整值时间序列模型的统计分析.docx

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1、硕士学位论文整值时间序列模型的统计分析STATISTICAL ANALYSIS FORINTEGER-VALUED TIME SERIES MODEL李 媛哈尔滨工业大学2021 年 12 月国内图书分类号：国际图书分类号：理学硕士学位论文整值时间序列模型的统计分析硕 士 研究生：李 媛导师：王 勇 教 授申 请 学 位：学 科、专 业：所 在 单 位：答 辩 日 期：授予学位单位：理学硕士根底数学数学系2021 年 12 月哈尔滨工业大学Domestic ClassiDissertation for the Master Degree in ScienceSTATISTICAL ANALYS

2、IS FORINTEGER-VALUED TIME SERIES MODELCandidate:Supervisor:Academic Degree Applied for:Speciality:Afliation:Date of Defence:Degree-Conferring-Institution:Yuan LiProf. Wang yongMaster of ScienceComputational MathematicsDepartment of MathematicsDec, 2021Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘 要

3、在本文中,我们综述了关于整值时间序列分析的研究结果. 整值时间序列数据在现实生活中是非常普遍的, 近年来引起众多学者的关注. 对于该类模型的统计分析,主要分为状态空间模型和基于稀释算子的建模方法，其中稀释算子是主要的方法。首先, 我们介绍了INAR(1)过程的定义，得到了过程的各阶距的具体表达式, 同时,我们介绍了模型中感兴趣参数的Yule-Walker和条件最小二乘估计; 此外，我们介绍了边际分布为Poisson, 零截断Poisson 和几何分布的INAR(1)过程, 我们考虑了Poisson过程的高阶矩,高阶累积量及其谱密度，双谱密度的具体表达式.我们研究了零截断Poisson INAR

4、(1)过程的Whittle估计,并通过数值模拟研究了估计的性质. 我们也考虑了周期性的INAR(1)过程以及𝑝-阶INAR 过程, 其中联合INAR(𝑝)的边际分布易于得出, 此外由于严平稳及遍历性是时间序列分析的重要的统计性质，我们还介绍了上述模型存在平稳遍历解的条件.其次,我们考虑了一阶及𝑝-阶随机系数的INAR模型, 得出了RCINAR(1)过程是一Markov链, 同时也介绍了转移概率的表达式和模型的矩表达式,同时得出了RCINAR(1)过程的平稳分布. 此外, 对于处理非平稳的数据, 做差分之后可以得到平稳数据, 我们介绍了基于符号算子

5、的INAR模型,此类模型可以处理取负值的时间序列数据. 我们得到了模型存在严平稳遍历解的条件, 同时也考虑了模型参数的估计因子及其极限分布.最后, 在统计质量控制(SQC)在整值时间序列数据中有重要的应用. 假设数据是独立的,那么可以用𝑐-和𝑢-控制图来监控过程, 然而, 整值时间序列数据是有相依性的. 文献12 提出了一种基于跳过程的控制图, 同时将其分别应用于边际分布为Poisson 和二项分布的整值自回归模型, 该方法突破了对于数据独立性的限定. 本文中我们将借助于文献2提出的基于跳的控制图来监控ZTPIANR(1)过程.我们研究了统计质量控制在INAR模

6、型中的应用,同时,通过数值模拟来验证方法的可行性.关键词整值模型；随机系数；统计质量控制；平稳遍历性I哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractIn this paper, we review the results on integer-valued time series analysis.Integer-valued time series is very common in practice, and it attracted a lot of at-tentions from many authors. For the analysis of this type of data,

7、 there are mainlytwo types of methods: space-state model and thinning based model, and the thinningmodel is the mainly method.Firstly, we introduce denition of the INAR(1) processes, and present the mo-ments of the processes, meanwhile, we consider the Yule-Walker and conditionalleast squares estima

8、tors of the parameters of interest, furthermore, we introduce theINAR(1) processes with Poisson, zero truncated Poisson and geometric marginal dis-tributions. We consider the higher-order moments and cumulants of the INAR(1) pro-cess and obtain the spectral and bispectral density functions. We study

9、 the Whittlesestimator for zero truncated Poisson processes and study the properties via simula-tion. We also consider the periodic INAR(1) and 𝑝-th order INAR processes, wherethe marginal distribution of the CINAR(𝑝) model can be derived easily. Furthermore,since the strictly statio

10、nary and ergodicity are important statistical properties. Wealso introduce the conditions that the above model exist strictly stationary and ergodicsolution.Secondly, We consider the rst and 𝑝-th order random coefent INAR model,obtain that the RCINAR(1) process is a Markov chain and derive t

11、he expression of thetransition probability and moments. Meanwhile, we obtain the stationary distributionfor the RCINAR(1) process. Furthermore, for dealing with non-stationary data, dif-ference is a common used method. We introduce the model that based signed thinningoperator, moreover, this model c

12、an deal with negative data. We also obtain the strictlystationary and ergodic solution, and consider the estimators and their asymptotic dis-tribution.Lastly, statistical quality control (SQC) is very important in integer-valued timeseries, suppose data is independent, we can use 𝑐-and w

13、906;- control chart, while integer-valued time series data are dependent. 2 proposed a chart based on jump, meanwhileapplied it the Poisson and Binomial distribution, this method does not need the inde- II 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文pendence. This paper will use the method proposed by 2 to control ZTPIANR(1)pro

14、cess. we consider the statistical quality control in the INAR process, meanwhile,we study the performance of this method via simulation.KeywordsInteger-valued model; random coefcient; statistical quality control; sta-tionarity and ergodicity. III 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文目 录摘 要. . . . . . . . . . . . . . . .

15、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .第1章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .第2章 一阶整值自回归(INAR(1)模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 INAR(1)过程的定义和性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 零截断Poiss

17、on INAR(1)过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III1225 几何INAR(1)过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 周期INAR(1)过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12第3章 𝑝-阶整值自回归(INAR(𝑝)模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1 INAR(𝑝)过程的定义和性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 联合𝑝-阶整值自回归(CINA

19、R(𝑝)模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17第4章 随机系数INAR 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 随机系数INAR(1)过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20、. . . . 19 随机系数INAR(𝑝)过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21第5章 基于符号算子的INAR(𝑝)模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.1 INARS(𝑝)过程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 GINARS(𝑝)过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25第6章 统计质量控制在INAR模型中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1 Z

22、TPINAR(1)模型及其跳过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 联合跳控制图及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 数值模拟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23、. . . . . . . . . . . . . . . .30303235结 论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24、 . . . . . . . . . . . . . 38哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41致 谢. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 IV 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第 1 章 绪论整值时间序列数据在现实生活中是非常普遍的,例如医院每月的住院病人数, 保险公司每月索赔次数,商场中购置某种商品的顾客数, 等等. 对于整值时间序列的研究兴起于上世纪80年代, 近年来再次引起众多学者的广泛关注,同时也出现了大量的该方面的研究成果, 其中主要分为: (a) “thinning 算子, (b)状态空间(基于潜过程), 两个分支, 其中基于“thinning 算子的研究较为普遍. 文献3 提出了“thinning 算子“ 的定义:x

26、572; 𝑋 =𝑋𝐵𝑖,(1-1)𝑖=1其中𝑋为非负整值的随机变量, 𝛼 0, 1), 𝐵𝑖为i.i.d. 的Beinoulli 随机变量序列, 𝑃 (𝐵𝑖 = 1) = 1 𝑃 (𝐵𝑖 = 0) = 1 𝛼 且独立于𝑋.整值时间序列模型在医学4 , 心理学5 , 环境科学6, 经济7 等领域有着广泛的应用. 本文是一篇综述性

27、的文章, 论述了整值时间序列模型目前的主要研究成果. 该文主要分如下几局部:第二章讨论了INAR(1)模型的定义及性质, 介绍了边际分布分别为零截断Poisson，几何分布的INAR(1)过程,同时考虑可具有周期结构的INAR(1)过程. 第三章考虑了INAR(𝑝)模型及CINAR(𝑝)模型的定义和参数估计等问题; 第四章讨论了随机系数的INAR模型; 第五章讨论了可以处理差分之后的整值时间序列数据的INAR模型; 第六章研究了统计质量控制问题在INAR模型中的应用,并通过数值模拟验证了方法的可行性.1哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第 2 章 一阶整值自回归(I

28、NAR(1)模型2.1 INAR(1)过程的定义和性质基于“thinning 算子, 文献8 给出了INAR(1)过程的定义.定义8称𝑋𝑡为INAR(1)过程, 假设它满足如下的方程:𝑋𝑡 = 𝛼 𝑋𝑡1 + 𝜖𝑡,(2-1)其中𝛼 0, 1), 𝜖𝑡 为i.i.d.的取非负整值的随机变量序列,且𝐸(𝜖𝑡) = 𝜇𝜖,

29、19881; 𝑎𝑟(𝜖𝑡) =𝜎𝜖2.假设令𝑋𝑡表示第𝑡个月医院的病人数, 那么𝛼 𝑋𝑡1 表示从第𝑡 1个月的住院病人中留下来的住院人数, 𝜖𝑡 表示第𝑡个月新住院的人数.定理9假设𝑋𝑡为一个平稳的INAR(1)过程,那么(i) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝜇

30、;𝑋 = 𝜇𝜖/(1 𝛼),(ii) 𝜎𝑋2 = (𝛼𝜇𝜖 + 𝜎𝜖2)/(1 𝛼2),(iii) 𝛾𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡, 𝑋𝑡𝑘) = 𝛼𝑘𝛾(0), 𝑘 = 0, 1, 2, ,

31、(iv) 𝑃 (𝑋𝑡 = 𝑘𝑋𝑡1 = 𝑙) =𝑗=0𝐶𝑙𝑗𝛼𝑗(1 𝛼)𝑙𝑗𝑃 (𝜖𝑡 = 𝑘 𝑗),(v) 𝐸(𝑋𝑡𝑋𝑡1) = 𝛼𝑋⻖

32、5;1 + 𝜇𝜖.下面我们讨论模型(2-1)中参数的估计问题,感兴趣的参数为𝜃 = (𝛼, 𝜇𝜖)𝑇 ,给定一组样本𝑋1, , 𝑋𝑛, 首先考虑参数的Yule-Walker 估计, 根据定理2.1 (iii),易得𝛼𝑌 𝑊 =𝑡=0𝑡=0,𝜇𝑌𝜖 𝑊 =𝑛𝑛 &#

33、119905;=1𝜖𝑡,2𝑚𝑖𝑛𝑘,𝑙𝑛1(𝑋𝑡 𝑋 )(𝑋𝑡+1 𝑋 )𝑛1(𝑋𝑡 𝑋 )21 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文1𝑛的极限分布.𝑛𝑋𝑡, 𝜖𝑡 = 𝑋𝑡 ⼙

34、2;𝑌 𝑊 𝑋𝑡1. 文献10 给出了Yule-Walker 估计因子其次,考虑参数的条件最小二乘估计(CLS), 根据定理2.1 (v), 令𝑆(𝜃) =𝑛2𝑛(𝑋𝑡 𝛼𝑋𝑡1 𝜇𝜖)2,𝑡=1𝑡=1由 𝑆𝜃(𝜃) = 0, 可以得出参数𝜃 的CLS 估计因子:

35、𝛼𝐶 𝐿𝑆=𝑛𝑡=1𝑛 𝑛𝑋𝑡𝑋𝑡1 ( 𝑋𝑡)( 𝑋𝑡1)/𝑛𝑡=1 𝑡=1𝑛 𝑛𝑋 2 ( 𝑋𝑡1)2/𝑛𝑡=1 𝑡=1,𝜇𝐶

36、20598; 𝐿𝑆=(𝑛𝑋𝑡 𝛼𝐶 𝐿𝑆𝑛𝑡=1𝑋𝑡1).根据文献8可知, 𝜃𝐶 𝐿𝑆 是渐近正态的,而且是相合估计.边际分布是Poisson分布的INAR(1)过程是一种重要的整值模型, 它在现实生活中的应用非常广泛, 其定义如下:定义11称平稳过程𝑋𝑡为参数是𝜆/(1

37、20572;)的Poisson INAR(1)过程, 假设𝑋𝑡 = 𝛼 𝑋𝑡1 + 𝜖𝑡,-42(2-2)其中𝜖𝑡为i.i.d.的Poisson分布, 𝛼 0, 1), 𝜆 0, 𝜇𝜖 = 𝜎𝜖2 = 𝜆,且𝑋0服从参数为𝜆/(1 𝛼)的Poisson分布.令𝑋𝑡

38、为 一Poisson INAR(1)过 程, 且 其𝑘 阶 距 存 在, 𝜇(𝑠1, , 𝑠𝑘1) =𝐸(𝑋𝑡𝑋𝑡+𝑠1 𝑋𝑡+𝑠𝑘1), 𝜇 = 𝐸(𝑋𝑡), 相应的各阶中心距计为𝑅(𝑠1, , 𝑠𝑘1),此外, 令⻒

39、2;𝑘(𝑠1, , 𝑠𝑘1) 表示𝑘 阶累积量.定理12令𝑋𝑡为一Poisson INAR(1)过程(2-2), 那么有𝜆𝜆(𝜆+1𝛼)3其中𝑋 =𝑡=1(𝑋𝑡 𝐸(𝑋𝑡𝑋𝑡1) = 𝑡1 𝑛 𝑡=1(i) 𝐸(&#

40、119883;𝑡) = 𝜇 =1𝛼 ,(ii) 𝜇(0) =(1𝛼)2 ,哈尔滨工业大学理学硕士学位论文(iii) 𝜇(𝑠) = 𝛼𝜇(𝑠 1) + 𝜆𝜇, 𝑠 0,(iv) 𝜇(0, 0) =𝜇3+𝜆(1𝛼)(3𝜆+1𝛼)(1𝛼)3,(v) 𝜇(0, w

41、904;) = 𝛼𝜇(0, 𝑠 1) + 𝜆𝜇(0), 𝑠 0,(vi) 𝜇(𝑠, 𝑠) = 𝛼2𝜇(𝑠 1, 𝑠 1) + 𝛼(1 𝛼) + 2𝛼𝜆𝜇(𝑠 1) + 𝜇(𝜆 + 1)𝜇, 𝑠 0,(vii) 𝜇(&

42、#119904;, 𝜏 ) = 𝛼𝜇(𝑠, 𝜏 1) + 𝜆𝜇(𝑠), 𝑠 0, 𝜏 𝑠.定理12令𝑋𝑡为一Poisson INAR(1)过程(2-2), 那么有(i) 𝑐𝑢𝑚(𝑋𝑡) = 𝜇,(ii) 𝐶2(0) =𝜆𝑠(iv) 𝐶

43、;3(0, 0) =𝜆(v) 𝐶3(0, 𝑠) = 𝛼𝐶3(0, 𝑠 1), 𝑠 0,(vi) 𝐶3(𝑠, 𝑠) = 𝛼2𝐶3(𝑠 1, 𝑠 1) + 𝛼(1 𝛼)𝐶2(𝑠 1), 𝑠 0,(vii) 𝐶3(𝑠, 𝜏 ) = 𝛼&#

44、119862;3(𝑠, 𝜏 1), 𝑠 0, 𝜏 𝑠.令𝑓 (𝜔) 表示𝑋𝑡的谱密度函数,其定义为𝑓 (𝜔) =𝑘=𝑅(𝑘)𝑒𝑖𝜔𝑘, 𝜋 𝜔 𝜋.(2-3)同时,令𝑓 (𝜔1, 𝜔2)表示𝑋

45、9905;的双谱密度, 其定义为𝑓 (𝜔1, 𝜔2) = (2𝜋)2 𝑗= 𝑘=𝐶3(𝑗, 𝑘)𝑒𝑖𝜔1𝑗𝑖𝜔2𝑘, 𝜋 𝜔1, 𝜔2 𝜋.(2-4)定理12令𝑋𝑡为一Poisson INAR(1)过程(2-2), 那么有𝑓

46、9883; (𝜔) =𝜆(𝛼 + 1)2𝜋(1 2𝛼 cos 𝜔 + 𝛼2), 𝜋 𝜔 𝜋,(2-5)𝑓𝑋 (𝜔1, 𝜔2) =1(2𝜋)2𝐶3 + (𝑔(𝜔1) + 𝑔(𝜔2) + 𝑔(𝜔1 + 𝜔2)𝐶3+(&#

47、120596;1) + (𝜔2) + (𝜔1 𝜔2)(𝐶3 𝐶2)41𝛼 ,(iii) 𝐶2(𝑠) = 𝛼 𝐶2(0), 𝑠 0,1𝛼 ,1 2𝜋 1哈尔滨工业大学理学硕士学位论文+𝑔(𝜔1)(𝜔2) + (𝜔1 𝜔2)(𝐶3 𝐶2)+(𝑔(𝜔2)

48、 + 𝑔(𝜔1 𝜔2)𝐶2+𝑔(𝜔2)(𝜔1) + (𝜔1 𝜔2)(𝐶3 𝐶2)+(𝑔(𝜔1) + 𝑔(𝜔1 𝜔2)𝐶2+𝑔(𝜔1 + 𝜔2)(𝜔1) + (𝜔2)(𝐶3 𝐶2)+(𝑔(⼛

49、6;1) + 𝑔(𝜔2)𝐶2,其 中𝐶2 = 𝐶2(0), 𝐶3 = 𝐶3(0, 0), 𝑔(𝜔𝑗) =𝑗 = 1, 2.𝛼𝑧𝑗(𝜔𝑗) =𝛼2𝑧𝑗𝑧𝑗 = 𝑒𝑖𝜔𝑗 , 零截断Poisson INA

50、R(1)过程零 截 断 现 象 在 工 业, 排 队 论, 可 靠 性 理 论, 医 学 等 领 域 普 遍 存 在,可以 参 考 文 献13,14,15,16,17.文 献18 提 出 了 零 截 断Poisson INAR(1)过程(ZTPINAR(1),其定义如下:定义 称𝑋𝑡为ZTPINAR(1)过程,假设𝑋𝑡 =𝜖𝑡, 𝑤.𝑝. 𝑒𝜆,𝛼 𝑋𝑡1 + 𝜖w

51、905;, 𝑤.𝑝. 1 𝑒𝜆,(2-6)其中𝛼 (0, 1/2, 𝜆 0, 𝜖𝑡 为i.i.d.的取正整数值的r.v.序列, 其概率分布为:𝑃 (𝜖𝑡 = 𝑗) =(1 𝛼)𝑗 (𝛼)𝑗𝜆𝑗𝑒𝜆𝛼𝑗!(𝑒𝜆 1)&

52、#119895; = 1, 2, .(2-7)定理18假设𝑋𝑡为ZTPINAR(1)过程(2-6), 那么有(i) 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡, 𝑋𝑡𝑘) = 𝛼𝑘(1 𝑒𝜆)𝑘, 𝑘 0,(ii) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝜆(1 𝑒𝜆)1,(iii) 𝑃

53、;𝑖𝑗 = 𝑒𝜆𝑃 (𝜖𝑡 = 𝑗) + (1 𝑒𝜆)𝑖,𝑘=0𝑃 (𝜖𝑡 = 𝑗 𝑘)𝐶𝑖𝑘𝛼𝑘(1 𝛼)𝑖𝑘,51𝛼𝑧𝑗 ,1𝛼2&

54、#119911;𝑗 ,𝑚𝑖𝑛𝑗1哈尔滨工业大学理学硕士学位论文其中𝑃𝑖𝑗 = 𝑃 (𝑋𝑡 = 𝑗𝑋𝑡1 = 𝑖),(iv) 令𝑓𝑋 (𝜔) 表示𝑋𝑡的谱密度,那么有𝑓𝑋 (𝜔) =𝛾0 1 𝛼2(1

55、𝑒𝜆)22𝜋 1 + 𝛼2(1 𝑒𝜆)2 2𝛼(1 𝑒𝜆) cos 𝜔,(2-8)其中𝛾𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡, 𝑋𝑡𝑘).严平稳及遍历性是时间序列分析中的重要的性质28, 它是模型的参数估计等问题的理论根底, 下面的定理给出了𝑋𝑡的严平稳,遍历解.

56、定理18假设𝑋𝑡为ZTPINAR(1)过程(2-6), 那么其存在唯一的严平稳,遍历解,𝑋𝑡 = 𝑖(𝛼𝑡𝑙) 𝜖𝑡𝑖 + 𝜖𝑡.𝑖=1 𝑙=0现在我们考虑模型的参数估计问题, 文献18中用到了CLS和YW两种估计方法. 模型中感兴趣的参数为𝛼 和𝜆. 为了简化估计过程, 现在引入辅助参数𝛽 = ⻒

57、2;𝑜𝑣(𝑋𝑡, 𝑋𝑡1) = 𝛼(1 𝑒𝜆), 𝜇 = 𝐸(𝑋𝑡) = 𝜆(1 𝑒𝜆)1.首先,考虑参数𝛽 和𝜇 的CLS 估计,根据𝑆(𝛽, 𝜇) =𝑛(𝑋𝑡 𝛽𝑋𝑡

58、;1 (1 𝛽)𝜇)2,𝑡=1可以得出𝐶 𝐿𝑆=𝑛𝑋 𝑡=1 𝑋𝑡 𝑡=1 𝑋𝑡1𝑛 2,𝐶 𝐿𝑆=𝑛 𝑛𝑛(1 𝛽𝐶 𝐿𝑆).根据文献18可知𝛽𝐶 𝐿𝑆和𝜇𝐶 𝐿𝑆是相合估计且有𝜆 和𝛼 的CLS估计表达式:𝜆𝐶 𝐿𝑆 = 𝜇𝐶 𝐿𝑆 𝑘=1𝐶𝐿𝑆)𝑘,6 1𝛽𝑡=1