不等式证明的若干方法 数学与应用数学专业毕业论文.doc

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1、不等式证明的若干方法 数学与应用数学专业毕业论文 本科生毕业论文不等式证明的若干方法院 系:数学与计算机科学学院专 业:数学与应用数学班 级: 2009级数学与应用数学2班 学 号:200907110210 姓 名: 指导教师: 完成时间: 2013年5月不等式证明的若干方法摘要:无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中,我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定

2、理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式,如:均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善,有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法,可以帮助我们解决一些实际问题,培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.关键词: 不等式 比较法 微分中值定理 积分 Proving the inequality by some methods Abstract:In elementary mathematics and higher mathematics, inequalities are very

3、important elements. Inequality is an important component in the inequality proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Inequality in elementary mathematical proof commonly use in comparative law, for commercial, analysis, synthesis, mathematical induction, the redu

4、ce- tion to absurdity, discriminant, function, Geometry, and so on. Inequality in higher mathematics proof often use the intermediate value theorem, Taylor formula, the Lagranga function and some famous inequality, such as : mean inequality, Kensen inequality, Johnson in- equality, Helder inequality

5、, and so on. Inequality proof methods get more efficient and help us further explore and study the inequality proof. Through the study of these proof methods, we can solve some practical problems, develop logical reasoning ability and demonstrated the ability to abstract thinking and grow hard think

6、ing and good at thinking of the good study habit.Keywords: inequality; comparative law; differential mean value theorem;integral 目录引言11利用常用方法证明不等式11.1 分析法11.2 迭合法21.3 放缩法21.4 换元法31.5 三角代换法31.6 判别式法31.7 标准化法41.8 等式法51.9 分解法51.10 排序法51.11 借助几何法62利用假设法证明不等式72.1 反证法72.2 归纳法73利用构造代换法证明不等式83.1构造复数83.2构造不等

7、式83.3 代换法94利用比较法证明不等式94.1利用做商法证明不等式94.2利用做差法证明不等式105利用微分中值定理及应用证明不等式115.1利用拉格朗日中值定理证明不等式115.2 利用拉格朗日函数115.3利用柯西中值定理证明不等式135.4 利用泰勒展开式证明不等式135.5 利用函数的凸凹性证明不等式146利用积分定义与性质证明不等式156.1利用积分定义证明不等式156.2利用积分性质证明不等式156.3利用积分中值定理证明不等式167 利用著名不等式证明167.1利用均值不等式167.2利用柯西不等式177.3利用赫尔德不等式187.4利用詹森不等式188 总结19参考文献20

8、谢辞21引言 在数学的学习过程中,不等式证明是一个非常重要的内容,这些内容在初等数学和高等数学中都具有很重要地位.在数量关系上,虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里1,但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后,不等式的理论才逐渐发展起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分. 在研究数学不等式的过程中,许多内容都十分有用,如:不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中,我们就不一一说明了,而主要的总结证明不等式的方法及运用每种方法的技巧和注意事项.1利用常用方法证明不等式1.1 分析法 对于证明一个不等式,我们可以从已知条件或其它有关定理出发,然后

9、根据不等式的性质逐步推证所求不等式成立2.若从已知条件或所学结论很难证明不等式是否成立,我们可以从要证的不等式出发,探索证明的途径,根据不等式的性质推出要证不等式成立的充分条件,然后根据所学知识判断充分条件是否成立. 例1 已知都大于零,证明 证明 由均值不等式定理知即知 例2 证明要证,即证展开得 即证 ,又因为故原不等式成立1.2 迭合法 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证例3 已知:,求证: 证明 因为,所以 ,.由柯西不等式 所以原不等式获证.1.3 放缩法“放”、“缩”得当,不要过头.常用方法为:改变分子(分

10、母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法. 例4 求证: 证明 令则 所以1.4 换元法 在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化. 例5 已知:,求证:. 证明 设,则, 所以.1.5 三角代换法 借助三角变换,在证题中可使某些问题变易. 例6 已知:,求证:. 证明 设,则;设,则所以1.6 判别式法 通过构造一元二次方程,利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围,来证明所要证明的不等式. 例7 设,且,求证:. 证明 设,则代入中得 ,即因为,所以,即 ,解得 ,故.1.7 标准化法 形如的函数,其中,且为常数,则当的值之间越

11、接近时,的值越大(或不变);当时,取最大值,即 . 标准化定理:当为常数时,有. 证明:记,则 , 求导得 ,由得 ,即.又由,知的极大值点必在时取得.由于当时,故得不等式. 同理,可推广到关于个变元的情形. 例8 设为三角形的三内角,求证:. 证明 由标准化定理得,当时, ,取最大值,故1.8 等式法 应用一些等式的结论,可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明. 例9 为的三边长,求证: 证明 由海伦公式,其中.两边平方,移项整理得 而,所以 1.9 分解法 按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的.

12、 例10 ,且,求证:. 证明 因为 .所以1.10 排序法 利用排序不等式来证明某些不等式.排序不等式:设,则有 其中是的一个排列.当且仅当或时取等号. 简记作:反序和乱序和同序和 例11 求证:. 证明 因为有序,所以根据排序不等式同序和最大,即1.11 借助几何法 借助几何图形,运用几何或三角知识可使某些证明变易. 例12 已知:,且,求证:. 证明 如图1.11.1以为斜边,为直角边作. 延长AB至D,使,延长AC至E,使,过C作AD的平行线交DE于F,则,令,所以 又,即,2利用假设法证明不等式 在证明不等式时,如果从条件或结论都很难解决问题,且所要证明的结论中含有自然数的自变量或某

13、个自变量与常数比较大小,这种情况通常可以使用假设法证明。2.1 反证法 先假设要证明的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到矛盾,说明假设不正确,从而间接说明原命题成立3. 例13 已知,求证: 证明 假设由知又因为 知所以与已知条件矛盾.即假设不成立.假设,知 与条件矛盾所以假设不成立.故知 同理可证 2.2 归纳法 对于含有的不等式,当取第一个值时不等式成立,如果不等式在大于等于初始值的假设成立的条件下,能推导证明不等式在时也成立,那么可以肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都成立.一般适用自变量为自然数的不等式 例14 已知,求证:.

14、 证明 (1)当时,左边,右边,又因为 ,即,则原不等式成立.(2)假设时不等式成立,即.(3)当时,因为 知左边右边,因为 即 左边右边因此当时不等式也成立,综上知且时成立.3利用构造代换法证明不等式 根据已知条件,运用所学知识把条件进行适当的换元和代换或根据不等式的结构构造某种模型、函数、恒等式、不等式、复数等,简化不等式,达到简洁的证明过程.3.1构造复数 若证明的结论为几个根式相加的和与一个常数比较大小,每个根式中的自变量都一样且为和的形式,这时我们可以用构造复数或在坐标轴中构造图形的方法来证明 例15 证明: 证明 左边可以看成几个复数模的和设又因为由复数模的性质知又因为即 构造不等

15、式就是放大或缩小不等式的范围.常用在多项式中舍掉一些正(负)项而使不等式各项之和变小(大),或在分式中放大或缩小分式的分子分母,后通过化简,而达到其证题目的4. 例16 证明 证明 因为,所以 3.3 代换法 若条件中明确给出一个恒等式,我们可以根据所学知识把多个变量转化为一个变量5,达到简化自变量个数的目的,同时确定转化后变量的取值范围,简化证明过程。 例17 已知,证明 证明 设,则 ,又因为 所以, 即.4利用比较法证明不等式 对于证明一个不等式是否成立,我们可以根据不等式的性质移项得到,从而比较的值与的大小6,如果可以先判断不等式两边的正负号也可以做商,若都为正数,做商得,从而转化为的

16、比较值与的大小.如果不等式两边含有两个或两个以上变量,且不等式两边都为一般多项式,我们可以移项做差然后分解因式,然后根据分解后的结果与作比较;若不等式两边含有一个变量,我们可以移项做差,建立一个函数从而根据函数的单调性或极值比较与的大小. 先判断不等式两边的符号做除数的不能为零,对于俩数都为正时,若,则;若,则.俩数都为负时,若,则;若,则.例18 实数,证明 证明 由题知,所以得 因为,所以,.即,即 若不等式两边都为多项式,移项后分解因式,根据已知条件和所学结论判断多项式的值与0的大小. 例19 实数为正数,证明. 证明 因为+-因为为正数,所以 即所以原不等式成立. 定义 为定义在区间内

17、的函数.若对任何,当时,总有则称为上的增函数(减函数),特别当成立严格不等式时成为上的严格增函数(严格减函数). 例20 若 证明:证明 设一阶导数为二阶导数为因为所以恒成立. 所以一阶导数为增函数,又因为 ,因此原函数为增函数,所以当时有即时,在有些证明过程中需要根据函数单调性判断函数在定义域内的极值,从而应用极值证明不等式比较简单.5利用微分中值定理及应用证明不等式5.1利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理 若在内可导,则在内至少存在一点,使得. 例21 设,证明证明 设,则对于,在上应用拉格朗日中值定理有 由,知,又因为,所以,所以5.2 利用拉格朗日函数 例 22 证明不等

18、式 其中为任意正实数. 证明 设拉格朗日函数为对 对L求偏导数并令它们都等于0,则有 , , , 由方程组的前三式,易得 把它代入第四式,求出从而函数L的稳定点为 为了判断是否为所求条件极小值,我们可把条件看作隐函数(满足隐函数定理条件),并把目标函数看作与的复合函数.这样,就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下: 当时, 令则代入不等式有 或 柯西中值定理 如果函数及在闭区间内连续,在开区间内可导,且在内的每一点均不为零,那么在内至少有一点,使得等式成立. 例23 设,证明:. 证明 设,.则对于,在上应用柯西中值定理有显然当时, 即.从而,即故. 注意:对于在内,则有,即形如的不等式

19、通常用柯西中值定理证明8.5.4 利用泰勒展开式证明不等式 泰勒公式是应用导数研究函数形态的一个理想形式,通过泰勒展开式可以用我们熟悉的多项式近似的表达函数. 泰勒定理 设在闭区间上连续,在开区间上存在,则对任何,至少存在一点,使得 例23 证明不等式当时,7. 证明 利用泰勒展开式可得出在点的泰勒展开式为.所以,显然,另, 又因为即 泰勒定理的适用范围:所证明的不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式,从而利用它的局部展开式证明不等式.5.5 利用函数的凸凹性证明不等式 定义 设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凸函数.反之,如果总有则称为上的凹函数判别定理 设为区

20、间上的二阶可导函数,则在上为凸(凹)函数的充要条件是,. 例25 证明对任意实数,有 证明 设,所以,即恒成立.所以为凸函数,所以得到即 应用范围:一般适合用题中含有模式的式子. 6利用积分定义与性质证明不等式 由定积分积分的定义知 若函数在上可积,则有: 例26 存在正常数,有,有:证明设,则存在正常数有:又由积分定义有 即6.2利用积分性质证明不等式 积分不等式性 若与为上的两个可积函数,且,则有9. 例27 证明不等式:证明由于在上,所以有, 即 积分第一中值定理 若在上连续,则至少存在一点,使得. 推广的积分第一中值定理 若与都在上连续,且在上不变号,则至少存在一点,使得10. 例28

21、 证明: 证明 利用推广的积分第一中值定理知存在,使又因为,所以,所以即7 利用著名不等式证明7.1利用均值不等式设是n个正实数,则,当且仅当时取等号. 例29 证明柯西不等式 证明 要证柯西不等式成立,只要证 (1)令 (2) 式中则(1)即即(3)下面证不等式3,有均值不等式,即,同理 , ,.将以上各式相加,得 4根据(2),(4)式即. 因此不等式(3)成立,于是柯西不等式得证. 例30 设,.求证:. 证明 由柯西不等式 .两边除以即得. 说明:两边乘以后开方得.当为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均. 例31 设为正常数,求证: 证明 即 例 32 证明不等式 其中均为正

22、数. 证明 设 由的一阶和二阶导数 从而 即 又因所以 8 总结 不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容,它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面,在数学中有着不可替代的作用.而不等式的证明则是不等式研究的重要内容,通过国内外专家及学者的长期不懈努力,不等式证明已经取得了丰硕的成果,著名数学家/.rinovic在他的名著Analytic Inequalities的序言中曾引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”,由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义. 因此,本文对不等式的一些重要证明方法进行了系统的总

23、结,并精选典型的例题来说明其证明方法,以便使大家对其证明有更好的理解.同时密切联系实际,应用不等式解决实际中的简单问题,以此来更进一步说明不等式的重要性. 参考文献1 孟金涛.浅谈不等式证明的若干方法J.科技信息,2007,253:32-35.2 余志英.不等式的证明方法J.科学咨询,2008,7(20):47-51.3 雷小平.证明不等式的常用方法J.太原科技,2002,1(4):7-11.4 栗凤娟.证明不等式的几种方法J.科教文汇,2007,9(2):21-26.5 梁惠.浅谈不等式证明的方法J.中国新技术新产品,2009,8(2):34-37.6 李丽颖.不等式证明的常用方法J.今日科

24、苑,2008,12(23):45-49.7 闫峰.不等式在微分学中的几种证明方法J.邯郸师专学报,1996,9(15):53-58.8 彭军.不等式证明的方法探索J.襄樊职业技术学院学报,2007,20(7):23-25.9 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M 高等教育出版社,2011:214.10 钱吉林.数学分析题解精粹M.崇文书局,2003:199谢辞 在论文的准备和写作过程中,笔者得到了陆万顺老师的悉心指导和热情帮助,特别是他敏锐的学术眼光和严谨的治学态度使我受益颇深.同时,我也要感谢我的其他老师和同学们,是他们给予我的帮助让我走过大学的风风雨雨,在那些最艰苦的日子里是他们激励我、鼓励我,让我奋发图强. 我也将以更多的努力来回报他们,我相信我会做得更好!