1983年全国统一高考数学试卷(理科).doc

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1、1983年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1（2分）两条异面直线，指的是（）A在空间内不相交的两条直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线2（2分）方程x2y2=0表示的图形是（）A两条相交直线B两条平行直线C两条重合直线D一个点3（2分）三个数a，b，c不全为零的充要条件是（）Aa，b，c都不是零Ba，b，c中最多有一个是零Ca，b，c中只有一个是零Da，b，c中至少有一个不是零4（2分）设，则arccos（cos）的值是（）ABCD2，log20.3，2这三个数之间的大小顺序是（）

2、A22log2B2log20.32Clog222Dlog20.322二、解答题（共12小题，满分110分）6（6分）在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程，的图形，并写出它们交点的坐标7（6分）在极坐标系内，方程=5cos表示什么曲线？画出它的图形8（6分）已知y=exsin2x，求微分dy9（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法10（12分）计算行列式（要求结果最简）：11（7分）证明：对于任意实数t，复数的模r=|z|适合12（8分）当实数t取什么值时，复数的幅角主值适合？13（12分）如图，在三棱

3、锥SABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于NSC，求证SC垂直于截面MAB14（13分）如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N，设F2F1M=（0）当取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？15（16分）已知数列an的首项a1=b（b0），它的前n项的和Sn=a1+a2+an（n1），并且S1，S2，Sn，是一个等比数列，其公比为p（p0且|p|1），（1）证明：a2，a3，a3，an，（即an从第二项起）是一个等比数列；（2）设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+anSn（

4、n1），求（用b，p表示）16（6分）已知a，b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底，证明abba17（12分）如果正实数a，b满足ab=ba且a1，证明a=b1983年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1（2分）两条异面直线，指的是（）A在空间内不相交的两条直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线考点：异面直线的判定 专题：综合题分析：直接由异面直线的定义，判断选项的正误即可解答：解：A两条直线可能平行，所以不正确B分别位于两个不同平面内的两条直线，可能还在另一个

5、平面，不正确C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能在同一个平面，不正确D是异面直线的定义，正确点评：本题考查异面直线的定义，是基础题2（2分）方程x2y2=0表示的图形是（）A两条相交直线B两条平行直线C两条重合直线D一个点考点：过两条直线交点的直线系方程 分析：化简方程得到y=x，可以判断图形解答：解：由方程x2y2=0，可得y=x，其图形是两条相交的直线故选A点评：本题关键是化简，是基础题目3（2分）三个数a，b，c不全为零的充要条件是（）Aa，b，c都不是零Ba，b，c中最多有一个是零Ca，b，c中只有一个是零Da，b，c中至少有一个不是零考点：必要条件、充分条件与充要条件的判

6、断 分析：a，b，c不全为零即a，b，c中至少有一个不是零解答：解：a，b，c不全为零即a，b，c中至少有一个不是零故选D点评：本题考查充要条件的判断，属基本题在本题中注意对至多、至少、不全、全不等量词的理解4（2分）设，则arccos（cos）的值是（）ABCD考点：反三角函数的运用 专题：计算题；压轴题分析：先求cos的值，再利用反三角函数运算法则直接求解即可解答：解：因为cos=所以：arccos（）=故选C点评：本题考查反三角函数的运用，三角函数求值，是基础题2，log20.3，2这三个数之间的大小顺序是（）A22log2B2log20.32Clog222Dlog20.322考点：不等

7、式比较大小 专题：压轴题分析：2，log20.3，2这些数值与0、1的大小即可解答：21，log20.30，2122log2故选C点评：本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较二、解答题（共12小题，满分110分）6（6分）在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程，的图形，并写出它们交点的坐标考点：函数的图象 专题：数形结合分析：由方程，我们易得到两个方程的图象，分析图象后，易得两个方程对应的图象有且只有两个交点，由图易得交点的坐标解答：解：图形如图所示交点坐标是：O（0，0），P（1，1）点评：本题考查的知识点是曲线方程的图象，解答的关键是根据题目中已

8、知的曲线方程，准确的画出满足条件的图象7（6分）在极坐标系内，方程=5cos表示什么曲线？画出它的图形考点：极坐标系；简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：由已知的极坐标方程=5cos可化为x2+y2=5x，进而确定图形解答：解：由=5cos2=5cosx2+y2=5x，所以曲线名称是圆如图所示：点评：转化思想是一种基本的数学思想方法，本题考查了圆的极坐标方程，要理解极坐标方程的含义，也要掌握极坐标方程化为普通方程的方法8（6分）已知y=exsin2x，求微分dy考点：微积分基本定理 专题：计算题分析：求微分dy，设y=f（x），则dy=f（x）dx，此题f（x）=exsin2x，再根据积分

9、公式（uv）=uv+vu求解f（x），故可求解出微分dy解答：解：dy=（exsin2x）dx=ex（sin2x）+（ex）sin2xdx=（2excos2xexsin2x）dx=ex（2cos2xsin2x）dx点评：此题考查微积分的基本定理及基本计算，其中涉及到乘法函数的求积分问题题目涉及知识点教少但计算能力要求较高在计算方面要稍加注意9（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题；分类讨论分析：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两

10、女一男，三是有三个女生，分别用组合数表示出三种情况的结果数，根据分类计数原理得到结果解答：解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，当有一女两男时共有C41C62当有两女一男时共有C42C61当有三女时共有C43根据分类计数原理得到结果是C41C62+C42C61+C43=100（种）点评：本题是一个分类加法，在题目中要分为三类，表示时比较麻烦，本题可以这样解：C103C63=12020=100（种）10（12分）计算行列式（要求结果最简）：考点：三阶矩阵 专题：计算题分析：在行列式中，可以利用行或列的变换来化简行列式此题思路是把第二列

11、变为0，方法是把第一列乘以sin加到第2列上，再把第三列乘以（cos）加到第2列上再利用在行列式中有一列为零，行列式为0解出即可解答：解：把第一列乘以sin加到第2列上，再把第三列乘以（cos）加到第2列上，得原式=点评：考查学生行列式的变换能力，数学的分析能力11（7分）证明：对于任意实数t，复数的模r=|z|适合考点：复数求模 专题：计算题；证明题分析：先求出复数z的模，利用分析法证明即可解答：证明：复数（其中t是实数）的模r=|z|为要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，成立对任意实数t，因为|cost|2+|sint|2=1所以可令cos=|cost|，sin=|sint|，且，于

12、是点评：本题考查复数的模，三角函数的基本关系式，是中档题12（8分）当实数t取什么值时，复数的幅角主值适合？考点：复数的代数表示法及其几何意义 分析：复数的幅角主值适合，说明复数的实部、虚部都大于零，虚部小于实部，化简求解解答：解：因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合从而显然r=|z|0因为，所以0tg10|tg|11tgt1由于内是增函数，并且它的周期是，因此1tgt1的解是这就是所求的实数t的取值范围点评：本题考查复数代数表示法及其几何意义，三角函数的计算，复数的辐角主值，是难题13（12分）如图，在三棱锥SABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上

13、的一点，使截面MAB与底面所成的角等于NSC，求证SC垂直于截面MAB考点：直线与平面平行的判定 专题：证明题分析：要证明SC垂直于截面MAB，利用三垂线定理以及已知条件，只证明SCAB，SCDM即可解答：证明：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，ABNC，所以ABSC（三垂线定理）连接DM，因为ABDC，ABSC，所以AB垂直于DC和SC所决定的平面，又因DM在这个平面内，所以ABDM，MDC是截面与底面所成二面角的平面角，MDC=NSC，在MDC和NSC中，因为MDC=NSC，DCS是公共角，所以DMC=SNC=90从而DMSC，从ABSC，DMSC，可知SC截面MAB点评

14、：本题考查直线与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题14（13分）如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N，设F2F1M=（0）当取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？考点：椭圆的应用 专题：计算题分析：解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系，由已知条件可知椭圆的极坐标方程为，据此能够求出的取值解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为MN所在直线方程为（其中k=tan），联立方程组后由题设条件能够推导出的取值解三：建立坐标系得椭圆方程为MN所

15、在直线的参数方程为，y=tsin（t是参数）代入椭圆方程得设t1，t2是方程两根，则由韦达定理结合题设条件能够推陈出新导出的取值解四：设|F1M|=x，则|F2M|=6x|F1F2|=，F2F1M=，在MF1F2中由余弦定理结合题设条件能够推陈出新导出的取值解答：解：法一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=，中心到准线距离=，焦点到准线距离p=椭圆的极坐标方程为，解得或以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当或时，|MN|等于短轴的长法二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标

16、系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为MN所在直线方程为（其中k=tan）解方程组消去y得.=，解得或所以当或时，|MN|等于短轴的长法三：建立坐标系得椭圆方程为MN所在直线的参数方程为（t是参数）代入椭圆方程得设t1，t2是方程两根，则由韦达定理，=，解得或所以当或时，|MN|等于短轴的长法四：设|F1M|=x，则|F2M|=6x|F1F2|=，F2F1M=在MF1F2中由余弦定理得，同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6y在F1F2N中，由余弦定理得，=2，解得或所以当或时，|MN|等于短轴的长点评：一题多解能够有首席地提高我们的解题能力，不时练习时要多尝试一题多解15（16分）已知数列a

17、n的首项a1=b（b0），它的前n项的和Sn=a1+a2+an（n1），并且S1，S2，Sn，是一个等比数列，其公比为p（p0且|p|1），（1）证明：a2，a3，a3，an，（即an从第二项起）是一个等比数列；（2）设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+anSn（n1），求（用b，p表示）考点：数列的极限；等比关系的确定；数列的求和 专题：计算题分析：（1）由题前n项的和Sn是一个等比数列，利用an与Sn的关系，求出an进而可证（2）先判断anSn是什么数列，再求和进而求极限得解解答：解：（1）证明：由已知条件得S1=a1=bSn=S1pn1=bpn1（n1）因为当n2时，Sn=a1+a2+

18、an1+an=Sn1+an，所以an=SnSn1=bpn2（p1）（n2）从而，因此a2，a3，a3，an，是一个公比为p的等比数列（2）当n2时，且由已知条件可知p21，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，anSn是公比为p21的无穷等比数列，于是从而=点评：（1）考查数列的证明，注意：从从第二项开始为等比（2）考查数列求和求极限，注意：1：数列anSn从第二项开始为等比数列，求和时不要忘记第一项 2：记住无穷递降等比数列前n项和极限公式即an等比1q1且q0时Sn=16（6分）已知a，b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底，证明abba考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断

19、与证明 专题：压轴题分析：先对abba两边取对数整理成，令y=，转化为求函数y=的单调性问题解答：证：当eab时，要证abba，只要证blnaalnb，即只要证考虑函数因为但xe时，所以函数内是减函数因为eab，所以，即得abba点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明函数的单调性的判断和证明可与导数的正负情况联系起来，当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减17（12分）如果正实数a，b满足ab=ba且a1，证明a=b考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：证明题；压轴题分析：这道题可以有三种不同的证明方法证法一的思路：由ab=ba，得blna=alnb，从而，考虑函数，

20、它的导数是然后根据函数的单调性用反证法进行证明证法二的思路是因为0a1，ab=ba，所以blogaa=alogab，即然后根据对数函数的性质用反证法进行证明证法三的思路是假如ab，则可设b=a+，其中0由于0a1，0，根据幂函数或指数函数的性质用反证法进行证明解答：证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而考虑函数，它的导数是因为在（0，1）内f（x）0，所以f（x）在（0，1）内是增函数由于0a1，b0，所以ab1，从而ba=ab1由ba1及a0，可推出b1由0a1，0b1，假如ab，则根据f（x）在（0，1）内是增函数，得f（a）f（b），即，从而abba这与ab=ba矛盾所以a=b证二：因为0a1，ab=ba，所以blogaa=alogab，即假如ab，则，但因a1，根据对数函数的性质，得矛盾所以a不能小于b假如ab，则，而logab1，这也与矛盾所以a不能大于b，因此a=b证三：假如ab，则可设b=a+，其中0由于0a1，0，根据幂函数或指数函数的性质，得a1和，所以，即abba这与ab=ba矛盾，所以a不能小于b假如ba，则ba1，可设a=b+，其中0，同上可证得abba这于ab=ba矛盾，所以a不能大于b因此a=b点评：反证法是证明的一种重要方法，一题多证、举一反三能够有效地提高我们的证明能力