[数学]数学与应用数学本科毕业范文分块矩阵的应用.doc

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1、 本科毕业论文论文题目： 分块矩阵的应用 学生姓名： 学号： 专业： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 年 月 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目 分块矩阵的应用选题时间 完成时间论文（设计）字数关 键 词分块矩阵，行列式，矩阵的秩，逆矩阵，特征值论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源和理论：论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：创新点： 附：论文（设计）本人签名： 年 月 日目 录摘要1Abstract1引言21.分块矩阵的定义及相关运算性质3分块矩阵的定义3分块矩阵的相关运算性质3加法3数乘3乘法3转置3分块矩阵的初等变换32分块矩阵的应用4用分块矩阵解决行列式

2、的问题42.2 分块矩阵在解线性方程组的应用7分块矩阵在相似问题中的应用9用分块矩阵证明矩阵秩的问题92.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题112.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用13结论16参考文献17分块矩阵的应用摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，在线性代数中占有非常重要的地位。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将分块矩阵运用于行列式运算、解线性方程组、求逆矩阵的问题以及特征值的问题的求解，还包括有关矩阵秩的证明和矩阵相似问题。关键词：分块矩阵；行列式；矩阵的秩；逆矩阵

3、；特征值.Applications of Block MatrixAbstract: The matrix theory is not only a significant part of algebra, but also a subject which is worth studying, also it plays an important role in linear algebra. We can use block matrix to reduce the higher matrix to a lower rank so as to make the structure of ma

4、trix much clearer and simplify the related calculation, whats more, it can be used for proving some problems which are related to matrix. This article will use block matrix as a tool to solve those problems which are about determinant calculation, linear equation, inverse matrix and eigenvalue. Mean

5、while，the author will try to prove the matrix rand and the similarity to matrix.Keywords: block matrix; determinant; inverse matrix ; eigenvalue.引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的预算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，

6、其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处。因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.在已有的相关

7、文献中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.（2）借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用.（3）利用分块矩阵求高阶行列式.如设、都是阶矩阵，其中，并且，则可求得.（4）利用分块矩阵求解线性方程组.分块矩阵有非常广泛的应用，本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.1.分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义定义1 将m*n矩阵A=(作如下分块 其中是阵（i=1,2s）(j

8、=1,2t) =m =n （注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同行（列）数）.1.2分块矩阵的相关运算性质1.2.1加法设，其中 是矩阵（i=1,2s, j=1,2t)=m =n,则1.2.2数乘设，k是任意数，定义分块矩阵与的数乘为1.2.3乘法设,其中是矩阵，是矩阵，(i=1,2s,j=1,2t,k=1,2, r) =m, =n,则AB=其中。1.2.4转置设A=则定义分块矩阵A=的转置为.1分块矩阵的初等变换(一）将m+n阶单位矩阵分块进行如下变换： (1) 对进行两行互换得： ；(2) 用一个可逆阵左乘的某一行的所有子矩阵得：或； (3) 将的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵再加到另

9、一行的对应子矩阵上去得：或；将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.(二)初等变换的性质（1）均是可逆矩阵; (2) 用分块初等矩阵左（右）乘(要可乘可加)相当于对其作相应的分块初等行（列）变换.2分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的高等代数教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理1 若为阶方阵，为阶方阵，为矩阵, 则

10、有在上述引理中, 对子块的要求是较为严格的, 即子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论. 定理1.若阶方阵可分为其中为阶方阵, 为矩阵, 为矩阵, 为阶方阵, 则有（1）当为可逆矩时； （2）当为可逆矩阵时.在进行行列式的求值运算时, 若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例1. 计算行列式.解：设则为可逆矩阵，由定理1的结论（2）知 ，将及代入得.例2. 矩阵，求行列式的值.解：行列式的主对角线元素为，其余元素为，因此：（1）当时，由行列式的性质知=0；（2）当时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得，令由定理1可知，而

11、，计算结果得.若定理中的矩阵和均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论1. 若均为阶方阵，且可逆，则.例3. 计算行列式.进行分块解：对，其中显然可逆，且，所以，而，所以，. 定理2.若均为阶方阵，则.例4计算行列式.解：对矩阵进行分块，其中由于 ，所以.2.2 分块矩阵在解线性方程组的应用设个未知数个方程的线性方程组为： （1），设,（其中表示矩阵的转置）,则方程（1）的矩阵形式为.把方程（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式，其中， ， ，方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理3.设方

12、程组（1）有解且，则方程组与同解.例5已知方程组 （1）求此方程组的解并证明此方程组和方程组 （2）同解.解：令，其中，所以此方程组的齐次线性方程组的解为，又是方程组的一个特解，所以此方程组的解为，由上可知并且，所以由定理3可证方程组（1）和（2）同解.2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理4.如果方阵，方阵，则.证明：因为方阵，方阵，所以 ，而，所以.2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题引理2. 设,为矩阵，为矩阵，则有，且当 时，. 证明：设在初等变换下的标准形为，又设在初等变换下的标准形为，那么，对前行前列作初等变换，对它的后行后l列也作初等变换可把化为，现在利用左上角的1经列初等变换消去位置

13、中的非零元；再用左上角的1经行初等变换消去它上面处的非零元素，于是把再化作，则有.引理3. 分块矩阵的初等变换不改变分块矩阵的秩定理5 设都是矩阵，则.证明 ：由分块矩阵的初等变换可知 ： (A+B)秩秩=秩=秩=A秩+B秩定理6.设为矩阵，为矩阵，若，则.证明：由于AB=0，将下面矩阵第一列右乘(-B）加至第二列得：(A)+ (B) =所以.定理7.(弗罗贝尼乌斯不等式) 设A,B,C分别为矩阵，则(ABC) (AB)+ .证明：因为 例6. 设为阶矩阵，且，证：.证明：因为又因，由例7知，所以.例7. 设A、B都是n阶矩阵，求证：.证明：因为，所以，又，都可逆，所以，而，又，所以.2.5

14、用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛。求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用。定义2.对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得那么矩阵称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵.若都可逆，则,其中.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.例8. 已知矩阵，求.解：可以将矩阵分成四块，其中，根据分块矩阵的性质，而，为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为，所以例9求矩阵的逆矩阵.解：可以将矩阵分成四块，其中，根据分块矩阵的性质，而，为二级矩阵，

15、其逆矩阵易求出，分别为，而所以2.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定义3. 设 为阶矩阵，是一个数，如方程,存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为与特征值对应的特征向量.定义4.设为阶矩阵，含有未知量的矩阵称为 的特征矩阵，其行列式为的次多项式，称为 的特征多项式称为的特征方程，是矩阵的一个特征值，则一定是的根，因此又称为特征根。若是的重根，则称为的重特征根（值）.引理3.设为阶矩

16、阵，则为幂等矩阵的充要条件，这里为阶单位矩阵，表示的秩.引理4.幂等矩阵 与 或相似，其中.例10. 设均为阶方阵，且，求证：若，则的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.证明：（1）当可逆时，即，因为，所以，又， 由已知得，由引理2得到.同理，所以，是幂等矩阵，由引理3得， 和，有相同的特征根，所以的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等.（2）当时，即，结论显然成立.（3）设，即为非零由布可逆矩阵，又因为，故存在可逆矩阵使， 令这里 ，所以，从而，又因为，从而，这样，且，由定理1的证明可知，存在可逆矩阵，使 ， ，设，又因为，所以，设，同上可得， ，故，又，从而，同理 ，故有

17、，综上所述,结论成立.结论本文通过大量的例题对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵相似等问题；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法。通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究

18、探讨.参考文献1M.北京：北京大学出版社，2007：141-149.2M.成都：西南财经大学出版社，2003：61-68.3J.唐山师专学报，1999(5):37-38.4M.北京：清华大学出版社，2008：104-108.山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表学院： (章)系别/教研室： 时间： 年 月 日课题情况题目名称课题性质A基础研究 B基础应用研究 C应用研究教师姓名职称学位课题来源A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟 E. 其它成果类别A.论文 主要研究内容与研究目标 指导教师（签名）： 年 月 日 选题学生（签名）： 年 月 日系所或教研室审题意见负责人（签名）: 年

19、 月 日学院审批意见学院学位分委员会主任（签名）: 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目： 学院名称： 专 业： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 年 月 日一、选题的性质 基础应用研究二、选题的目的和意义三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面四、课题研究的可行性分析五、课题研究的策略、方法和步骤六、预期成果形式描述预计形成6000字左右的学士学位论文。七、指导教师意见指导教师（签名）：年 月 日八、学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院： 系别： 专业：论文（设计）题目： 学生

20、姓名学号指导教师职称计划完成时间：指导情况纪录（含指导时间、指导内容） 指导教师（签名）： 学生（签名）：学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日指导教师意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价）成绩： 指导教师（签名）： 年 月 日评阅人意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就

21、该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价） 成绩： 评阅人（签名）： 年 月 日答辩委员会意见（应根据论文内容和答辩情况，并参考指导教师意见、评阅人意见对论文的综合水平做出具体评价）成绩： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日学院学位分委员会意见 成绩： 学位分委员会主任（签名）： （公章） 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院： （章）系别： 专业：论文（设计）题目：学生姓名学 号指导教师职 称答辩时间答辩地点答辩委员会名单姓 名性别职 称职 务其它答辩记录： 记录人（签名）： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院： 专业： 班级：姓名学号指导教师论文（设计）题 目关键词论文（设计）字数内容摘要：成绩学院负责人（签名）年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院： 专业： 班级：姓名学号指导教师论文（设计）题 目关键词论文（设计）字数内容摘要：成绩学院负责人（签名）年 月 日