的范围是()4 ，所以向量4-方与G的夹角为2 故选：A【题型五】投影【典例分析】已知向量五在向量3

14、 方向上的投影为-1,向量B 在向量五方向上的投影为-右且|瓦=1,贝 u|a +2b=()A.2V3 B.4 C.2 D.12河南省林州市第一中学2 01 9-2 02 0学年高三5月月考数学试题【答案】C【解析】分析：向量3 在向量，方向上的投影为-右 求出向量夹角，由向量,在向量B 方向上的投影为-1,求出向量五的模，将成+2 日平方，结合平面向量数量积公式可得结果.详解：设五工的夹角为。，向量否在向量1 方向上的投影为-g,且 由=1,所以得同c o s 6 =cosd=因为向量1在向量3方向上的投影为一1,所以|五|c o s。=I,.-.|a|=2,.|a +2b=|a|2+4 a

15、-b+4间=22+4 x 2 x 1 x 0 +4 x l2=4,a+2h=2,故选 C.【提分秘籍】基本规律7.a在，方向上的投影为：l a l c o s B=招2.向量B在公方向上的投影：设。为、B的夹角，则问o s。为B在 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量.当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当6为直角时投影为0;当8 =0时投影为|H；当。=1 8 0时投影为-忖.【变 式 演 练】1.已知向量a力 的 夹 角 为1 2 0。，且a =2,。=3,则 向 量2 a +3 b在向量2 a+匕方向),69,1 3上的投影为（8GA.-1 35766D.1 9V 1 3

16、1 3【答案】D【解析】试题分析：根据数量积公式可得投影为(n/v 0 一 c 1 6 +8 x 2 x 3 x +3 x 9/(2 2 +3“2 2+1)_ 4 2?+8孤+3、2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 2)_ 1 9 _恢+母 +=J4x 4 +4 x 2 x 3 x(-1 j +9=r，故选D.j rI2.已知向量a,的夹角为一，且|a|=4,(a+6)-(2 a-3 6)=1 2 ,则向量8在向量a方41 1 2向上的投影是()A.V 2 B.3 C.4拉 D.1【答案】D【解析】(|a +/)-(2 a-3 6)=1 2 3或-亚 同-4 =0=同=后试

17、题分析：由已知式子2 化简可得：,7 -l l c o s=1所以向量3在向量a方向上的投影为口 43.已知向量五，B满 足 =5,|五 同=6,恒+同=4,则向量B在向量法上的投影为2018届湖南省(长郡中学、衡阳八中)、江西省(南昌二中)等十四校高三第二次联考数学理科试题【答案】-1【分析】由已知结合向量数量积的性质可求2 然后代入到向量了在向量：上的投影公式华可求.|a|T 棒M Y l 二,7,3 6 =a 2 -2Q 匕 +【详解】|a|=5，|a -b|=6，|Q+=4，、1 6 =a?+2Q b +b2a-b=-5,则向量力在向量2上的投影为丝=?=一1,故答案为：-1.|a|5

18、【题型六】模与数量积【典例分析】若向量,，|=1,忖=2,卜一q=2,贝.河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高三下学期期末数学试题【答案】7 6【分析】由条件先求万方的值，再代入+=J(万+盯 求值.【详解】忖 _1=J(万盯=1万 2一2无5 +于=J l +4-253=2解得：2G电=1,1 +B卜+=y/a2+2a-b+b2=J 1 +4 +1 =底.故答案为:J d【提分秘籍】基本规律平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与B,它们的夹角是。，则数量同 同.，叫 与石的数量积，记作即有“石 巾 叫 由 火0 ).规定。与任何向量的数量积为0.说明：两个向量的数量

19、积与向量同实数积的区别：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由co s。的符号所决定.两个向量的数量积称为内积，写成7凡书写时注意符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略，也不能用“x”代替.(3)(&5)2 =a2 2a b+b2,(a+b)-(a-h)=a-b(4)在实数中，若 0,且a/=0,则。=0,但是在向量中，若 m,且 石=0，不能推出B =.其中co s =0.已知实数“、b、C(后0),贝！I而=6 cn =c,但是 向 量=不能推出 =入如图：d-b=a-b-cos/3=|-|C)A|,-c=|-|c|-co sa=|i|-|f t4|,=石=“但Z w L在实数中有

20、S c =e(6-c),但是在向量中(7)7 =7(左2),【变式演练】1.若等边4 4 8 c的边长为3,平面内一点M满 足 而=谓+?不，则 宿 碗 的 值 为()A.2 B.-C.D.22 2【答案】A【解析】_解析：因 病=而 一 刀,而=谓-丽，则 丽.丽=g而石?)即前.M B =-C B2-C A C B+-C A2=2-+-=2,应选答案 A。9 2 4 4 42.在 A B C中，A B =4,N A 3 C =3 0,。是边BC上的一点，且 汨 丽=汨 /,则 花 通 的 值 为A.0 B.4 C.8 D.-4【答案】B【解析】试题分析：A D A B=A D A C A

21、b*(A B-A C =A D C B =O=A D l C B=A D =A Bsin3O0,Z B A T =6 0 =而 而=4 x2 xco s6 0=4,故选 B.3.已知向量乖满足同一a b =-l,R lj a (2 a-b)=A.4 B.3 C.2 D.0 答案B分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为无(2-6)=2求一无5 =2|初2 -(-1)=2 +1=3,所以选B.【题型七】范围最值【典例分析】已知向量a、B的夹角为e,a+b=6,忸一可=26，则8的取值范围是（）A.0 -B.-0-C.-0-D.O0 =；|5|+裔 然后根据基本不等式即可得出求出向量夹

22、角的最大值,判断出|5 1=石，I 1=2y/3.【详解】因 为 平 面 向 量 满 足 I-加|=3,|“|=2 出|,所以（a-b）2=a2-2a-b+b2=4b2-2a-b+b2=9,所以万仍一 =己5 。r 9 -、一 F 5、9 3 F 92 _乙，所以0 _匕 万=彳2 万力二4从 一 二+乙 二二 匕2十 二2 2 2 2 2 23 r 9 1由夹角公式，c o s =丝3=2 3=匕 5|+3?3（当且仅当出1=a-ba 6|们 4 4b 2即|B|=G 时等号成立）.34b因为0 4 V 万，所以0 4 4，即 1 51=V5 时=最大.6 6此时|=2 仍|=2故选：D2.

23、已 知 向 量 获 满 足：|=1 3,面=1,日-5 各区1 2,则 Z 在 上的投影长度的取值范围是（）5A.0,B.0.C.,1 D.,1 1 31 31 31 3【答案】D【解析】试题分析：由|力=析,|1|=1,|-5 1 饪 1 2,可得(5 1)2 =1 6 9 +2 5 1 0 7 B 4 1 4 4,整理 -。5 M得 小25,根据则人在上的投影长度为 2,而其投影肯定会不大于帆=1,所a 1 3 1 1以其范围为 9,1 ,故选D.1 33.已知向量可与石的夹角为5|瓦 1 =1,|=V 2,若4 瓦+石 与 3 宕+/1 孩的夹角为锐角,则实数4 的取值范围是()A.B.

24、(,-V 3)U(-V 3,-5+V1 3,cC.(r 一8,-5/1 3 r5+/1 3 ,、n ,5 V1 3.)0(7,+8)D.(-00,-2)U(-：)：H(V3)U(V3,+oo)【答案】D【解析】根据夹角为锐角，有c os W +筱,3 瓦 0 也即 5 4 4-(3 4-/I2)-1 -V2 -c os 0 即/+5 4 +3 0/3 工0 22 3 0 A2 3=0解得4 G(一8,三 运)u (三 运 力)U(V 3,+00).鼠 真题再现-/1.(陕 西 高考真题(文)已知向量2 =(1,用),b=(m,2),若乱 则实数加等于()A.-7 2 B.V2C.-0 或a D

25、.0【答案】c【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.【详解】由坂知：1 x 2 一/=0,即加=0 或一近.故选：C.2.(2 0 2 2 全国高考 真 题(文)已知向量=(2,1)石=(-2,4),则卜盟()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】Dr r【分析】先求得1 方，然后求得卜-4【详解】因为4=(2,1)(2,4)=(4,3),所以忖-q=a2+(-3)2 =5.故选：D3.(山东 高考真题)己知向量Z c o s 沼 s in 割，坂=(c o s 3 s i*,那么公石等于()J L/J,4J 1,4 X 乙JA.；B.C.1 D.022【答案】A【分析】利用向量数

26、量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.叼、f（5兀.5兀1 r （兀 .兀、【洋解】=c o s ,s in ，b=c o s ,s in ,（1 2 2）（1 2 1 2 ja br =c o s 5 兀 c o s 7 t +s.i n 5瓦 s.in兀 兀1 2 1 2 1 2=c o s =1 2 32故选：A.4.（山东 高考真题）已知点尸（八-2）在函数=1 8了的图象上，点人的坐标是（4,3）,那么|福|的 值 是（）A.弧 B.2 M C.6及 D.5及【答案】D【分析】根据p（机-2）在函数y =l g广 的 图象上代入可得利=9,再利用向量的模长公式求解即可.【详解】：

27、点尸（八一2）在函数）=k g;的 图 象上，A o g.=-2,m =（g j=9,P 点坐标为（9,-2）,A P =（5,-5）,|丽 卜+为5 =5行.故选：D5.（2 0 2 0山东高考真题）已知点A（4,3）,B（T,2）,点尸在函数y =x-4 x-3图象的对称轴上，若 丽，丽，则点P的坐标是（）A.（2,-6）或（2,1）B.（-2,-6）或（-2,1）C.（2,6）或（2,-1）D.（-2,6）（-2,-1）【答案】C【分析】由二次函数时称轴设出尸点坐标，再由向量垂直的坐标式不计算可得.【详解】由题意函数y =/-4 x-3图象的对称轴是X =2,设P（2,y）,因 为 丽J

28、_而，所 以 丽 丽=（2,3-y）-（-6,2-y）=-1 2 +（3-y）（2-y）=0,解得y =6或y=,所以尸（2,6）或 P（2,-l）,故选：C.6.（2 0 2 2全国高考真题（理）已知向量 而满足|=1,|昨|-2很|=3,则%=（）A.-2 B.-I C.1 D.2【答案】c【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：|日 2 5|2=|2-4 1 5 +咽2,又 ,=1,1降 百，陷2 5|=3,，9=1-4展5 +4乂3 =1 3-4无5，日 石=1故选：C.7.（2 0 2 2.全国高考真题）已知向量 =（3,4）3=（1,0）,3 =。+B，若=

29、,贝l J/二()A.-6B.5C.5D.6【答案】C【B析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解:c =(3+r,4).c o s a,c =c o s i,c,BP9+3,+1 6 3 +/商一=有，解得f =5,故选：C8.（2 0 2 2.北京 高考真题）在中，A C =3,B C =4,N C =90。.P为d SC所在平面内的动点，且尸C=l,则 西 丽 的取值范围是（）A.1-5,3 B.1-3,5 C.-6,4J D.-4,6【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（cos6,sin。），表示出 百，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式

30、及正弦函数的性质计算可得；【详解】解:依题意如图建立平面直角坐标系,则C（0,0）,A（3,0）,3（0,4）,半径的圆上运动,设P(cos,sin0),。0,2句，所 以 丽=(3-cos6,-sin6),PB=(-co s,4-sin 0),ft!PA-PB=(-cos6)x(3-cos)+(4-sin6?)x(-sin6)=cos*26 3 4-3cos6-4sin6+sin：!0=l-3 co s-4 sin 3【答案】-丁#-0.754【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.3 3【详解】由题意知：万石=机+3（机+1）=0,解得机=-二.故答案为：4 410.（2021全国高考真

31、题）己知向量 +B+c=6卜 1，W=H=2，a b+b c+c-a=【答案】-g【分析】由已知可得0+坂+2）2=0,展开化简后可得结果.【详解】由己知可得（。+囚+c）-a +b+,2+2,3 +c +c-a）=9+2（a 0 +c +L a）=O,=1 5sin(6+e),其中sin=,cos=,因为-lV s in(e+e)V l,所以T l-5 s in(e+*)4 6,即 方.丽 e-4,6；故选：D9.（2022 全国高考真题（文）已知向量a=（m,3）,8=（l,m+l）.若力 行,则机=一 一 一 一 一 一 9 Q因此，。为+=一不.故答案为：-不.1 1.(2 0 2 2

32、 全国高考真题(理)设向量,区的夹角的余弦值为g,且同=1,向=3,则(2。+坂)4=.【答案】1 1【分析】设 与石的夹角为。，依题意可得c o s 6 =；,再根据数量积的定义求出加，最后根据数量积的运算律计算可得.【详解】解：设与丐的夹角为。，因为 与丐的夹角的余弦值为g,即c o s e =g,又忖=1,1|=3,所以=,卜 c o s l x3 xg=1 ,所以(2 +B B=2 3+片=2 4+W=2xl +3 2=l l.故答案为：1 1.1 2.(20 20 浙江 高考真题)设V为单位向量，满足呜-爆区&,=1+,1=3 不+4,设2,5的夹角为6,则c o s?6的 最 小

33、值 为.【答案】nU T IT Q【分析】利 用 向 量 模 的 平 方 等 于 向 量 的 平 方 化 简 条 件 得 再 根 据 向 量 夹 角 公 式 求4C OS。函数关系式，根据函数单调性求最值.UUL u u 1 1 1 1*3【详解】Q 2e,-e2|V 2,.-.4-4 e,-e2+l,l I U II U II2 A(Gb)2-e,)2,4(1 +刍刍).c o s c/=r2 r2=-IF!-n -a=-=-if ir-a-b(2+2q *.)0 0+6 6 ,4)5 +3 q .，(1-一)1(1-一 二)=吏3 5 +3 ，I e2 3 5 +3 x3 2 9,4故答案

34、为：|.1 3.(20 21 .浙江.高考真题)已知平面向量2,“,(工。)满足，=1,阿=2,4%=0,(4-办,=0.记向量2 在 ZB 方向上的投影分别为x,%在2方向上的投影为z,则V+V+z?的最小值为.【答案】I2【分析】设。=(l,0),5 =(0,2),C =(z n,)，由平面向量的知识可得2 x+y-右 z =2,再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意,设万=(1,0)&=(0,2),0 =(?,)，则(。=m-2=0,即相=2，又向量2 在斓方向上的投影分别为工,)，,所以2=(乂力,所以,d_ -a-在.c_ 方向上的投,n 影z =(d-a)-c =m(x-)+ny

35、 2 x-2+y/J ,=尸，k l V wi+士 0B|I 2x+y+/5z=2,fj l fl x2+r+z2=1 22+12+(/5)(x2+2+z2)-(2x+y+V 5 z)=|,x _ y _ z当 且 仅 当,2-T-+V 52x4-y+/5 z =22x=51o即 y=-时，等号成立，所以V+y2+z 2的 最 小 值 为 故 答 案2=+5二 2为：?1 4.（20 21 北京高考真题）已知向量。出厘在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则（a+b）-c=；a b=.【答案】0 3【分析】根据坐标求出d+日，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以

36、a,5交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则&=(2,1),5 =(2,-1)忑=(0,1),：.a+b=(4,0),(a+)-c =4 x0 +0 xl =0 .a S =2x2+1 x(1)=3 .故答案为：0；3.久!、模拟检测1.（20 22.江苏金陵中学模拟预测）己知向量G=（c o s as in 6）,=（0,-1）,0 w（09,则向量万与向量5的夹角为（）A.n-0 B.-Q C.0 D.-+6 22【答案】D【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解.【详解】设向量G 与向量5的夹角为a，由题意，得同=1,忖=1,a b=-sin

37、0，TT所以 c o s a=-s in 6 =c o s（+，），2TT TT因为u +eeg，7 1），兀 ,2 2所以a=+。，即向量M 与向量5的夹角为+氏 故选：D.2.（20 23 全国 高三专题练习）已知向量乙=（2,3）石=（%2）,贝 工与区的夹角为锐角”是。一3”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出 与 3的夹角为锐角时的充要条件是 x|x -3 且x*g ,从而判断出答案.【详解】因为勺不的夹角为锐角，则c o s（,今 0 且与否不共线.c o s ,。时，.f o =2 x+6 0=x -3 ,当苏

38、4时3 x =4nx=g,44则与分不共线时，所以2与万的夹角为锐角的充要条件是“|x -3 且4显然 x|x -3 且是 x|x 3 的真子集，即 工与另的夹角为锐角 是 x -3”的充分不必要条件，A正确.故选：A3.（2 0 2 2.山西.怀仁市第一中学校模拟预测（文）设向量,各满足问=2,|-耳=6,与石的夹角为（，则w等 于（）A.2 B.1 C.3 D.7 2【答案】B【分析】利用向量数量积的运算法则及数量积的定义即得.【详解】.胴=2,与石的夹角为9，-=a-2 a-b+b2=22-2x2xbx+b=3,.脚-2 恸+1 =0,即忖=1.故选：B.4.（2 0 2 2 全国高三专

39、题 练 习（理）已 知 心 万、2 均为单位向量，且2 =4 5 +33则2、c之间夹角的余弦值为（）A.B.-C.D.一3 3 4 4【答案】C【分析】变形可得出%-3 2 =4 人 可得出（2 -3 今2=1 6 片，利用平面向量数量积的运算可求得c o s 的值，即可得解.【详解】依题意，2 -3 =4 万，则（2 1 3 ）2=1 6 不，即4 7-1 2-2+9 7=1 6 ，_ _1B P 1 3-1 2 c o s =1 6 ,解得c o s v,c =.故选：C.45 .已知向量心 5满 足 同=1,|/?|=2,忸+/，=2 ,则向量在向量日方向上的投影是.【答案】-1（解

40、析 1 由 题 意 可 得：+可=J（2 a +6）=yj4 a2+4 a-b+b2=,4 x 1 +4 无 5 +4 =2 ,据此可得：a b=-l,贝 ij向量方在向量1方向上的投影是，=-1 .同6 .已 知 同=应，W =l,且 R-2 S）_ L（2+9,则向量与坂的夹角余弦值是（）.Ax/3 R V2 1 n GA.B.C.D.-2 3 2 2【答案】B【分析】由两向量垂直数量积为0,对（-2 与“2 +可化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.【详解】（a-2 b）（2 a+b）,所以（3-2 巩2 +B）=0,即2/一3 力 一2 不=0,可得 3夜 cos-2=0,解得

41、0 5（用=1”故选：B7.已 知 单 位 向 量 I 的夹角为1 2 0,|x e|+y e2|=G（x，y R），则卜6-同的取值范围是.【答案】L3 解：=同=1,且 百，0 2 的夹角为 1 2 0，q-e?=-g+K2+y1-xy=y/3 即 X?+,2 _ 孙=3 .=x2+y2-x y 2xy xy=x y,即孙 W 3.令 x+y=l,=+y 2 +盯 -J 3+2 孙 /9 =3 -2 ,t2则(x+y)=/+y 2+2 孙=/2,3 +盯+2 孙=/，则 孙=1一1,?-|r2+l=+1 21.卜1-丁司的取值范围是 1,3 .故答案为：1,3 .8.在平面凸四边形A B

42、Q?中，A 5 =2,点M,N分别是边A O,8 c的中点，且M N =1,若,W.（A j-B C）=则而.而的值为.【答案】-2【分析】通过表 示 两 =（题+方 ,再利 用 丽（而 一 方）=己 可计算 出 国2=,再计算出（福C方丫可得答案.【详解】由于M,N分别是边4 0，8 c的中点，故 砺=；（通+反），A D-B C =A D+C B =C D+A B-所以丽（而 一 而）=g（丽 一 ）（丽+）=|,所 以 福2加2 =3,所 以 函2=而2丽=丽 一 ，所以（2丽 丫 =（丽 一 丽 丫 ,即4 =4+1-2丽 前，故_ _ _ _ _ _1 1A B C D =,故答案为

43、一2 29.已知非零平面向量乙方满足W=1 ,且乙与5-万的夹角为1 50，贝!1同的最大值为【答案】2【分析】运用平面向量夹角公式，结合向量的相关运算，即可将同的最值求解.【详解】a-（h-a设5与5夹角为e,则由题意，-4:1一同 化简得，同 2 _ 2 c o s。同+4 8$2。一3 =0,C OS1 50,解得同=2 c o s 0 J 4 c o s 2。_4(4 c o s/_ 3)_-二c o s g土 两s i n e|，而由1与万夹角为1 50,可知。（0,葛），当6e（0,勺 时，显然同1,因为c o s 6 6 s i n 8 =2 c o s（e +工）1,不符合;6 3c o s C+6 s i n e =2 s i n 夕 +看 1,符合.当仔，得 卜j,2cos(6+sin=2sin+J 0,符合;则 同=cose+V5sine=2sin(6+(),0 e(，今)则当6=(时，同取得最大值2.