教师考试数学：“式”通八达-常考数学公式.pdf

《教师考试数学：“式”通八达-常考数学公式.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教师考试数学：“式”通八达-常考数学公式.pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0教师考试：式 通八达常 考 数 学 公 式基本初等函数/三角函数/向量/数列/不等式/连续与极限/微分/导数/积分/级数/多元函数微积分/线性代数/空间解析几何/统计与概率/其他mj01U JJ基本初等函数门.对 数f4/如果 a 0,a w l,M 0,N 0,那么：(1)加法：10ga M +10ga，=10ga(M，N)；(2)减法：l oga -l oga =l oga；(3)数乘：nl oga M=l oga Mn(n G/?)；(4)a1gaN=N；(5)l ogab Mn=l oga M (b W 0,n G/?)；(6)l og

2、aN=(b0,b l)；logb a(7)特殊：l oga 1=0,l ogaa =1,l oga =-1.J 2.指 数)-0)；(2)ar 0*2 *4 s 6 7=ar+s(r,s G R,a 0)；(3)=ars(r,s G R,a 0)；(4)(aZ?)r=arbr(j G R,a,b 0)；(5)(ar)s=ar s(r,s G R,a 0)；(6)ar=：(r e R,a 0)；V _(7)as=Va(r,s E N*,a 0,s 1).mj02U JJ三角函数三角函数的基本公式0(1)sin*2 a+cos2 a=l(sin2 a=1 cos2 a,cos2 a=1 sin2

3、a)；I 3.倍角公式J1 J(1)sin2a=2sinacosa；(2)cos2a=cos2a sin2a=2cos2a 1=1 2s讥2a(2)sin a (.-=tan a sin a=tan a cos a,cos a-sin aCOS a=-tan af 2.和差公式I(1)sina )=sinacosp cosasinp；(2)cos(a )=cosacosp+sinasinp；(3)tan(a S)=tan atan 1+tan a tan 0(3)tan2a=2tanal-tan2af 4.正弦定理I在AABC中，a、b、c分别为角4B、。的对边，R为A/BC外接圆的半径,则有

4、:a b csin A sin B sin C=2R.m j 0 3 m jf 5.余弦定理i在AABC 中，Wa2=b2+c2-2bc COSTI,b2=a2+c2-2ac cos B,u2.,2 介2 C2J_2 人2o o,f o i A u rC C t-。+C Dc=a+b 2ab cos C；cos A=-,cos B=-2bc 2acCOS C=a2+b2-c22abIf 6.三角函数的万能公式丫-仇sin a=-不；cos a=-万1+tan2 2 1+tan2 讶7.三角形面积公式 一 0 )的 周 期 7=空；函 数 y=3A t a n(w x+g),x/c 7 T +|

5、z k E Z,(4 a,9 为 常 数,且 。o,3 0)的周期T =巴.3向量HTIO积量数1910Y(1)a-b=abcos 6(a 0,b 0,0 0 2,d为常数)T 2.等差数列的前n项和公式L+an)71(71-1)Sn=-=几的+-d乙 乙1 3.等比数列的通项公式an=a1qn-1(n 2 2,q W 0,且为常数)=amqnmn m)If 4.等比数列前n项和公式I一 ySn=71al(q=1)的(1 Qn)ar anq1 q 1 Q(q w i)I 5.数列求和常见结论T(1)-=(p (的%+a2b2+Fanbny,其中%,a2,，an/瓦，b2,，bn E R+,当且

6、仅当詈=詈=.=詈时不等号取等号.bi b2 bni2.三角不等式n(|a|一 依|a+b a+b连续与极限K柯西收敛准则心-0,存在整数N 0,使得当外m N时，有 -am 0,存在正数5,当0 -6时，X-XQf(x)-A E.mj07U JJJ 3.判定极限存在的两个准则(1)夹逼准则：设函数/(、)，g(x),hQ)在的某个去心邻域t/(x0,r)内 满 足 g(%)f(x)h(x),且 有 极 限 lim g(x)=X-XQlim h(x)=A,则有 lim/(x)=A.X XQ X XQ(2)单调有界数列必有极限.f 4.连续函数I (1)函数在一点处连续如果函数/(二)在点汽=a

7、处有定义，且lim/(%)=/(a),那么函数在X i ax=a处连续.(2)函数在一点处左(右)连续如果函数/(久)在以a为左(右)端点的区间有定义，且lim/(%)=/(a)=f(a-0)(lim+/(x)=/(a)=f(a+0),那么函数在汽=a处左(右)连续.(3)函数在区间连续若函数/(久)在区间/的每一点处连续(若区间/的左(右)端点属于区间/,函数/(久)在左(右)端点右连续(左连续)，则称函数f (%)在区间/连续.mj08U JJQIU点断间5.0-0(1)第一类间断点可去间断点：lim fM=/,而/。)在出无定义或有定义但/主f(Xo)，则称均为/的可去间断点.跳 跃 间

8、 断 点：若 函 数/在 点 0的 左、右 极 限 都 存 在，但lim/(x)则称o为/的跳跃间断点.注：第一类间断点的左、右极限都存在.(2)第二类间断点其他形式的间断点，使得左、右极限至少有一侧不存在的间断点，都是第二类间断点.丫 6.一致连续定理Y如果函数在闭区间值切上连续,那么它在该区间上一致连续.J 7.常见的等价无穷小I0 X1；(2)lim(1+-)=e.%-co X/mj09U JJJ 9.函数极限的计算I(1)l im /(x)n=l im (nGN+),其中各函数极限均存在。X-XQ X-%0(2)洛必达法则：若函数满足下列条件：l im/O)=l im gO)=a,其中

9、a =。或a =oo；xa x-a在点a的某去心领域内两者均可导，且g Q)W O；则有期嗯播B微分门.微分中值定理T(1)(费 马)定 理：若函数/在其极值点与G(a,b)处可导，则必有f(%o)=0.(2)Rolle(罗 尔)定 理：设函数/在 a,田上连续，在(a,b)内可导，且/(a)=/(b),那么存在一点 f G(a,b),使得/(f)=0.(3)Lagrange(拉格朗日)中值定理：设函数/在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，那么存在一点f G(a,b),使得/(f)=V曳.(4)Cauchy(柯西)中值定理：设函数/和g在区间 a,b 上连续，在区间(a,b)内可导，且当

10、e(a,切 时,g(x)W 0,这时必存在一点f E(a,b),使 得 笔=/胪%.。，g(b)-g(a)mj10U JJT 2.泰勒公式?f M=/&)+/(支0)(久-%o)+(%-&)2+弋珀(X -%o)n+Rn M -其 中Lagrange(拉 格 朗 日)型 余 项/?(%)=A：；：)G-&)+i(f E(%/().3.Maclaurin（麦克劳林）公式(1)f M=/(0)+f(0)x+等/+222xn+f(;+i)(?)+i(e i)；(n+1)!v J(2)f M =/(0)+f(O)x+x2+-+-xn+o(%w).4.常用的Maclaurhi（麦克劳林）公式，(1)v3

11、 z y.5 v27l+ls in%=l +含一+-不+。(汽+2);v2 v4 v2n(2)c os x=1-+(-1)-+o(x2-)；2 4 ri 4-1(3)l n(l +x)=x-+-.+(-l)n4-+o (/+i);2 3 n+1(4)I=1+X +%2+X3+-F Xn+o(%n)；(1+x)m=1+mx+m，；D x2 H-Fm(m-l)-(m-n4-1)2!xn+(xn).mjU JJ导数i.常见函数的导数公式i(1)C=o；(3)(sinxy=cosx；(5)(axy=a Ina；(7)(l ogax)=J；x In a 1解方程/(%)=0,当f(%o)=O时:(i)如

12、果在与附近的左侧r(x)o,右侧，(无)o,那么/(出)是极大值；(2)如果在与附近的左侧/(黑)o,那么/(出)是极小值.4,判别凹凸性的充分条件J设/(%)在区间 a,切上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a,b)内/(%)0,则/(%)在 a,句上是凹的;(2)若在(a,b)内/(%)0,则/(%)在 a,用上是凸的.mj12U JJ积分?1.不定积分的性质I(1)/(%)+g(x)dx=f f(x)dx+J g(x)dx；(2)f kf(x)dx=k f f(x)dx.I 2.不定积分的计算I(1)直接使用积分公式计算J xa dxxa+1a+1+C；f sinx

13、 dx=c os x+C；c os xdx=sinx+C；f、dx=a r c t a n x+C；J l+x2，f dx=a r c s in%+C；f ex dx=ex+C.(2)凑微分法(第一类换元法)dx=d(x+C)；xdx=-dx2+C)；-dx=-d(Fx/-dx=d(l n x+C)；s in xdx=d(c os x+C)；dx=d(t a n x+C)；COS2 X1dx=-d(kx+C)；Kx2dx=-d(x3+C)；-1 dx=2d(yx+C)；ex dx=d(ex+C)；c os xdx=d(s in x+C)；1dx=d(a r c t a n x+C).mj13U

14、 JJ(3)第二换元积分法与第一换元积分法不同，第二换元法求积分时，引入一个新的变量。把原积分变量%看成关于珀勺一个函数9&),即作换元第=(p(t).设 =0(。可微，且w(t)存在反函数，若J f(p(t)(p(t)dt=F(t)+f f(x)dx=f f(p(p(6dt=F(t)+C=/)+Co(4)分部积分法设(力，伏力具有连续导数，则有 u(x)vf(x)dx=u(x)v(x)j ur(x)v(x)dx或f u(x)dv(x)=u(x)v(x)v(x)du(x)(1)设函数/(%),g(%)在口噂上可积,则r /(x)dx=T；/(x)dx；/；/(%)g(%)d x =Sa/(%)

15、d x Sa g(X)dx；C kf(x)dx=k,：f(x)dx(k G R).(2)如果将积分区间分为两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即/(%)dx=r/(x)dx+dx.mj14U JJT T正项级数敛散性判断力-I(1)比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散；(2)比值与根值判别法：(P 1,级数2二i%i发散，且 lim n=+8；九 一 8 un L-8 P=l,此判别法失效 P 1,级数 21%发散,且 lim%=+8；71T8 v I n-00I P=l,此判别法失效(3)与p级数比较：设E总1%=2 超i*o,当p i 时收敛，当P 4 1

16、 时发散.If 2.交错级数的敛散性(莱布尼茨判别法)I设交错级数2 2 式一1)九 一 1%1满足%i 2n+1，n 1,nl-imoo un ur=0,则EK1(1严 一 1%1 收敛.T 3.幕级数收敛半径I设幕级数2二0厮(久-见严，则有若lim 皿=/,则其收敛半径九 7 8 an(1,0 I+oo,I=0I 4.幕级数收敛域f若该级数在第一%o=R 处收敛，则其收敛域为(-R +&,R +%0；若该级数在%一 出=-R 处收敛,则其收敛域为-R +&,/?+%0)；若该级数在土-o=R 处收敛,则其收敛域为 R+%O，R +%OL多元函数微积分1 .二元函数偏导数若 极 限 l i

17、m 空 四 如存 在,则 称 此 极 限 为 函 数/y)在点X-XQ X-XQP o(%o,yo)处关于的偏导数，记作 (%(),y0).H二元函数全微分n-若存在两个常数A,B ,当(居A y)(0,0)有A z =/(通+工,y()+y)一/(第o，y。)=A+B A y+。(p)(p=J (A%)2+(A y)2),贝 I 称函数/(%,y)在点P oQ o，yo)处可微，并把A A r +B A y称为/(%y)在点P o(第 o，yo)处的全微分，记作d/Oo，yo)=A x+B A y.3.二重积分的定义I6n1/（居 y）d（r =；吧 W/（S，力）A tD i=imj16U

18、 JJ14.二重积分的性质(1)线性性质I a/o,y)+Sg(%y)db=a I f(x,y)do+。g(x,y)dcyJJj)JJD JJD(2)区域可加性若闭区域。分为两个闭区域4、。2,贝 1 J f(x,y)do=ff/(%,y)c/d+ff/(“)如JJD JJDT JJD2(3)比较定理若在。上，/(x,y)gx,y),则有f(x,y)d(7 g(x,y)da进 一 步，若g(%,y)在。上 连 续,且 f(%,y)4 g(%,y),/(%,y)w g(%,y),则f(x,y)d(y j g(x,y)da三 二 重积分的 计 犯 6(1)在直角坐标系中的计算。为X型区域设积分区域

19、。可以用不等式yi(x)W y工丫2(、)，a 三汽工匕表示，则rr rb rV2(x)f(x,y)d o=dx f(x,y)dyJJD Ja(x)mj17U JJ。为y型区域设积分区域。可以用不等式第i(y)q%W%2(y),c w y w d表示，则rr fd rX2(y)f(x,y)d(y=dy f(x,y)dxJJD J C。为非X型、非y型区域如果。既不是x型区域，也不是丫型区域，则可以把。分成若干部分,使每部分是x型或丫区域，再利用二重积分区域可加性，把区域。上的二重积分转化成这些小区域上的二重积分之和.(2)利用对称性简化计算若积分区域。关于霓轴对称，则0,f ja y)d x

20、d y =*f f j a y)d x d y,其中Di=D n x 0 部分.若积分区域。关于y轴对称，则若/(居 一 y)=若 f(%，_y)=f(x,y)j o,若/(一 与 y)=Jf(x/y)dxdy-j 2，f(x,y)dxdy,若/(r,y)=f(x,y)其中Di=D n y 0部分.若积分区域。关于y=%对称，积分区域关于变量工y 具有轮换对称性，则Dfx,y)dxdy=f(y,xdxdyJJDmj18U JJ线性代数行I列I式丫 i.行列式的计算H (E：/T)；方法三：用定义求凡 使得48=1 或84=E,贝 U可逆，且4-1=8.1 9.矩阵的相似丫(1)相似：存在非异矩

21、阵P,使得P/p T =B,则有A 相似于B；(2)相似的判断：相同的特征值、迹(自左上到右下的主对角线的和)、行列式的值相同.iio.矩阵的合同飞(1)合同：存在非异矩阵P,使得P AP r二 B,则有A 与B合同；(2)合同的判断：正、负特征值的个数相等.线I性I方 程 组1.一 元齐次线性方程组4*=0解的情况-4%=。有唯一解，零解；(2)当rQ4)n Ax=0有非零解.2.几元非齐次线性方程组=b解的情况 6(1)无解的充分必要条件是r(4)v r(4 )；(2)有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(4 b)=n；(3)有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A,b)/?2）n _（

22、鱼，&）0 2（a n，6?i-i）nmj22U JJ1空间解析几何1.直线的五种方程1(1)点斜式：直线Z经过点P o G o/o),且斜率为3则y-y 0 =k(x-x0)；(2)斜截式：已知直线1的斜率为M且与y轴的交点为(0)，则y=kx+b；(3)两 点 式：已知两点P iQ i，丫1),。2(%2，丫2)，其中(第1。2,y i。丫2),则yyi _ x-xT.y-y2 x-x2(4)截距式：已知直线/与光轴的交点为/(a,0),与y轴的交点为B(O,b),其中 a。，b 于 0,则2+：=0;a b(5)一般式：关于工，y的 二 元 一 次 方 程+B y+C=0(A,B不同时为

23、0).2.两点间的距离公式IP 1P 2I=J(%2-1)2+(丫2-Yi)23.点到直线的距离公式I d J 口V i42+B2mj23U JJI 4.两平行线间的距离公式1_|G -GIk：Ax+By+C1 0 与 白 ：Ax+By+C2=0 平行，则 d =.7星+炉J 5.斜截式方程的性质f j-h：y=k1x+b1,l2 y=k2x+b2,有(1 )k|%=,J -；(2)k与1 2相 父=ki W k2 ；、1 中 2(3)k与%重合O,%二a 2;(4)k J L%=上 也=一1.%=为r 6.圆的三种方程n-r时,直线 与圆C相离；(2)当d =r时，直线/与圆C相切；(3)当

24、d 7 时，直线Z与圆C相交.IU J 4 IU Jj 8.弦长公式rI =2 J丁2 d*2(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1，尸2的距离之差的绝对值等 于 常 数(小 于IF1F2I)的点的轨迹称为双曲线，即：IIM F1I-|M F2|=2即(2a 0,b 0)；(3)双曲线的离心率：e=；=J1+用(e l)；(4)双曲线的渐近线方程：y=2%.ar 9.椭圆及其性质j(1)椭圆的定义：平面内与两个定点&,尸2的距离之和等于常数(大于I&F2I)的点的轨迹称为椭圆，即：MFr +MF2=2az(2 a 尸 局)；2 2(2)椭圆的标准方程：台+2=l(ab。)；az bA(3)椭

25、圆的离心率：e=(=J l-(0 e 0)；(3)抛物线的离心率：e=1；(4)抛物线的准线：x=-1.1 2.平面 方 程I -0)；az。乙 c乙2 2 2(2)双叶双曲面:.+,葭=-l(a,6,c 0)；2 2(3)椭圆抛物面：放+器=2 z(p,q 0),当p=q时，曲面为旋转抛物面；2 2(4)双曲抛物面：土 匕=2z(p,q0).v qB统计与概率.下匚概率的性质 (1)概率的取值范围：0 P 1.(2)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.(3)若4,8互斥，则有PQ4UB)=P(A)+P(B).(4)若A,8对 立,则P(B)=1 PQ4).注：概率为1的不一定是必然事件

26、，概率为。的不一定是不可能事件.T 2.几何概型概率公式I -二 构成事件A的区域长度(面积或体积)()=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)mj27mj14.n次独立重复试验中恰好发生k次的概率J3.古典概型概率公式=包含的基本事件个数尸 =基本事件的总数-a在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量,用f来表示,事件发生的概率是P,则在n次试验中恰好成功k次的概率为:P(f=k)=C、pk(l p)n f.aZ=数复1HTA其他I 4.组合数公式J-/z=a+bi-J a2+b2I 3.排列数公式Jn!、-(m,n e N*,m n)n m)制=篝=悬 而 ，几N*,m n)2.i的幕运算Li4n=1,i4n+1=i,i4n+2=1产九+3 _ e N)J 5.二项式定理I(a+b)n=Can+C tan1b+Can-rbr+-+Cbn