人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第二章第5节　指数与指数函数.pdf

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1、第 5 节 指数与指数函数课程标准要求m1.通过对有理数指数塞a荷（a0,且 aWl,m,n 为正整数,且nl）、实数指数嘉aYa0,且 aWl,xR）含义的认识，了解指数幕的拓展过程,掌握指数塞的运算性质.2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.必备知识课前回顾卜 代 知识梳理 馆 激 材夯实四基1 .根式n 次方根概念一般地,如果 三，那么x 叫做a 的n 次方根,其中nl,nGN*性质当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号班表示当n 是偶数时,正数a 的n 次方根用符号土而表示；

2、负数没有偶次方根o 的任何次方根都是o,记 作 Vo=o根式概念式子 班 叫做根式，这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数性质当n 为任意正整数时，（阪）La当n 为奇数时，Va=a当n 为偶数时,恂=|a|=匕。%j2.有理数指数幕概念m _正分数指数幕:a0,m,nN*,nl7 n 1 1负分数指数幕:。方=3=挑an 7。0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数幕没有意义运算性质r _ s_ r+sa a-aa0,b0,r,sGQ(ar)s=ars(ab)r=abr释疑有理数指数幕的运算性质中，要求底数都大于0,否则不能用性质来运算.3.指数函数的概念、图象与性质y=ax(a0,且 aW l

3、)图象0al1(0,1)3y/y=aa图象特征在X轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐当X逐渐增大时，图象逐渐下降上升性质定义域R值域(0,+8)单调性递减递增函数变化规律当 x=0 时,y=l当 x l;当 x 0时,0 y l当 x 0时,y l释疑形如y=k ax,y=ax+k(k e R,且k W O,k W l;a 0 且a W l)的函数叫做指数型函数，不是指数函数.,重要结论1 .指数函数图象的对称规律函数y=a 的图象与y=a 的图象关于y 轴对称,y=a 的图象与y=-ax的图象关于x 轴对称,y=a 的图象与y=-a *的图象关于坐标原点对称.2 .底数对函数y

4、=ax(a 0,且 a W l)的函数值的影响如图(a i a 2 a 3 a),不论是a l,还是0 a 0,a/l),又由函数的图象过点(2,4),则 a2=4,解得 a=2,即 f (x)=2 1 所以 f(3)=2:,=8.故选 B.2 .(必修第一册P 1 1 5 练习T 3 改编)某种产品的产量原来是a 件,在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为(B )A.y=a (1+p%)x(0 x m)B.y=a(l+p%)(O W x W m,x N)C.y=a(l+x p%)(0 x m可知应选C.4.(2|)。+2(2 犷-(

5、0.01 液等于(A )A.B.3 C.-8-D.015 30 6解析:(2|)+2-2X(2 i)4-(0.01 液=1+9|合 器 故选 A.5.写出一个在定义域R上满足f (x+y)=f (x)f (y),且是增函数的一个函数:.解析:满足性质f (x+y)=f (x)f (y)的函数是一个指数函数,要使指数函数是增函数,则只需要底数a l即可.答案:f(x)=2(答案不唯一，只要是底数a l的指数函数即可)关键能力课堂突破类小考点既实四翼版 考点一指数幕的运算1 .当 a 0 时,等于(C)A.xy/ax B.xyJ-axC.-xyJ-ax D.-xy/ax解析：由 成 立 可 知-a

6、 x 2 0,结合a 0得 x W O,即x W O,因此y/-ax3=y/-ax,x2=yj-ax 4x-y-ax,|x|=xy/-ax.故选 C.2.已矢口函数f(x)=a x+a;且f(l)=3,贝 lJ f(0)+f(l)+f(2)的值是(C)A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.1 1解析：由题意，函数f(x)=ax+ax,且 f (1)=3,可得a+-=3,又af (2)=a2+a*2=(a+-)-2=7,f(0)=l+l=2,所以af (0)+f (1)+f (2)=2+3+7=1 2.故选 C.2 _3.化 简 早 t个(学Z)q的值为_.a-2 妍 皿2 1 1解析:原式可

7、w+(匕 M)9a 2 z?3 b a2a 2 b32 1 1 1 3 3 2=Q 3 +2/72-3 4-(a 2/7 2)37 1=(2 6 b 6 4-(a b)-1,i-l二 Q61 5二 加 b%.1 5答案:a 访。*7 *7 2 1.4.计算：(一半)-3+0.002-1 0(V 5-2)+冗 =.解析：原式:(一|)FOO：幡黑产扣0付1 0归 2 0+1=*.答案:-等*题 后悟通1.根式的化简问题要注意指数幕中当指数为负数时一,可把底数变为其倒数,从而指数化为正数.2.指数幕运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减,负指数基化成正指

8、数幕的倒数.底数是负数,先确定符号；底数是小数,先化成分数；底数是带分数,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数事,尽可能用幕的形式表示,运用指数幕的运算性质来解答.岐 考点二指数函数的图象与性质C D 已知函数 f (x)=a*+b (a 0,且 a W l).若f (x)的图象如图所示,求实数a,b的取值范围；若f (x)的图象如图所示，|f (x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围.解：(1)由 f(x)=ax+b 为减函数可得 0 a l,又 f (O)=l+bO,解得 b 0,且a Wl）的图象经过第二、第三、第四象限，一定有（）A.（K a L 且 b l,且 b 0C

9、.O a l,且 b 0 D.a l,且 b 0,且 a Wl）的大致图象如图所示,由图可知函数是一个减函数,则0 a l;图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上（纵截距小于零），即a +b-l 0,可得b 0,所以0 a l,且 b 0.故选A.典例迁移2 若函数y=-+m 的图象与x 轴有公共点,则实数m的取值范围是（）A.（-8,-1 B.-1,0）C.1,+8）D.（0,1解析:y=0 八+m 的图象与x 轴有公共点，即函数y=（|）与 y=-m 的图象有公共点,y=（?的图象如图所示，可知 0-m W l=T Wm 0.故选 B.典例迁移3 若函数f(x)=|2=2|的图象与直线y=b

10、有两个不同的交点，则实数b的 取 值 范 围 是.解析：在同一平面直角坐标系中画出y=|2，-2|与y=b的图象(y=|2-2|的图象是由函数y=2 的图象向下平移2个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的)，如图所示，由图象可知当0 b 0,且 a Wl）的图象,可由指数函数y=ax（a 0,且 a Wl）的图象向左（b 0）或向右（b 0,且a Wl）的图象向上（b 0）或向下（b 0,且 a/l）的图象相同；当x l.73 B.0.6 0.62C.0.8-01 1.2 50-2 D.1.70 3 0.93-1解析：因为函数y=L 7,在 R 上是增函数,2.5 3,

11、所以1.72 5 0.62,故B 正确;因为（0.8）=1.2 5,所以问题转化为比较1.2 5 与 1.2 5 2 的大小.因为y=l.2 5*在 R 上是增函数,0.K 0.2,所以 1.2 50 1 l.2 50 2,即0.8 一 1,0 0.93 1 0.93 1,故 D 错误.故选 B.解 题 策 略 1比较幕的大小的方法同底数幕比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.指数相同底数不同时分别画出以两事底数为底数的指数函数图象,当X 取相同事指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幕与两数比较,或借助“1”与两数比较.口 角度二利用指

12、数函数性质解指数不等式 E 2)若 X 满足不等式2%2 +1 0)T,则函数y=2,的 值 域 是()A.2)B.2 O OC.(-8,g D.2,+8)O解析:将2-+1W(*一 2 化为 x 2+lW-2(x-2),即 X2+2X-3 0,解得 x GE-3,1,所以2 W 2W 2：所以函数y=的值域是巳2 .故选B.卜解 题 策 略 I指数不等式的常见类型及求解方法 个 苗或产 g(x)f(%)1,或/0 a 1,c c /(%)g(x).(2)形如a b的不等式,注意将b 转化为以a 为底数的指数塞的形式，再借助于函数y=a*的单调性求解.口 角度三与指数函数有关的复合函数的单调性

13、C S O 若函数f(x)=(a-+2 x+3的值域是(0,白，则 f(x)的单调递增区间是解析：令 g(x)=a x?+2 x+3,则 f (x)=(1)8 0,因此必有1 2 口-4 _ 2解得a=l,I 4a即当f (x)有最大值/寸,a的值为1.这时 g(x)=x2+2 x+3,f (x)=(1)%2+2 x+3.由于g(x)的单调递减区间是(-8,一 1),所以f(x)的单调递增区间是(-8,7).答案：(-8,-1)解题策略对于形如y=a )的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a l,函数f (x)的单调递增(减)区间即函数y=a 抽)的单调递增(减)区间;若0

14、 a G,函数f (x)的单调递增(减)区间即函数y=a 间的单调递减(增)区间.口角度四指数型函数的值域(H)如果函数y=a2 x+2 a-1 (a 0,且 a W l)在区间-1,1 上的最大值是 1 4,则实数a的值为.解析：当a l 时,y=a2 x+2 ax-l 在 T,1 上是增函数；当0 a 0,aW l)的二次函数问题,一般可利用换元法转化为二次函数问题,要注意换元后新元的取值范围.注意到本例中y=a?x与y=2ax的单调性相同,直接用单调性求解更加简单.针对训练1.函数f(x)=3-+4x+3的单调递增区间为()A.(-8,2)B.(2,+8)C.(-3,2)D.(2,7)解

15、析：由于函数t=x2+4x+3的单调递增区间为(-8,2),而y=3是关于t的增函数,所以根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间为(-8,2),故选 A.2.当x W l时，函数y=4-2x+1+2的 值 域 为()A.1,+)B.2,+8)C.1,2)D.1,2解析：丫=4匚2、4+2=(2,)2-2 2X+2=(2X-1)2+1.设 t=2x,因为 xW l,所以0bc B.acbC.cab D.bca解析：由0.20.6,0.40.40-6,即bc.因为 a=2-2l,b=0.40 2b.综上,abc.故选 A.4.已知函数f (x)=a x(a 0,且 a W l),且 f

16、(T)f (-2),则实数a的取值范围是.解析:因为f(x)=a=(i),且 f (T)f (-2),所以函数f (x)在定义域上a单调递增，所以工 1,解得a答案：(0,1)0,且a W1),下列五个命题,属 于 真 命 题 的 是(填 序 号).函数f (x)的图象关于原点对称；函数f (x)在 R 上不具有单调性；函数f (|x|)的图象关于y 轴对称；当0 a l 时，函数f (|x|)的最大值是0.解析：因为f (-x)=-f (x),所以f (x)为奇函数，所以f (x)的图象关于原点对称,是真命题；当a l 时,f (x)在R 上为增函数，当0 a l 时,f (|x|)在(-8

17、,0)上为减函数,在(0,+8)上为增函数,所以当x=0 时,y=f (|x|)的最小值为0,是假命题.综上,真命题是.答案:C f f l D 当x 2 时，函数y=4ax-(a 0,且a#1)的图象恒在函数y=3x-4的图象下方,则a的 取 值 范 围 为.解析：由题意得，当x 2 时,不等式4as-l 时，如图所示,由图可知,V x e R,恒成立,故不满足题意;4当0 a 2,恒成立，需 f(2)W g(2),即a W-X 2-1,解得a W；故 O a W；.综上可知a的取值范围是(0,.4222答案：(0,0C 已知函数f(x)=a(y x 2 的图象如图所示过原点,且无限接近直线

18、 y=2 但又不与y=2 相交.y求该函数f(x)的解析式;(2)方程f 2 (x)-2 mf (x)+1=0 有四个不同的实数根,求m 的取值范围.解：(1)因为f(x)的图象过原点(0,0),所以 f (0)=0,所以 f(0)=a(3所以 f (x)=-2 +2=0,解得 a=-2,l x+2.(2)4 t=f(x)e 0,2),则 g(t)=t2-2 m t+l=0 有两个不等实根 3,t2e (0,2),0 m 0,=,、g(2)=5-4m 0r0 m 2,m 1,5m -.4综上m的取值范围为(1,.4丽 已知f(x)=1(a R)的图象关于坐标原点对称.24+1(1)求 a的值;

19、(2)若存在x 0,1,使不等式f (x)+2=六0成立,求实数b的取值2X+1范围.解：(1)由题意知f(x)是 R 上的奇函数,所以 f (0)=0,得 a=l.此时，f(x)制，因为 f (-X)；：；一；：)(X),2 X+1(2 x+l)2X 2X+1所以函数f(x)为奇函数.(2)设 h(x)=等2 上2X+1 2X+1_(2X)2+2i-l-b2X+1，由题设知存在xe 0,1,使 h(x)O成立,即存在x e 0,1,使不等式4x+2x+1-l-b4x+2x+,-l 成立，令 u(x)=4x+2il,x 0,1,因为 y=4 y=2在0,1上是增函数，所以u(x)在0,1上是增

20、函数,所以u(x)min=u(0)=2,所以b2.二选题明细表迪 口 fcdi/灵活唬 密 致 提 魁知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练根式与指数幕运算4,5,8指数函数的图象2,313,15指数函数的性质1,6,91217指数函数的图象与性质的综合应用7,1011,1416,18A级基础巩固练1 .已知函数f(x)=2x-b(2 WxW4,b为常数)的图象经过点(3,1),则f(x)的 值 域 为(C )A.4,16 B.2,10C.I，2 D.4+8)解析:将1)代入函数解析式得2 3 f=1,3-b=0,b=3,所以f (x)=2*在区间2,4 上为增函数,故值域为f (2),f

21、 (4)=百 2 .故选C.2 .函数f (x)=a-+3(a 0,且 a W l)的图象恒过定点P,点P又在幕函数g(x)的图象上，则晨3)的值为(C )A.4 B.8 C.9 D.16解析：因为 f (x)=屋2+3,令 x-2=0 得 x=2,所以 f (2)=a+3=4,所以 f (x)的图象恒过点P(2,4).设 g(x)=x (a G R),把 P(2,4)代入 g(x)=x 得 2a=4,所以 a =2,所以g (x)=x2,所以 g (3)=3 2=9.故选 C.3 .已知函数f (x)=ax(a 0,且 a W l)在(0,2)内的值域是(1,a 3,则函数y=f(x)的图象

22、大致是(B )解析：函数f (x)=a (a 0,且 a W 1)在(0,2)内的值域是(l,a2),因此指数函数是单调递增函数,所以有a l,由底数大于1指数函数的图象上升,且在x 轴上方可知B正确.故选B.4 .已知函数 f(x)=2 x 2-2 a x+l,满足 f(3+x)=f(3-x),则4c4等于(D )9A.-B.9 C.18 D.7 22解析：因为函数f (x)满足f (3+x)=f (3-x),所以图象的对称轴为直线XT=3,即 2=12,1所以4%二4a 122=7 2.故选 D.5.函数y=4 +4 f+2 X-2 的最小值为(D )1 7A.-B.1 C.2 D.-2

23、4解析:令 2、-2一=,则 12=染+4-2,故原函数化为y=t2+t+2=(t+1)2+；)当t=q时，取得最小值为(故选D.6.下列不等式正确的是(D )_2A.3-3 3-4 32B.32 (芋 3，C.2.6 (1)2 6 2D.(1)2-6 2.6 22-62 1 1 1解析：因为y=3 是增函数,所以3 T 3-3；(勺5=3-13 2 3 1故排除A,B;因为y=2、是增函数,所以0产6=26 2。=2.6 0,且a W l)在区间-1,2 上的最大值为8,最小值为m.若函数g(x)=(3 T 0m)a 是增函数,则a=.解析:根据题意,得3 T o m 0,解得当a l 时，

24、函数f (x)=a、在区间-1,2 上单调递增,最大值为a?=8,解得a=2 V 2,最小值为不符合题意；2V2 4 10当0 a 不+广,6 为自然对数的底数,则有(D )A.a+b W O B.a-b N OC.a-b W O D.a+b O解析:令f(x)=ex-n r,则 f (x)在 R 上单调递增，又 ea+n /+n 所以 e-Ji Ji 1 即 f(a)f(-b),所以 a 2 b,即 a+b O.故选 D.12.已知函数&)=4 4 2-2.在区间 2,+8)上单调递增，则实数2 的取值 范 围 为(C )A.-4,+8)B.(-8,-4 C.-8,+)D.(-8,一 8 解

25、析:设t=2,则由x 2 可知t 4,由t 为增函数以及题意可知，函数y=t2+a t 在区间 4,+8)上是增函数,结合y=t2+a t 的单调递增区间为(-p +8)可知,q W 4,贝 ij a 三 一 8.故选C.1 3.(多选题)已知函数y=a-b(a 0,且 a Wl)的图象如图所示,则下列结论正确的是(A B D )A.abl B.a+b lC.bal D.2b-al,0 b l,所以可得b-a l,a+b l,0 ba1 6-9 -2 的解集为.解析：令 t=2;当 x 时，0,2 ，则可将原函数转化为y=-(t-1)2 号当 W时，ymax=7；当 t=2 时,ymn=-2,

26、2 4所以f(X)在-1,1 上的值域为-2,口.4因为 f(x)16-9 2X,即 2-4、16-9 2)所以 4x-10 2S+16=(2-2)(2-8)0,解得2ax8,所以1 x 即不等式f(x所16-9 2,的解集为(1,3).答案:-2,(1,3)15.如图,过原点0 的直线与函数y=2的图象交于A,B两点,过B作 y轴的垂线交函数y=4,的图象于点C,若 AC平行于y 轴,则点A的坐标为.解析:设A (n,2),B (m,2”)，则C弓,2)，因为AC平行于y 轴，所以n=,所 以 A 0,2n),B(m,2)又 因 为 A,B,0 三点共线，所以 嬴=心,所以噌 一,即n=m-

27、l,又由n=:,解得n=l,所以点A的坐标为(1,2).m 22答案：(1,2)C 级应用创新练16.(多选题)设函数f(x)=2T+2:贝 k BC)人六分在(0,+8)上单调递增B.f(x)的最小值是2C.f(x)的图象关于直线x=l对称D.f(x)的图象关于点(1,0)对称解析:因为 f (x)=2x H+21-x,所以 f (2-x)=2(2-x)-+2,(2x)=2Hx+2x-1=f (x),B Pf(x)=f(2-x),即 f (x)的图象关于直线x=l 对称,故C正确；因为函数f(x)的图象关于直线x=l 对称,故A,D 错误；因为 2X 0,21 x0,所以 f (X)=2 1

28、+2T2 2A/2 久-i -2 、=2,当且仅当2 忆 2H 即x=l 时，取等号，故B正确.故选B C.1 7 .设 f (x)=2 i-2 ,当 x R 时,f(x2+2 m x)+f(2)0 恒成立,则实数 m的取值范围是.解析：由函数f(x)=2 F 2*胃-析,弓(?x ,根据指数函数的图象与性质，可得函数f (x)是x R 上的增函数,且满足 f (-x)=2-i-2 一=-(2 1-2。=4(x),所以函数 f (x)为奇函数，因为 f (x2+2 m x)+f (2)0,即 f (x2+2 m x)-f (2)=f (-2),可得x2+2 m x-2 恒成立，即x2+2 m

29、x+2 0 在 x R 上恒成立，则满足(2 m)2-4 X 2 8,即 4 m2 8,解 得-&1 1 1 0,且 a Wl),g(x)=,若对任意的 x eax-l 2 1+x1,+8),不等式f (x)g(x-l)3-f (x)恒成立,则实数a的取值范围是.解析:因为g(x)=产，1+X所以 g(x-l)=,X因为 f (x)=且 a Hl),ax-l 2f (x)g(x-l)3-f (x),即 f (x)g(x-l)+l 3,所 以 岛+?(子+D l 时,h (x)2,故a 2.当 0 a l 时，47 0,贝 U h(x)=4 7+9：x O+C T)=l O,ax-l ax-l 2 2 2 2即当0 a l 时,h(x)0 在1,+)上恒成立，综上,a的取值范围为(0,1)U (2,+8).答案：(0,1)U (2,+8)