临沂大学版几何学答案.pdf

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1、第一章向量代数习 题 L 11.要使下列各式成立，向量a,夕应满足什么条件?(1)a+p =a-；|a+=|。|一|夕I；|a夕|=|a|夕I；|a+川=|a|+|/|；(4)a-j3=a+j3(6)a _ p面=两解：a_L夕；（2）a与6同向；（3）a与反向且囹2期;（4）a与夕反向，a与夕同向且冏“风 a与夕同向且aw O,夕w O2.已知向量方程组2x-3y=a_,求解向量x,y.x+5y=fi解：解关于X,7的方程组得5 3 Qx-a-81 3 1 31 2 ”1 3 1 33.已知四边形ABCD中，=一 2/,C Q =5 a+6 6一8九 对角线NC,8。的中点分别为瓦厂，求 方

2、.解：EF=3a+3-5y.4.已知平行四边形Z 8 C D的对角线为=。,而=夕，求 方，前.解：设 方=*,或=丁 则x+y=a5=(1,-2,0),/=(-1,2,1),求ax/,ax y,ax(夕+y),(ax 夕)x y,ax(/?x y)；解:(-2-1,-2),(2,0,2),(0,-1,0),(3,4,-5),(-1,2-1)(2)直角坐标系内求以4(1,一 1,2),5(5,-6,2),C(1,3,-1)为顶点的 A B C的面积及4 C 边上的高.解：12.5,5.(3)已知。=(2,-3,1)/=(1,-2,3),求与a,4 都垂直的单位向量.解:泰(7,5,1)(4)已

3、知|a|=2,|夕|=5,a/=3,求|ax 与(a+夕)x(a夕)2解：回,3 642.设a,夕,/为两两不共线的三向量，试证明等式 x y=/x a=ax/成 立的充要条件为a+4+7=0.3 .利用向量积证明三角形面积的海伦(Heron)公式:=p(p-a)(p-b)(p-c),中a,b,c为三角形三条边的边长，p=；(a +b +c),A 为三角形的面积.解：在 A 4 8 c 中，设 於=茄=之，且口=。帆=上 口=。.那么入4 8 0 的面积为 =J Z x 及所以d =：义 4，又(，4=片 片(茄)，故-(a5 f).因为a +B+c=6.从而a +B=-c ,a+b=c.所

4、以 防=密-7-片“故A2-;G -a 2-b 2)h.=(Q +b +c)(Q+b-c)(c+a-b)(c-a+6)=.2P(2p-2c)(2p-2b)(2 p-2 a)16化简得：A2=p(p-a)(p-b p -c).习题1.51 .已知四面体N 8 C Q的顶点坐标4(0,0,0),8(6,0,6),C(4,3,0),0(2,1,3),求它的体积,并求从顶点D所引出的高的长度.解：1 ；TTH6V342.在直角坐标系内判断向量a,6是否共面，若不共面，求出以它们为三邻边构成的平行六面体体积.(1)a =(3,4,5)/=(l,2,2),y =(9,1 4,1 6)；(2)以=(3,0,

5、-1),夕=(2,-4,3)严=(-1,-2,2)解：(1)共面；(2)不共面，23 .如axA+Axy+yxa=0,证明：a,4/共面.证明：对等式a x +/x y+y x a =0的两边与/作数量积，可以得到(a,2,y)=0,故共面.4 .如ax夕=,证明：a-b与夕一y共线.解：因为(a-6)x(6一/)=a x -a x y 6 x A 6xy=axA a x/+x J 6 x y =0所以a-b与6y共线.5 .在直角坐标系内系知a =(l,0,1),夕=(1,-2,0)/=(-1,2,1)求(a x 夕)x y 和 a x(x y).(3,4-5)；(-1,2-1)6.证 明：

6、(a x夕)x/+(夕x y)x a+(y x a)x夕=0证 明:(ax7=(a-7)-0 (0.y)a(夕 x 7)x a =(夕 a)?-(7 a)/(/x a)x p=(7 ./)a-(a 万)7上述三式相加可得：(a x夕)x y+(夕x y)x a+(y x a)x夕=0.7.证明：(a x x(a x J)=(a,f t,3)a证明：(axx(ax(5)=-(x 3)J3-/?(a x8 a=(a,/3,6)a.复习题一1 .己 知 力=7+3%,方=1+3 2，求A O/B的面积.解：S沙 配=列 百x无|=引(一3,-3,1)|=孚.2 .已知四面体的体积=5,它的三个顶点为

7、4(2,1,-1),8(3 0 1),。(2,-1,3),又知道它的第四个顶点。在夕轴上，试求点D的坐标和从顶点D所引出的高的长队解：(1,0,-1 4)；h =3加3.试用向量法证明：平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直.证明：如 图：因 为 向 量。=。，b-d ,所以A C =a+b,B D -d -a.则 就J.而 当 且 仅 当 工 访=0当且仅当G+小(3-Z)=o当且仅当11=向.4.设I=2,-3,1 ,由=1,一2,3 ,=1,2,-7 ,已知向量Z垂直于 和 且,=1 0,求彳.解：(7,5,1).5 .设向量a与河1(3,0,2)、河2(5,2,1)和“3(，

8、-1，3)所在的平面垂直，求a，并求以Mi,加2和加3为顶点的三角形的面枳.解：a =(1,1,4),挈6 .试用向量法证明：内接于半圆，并以直径为一边的三角形为直角三角形.证明：设内接于半径为 的半圆的A 4 B C的一边ZC是过圆。的直径，另一顶点在半圆上为点8 .则A B TB =(A O+OB JXC O+O B)=荷+彩 屈 一 无 屈+5F +/=0所以即A48C是直角三角形.7.设一四边形各边之长是a、b、c、d,a、b、c、d的任意一个四边形的两条对角线也必互相垂直.证明：同习题1.3 第 8 题.8.梅耐劳斯（M e n e l a u s）定理：在 A4 8C的三边 8C,

9、C 4 力 8或其延长线上分别取三点，它们的分割比是：2,=BL,u=-C-M-,v=-A-N-,则n.L_ ,A 1,“N 二一LC 尸 MA NB（第 8 题图）点共线的充要条件是4/丫=-1.证明：任取点。，（1）必要性：根据定比分点的向量分解表示式，瓦 二 笔 存 两=缥 股，丽 二 帮 粤若 L,M,N三点共线，则有/（笔 空）+皿当 铲）+（笔 善）=6（第 8 题图）其中/,加,不全为零.此即（第+土）刀+（偌+砺+（得+液）瓦=0I1+441+4所以展开解得1/=一1.又因为方程组有非零解，故其系数行列式等于零（2）充分性：这个推理过程是可逆的，故 若 切 H=-l,则L,N三

10、点共线.9.塞瓦（C e w a）定理：在A4 8C中的三边或其延长线上分别取以M,N三点，其分割比依次是：=丝，4 =&幺/=四，于是L C MA N B三线共点的充要条件是加v =l.证 明：（1 ）必 要 性：设AL,BM,CN共 点 于 P，以 p 为 始 点，则p L =xp A,pM=yp B,p N -z p C,因为p 4 P三个向量共面，必有不全为零的常数/,团,存在，使得/4+历 2 6 +2。=。.所以孑万+加7+丁=0,又因为民,C 三点共线，所以+加+=0,即=e，P L=P A，由 此 推 知 至=%同理可得：也=+=4，里=与 =v因此/l/=Ll LJ=：l.（

11、2）充分性：设 加 1/=1,且 4 L,BM交于点p,由（1）知 五=念 正=嗯 用故 有 丽=六 沅，由此得知P，N,C三点共线，于是A L,B M,C N 共点于p.10.试用向量法证明三阶行列式的阿达玛（Ha d m a r d）定理：2q a2 a3证明：b b2 b3 V3；+a；+a；）（b；+1+b；）（c；+c；+c；）.C C2 C3证明：令。=（。,。2，。3），加二（4,6 3）,。=（。,。2，。3）2ax a2 a3b h2 b3 （a,d,c）2=|a x f e|2 2 （a：+aj）（bf +b；+b；）（c；+c；+C C2 C3第二章平面与直线习 题2.1

12、1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程.（1）通过点和点“2（1，1，0）且平行于向量（T，0,2）的平面；（2）通过点必（1,5,1）和点M（3,2-2）且垂直于x O y坐标面的平面.解：（1）而环=（2,2,1）与向量（1,0,2）可作为平面的方位向量，故平面的参数方程为x =3 -2w -v,x-ly+lz=1 -2%平面的点位式方程为-2-2 1 =0,由此得一般方程为z =-1 +2v,-1 0 24x 3y+2z 7 0.（2）诟 石=（2,7,3）,平面垂直于x O y坐标面，故 而 石=（2,7,3）与向量（0,0,1）可x =1 +2u,作为平面的方位向量，故参数方程为

13、 y =-5 +7”，平面的点位式方程为z-l-3u +v,x-1 y+5 z-12 7 -3 =0,可得一般方程为7 x-2y-17 =0.0 0 12.化平面方程x +2 y-z+4=0为截距式与参数式.解：截 距 式 为 啖+g +（=l,故可知M（-4,0,0）,%（0,2,0），M,（0,0,4）为平面上的三点，从 而 应 访 =（4,2,0）,而 访=（4,0,4）,故向量（2,-1,0）与（1,0,1）可作为平面的方x =4+2M+v,位向量，故平面的参数方程为 歹=-，Z =V.3 .证明向量3 =（X,y,Z）平行于平面A x+B y+C z+D=0的充要条件为AX +B Y

14、 +C Z=Q.证明：不妨设4c +诙+C z +O =0中 的 把 这 平 面 方 程 化 为 参 数 式D B CX u A A Av,y=u,z=v,所以平面的两方位向量是与A从而知3=(x,y,z)与已知平面共面的充要条件为:与x0,1)共面或者一:C AY Z1 0=0,即 4X +6Y+CZ+O=0.如果在直角坐标系0 1下，那么由于平面的法向量3=(4 8,。)，所以 平行于平面的充要条件为 =()，即 4 +8 y +CZ=0.4.已知连接两点/(3,10,5)和 8(0,12,2)的线段平行于平面7+4夕一2-1 =0,求B点的z 坐标.解：布=(-3,2,z+5)平行于平面

15、7x+4y z l=0,利用上题结论得-3 x 7 +2x4+(z+5)x(-l)=0,可得z=-18.5.求下列平面的-般方程：(1)通 过 点 必(2,1,1)和点 2(3,-2,1)且分别平行于三坐标轴的三个平面；(2)过点/(3,2,4)且在x 轴和y 轴上截距分别为2 和3 的平面；(3)与平面5x+y-2 z +3=0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面；(4)已知两点M(3,T,2),%(4,-2,l),通过加|且垂直于M i 2 的平面.解：(1)三个平面的方位向量分别为：必%=(1,-1,0)与(1,0,0)；必 必 与(0,1,0)；M M 2 与(0,0,1).故三平面的点

16、位式方程分别为x 2 y+11 -11 0z 1x-20=0；100N+1-11z-1x 20=0；100夕+1-10z 10=01由此得三个平面的一般式方程分别为z-l=0；z-l=0；x+y 1 =0.(2)由已知平面过点(-2,0,0),(0,3,0),(3,2,4)得平面的三点式方程为x+2 y z2-3 0=0,得平面的一般方程为1 2 x +8 y +1 9 z +2 4 =0.5 2 -4 三平面的方位向量分别为(5,1,-2)与(1,0,0)；(5,1,-2)与(0,1,0)；(5,1,-2)与(0,0,1).由此可得三平面的点位式方程分别为x y5 11 0 x50-20=0

17、；y z1 -2=0；i ox y z5 1 -2=0,0 0 1由此得三平面的一般方程分别为2 y +z =0;2 x +5 z =0;x -5 y =0.(4)此题理解为平面所在的坐标系为直角坐标系，而 必 而=(1,-1,-3)为平面的法向量，故点法式方程为x 3-(y +l)-3(z 2)=0,由此得平面的一般方程为x y 3z+2=0.6.将下列平面的一般方程化为法式方程：(1)x 2,y+5 z-3 0；(2)x -y +l =0；(3)x +2 =0；(4)4 x 4 y +7 z =0.解：分别求出法化因子K乘以平面方程两端即可得平面的法式方程：1 1 1 c(3)x 2 =0

18、；4 4 7 c(4)x y+z=0.9 9 97.求自坐标原点向以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法向量的方向余弦:(1)2 x +3y +6 z 35 =0；(2)x 2,y 4-2 z +2 1 =0；解：(1)将平面的方程化为法式方程为：2+3歹+9 2-5 =0.故7 7.7u 八 2 八 3 n 6p=5,C O S!=y,C O S =,cosa,=.1 2 2(2)将平面的方程化为法式方程为：上x +*z 7 =0.故3 3 31 2 2p=7,cos=-,cos02=cos03=-8.已知三角形顶点为4(0,7,0),6(2,-1,1),C(2,2,2),求平行于A 4

19、B C所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：根据三点式方程得A 4 8 C所在平面的方程为x y+1 z2 6 1 =0,即3x 2 +6 2-1 4 =0.从而得人4 8。所在平面的法式方程为：2 9 2-x-y +-z-2 0,故原点到A 4 3 c所在平面的距离为2,故所求平面的方程为7 7 7+2 =0或3 x-2 y +z-4 =0,即为3x-2 y+6 z =0或7 7 7 7 7 7 -3x -2 y +6 z -2 8 =0.9.求 与 原 点 距 离 为6个 单 位，且 在 三 坐 标 轴。工,0与O z上的截面之比为a:b:c=-l:3:2 的平面.解：设平面的截距

20、式方程为上上+上+二=1,其法化因子-m 3m 2m,1 6m,6K =.=nt,f+J+1 V 36 +4 +9 7V 9 m2 4 m2故法式方程为：+-x +-y +-z +-m =0.7 7-7 7由已知9?=6,故加=7 .故所求平面的方程为干9 x 2 y z不6 =0.7 7 7-7即为+6 x 2 y 3z 干 4 2 =0.i o.设从坐标原点到平面色+5+之=1的距离为p,求证：-1+4+4=-.a h c a b c p解：将原方程化为2 +上+三 1 =0,设法化因子为K,有 长=0,a b c则，33P2 K2/b2 c2-习 题 2.21.求下列各直线的方程:(1)

21、通过点/(-3,0,1)和 夙2,-5,1)的直线;(2)通过点A/o(X o，%,Z o)且平行于两相交平面%:+qy +C j Z +0 =0(i =l,2)的直线；(3)通过点2)且与两直线=；=二和=彳=三，1垂直的直线；(4)通过点M(2,-3,5)且与平面6 x-3y-5 z +2 =0垂直的直线.解：(1)由直线的两点式方程得所求直线的方程为x+3 y z-11X X。_ 尸 比 二片 一 B2 C2 C2x l _ y _ z +2Z -Z。4 BlA2 B21 1 2x-2 y +3 z +5(4)-=-=-.6 -3-52.求以下各点的坐标：(1)在 直 线 三=2二 =上

22、 与 原 点 相 距2 5个单位的点;2 1 3X-y-4 z +1 2 =0/(2)关于直线-、八与P(2,0,-l)对称的点.2 x +y 2 z +3=0解:(1)将直线方程专1 =三=x =1 +2/化为参数式，y=S+tz =8 +3f设所求点的坐标为(l +2 t,8 +/,8 +3t),则Z =4或-更，故所求点的坐标为：7+2 f1 +(8 +J +(8 +3t甘=2 5 ,得(2)设所求对称点为(%,%,z )，则(今 包,年,二1岁)在 己 知 直 线 上，故有2（2；%）+：_ 2 1；+3=0.即XO-NO-4Z（）+3O =O,2 x0+%2 z0+1 2 =0而又直

23、线x-y-4 z+1 2-02x+y 2z+3=0的方向向量为-11-4 -4一 2 -2=（6,一 6,3）（2,2,1）.故向量（x0-2,y0,z0+l）（2-2,1），因而有2（/一2）_ 2%+以 +1）=0.由得，%=0,%=2,z 0=7,故所求对称点的坐标为（0,2,7）.3.求下列各平面的方程：（1）通过点尸（2,0,1）,且 又 通 过 直 线 号=5=2 的平面；（2）通 过 直 线 二 =汇？=二且与直线1 .平行的平面；（3）通过直线三=2彳=二=2且与平面3 x+2 y-z-5 =0 垂直的平面.解：（1）由点P（2,0,1）和 直 线 四=二=三 二 2上的点（一

24、1,0,2）所连向量（一3,0,3）及直线2 1 3罟=弓=三二2的方向向量（2,-1,3）可作为平面的方位向量.故所求平面的方程为：x-2 y z+1-3 0 3=0,即x +5 y +z-1=0.2-1 3（2）直线，2.x-y +z 3 0,x+2,y z 5 =0的方向向量为1 1 12 -1 -2 2-1r 1 2=（-1,3,5）,故所求平面方程为:x 21V+3-5z+1-1=0,即：llx+2y+z-15=0.35（3）向量（2-3,2）与平面3x+2y-z 5=0的法向量（3,2-1）可作为所求平面的方位向量，故所求平面的方程为:x-1 y+2 z-2223-32-1=0,即

25、为x-8y-13z+9=0.4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦.(0,0,4),(1,3,0),网 1,0,1),试区分上述各点哪些在平面 的某一侧，哪些在平面 的另一侧，哪些在平面上？解：将点的坐标代入平面方程的左端所得之值是否大于零，是否等于零，是否小于零，便可判断，点8,在平面的一侧；点4。在另一侧，而 点 在 平 面 上.6.判别点M(2,1,1)和N(l,2,-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，或是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？(1)%:3 x-y+2z-3 =0与2 ：x-2 y-z +4=0；(2)匹:2x-y+5z-1 =0

26、与 2 ：3 x 2y+6z-1 =0.解：考察点,N分别位于两平面划分的正半空间里，还是负半空间里.(1)由于3 x2-l x(-l)+2 xl 0,3 xl-l x2 +2x(-3)0,l xl-2x2-l x(-3)+4 0.故 点 在 相 邻二面角内.(2)由于2 x 2-l x(-l)+5 x l-l 0,2 x l-l x 2 +5x(-3)-l 0,3 xl-2x2+6x(-3)-l 0,3x0+2x(-9)-6x0+40,2x1-lx2+2x(-3)-30,故点(0,-9,0)与点/(1,2,-3)在平面为，町 所构成的对顶的二面角内，故所要求的角平分面的方程为23x y 4z

27、 9=0.8.分 别 在 下 列 条 件 下 确 定 的 值:(1)使(/-3)x+(m+l)y+(n-3)z+8=0 和(TM+3)X+(-9)y+(/3)z-16=0 表示同一平面；(2)使 2x+w+3z-5=0 与 Z x-6y-6z+2=0 表示二平行平面；(3)使/x+y-3z+l=0与7x-2 y-z=0表示二互相垂直的平面.解:(1)/3 m+1 3 8,.7-=-=-=-，故/=一1-3 16=一13 ,n=379 92加 +3 一9m 3-59_ _ _ _ -J-_7 -6 -6 2,故/=-4,m 3.(3)/x7+lx(-2)-3x(-1)=0,故/=-9.求下列两平

28、行平面间的距离:(1)19x-4y+8z+21=0,19x-4y+8z+42=0；(2)3x+6y-2z-7=0,3x+6y-2z+14=0.解：利用平行平面之间的距离就是其中一平面上任一点到另一平面的距离可求得:(1)d =1 ；(2)d 3.或利用公式：设二平行平面为A x+B y+C z+D1=0,A x+B y+C z+D20,可推得此二平行平面间的距离为d =一川J T+炉+。210.求下列各组平面所成的角:(1)x +y 11=O,3x +8=0 ；(2)2 x 3y+6z 12 0,x +2 y +2 z 7=0.3 兀 8 8解：利用夹角公式可得：(1)或 一；(2)ar c

29、c o s一 或-ar c c o s .4 4 2 1 2 1习 题2.41求通过平面4 x-y +3z-l =0和x +5 y z +2 =0的交线且满足下列条件之一的平面：(1)通过原点；(2)与y轴平行；(3)与平面2 x y +5 z -3=0垂直.解：过两已知平面交线的平面束方程为：/(4 x -jv +3z l)+/w(x +5 y-z +2)=0 ,即(4/+m)x+(5m-l)y+(31-m)z 4-(2m /)=0.(1)因为所求平面过原点，所以2?/=0,取用=1,贝”=2,代入得：9 x +3y +5 z=0 为所求.(2)因为所求平面与y轴平行，即所求平面的法向量3

30、_ L Q y轴，故-/+5加=0,取加=1,/=5代入得：2 l x +14 z -3=0即为所求平面方程.(3)由己知：2(4/+/)+(-1)(5加一/)+5(3/-m)=0,即3/一加=0,取/=1,加=3代入得：7x +14 y +5 =0为所求平面的方程.2求通过直线1：+：；且与平面x -4歹8z +12 =0成7角的平面.解：过已知两平面交线的平面束方程为:+5 y +z)+(x-z +4)=0,即：(4+心+5为 +(/1-4)2+44=0,T T因为所求平面与平面x-4y-8z+12=0成;角，所以兀,+4-4义(54)-8x(4-川COS-/,一 /,一 ,一，,4 胪

31、+(_ 4)2+(一 8)2&+4)2+(54)2+H 一 川2解得：4=0,4=，取4=0,4=1；4 =T，4=3代入，则x-z+4=0与x+20y+7z 12=0为所求平面方程.3求通过直线彳=与2=,且与点尸(4,1,2)的距离等于3的平面.解：将直线方程化为一般式：,过己知直线的平面束方程为：x+1 =04(3y+2z+2)+/(x+l)=0,又所求平面与已知点尸(4,1,2)的距离等于3,所以3=怦+(3+4+21,解得：8M=34,4,=-6Z,，取4=3,4=8;/,=6,4-1,加2+9光+4无分别代入方程得：3x+24y+16z+19=0或6x 3N一 2z+4=0为所求平

32、面方程.4.求与平面x 2y+3z-4=0平行，且满足下列条件之一的平面：(1)通过点(1,2,3)；(2)在y轴上的截距等于一3；(3)与原点距离等于1.解：与平面x 2y+3z 4=0平行的平面束方程为：x-2y+3z+2=0(1)因为所求平面过(1,一2,3)点，代入得：丸=14.再代入平面方程，x-2y+3z-14=0即为所求平面的方程.(2)因为所求平面交0轴于(0,-3,0),所 以 几=-6,因此，所求平面的方程为：x-2y+3z-6=0.(3)因为所求平面与原点的距离为1,所以1 =/=口，解得:#+(_ 2)+3 2 V 140 +0 +0 +XA =+V 14.所以所求平面

33、的方程为：x-2 y +3z +V 1 4=0,或、一2歹+32-旧=0.,A,x+R y +C,z+D,=0,一 5.直线方程 二 :的系数应满足什么条件才能使该直线在坐标平A2X+B 2y+C2z+A=0面xOz内.解：过已知直线的平面束方程为：+B、y+C Z +)+p A qX+B 2y+C z+)?)=0,即)X+(/15|+B)y+(%G +4 a)z +N D)0 若表示的平面与x Oz重合(这时直线在x Oz面内)，则A A+f iA?4cl+4G=,4D +jjD =0 且 A B+/z S?w 0；故有4=9.=4，且，即4=CL=9.。空 时，直线在X。内.A2 C2 D

34、)B2 A2 C2 D2 B2复习题二1.求下列平面的方程：(1)通过点M(0,0,1)和“2(3,0,0)且与坐标面xOy成6 0角的平面;(2)过z轴且与平面2x+y-6z 7=0成6 0。角的平面.解：(1)设所求平面方程为Z x+敢+0 +。=0,则。+。=0,3 4 +。=0,c os 6 0 =力x 0+8 x 0+C x lA2+B2+C2 VO2+O2+I2故J/+炉+。2 =2C,故4：8：C：O =1：士 画：3:(3),故所求平面的方程为xJ沏+3 z 3 =0.(2)设所求平面的方程为4 v +8y=0,则c os 6 0 =24 +B7 2+52722+12+5故/:

35、8=3:(-1)或1:3,故所求平面的方程为3 x-y=0或x+3歹=0.2.设 三 平 行 平 面%:加+到+。2+。,=0(，=1,2,3),L,M,N是分别属于平面左1，72，4 3的任意点，求M M N的重心的轨迹.解：设(x,y,z)是ALM V的重心，且(x ”z JC =l,2,3)是的坐标.从而 A Xj+B yt+C Zj+D.=0(Z =1,2,3).1 3 1 3 1 3 1 3所以/司2七+8.2 +。2,.+。=0；3 /=)3 z=i 3 /=i J /=ihp v y v而又=可 工 毛)=鼻 工 匕*=.工2,，3 /=J j=l J /=1故有A x+g y+

36、C z +；(。1 +。2+A)=0为所求M M N的重心的轨迹.3 .试验证直线/:二=匕1=3与 平 面%:2x+y-z-3 =0相交，并求出它们的-1 1 2交点和交角.解：由于2x(l)+l xl-1 X 2 H 0,故直线与平面相交.x=-t将直线的方程化为参数式(y=l +f ,代入平面方程2x+y-z-3 =0得：=一1.7=14-2/从而可得交点坐标为(1,0,-1).又s i n夕=/2*(1)+1 1义2|=1,故直线与平面的交角为夕=X.A/22+12+(-1)27(-1)2+12+22 2 64 .确定/，机 的值使(1)直线?=：与平面/x+3 y-5 z +l =0

37、平行；x=2t+2(2)直线 y=今一5与平面Z x+m y+6 z-7=0垂直.z =3,1解：(1)若直线与平面平行，则/x4 +3 x3-5 xl =0,/xl +3 x(-2)-5 x0+l *0 ；故/=一1.1 m 6（2）而 上=?,故/=4,机=一8.2-4 35.决定直线,和平面（4 +4卜+（4+与）丁+（6 +G）z=o的相互位置.A,x+B,y+C,z=0,解：将直线方程4 1、1 的两式相加得：+B2y+C2z=0（4 +4）x+（4+）y+（G+C?）z=0,故直线在平面上.6.直线方程Axx+By+CjZ+A =0A2X+B2y+C2z+Z)2=0的系数满足什么条

38、件才能使（1）直线与x轴相交；（2）直线与x轴平行；（3）直线与x轴重合.A n解：（1）刍=d；（2）4 =4 =0,9,。2至少有一个不等于零;242 D?(3)4 =42=。2=0 7.确 定2值使下列两直线相交:3 x-y +2 z-6 =0 x+4y+上-15=0与z轴;小、x-l y+1 z-1 .1（2）-=-=-与x+l=y-l=z.12/1解：（1）由于直线与z轴相交，故交点（0,0,z0）满足直线方程,故有2zo-6 =O驾-5 =0，故有；1 =5.1-（-1）-1-1 1-05（2）由已知有：1 2 4=0,且 可得4=2.41 1 18.判别下列各对直线的相对位置，如

39、果是相交的或平行的两直线，求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离.(1)x-2 y +2z=0 f3x+2 y-6-0 Jx+2y z-l l =02x+z-14=0,x x 3 y 8 z 3.x+3 y+7(2)=与3-1 1 -3 2z 64x=tV =2/+1 与z=-t 2x-1 _ y-4_ z +21 7-5解：（1）（0,3,3）与（7,2,0）分别是两直线上的两点，又二直线方向向量为:20-2 2 22 05 01 13 3=6,8),-1-11 5 11 12 2=(2,3,4).7-0 2-3而 又 一4 62-30-38=0,且一4:6:8=2:(-3)

40、:(-4).故两直线平行.4x y 3它们所在平面的方程为：7-0 2-3-4 6z-30-3=0,8即：5 x-22y+19 z +9 =0.-3-3 -7-8 6-3(2)因 3 1 W 0.故二直线异面，J=3A/30.-3 2 41-0 4-1-2-(-2)(3)1 2-1=0,又 1:2:(-1)。4:7:(-5),故二直线相交，且所4 7-5%1 y-4 z+2在 的 平 面 方 程 为 1 2 1=0,即3 x-y +z +3 =O.4 7-59.给 定 两 异 面 直 线 二=2=三 口 与 山=匕 e=三，试求它们的公垂线的方程.2 1 0 1 0 11 0 0解：x=i,y

41、=o 1 12 2 1=_ 2,Z=-1,故公垂线方程为:1 1 0 x 321x+l11y z-l1 0-2 -1y-2 z0 1-2 -1=0即为:=0 x 2,y+5 z 8 0 x+y-z-1=010.求下列各对直线间的夹角：X-1=J，+2=Z-5 与 X =y-3 =z+l 3x-4y-2z=0,1 4x+y 6z 2=0,2x+y-2z-0 y 3z+2=0.解:(1)cos6=3x2+6x9+2x6732+62+22V22+92+62=三7772 72故 6=arccos或 6=一 arccos.7777（2）直线3%-4 y-2z=0,八 八 的方向向量为:2x+y-2 z=

42、0-41-2 -2一 2-23 322=(10,2,11)；4x+y-6z-2=0,(1直线J 7 的方向向量为：y-3z+2=0-6 -6 4一3 3 0=（3,12,4）；40=圾195故 =arccos-或 8=不一arccos-.195 19511.设d和 屋 分 别 是 坐 标 原 点 到 点M（a,b,c）和 知（。力 ,。）的 距 离，证明当。+协 +必=设/时 直 线 肠0 通过原点.证明：OM a,b,c,OM=a,b,c,d-yja2+b2+c2,d=Va+b+c.3/(而,后)=OM OM _ aa+bb+cc西 yla2+b2+c2ya，2+b，2+c，2aa+bb-c

43、cdd当aa+bb+cc=d d g cosN（而，百/）=1,此时直线MW通过原点.12.求通过点P（l,0,-2）而与平面3x-y+2z-1 =0平行且与直线=匕 过=三相4 2 1交的直线方程.解：设所求方程为3=t=土，则由已知可知：X Y Z3X-Y+2Z=0,1-1 0-3-2-0 故 X：y：Z=-4:50:31；4-2 1 =0,X Y Z故所求直线方程为：士1=2=三七2.-4 503 113.求过点P（2,l,0）且与直线上B .=三 三 垂直相交的直线解：设所求直线方程为：土x 二 2=乙v 1 =工z，由已知得：X Y Z3X+2Y 2Z=0,2-5 1-03 2X Y

44、0-25故X：y：Z=120:131:3U；2=0,Z故所求直线方程为x-2 _ y-126-13Tz3n14.证明三个平面2x y+5=0,x 2y+z+2=0和3x-3y+z+7=0属于同一个平面束.证明：设7（2工一+5）+/（-2+2+2）三3一3歹+2+7,比较x,y,z的系数及常数项，得4=1,所以三平面属于同一个平面束.15.设一平面与平面x+3y+2z=0,且与三坐标平面围成的四面体体积等于6,求这平面的方程.解：设与已知平面平行的平面束方程为：x+3y+2z+4=0.化为截距式：x y z.才 二 十 二=-3 2=6,解得;l=6.6 3 2x+3y+2z+6=0或x+3y

45、+2z 6=0为所求平面的方程.16.设从坐标原点射出的光线经平面x+y z+l=0和x y+2z-l=0两次反射后仍通过原点，求光线与两平面的交点.解：设光线由原点O射出，与第一个平面交于一点6,经反射后与第二个平面交于一点 鸟，再反射又通过原点.由于入射角和反射角相等，所以若作原点关于第一个平面的对称点又作。关于第二个平面的对称点。2,则四点a，片,鸟,a共线.因此，只要求出对称 点a与&，那 么 片 与 鸟 就 是 直 线a d与两个平面的交点设原点。关于平面x+y-z +l=0的对称点a（x”M，z J,则O g平行于平面的法向量，OQ的中点在平面上，有_%_五1 -1-f幺+1=0.

46、12 2 22 2 2解 得 =-1,=一，4=，同理可求得原点关于平面x y+2z 1 =0的对称点。2的坐标为：=,丁2=-g，Z|=g.2 2 2x+y+z 由两点式得直线q o?的方程，为 一73=1=1.O Q与两已知平面的交点为右 信，亮)，+：，(1 7.求 两 相 交 直 线4：vX=母t,厂J=一1+九和 七：三声z=t,岁=二2所构成的钝角的平分线1 1的方程.x=及 +ls,解:将 心 的方程写成参数式一y=z=2+s,，令 spit=/2+V25,-1+r=5,解 得，=0,5=-1.1 -E =2+s,因 此 乙 和 乙 的 交 点 为(O,T)=V2,l,-lv=2

47、,l,lcosZ（Zj,Z2）=兀五一 2 _1丽一 4。由此可知，4与 右 方向向量所成的角为锐角，因此，4与乙所成钝角的平分线上的（一个 向量为j|+-|=|=（/2,1,-1）（V2,1,1）=（0,0,1）/（0,0,1）由点向式写出所求的直线方程为：=2土1=二10 0 1写成一般方程为:x=0.y+l=0.1 8.已知直线A：f+i=1.x=0,x z2：c)2+(-a c)2+(-ab b2c2+a2c2+a2b2两边平方整理得：-4=4+4+-Td-cr b c第三章常见曲面习 题 3.11 .分别就下列条件求球面方程：(1)一直径的两端点为(2,-3,5)和8(4,1,-3)

48、；(2)球心在直线三3 =一上，且过点(2,-3,6)和(6,3,-2)；(3)过点(一 1,2,5),且与3个坐标平面相切；(4)过 点(血，血,2),且包含圆：0r=4解：球心坐标C=亍,下 一,三 =(3,-1,1),半径R=7(3-2)2+(-1 +3)2+(1-5)2=.所 以 球 面 方 程 为(X-3)2+(J +1)2+(Z-1)2=2 1.(2)因球心在已知直线上，故它的坐标应为(4 +2 t,-8-4 f,2 +f),又因点(2,-3,6)和(6,3,-2)在球面上，所以它们到球心的距离相等，即(4+2/-2)+(-8-4/+3)+(2 +f-6)=(4 +2/-6)+(-

49、8-4 f-3)+(2 +/+2)解得，=-2,从而球心坐标为(0,0,0),且半径等于7,球面方程为：X2+/+Z2=49.(3)球心与点(-1,2,5)在同一卦限内，因此可设它的坐标为(-。,。,。)，则球面方程为:(x +a j+(歹-a)，+(z-a)2=a2.将(1,2,5)的坐标代入，得/-8 4 +1 5 =0,解得。=5或3,即球面方程为：(工 +5)2+(-5)2+(2-5)2 =2 5以及(8+3)2+(丁-3)2+卜一3)2=9.(4)已知圆位于坐标面x Q y上，圆心是原点，因此球心一定在z轴上，设球心坐标为(0,0,/),而(2,0,0)显然也是球面上的点，则即产=2

50、）2,解得f =l,所以球面方程为x 2+j?+（z 1）2=5.2 .求下列圆的圆心及半径：（1）卜 2=4,卜2+/+/=5,x +y +z-3 =0;x2+.y2 4-z2 4-x +2 y 4-3 z -7 =0.解：（1）所给的圆可以看成是第一个方程所确定的球面与第二个方程确定的平面的交线，而球心是原点，所以圆心应是原点向这个平面所作的垂线的垂足.此垂线的方向向量是x=t,（1,1,1）,故 垂线方程为（歹=/,垂线与平面的交点是（1,1,1）,即圆心.根据勾股定理，z=t.圆的半径为 =1.第二个方程减去第一个方程后可得x +2 y +3 z-2 =0,利用（1）类似的方法，可知X