郑州大学远程教育学院高等数学模拟试卷4.doc

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1、高等数学(一) 模拟试卷第九套得分评卷人一、 选择题：1-10小题，每题4分，共40分，在 每小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的,1. 当时，是的 A.高阶无穷小 B .低阶无穷小 C.同阶无穷小但不是等价无穷小 无穷小 2. 设 在点处连续，那么a等于 A. -1 B. 0 C. 1 D. 23. 设，且存在，那么 等于 A. B. C. D. 4. 曲线在点在点e，-1的切线方程为 A. B. C. D. 5.设在点的某邻域域存在，且为的极大值等于 A. 2 B. 1 C. 0 D. -26.设，那么等于 A.0 B.8 C. D. ，那么等于( )A. 1 B.1 C.

2、 D. 8.设平面 那么平面与的关系为( )A. 平行但不重和 B. 重和 C. 垂直 D. 既不平行，也不垂直9级数 ( )A.绝对收剑 B. 条件收剑 C.发散 D.收剑性与k有关10微分方程 的通解为( )A B. C. D. 得分评卷人二、填空题：11-20小题，每题4分，共40分.分.把答案填在题中横线上.11= .12设那么= .13. 的单调增加区间为 .14. = .15.设,那么= . 16. = .17.设 是收敛的，那么k的取值范围 = .18.平面,那么过点(0,0,0)且与垂直的直线方程为 .19. 设 那么 = .20.微分方程的通解为 .得分评卷人三、解答题：21

3、-28小题，共70分，解答时应写出推理、演算步骤.21.此题总分值8分设 求.22.(此题总分值8分)计算23此题总分值8分求.在条件下的条件极值.24 此题总分值8分求 的通解.25.此题总分值8分计算26.此题总分值10分计算,其中区域D由围成的在第一象限内的区域.27.(此题总分值10分)在曲线 上求一点Mx,y,使图9-1中的阴影局部面积 之和最小. 图9-128.此题总分值10分证明： 在区间0，1内有唯一实根.参考答案与详解一、选择题：每题4分，共40分1D【解析】 此题考查的知识点为无穷小阶的比拟.由于，可知点时与为等价无穷小，故应选D.2.C【解析】 此题考查的知识点为函数连续

4、性的概念.由于y为其分段点，为分段点.在的两侧的表达方式不同，因此讨论 在 当x=1为连续点时，应有存在，从而有即 a+1=2,可得a=1,因此选C.3.B【解析】此题考查的知识点为导数的定义.由于存在，因此可知应选B.4.D 【解析】此题考查的知识点为导数的几何意义与切线方程.由于 从而 曲线过点e，-1的切线方程为因此 可知应选D. 5.C【解析】此题考查的知识点为极值的必要条件;在一点导数的定义.由于 为的极大值，且存在，由极值的必要条件可知 从而 可知应选C.6.A【解析】此题考查的知识点为定积分的对称性质.由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数为连续的奇函数.由定积分的对称性质

5、可知 可知应选A7B 【解析】此题考查的知识点为可变上限的积分.由于从而知可知应选B.【解析】此题考查的知识点为两平面的位置关系.由于平面的法向量分别为可知从而.应选C.9A【解析】此题考查的知识点为级数的绝对收剑与条件收剑.由于 设，那么 为 的P级数，可知为收剑级数.可知收剑，所给级数 绝对收剑，故应选A.10B【解析】此题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解.微分方程为 .特征方程为 特征根为 方程的通解为 .二、填空题：每空4分，共40分.11 【解析】此题考查的知识点为连续性与极限的关系.由于为初等函数，定义域为， ，点 为其定义区间内的点，从而知12 【解析】此题考查的知识点

6、为一元函数的微分.由于故13 【解析】此题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性.由于其定义域为 又由于令得唯一驻点当时，总有 从而 y单调增加.可知的单调增加区间为 14 【解析】此题考查的知识点为不定积分的凑微分法.15 【解析】此题考查的知识点为可变上限积分求异.那么 16 【解析】此题考查的知识点为极限运算.由于 17 .【解析】此题考查的知识点为广义积分的收剑性.由于存在，可知.18【解析】此题考查的知识点为直线的方程和平面与直线的关系.由于直线与平面垂直，可知直线的方向向量s与平面的法向量n平行.可以取 ，又直线过点(0,0,0)，由直线的标准式方程可知为所求.19 【解析】此

7、题考查的知识点为二元函数的偏导数.那么 20 【解析】此题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解.特征方程为，特征跟为 ，因此所给微分方程的通三、解答题：共70分21解： 【解析】此题考查的知识点为导数运算.22解：.【解析】此题考查的知识点为不定积分的运算.需指出，由于 不是标准公式的形式，可以利用凑微分的分法求解.23.解:构建啦格朗日函数.令令令可解得唯一组解 所给问题可以解释为在直线,上求到原点的距离平方最大或最小值，不存在最大值，因此【解析】此题考查的知识点为二元函数的条件极值通常的求解方法是引入啦格朗日函数，当求出可能极值点之后，往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是

8、否为极值点.:特征方程为特征根为二重根.方程的通解为【解析】此题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程解的结构.25 解： 令那么 【解析】此题考查的知识点为定积分的分部积分法.26 解：利用极坐标计算，27 解：如图9-2， 图9-2那么 令得驻点舍掉.可知 最小 因此为所求点.28证 令 ，那么为 上的连续函数.由于 可知在的两个端，使又在内 可知在内单调增加，因此知在内由唯一的实根.综上可知，在内有唯一的实根.【解析】此题考查的知识点为闭区间上连续函数的零点定理；利用导数 符号判定函数的单调性. 证明方程在区间内有唯一实根往往分两步考虑：1根的存在性：常利用连续函数在闭区间上的零点定理证明.2根的唯一性：常利用导数符号判定函数在给定的区间单调增加或减少.