尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》（第11版）配套题库【考研真题＋章节题库】.pdf

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1、尼 科 尔 森 微观经济理论基本原理与扩展（第 11版）配套内容简介第一部分为考研真题精选。本部分精选了名校的考研真题，按照题型分类，并提供了详解。通过本部分，可以熟悉考研真题的命题风格和难易程度。第二部分为章节第一部分考研真题精选一、计算题某企业的生产需要使用两种要素，其生产技术为f（xi，X 2）=（m i n xi,2 x2 a），其中 xi 和 X 2 为两种要素的使用量。企业可以同时调整两种要素的投入量。假定产品的市场价格外生给定为p,且 W 和 W 2 表示外生给定的两种要素的价格。请回答：（1）该厂商的要素需求函数和利润函数。（2）为使得本题的解有意义，你需要对参数a 施加何种限

2、制？中国人民大学2 0 1 9 研解：（1）由该厂商的生产函数f（X ,X2）=（m i n xi，2X2 1）可知其要素使用原则为XI=2X2,则其产量Q =f（X I，X 2）=X ia=（2 X 2）a,其利润函数为：7C =p Q W1X1 W2X2=p X ia W1X1 一 W 2X1/2其一阶条件为：d7 i/dxi =ap xia-1 w i W 2/2 =0；解得：故该厂商的要素需求函数为:利润函数为:（2）为使得本题的解有意义，参数a 需满足以下条件:要素使用量xi N O,要素使用量X 2 2 0,则 a 0。要素需求是自身价格的减函数，即：则 a 0,易得当 a 0 恒

3、成立。综上所示，需要对参数a 施加的限制为0 a l。在一个纯交换的经济中有两个人，消费者A和消费者B,市场上有两种商品，即面包X I 和牛奶X 2。两个人的初始禀赋为WA=(2,5),WB=(1 0,1 5),他们的效用函数分别为心(X 1 ,X 2)=X 1-6X 20-4,UB(X l，X 2)=xi +l n x2。假设消费者对两种商品的消费都严格大于零。(1)求解消费者的契约曲线。(2)求解一般均衡时的价格与资源分配状况(提示：可把一种商品的价格标准化为1)0(3)假设P 1=P 2=1，求出两人对两种商品的需求和两种商品的过剩需求，此时市场出清吗？哪种商品的相对价格偏贵了？上海财经

4、大学2018研解：为简便符号，设面包为x,牛奶为y,则消费者A和消费者B 的效用函数分别为：UA(X,y)=XA-6y A-4uB(x,y)=XB+l n y B(1)由题意知，消费者A 和消费者B 面临预算约束：XA+XB=2+1 0；y A+y B=5+1 5。消费者的契约曲线，又称交换的契约曲线，指的是埃奇沃思盒中，不同消费者的无差异曲线切点的轨迹。在本题中，消费者的契约曲线表示两种产品在两个消费者之间的所有最优分配(即帕累托最优状态)的集合，需满足的条件为：MR S x y A=MR S x y B,即 M UxA/MUyA=M UxB/MU yB,即 0.6 x A-My A4/(O

5、.4 xAo-6y A-0-6)=1/(1/y B)，解得：y B=3y A/(2X A)。则消费者契约曲线为：xA=3yA/2 (2 0-yA)(0XA 1 2,0 yA C (x)=5 0 0,解得：n 500/(1一x)。所以，当村民人数在500/(1-x)及以上时才应该实施修路工程。市场有两个行业，服装行业和钢铁行业，服装行业的生产函数为y c=k，钢铁行业生产函数为y s=241s-5-2 a l e 与 Is 分别是服装与钢铁行业的劳动人数。市场总人数为2 5,而且所有人都会进入某个行业，假设服装行业与钢铁行业都是完全竞争行业，产品价格都是1。(1)假定劳动市场完全竞争，求 1c

6、和 h以及均衡工资。(2)假定钢铁工人组成一个强大的工会，拥有垄断权力向钢铁行业提供劳动，工会的目标是使本行业工人总收入最大化，求 1c 和 k 以及钢铁行业和服装行业的工资。(3)假定两个行业的工人共同组成一个强大的工会，可以垄断的向两个行业提供劳动，工会的目标是使所有工人总收入最大化，求 L 和 k 以及两个行业的工资。上海财经大学2011研解：(1)因为劳动市场完全竞争均衡，故设服装行业和钢铁行业的工资为W c =W s =W,服装行业的生产函数为y c =lc，所以服装行业工人的边际产量MP=1,因为产品价格为1,所以服装行业工人的边际产品价值V M P =P-M P=1,又因为劳动市

7、场完全竞争，所以有V M P =W c W s =:W 1 o对于钢铁行业，工人的边际产量M P=121s-g 2,边际产品价值 V M P =P M P=1 21S-5-2=1,所以得 l s-5=1/4,因此=16；因为k+l c =2 5,所以l c =9。(2)此时服装行业因为没有发生变化，所 以V M P =W c=1,但是钢铁行业发生了变化，产品市场依然是完全竞争市场而劳动市场不再是完全竞争市场，钢铁行业利润函数为 7 ls=ps Y s lsws=241s 5 21s lsws,假如给定了钢铁行业工人的工资，则根据利润最大化的一阶条件，有：兀 s/d ls=121s -5 2 W

8、 s =0=ws=121s-0-5 2可以把上式看成是钢铁行业对工人工资的一个反应函数。此时工会的目标是最大化收入函数Rs =ls W s，把反应函数 W s=12 6 2 代入该目标函数，得：Rs=k(121s-0-5-2)=121s0 5-21s则根据收入最大化的一阶条件，有：d Rs/d ls=61s-0-5-2=0=ls=9因为 L s+lc =2 5,所以1=1 6。此时钢铁行业的工人工资为w s=121jo-5-2=2。(3)此时工会的目标函数是兀=lc W c +ls W s，服装行业利润函数为7 l c =Pc Y c-1c W c =1c-lc Wc,利用利润最大化可求得W

9、c =l,瑞镁行业利润函数为：7 l s =psyS 1SWS=241s0-5 21lsws,利用利润最大化可求得ws=121s-5 2O注意到h +l c =2 5,于是工会的目标函数变为：7 C Ic W c +ls W s 25 ls+ls (121s 0,5 2)=121s0,5 31s +25根据一阶条件得l s =4。因为 k+lc=25,所以 k=21。此时钢铁行业的工人工资为W s=121s 25 2=4。某产品市场中存在很多的消费者，而生产该产品的企业只有两家，企业A和企业B,这两家企业生产完全相同的产品，固定成本均为0,企业A的边际成本为10,企业B的边际成本为1 4,已知

10、该市场的需求函数为线性，且当价格P 为 20时，需求量QD为 100，需求价格弹性为一0.2。(1)求该市场的需求函数。(2)如果两家企业进行古诺竞争，此时市场的均衡价格与均衡产出是多少？(3)如果企业A先做产出决策，在预测到企业A的决策之后，企业B再进行产出决策，此时市场的均衡价格与均衡产出是多少？两家企业的产出分别多少？清华大学 2015研解：(1)设该市场的需求函数为P=a b QD，由“当价格 P为 2 0 时，需求量QD为 1 0 0，需求价格弹性为一0.2”，可得下列方程组：解得：a=1 2 0,b=1 o 因此该市场的需求函数为P=1 2 0QD。(2)若两家企业进行古诺竞争，则

11、企业A 的利润函数为7TA P qA-C SA)=(1 2 0 qA-qe)qA_ 1 0 qA其利润最大化的一阶条件为3 兀A/朋A=1 1 0 2 qA qB =0,所以企业A 的反应函数为qA=5 5 0.5 qB；企业B的利润函数为：KB P qB -c (qe)=(1 2 0 qA-QB)qB_ 14QB其利润最大化的一阶条件为珈B/SQB=1 0 6 2 qB q A=0,所以企业B的反应函数为qB =5 3 0.5 qA；联立企业A、B的反应函数得：qA=3 8,qB=3 4；此时市场的均衡价格为P=4 8,均衡产出为QD=7 2。(3)如果企业A 先做产出决策，则企业A 为领导

12、者，企业B为追随者，由(2)知 B的反应函数为qB =5 3 0.5 qA,将其代入领导者A 的利润函数可得71A=(1 2 0 qA QB)qA1 0 qA=(1 2 0 qA-5 3 +0.5 qA)qA1 0 qA=(6 7 0.5 qA)QA-1 0 qA其利润最大化的一阶条件为：S7 T A/SqA=5 7 qA=0,解得：QA=5 7；代入B的反应函数得：qB=2 4.5；此时，市场的均衡产出为QD=8 1.5,均衡价格为P =3 8.5 o在某一座1 0 万人口的城市，政府发了 1 0 0 0 辆出租车经营牌照。为了模型的简便，我们设每辆出租车每天固定载客运行3 0 0 公里，每

13、天运行的成本(包括汽车折旧、司机劳动力投入和汽油等等)是3 0 0 元。设该城市中每人每天对出租车的需求函数是p=3 2 1 0 q,其中q为坐出租车出行的公里数，p 为每公里的价格。假设出租车市场是完全竞争的。（1）试计算当地出租车市场的均衡价格（每公里价格）以及数量（总里程数）。（2）设每一年3 6 5天，一辆出租车每天都按上述的情况在跑，人们对未来收益的年折现率是1 0%,求每块出租车经营牌照的价格。北京大学2 0 1 5研解：（1）由每人每天对出租车的需求为p=3 2 1 0 q即q=3.2 O.l p,可知该城市每天对出租车的需求为：1 0 0 0辆出租车每天载客运行3 0 0 x

14、1 0 0 0 =3 0 0 0 0 0公里；由完全竞争市场的均衡条件，可知当地出租车市场的均衡数量为Qe =3 0 0 0 0 0,代入需求函数可得：均衡价格为pe=2 （元）o（2）每辆出租车每年利润为由未来收益的年折现率是1 0%,可知每辆出租车未来收益的现值为兀/1 0%=1 0 95 0 0/0.1 =1 0 95 0 0 0；因此，每块出租车经营拍照的价格为1 0 95 0 0 0元。棉花市场需求函数为Qd=1 0 2 p,供给函数为Qs=3 p-5,政府为了保护棉农利益，决定采取适当政策。（1）政府决定制定最低价格，并决定按照最低p=4收购市场上剩余棉花，求政策前后供给量与需求量

15、的变化量以及政府需要采购的数量。（2）计算政策实行前后消费者剩余以及生产者剩余的变化、政府采购的成本。（3）政府决定将最后价格政策改为对棉农补贴。棉农每销售一单位棉花，政府对其补贴s元，请确定s使生产者利益和实行最低价格时相同以及政府的成本。上海财经大学2 0 1 1研解：(1)根据市场均衡条件Q d =Q s可以求得政府决定制定最低价格之前的均衡价格和均衡数量，有1 0 2 p =3 p-5,均衡价格为p*=3,均衡数量Q*=4。政府制定最低价格p=4后需求量变为Q d=1 0 2 x 4 =2,减少了 2,供给量变为Q s =3 x 4 5 =7,增加了 3,市场的剩余量为5,所以政府需要

16、购买5个单位的棉花。(2)需求函数和供给函数如图1所示。图1需求函数和供给函数政策实行后，消费者剩余减少，减少的数量为梯形Di Dz P*E 的面积,EP*=O Q*=4,Di D2=O Dd=2,PfD2=1,则消费者剩余减少(4 +2)x l x l/2 =3 o政策实行后，生产者剩余增加，增加的数量为梯形D2 S1 EP*的面积，D2 s l =O Ds =7,EP*=O Q*=4,则生产者剩余增加(4 +7)x l x l/2 =5.5 o政府采购的成本为：4 x 5 =2 0。(3)由于政府对每单位的棉花生产补贴s,设消费者最终实际支付的价格为P d，生产者最终实际得到的价格为P s

17、，则有P d +s =P s，并且由最终供求均衡1 0 2 P d =3 P s5 0再由实行价格补贴与最低价格时生产者剩余相同可知：解方程组得，Ps=4,s =2.5 o所以，当政府为每单位的棉花生产补贴2.5时，生产者的利益和实行最低价格时相同，此时，政府的成本为2.5 x 7=1 7.5。已知某产品的生产函数为f（X 1，x2）=m i n （x i，x2）%a 0,x i，X 2 为生产要素，生产要素的价格为w i =1 0,W 2 =2 0,p =5 0,p 为产品价格。（1）求规模报酬递增、规模报酬不变、规模报酬递减情况下的取值范围。（2）求利润最大化时X ,X 2 的要素需求函数

18、。（3）求成本函数。（4）前 面 的（2）、（3）问如何依赖于a的取值。北京大学2 01 5 研解：（1）设入1。f （X,x i,X x 2）=m i n （X x j,X x 2）a=X,a m i n （x i,X 2）a=xaf（X 1 ,X 2）规模报酬递增时，f （X x i，X x 2）X f （x i，X 2）,a 1;规模报酬不变时，f （X x i，X x 2）=f（x i，X 2）,a =1;规模报酬递减时，f （X x i，X x 2）X f （x i，X 2）,a l o（2）设产量为 Q,则 Q =f （x i，x2）o由题意知，该生产函数是完全互补型生产函数，厂商

19、的要素使用原则是:Q =X ia=X 2a,则 X i=X 2 =Q a。厂商利润函数为：7 l =p Q -W i X i W 2 X 2 =p X ia W 1 X 一W2X i;其一阶条件为：d i r/d x i =p a x L i w i W 2 =0;解得：X 1 =（W 1+W 2）/（p a）/O 所以当0Va S0.5 时,d x t/d a 0,xH X 2 的要素需求函数随a 增大而增大；当 a 0.5 时，d x i/d a 0。请计算每家企业的商品价格以及获得的利润。北京大学2 01 8 研解：依题，三家企业进行价格博弈，故必有k 0 (否则三种商品之间不存在替代关

20、系，三家厂商之间不存在博弈)。考虑博弈进行一期、有限期、无限期三种情况。(1)博弈只进行一期。三家企业同时决定价格以最大化自己的利润(由于固定成本在短期内不影响企业的生产决策，此处不用考虑固定成本问题)。设三家公司选择的价格分别为P ,P 2,P 3；利润分别为兀 1，兀 2，兀 3；总成本分别为C i，C 2，C 3 0显然 7 ll=P l(l-P i+kP2+kP3)-C 1，兀 2 =P 2(I-P 2 +kP i+kP3)-C2,7 1 3 =P 3 (l-P3+kP i+kP2)-C 3 0三家公司利润最大化的一阶条件分别为：加/SP 1 =1 2 P 1 +k P2+kP3+c

21、i=O 派 20P 2=1 -2 P2+kP,+k P3+c2=0S7 i 3/SP 3=1 -2 P3+kP i+kP2+c3=0(3)三式相加得到 P i+P z +P 3=(3+CI+C 2 +C 3)/(2 2 k),由于P0,故必有kVl(这排除了产品完全同质的情况)。联立 ，得每家企业的商品价格：于是每家企业的产量为:进而可以解得每家企业的利润为:(2)博弈进行有限期。运用逆向归纳法，最后一期三家企业进行同时定价博弈，与只进行一期相同；倒数第二期三家企业的博弈仍旧与只进行一期相同，以此类推。所以进行有限期价格博弈的均衡结果与只进行一期相同。(3)博弈进行无限期。由于0 k 0）时，

22、企业2只要定价为P 2=1 0 +2（0 2 1）就可以获得全部市场份额。若 2 翔，企 业 1 只要降价至P l =1 0 +&3（0 3 1 0 1 2.5 o即在博弈相对方产量不变的前提下，企业改变自己的串谋产量可以增加利润。这意味着每个企业都具有占优策略：不合作，该博弈的均衡是占优策略均衡：博弈参与者都不合作。因此，串谋的形式是不稳定的。假设一个企业生产衣服，需要两种投入要素：资本和劳动力。该企业的生产函数为f （K,L）=K1/4L1/4,其中 K 和 L 分别表示这个企业在资本和劳动力上的投入量，假设资本和劳动的单价分别为40元 和 10元。(1)若企业决定生产y 件衣服，那么需要

23、花费的最小成本是多少？(2)假设该企业处在一个完全竞争的市场环境中，若该企业所生产的衣服的市场价格为p 元每件，这个企业应该生产多少件衣服？(提示：生产的衣服的数量是关于p 的函数)(3)我们进一步假设在该完全竞争的市场中有800个企业，所有企业都生产相同的衣服，并且所有这些企业的生产技术都一样，即每个企业的生产函数都是f(K,L)=K1/4L1/4O同时该衣服的市场反需求函数为p=800-D/1 0,其中D 表示市场的总需求，试求出当市场处于均衡时，该衣服的市场价格为多少？每个企业卖出的衣服数量是多少？上海财经大学2016研解：(1)构造拉格朗日函数：0=40K+10L+X (y-K1/4L

24、1/4)；其一阶条件是：S /SK=4 0-XK-3/4L1/4/4=0；S /SL=10-XK1/4L-3/4/4=0；aa)/aX=y-K1/4L1/4=0；解得：L=2y2,K=0.5y2o则企业生产y 件衣服需要花费的最小成本是：C=40K+10L=20y2+20y2=40y2o(2)完全竞争厂商利润最大化条件为p=MC=8 0 y,则这个企业应该生产y=p/80件衣服。(3)由题意知，该衣服的市场供给为S=800y=800 xp/80=1 0 p,市场需求为 D=80001 0 p,解 5=D,得：p=4 0 0,则 y=p/80=5。即当市场处于均衡时，该衣服的市场价格为4 0 0

25、,每个企业卖出的衣服数量是5。考虑一个双寡头古诺模型，P和Q分别表示市场价格和产品销售总量；q i和q 2分别表示厂商1和厂商2的产量；MC表示厂商生产的边际成本，假设两个厂商生产的产品完全同质。（1）如果两个厂商的生产均面临不变的边际成本1/2,且反需求曲线为P=lQ,则均衡时两个企业的产量分别是多少？（2）如果两个厂商同质，且在均衡价格上的需求弹性（以绝对值定义）为2,那么均衡时厂商的价格加成率是多少？（3）如果均衡价格上的需求价格弹性仍为2,而均衡时行业的H H I指 数（即每个企业占有总市场份额的平方和SI2+S22）为0.6 8,以企业市场份额为权重计算的行业平均价格加成率为多少？（

26、价格加成率以勒纳指数（P MC）/P度量）中国人民大学2 0 1 6研解：（1）厂 商1的利润函数为：7 T1=TR 1-TC1 =1-（q i +q?）J q i q i/2=q（2 q i q2+q i/2 o利润函数对卬求导，可以得到厂商1的反应函数为：2 q i +q 2=1/2；同理可以得到厂商2的反应函数为：2 q 2 +q i =l/2。将两个反应函数联立可以得到均衡时两个企业的产量：q i =1/6,q 2=l/6 o（2）古诺竞争下，厂商利润最大化的边际条件为：M R i=MG。于是，MG=M R i =P （1-Si/e）o整理得到：（P MG）/P =Si/e。由e =2

27、,且两个厂商生产的产品完全同质有：s i =S2 =0.5,从而均衡下的厂商价格加成率为：（P MG）/P=Si/e =0.5/2=0.2 5 o(3)若赫芬达尔指数(H H I指 数)为S/+S2 2 =0.6 8,则行业的价格加成率为：某消费者的效用函数为U=(x i，x2)=X,1/3X22/X I和X 2分别为两种商品的消费量，消费者收入为1 0 0,两种商品现在价格分别为P i =l,P 2 =2,求：(1)消费者最优消费的X I和X 2量。(2)如果第一种商品价格由1提高为2,其他因素不变，则价格上升对第一种商品的消费量影响的总效应有多少？按照S l ut s k y分解原理，收入

28、效应和替代效应分别是多少？(3)计算第一种商品价格从1变化为2,要保持原有效应不变的收入补偿数额。中国人民大学2 0 1 7研解：(1)由题意知，消费者的效用函数为U =X I1/3X22/3，预算约束为：X|+2 X 2=1 0 0O因此可以建立拉格朗日方程：(|)=X11/3X 22/3-(X+2 X 2-1 0 0)o消费者效用最大化的一阶条件为：S(j)/S x i=(1/3)X I-2/3X 22/3 X=0S(|)/S x 2=(2/3)X I1/3X 2-1/3 的/。九=一(X I+2X2-1 0 0)=0解得：x i=x2=1 0 0/3,即最优消费量为X I=X 2=1 0

29、 0/3。(2)当P=2时，新的预算约束为XI+X2 =5 0,按照(1)的解法算得：x i =5 0/3,x2=1 0 0/3,所以总效应为：A x 1=5 0/3 -1 0 0/3 =-5 0/3 o根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，商品x i和商品X 2的马歇尔需求函数分别为：X 1 =I/(3 P 1),X 2 =2 I/(3 P2)O根据S l ut s k y分解原理，总效应=替代效应+收入效应。斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化，价格变化前的消费束是(100/3,1 0 0/3),价格变化后要使消费者仍消费原来的消费束，收入应为：

30、1=2x100/3+2x100/3=400/3。在此收入下的预算约束为X I+X2 =2 0 0/3,故xi=xi(2,2,D =17(3Pi)=200/9。所以斯拉茨基替代效应为：Ax S =xi(2,2,19-x i(1,2,I)=(200/9)-(100/3)=-100/9。收入效应为：Axim=A xi-A xis=-5 0/9o(3)按照希克斯分解原理，总效应=替代效应+收入效应。替代效应是在保持效用水平不变的条件下的变动，由(1)知原来的总效用水平为U(xi，x2)=100/3。当 P1=2时，在保持既定效用水平的情况下，寻求支出最小化，构造新的拉格朗日方程：对 Xi，X2，丫求偏

31、导得：解得：在新的价格下，要保持效用不变，则收入补偿额为:假设消费者对于苹果x 和香蕉y 的效用函数为：U(x,y)=(x+1)y。消费者的收入水平为I,苹果和香蕉的市场价格分别为px和 pyo(1)为追求效用最大化，求解消费者的马歇尔需求函数。香蕉是苹果的总替代品还是总互补品？(2)计算间接效用函数和支出函数。(3)以香蕉为例，验证斯拉茨基方程。中国人民大学2018 研解：(1)易知M U x/p x =M U y/p y时效用达到最大，即y/p x=(x+1)/py,彳弋入消费预算约束P x x +p y y =l,解得消费者的马歇尔需求函数为乂=(I-px)/(2 px),y=(l +p

32、x)/(2 py)o因为d x/3 p y =0,所以香蕉既不是苹果的总替代品也不是总互补品。(2)将(1)中马歇尔需求函数代入效用函数表达式，得间接效用函数：由对偶性得支出函数：(3)斯拉茨基方程为：由(2)可知y的希克斯需求函数为：则：此时以上四式代入斯拉茨基方程中，有再将y=(l +p x)/(2 py)代入，化简可知等式成立,因此可证斯拉茨基方程成立。某消费者对商品x和商品y的效用函数为u(x,y)=x 0.5 x2+yo商品x的价格为p,商品y的价格标准化 为1。问题：(1)写出该消费者对商品x的需求函数。(2)假定商品x由一个具有规模报酬不变生产技术的垄断厂商提供，单位成本为0.4

33、 元。求产品定价、消费者剩余、生产者剩余。(3)若 x由两个厂商供给，单个产品成本为0.4,两个厂商之间进行古诺竞争，求均衡时的市场定价、生产者剩余和消费者剩余。中国人民大学2 0 1 8 研解：(1)为使效用最大化，则有MU x/p x =MU y/p y,可以得到：(1 x)/p=l,则 X =l p即为消费者对X的需求函数。(2)设该市场有n 个和该消费者一样的其他消费者，对需求加总得到市场上的总需求函数为q =n x =n (1 p),反需求函数p=l q/n。由于单位成本A C =0.4,则 TC =0.4 q,边际成本M C =0.4,而边际收益：垄断厂商极大化收益时，有 M R

34、=M C,则 1 2 q/n =0.4,q =0.3 n,代入反需求函数，得 p=0.7,消费者剩余为：生产者剩余为总利润兀=(p A C)x q =0.0 9no(3)对两个厂商而言，面临的市场反需求函数均为p =1 (q i+q 2)/n o则厂商1 的利润函数为兀i=p q i c iq i=l (q i+q 2)/n jq i0.4 q i，对 q i求一阶偏易等于0,得厂商1 对厂商2的反应函数为q i=(0.6 n q2)/2,同理解得厂商2 对厂 商 1 的反应函薪为q 2=(0.6 n q i)/2,联立两个反应函数，解得古诺均衡解q 1*=0.2 n,q2*=0.2 n o代

35、入反需求函数有均衡定价为p*=0.6,消费者剩余：生产者剩余是两家厂商利润函数之和，为兀=(p-A C)x q =0.0 8 no冰淇淋的市场取决于天气变化。天气炎热则冰淇淋售价为每个6 元；天气寒冷售价为4 元。一个冰淇淋小生产者的成本函数为：C =q 2 +q +5,生产者须在知道天气情况之前做出决策，已知天气冷热的概率各为0.5。如果厂商要期望利润最大化，应该生产多少冰淇淋？中国人民大学2 0 1 8 研解：天气炎热时，生产者的利润函数为m=6 q C =6 qq2q-5 =q2+5 q-5 o天气寒冷时，生产者的利润函数为7 i2=4 q C =4 q q 2q -5 =-q2+3 q

36、 -5 o由于天气冷热概率各为0.5,则厂商的期望利润为：E （7 1）=0.5 （q2+5 q 5）+0.5 （q2+3 q -5）=一q2+4 q 5期望利润最大化的一阶条件为：S E（7 i）/Sq=2 q+4 =0 o解得q =2,所以厂商要期望利润最大化，应该生产2单位冰淇淋，此时期望利润为一1。已知消费者只消费两种商品，效用函数是x 价格为1 0 元，y 价格是5 元，财富为5 0 0 元。请回答下列问题。（1）计算边际替代率判断该消费者是否具有凸偏好？（2）求解消费者最优需求。（3）政府对每单位商品x征收5 元的消费税，那么为了使得消费者福利水平不变，政府应给予消费者多少补贴？中

37、国人民大学2 0 1 9研解：（1）由效用函数可得该消费者的边际替代率为：进而有:即该消费者的边际替代率递减，因而该消费者具有凸偏好。(2)该消费者的预算约束为1 0 x +5 y =5 0 0,则其效用最大化问题为：构造拉格朗日辅助函数：效用最大化一阶条件为：解得消费者的最优需求为：x =2 5,y =5 0。(3)征税前，消费者福利水平为：征税后，x 价格变为1 5 元，y 价格不变，财富变为I,消费者预算约束变为1 5 x +5 y =I,则其支出最小化问题为：构造拉格朗日辅助函数：支出最小化一阶条件为：解得消费者的最优需求为：，。所以为了使消费者的福利水平不变，政府应给予消费者的补贴为

38、。在一个民事赔偿中，原告将聘请某律师为代理。案件可能的结果有两种，即原告获得的赔偿可能为y i =8 000或 y 2=10000。两种结果发生的概率与律师工作的努力程度e C l,+o o)有关，结果y i=8 000出现的概率为1/e,而结果y 2=10000出现的概率为l 1/e。律师采用努力程度e 的成本为c (e)=e2+700,其中700为律师的固定成本。原告付给律师的费用可以与案件的判决结果有关，记 为(W i，W 2),其中两个变量分别代表两种判决结果下支付的律师费。律师和原告均为风险中性。在这个博弈中，原告首先提出一个律师费支付方案，律师决定是否接受。如果不接受，原告放弃聘请

39、律师，并接受结果yi=8000；如果接受，即形成聘用合同关系，律师选择其努力程度。案件的判决结果实现后，原告根据合同支付律师费。(1)如果原告能够观察和验证律师的工作努力程度，并且可以将其写入合同，请找出原告的最优支付方案。(2)如果原告不能观察律师的工作努力程度，请找出原告的最优支付方案。北京大学2011研解：(1)这是一个努力成果不确定但可监督的委托人-代理人博弈模型。既然原告能够观察律师的努力程度，而且能够算出自己期望收益最大化的律师努力水平e*,那么他的工资标准就应该是：如果律师的努力程度低于e*,那么原告支付给律师的工资为0,否则支付w。原告的期望得益函数为8000/e+10000

40、x(l-1/e)一w,但还必须满足律师的参与约束条件即we2+700,这里取等号，因此原告的期望得益函数为8000/e+10000 x(1-1/e)-(e2+700)=9300-2000/e-e2,根据函数极值的一阶条件易得e*=10(此时极大值的二阶条件满足)。因此，原告的最优支付方案为：如果获得8000的赔偿则不支付工资，如果获得10000的赔偿则支付800的工资。(2)这是一个努力成果不确定且不可监督的委托人-代理人博弈模型，由于原告(委托人)无法掌握律师(代理人)的努力程度，因此只能根据判决结果支付报酬。设原告采用线性报酬计算公式0=庆+3田(e),其中R(e)为原告的期望得益，因此8

41、000/e+10000 x(1-1/e)=10000-2000/e,线性报酬意味着原告采取的是固定工资加提成的工资制度。这样原告的纯期望得益函数为 R(e)-w=10000-A-10000B+(B-l)2000/e,律师的期望得益函数为w C(e)=A+10000B-2000B/e-e2-7 0 0 o 现在原告面临的问题就是确定A 和 B 的值以使这种工资制度成为一种有效的激励制度。因为律师是风险中性的，只要工资满足w (e)=A+10000B-2000B/e-e2-7 0 0 0,律师就接受委托。律师的期望得益函数为w C(e)=A +10000B 2000B/e-e2-7 0 0,根据函

42、数极值的一阶条件，当满足e3=1000B时，律师的得益最大(同时满足二阶条件)。原告对A 和 B 的选择必须满足律师参与约束的下限，即：A+10000B-2000B/e=e2+700这样，原告的收益函数即为：10000-2000/e-(e2+700)容易求得当律师的努力水平e=1 0 时，原告的期望收益最大，即 e=10是符合原告的最佳律师努力水平。将 e=1 0 代入律师的最优选择公式e3=1000B中，可得B=l o 再将e=1 0 和 B=1代入到约束条件A+10000B-2000B/e=e2+700 中可得 A=-9000。因此，原告的最优支付方案就是：律师选择努力水平e=1 0,官司

43、失败时让律师支付1000给自己，官司成功时支付1000给律师。金老板拥有一个小作坊,生产产品A。小张是金老板唯一的雇员。小张工作x 小时可以生产x 单位的产品A o 每单位产品A 售 价 1 元。小张工作x 小时的成本为c(x)=x2/2o(1)假设小张在别处工作能获得的最高收入为0。金老板决定把他的作坊以固定租金租给小张，那么金老板会决定以什么价格将作坊租给小张？小张租到作坊之后，会选择生产多少单位的产品A?这一结果有效率的吗？(2)仍然假设小张在别处工作能获得的最高收入为0。但金老板现在改变主意，不将作坊出租给小张了，取而代之的是给小张支付激励性报酬。如果小张工作x小时，金老板支付s (x

44、)=w x +ko那么金老板该选择什么样的w 和 k 才是最优的激励报酬机制？(3)现在假设小张在别处参加某项活动可以获得收入1元而不用付出任何努力。那么这会如何改变第二问的答案呢？上海财经大学2 0 1 2 研解：(1)根据已知条件，c(x)=X2/2；并且，1 单位时间的工作可有1 单位的产出，所以可设生产函数为f(x)=Xo有效激励机制的条件是f7(x*)=c，(X*)=1 ,此时 X*=1 o若金老板以固定租金R租给小张，小张的收益是：S f(x)=f(x)-R,由于小张在别处工作能获得的最高收入为0,即有：s (x)c(x)=f(x)R c(x)=x R (x2/2)|x*=l =0

45、解得R=l/2,即金老板会决定以1/2 元的价格将作坊租给小张。租到作坊之后，小张追求s f(x)-c(x)=f(x)R c(x)的最大化，则会选择F (x*)=c，(x*),此时x*=l。因此，小张租到作坊后，会选择生产1 单位的产品A,且生产是有效率的。(2)支付激励性报酬下，小张的最优问题为：最优化的结果是c，(x*)=w=l。因为小张在别处工作能获得的最高收入为0,所以，wx +k c(x)|x*=i =0,解得，k=-l/2 o 此时最优激励报酬机制为：s (x)=x l/2 o(3)此时假设小张在别处参加某项活动可以获得收入1元而不用付出任何努力，则在支付激励性报酬下，小张的最优问

46、题为：最优化的结果仍为c，(x*)=w=l。因为小张在别处工作能获得的最高收入为1,所以，wx +k c(x)|x*=i =1,解得，k=l/2。此时最优激励报酬机制为：s (x)=x+l/2 o美国波音和法国空客都向世界出售民用客机。假设世界对于飞机的需求函数为：P =2 0 q。两个公司的成本函数都是c(q)=8 q。(1)假设两个公司都进行生产，请找出两个公司的古诺/纳什均衡，包括各自的产量，价格和利润。(2)请问这两个公司是否愿意合谋从而平分垄断利润？(3)现在假设美国政府决定给予波音公司每架飞机3 单位的生产补贴，请问新的古诺/纳什均衡价格和两个公司的利润为多少？(4)相比于没有补贴

47、的古诺均衡，两个公司各自的利润有何改变？美国作为整体的利润有何改变？(5)第(4)问中的结果反映古诺模型的假设是否合适？为什么？北京大学201 5 研解：(1)设美国波音和法国空客生产的飞机数分别为q i、q2,则市场需求函数为P =20 q i q 2，美国波音的利润函数为：7 1 1 =P q i c(q i )=(20 一q一q2)qi-8 q i其利润最大化的一阶条件为3兀1/用1=20 2口1-42 8 =0,所以美国波音的反应函数为q i =6 0.5 q 2；法国空客的利润函数为：7 U 2 P q 2-c(q2)(20 q一q2)q2-8 q 2其利润最大化的一阶条件为6 7

48、1 2/2=20 2q2 q i 8 =0,所以法国空客的反应函数为q 2=6 0.5 q 1；联立上述两个公司的反应函数，可得：两公司的产量为q i=q 2=4,利润为兀1=兀2=1 6；古诺均衡价格为P =1 2o(2)若两公司合谋，则两公司的利润最大化的条件为MCI=MC2=M R,其中边际收益为 M R =20 2(q i +q 2)，边际成本为MCI=MC2=8,代入利润最大化的条件可得：q i+q 2=6,垄断利润为：7 T P：(q)+q 2)c(q i +q 2)=(20 6)x6 8 x 6 =36平分垄断利润后每家公司的利润为兀1=兀 2=1 8 1 6。虽然在合谋之下双方

49、可以获得比古诺竞争下更多的利润，但古诺均衡是一个占优均衡，而合谋并非一个纳什均衡，两寡头即使进行合谋，均衡也是不稳定的，因为寡头有违背合约而单独增加产量以便获得更大利润的激励。因此，即便是合谋可以获得更大利润，两寡头也无法进行合谋。(3)若美国政府给予波音公司每架飞机3 单位的生产补贴，则美国波音的利润函数为：7 i i =P q i c(q i )+3q)=(20 q j q 2)q i 8 q i +3q i其利润最大化的一阶条件为加i/S q i=20 2q i q 2 5 =0,所以美国波音新的反应函数为q i=7.5 0.5 q 2；法国空客的反应函数仍为q 2=6 0.5 q 1，

50、联立两公司的反应函数，可得：两公司的产量为q i=6、q 2=3；古诺均衡价格为P=l l；两公司的利润分别为兀1=36、7 1 2 =9 o(4)相比于没有补贴的古诺均衡，美国波音的利润增加了 36 1 6 =20单位，法国空客的利润减少了 1 6-9 =7；美国作为整体的利润从1 6 变为36 3 x 6=1 8,增加了 2 单位。(5)古诺模型的假定包括：市场上只有两个企业，彼此之间并不存在任何正式或非正式的勾结；两个企业生产同质产品，并以追求利润最大化为目标；每个企业都视对方的产出水平既定不变，并据此确定自己的产量；需求曲线为线性，边际成本是常数。(4)中的结果反映出该假设中的不合适，