立体几何计算：求体积归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf

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1、专题1 1立体几何大题计算：求体积归类目录一、热点题型归类.1【题型一】体 积1:常 规 型（直接法）.I【题型二】体积2：体积转化（等体积型，夹缝体积型）.6【题型三】体积3：多面体型（切割与补形）.10【题型四】体积4：异形体积比.15【题型五】体积应用1：点到面的距离.19【题型六】体积应用2：最 值（难点）.22【题型七】体积应用3：翻折型.28【题型八】体积综合型.32二、最新模考题组练.36次遂数点致型归他【题型一】体积1:常规型（直接法）【例1】如图，在圆锥PO中，A,B,C为底面圆上的三个点，OC/AB,且PO=3OC=2AB=6,PE=2BE.（1）证明：CE/平面PAO.（

2、2）求四棱锥E-A 5 c o的体积.【答案】（1）证明见解析 辿6【分析】（1）设线段AP上靠近A 的三等分点为F,连接EF,O F,再结合条件证明四边形OCEF为平行四边形，分析求解即可：（2）作OGJ.AB于点G,则G 为A 8的中点，再求出梯形ABCO的面积，由圆锥性质得E 到平面ABCO的距离为gp。，再利用公式求解即可.（1）如图，设线段相 上 靠近A 的三等分点为尸，连接EF,OF.PE PF 2 2因 为 詈=芸=2,所以 APEFSP B A,所以M/AE,WEF=-A B.i D r/J J2因为OC7/AB,且 OC=A 8,所以 E尸 0C,且 F=OC,所以四边形OC

3、EF为平行四边形，所以CE/O F因为CEZ平面P A O,。尸u平面P A O,所以CE平面PAO.（2）_作O GLAB于点G,则G 为AB的中点，所以。G=H=，所以梯形ABCO的面积为乜 刊 x立=迫，2 2 4因为PE=2BE,所以E 到平面ABCO的距离为；PO=2,所以四棱锥E-ABCO的体积为l x 硬x2=3 巨.3 4 6【例 2】已知正三棱柱A B C-A B G 中，AB=2,是 8 c 的中点.求证：4 G 平面AMB；(2)点P是直线A C|上的一点，当AG与平面A 8 C 所成的角的正切值为2 时，求三棱锥P-4MB的体积.【答案】(1)证明见解析 友3【分析】(

4、1)连 接 交 AB于点N ,连接MV,利用中位线的性质可得出M N/AC,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；(2)利用线面角的定义可求得C C,的长，分析可知点尸到 平 面 的 距 离 等 于 点 C 1 到平面MB的距离，可得出=匕-4 M B =C 阳，结合锥体的体积公式可求得结果.(1)证明：连接A B 1 交AB于点N,连接M N,因为四边形例 耳 B为平行四边形，AScA8=N，则N为A 片的中点,因为M 为纥G的中点，则M N U A C、,QAG 平面 AMB，MVu平面 故 AR平面 A M B.(2)解：因为C G _ L 平面A B C,.A C 与平面A 8 C

5、所成的角为NCAG，因为A45C是边长为2 的等边三角形，则AC=2,ccCG，平面 ABC,AC u 平面 ABC,:.CCt A C,IjliJ tan ZCAC,=-=2,A C所以，CCt=2 A C =4,QAG 平面AMB,P e A C,所以，点尸到 平 面 的 距 离 等 于 点 0到 平 面 的 距离，因为M 为BC,的中点，W J5MMC,=1SAW 1=1XX22=BD =O.求证：F G/平面上4B；(2)求三棱锥G-H 化的体积;(3)求证：0 P 与A 6不垂直.【答案】(1)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)连接。尸，0 G,证明。尸平面八记，OG平面R4s

6、后由面面平行的判定定理得证；(2)由体积公式变换七一哂=；%田然后计算可得；(3)假设O P_LAB,由线面垂直的判定定理得线面垂直，然后又得线线垂直，得出矛盾,从而可得结论.(1)证明：如图，连接OF,OG,是 中 点，尸是PD中点，A OF/PB.OF(Z 平 面%3,尸 8 u 平面丛 8,则O F/平面R48.。是A C 中点，G 是 BC中点，：.OG/A B,OGU平面F48，A 8 i平面P 4 B,则OG平面又OGp|OF=。，O G,OFu平面ORJ,二平面OHG平面X 4 B,又FGu平面。FG,则 FG平面R4B.p(2)证明：尸，底面 ABC。，C O u底面 ABC。

7、，:.P D 1 C O,又四边形ABCD为菱形，二C O,3),又如 口。8=。，P D、O B u平面PD8,而 尸为P)的中点，COJ平面 P D 8,且CO=,2(3)证明：假设O PLAB,，底面 A B C D,AB i 底面 A B C D,：.P D Y A B,且O P nO=P，OP,P D u平面PD8,/.A B _L平面 P D B，而 D B u 平面 PD B,则/W_LE8，与4 489=60。矛盾.假设错误，故。尸与A 8不垂直.【例4】在如图所示的几何体中，底面四边形ABEF为等腰梯形，43 所，侧面四边形ABC。是矩形，且平面 A8CZU平面 A8EF,E

8、 F=2A B=4尬.BC=BE=2.D（1）求证：A尸，平面BC E；（2）求三棱锥4 一 CEF的体积.【答案】（1）证明见解析；【分析】（1）取E F的 中 点 为 连 接2 M,证明平面B E C,原题即得证;（2）利用匕一团=%-的计算即得解（I）证明：取E尸的中点为M,连接V AB/M F,:.AF/BM,*；BE =B M=2,E M =2叵、-BE2+B M2=EM2,:.B M 1 BE,因为平面A3CDJ_平面A B E R B C J.,平面ABCOQ平面筋 尸=他,B C u平 面ABCO,所以 BC_L 平面 A8EF,B C BM,-.-BC C BE =B,BC,

9、BE u 平面 BE C,所以 3 M，平面 BE C.AF_L 平面 BEC(2)解：A-C E F=VC-AE F=1 X 1 X 4A/2 X X 2=1【题型二】体积2：体积转化（等体积型，夹缝体积型）（重点）授课时归纳基本变化型1.等体积转化，多为三棱锥2.点转化型：（1）同底等高：平行线转化：（2）同底不等高：比列线段转化；（3）“夹缝型”【例1】如图所示，在正方体A 8 C D-A E G R中，为。中点.aG求证：平面AEC；(2)若正方体棱长为2,求三棱锥R-A E C 的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)连接交力C 于。，连接。,即可得到。EB R,从而得证:(2

10、)根据正方体的性质及T E C=匕/4=计算可得；(1)证明：连接8。交 A C T。，连接。所以0 E 是 的 中 位 线，所以 OE/BR,又U 面 A E C,BD 二面 A E C,所以 平面 A E C 解：正方体A 8 C O-A 8 G 2 中，仞 _ 1平面。6。，所 以%rECnVA-AEcMgsADiEC.AOMgxgxAExCDngxJxlxZxZng;【例 2】如图，在棱长为2 的正方体A B C Q-A 4G A 中，设 E 是CG的中点.（1）过点A,C 且与平面BR E平行的平面a 与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（说明画法，不用说明理

11、由）；（2）求四棱锥E-ABCQ的体积.【答案】（1）答案见解析;【分析】（1）根据面面平行的性质作图即可；（2）根据三棱锥的体积比可得匕rg。,=2匕 用 再计算即可.（1）取。的 中 点 连 接 A ,CM,易知“。加 为所作三角形.(2)因为AB/G R且A8=C R ,四边形A B C R 为平行四边形.1 1 4VtF-OAOBCC|DX|.=2tv,-pD C sjZ r =2OVB Z jCn|Cc F=2x3 2x xI ).1C.xC.ExBC=3,4故四棱锥E-ABCQ的体积为1.【例 3】如图，在三棱锥P-A B C 中，h，平面ABC,AABC是直角三角形，AC=BC,

12、PA=AB=6.D,E 分别是棱P8,PC 的中点.(1)证明：平面以CJ_平面ADE.(2)求三棱锥P-ADE的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】(I)由题意易知4C，8C,P AY B C,从而可证BCJ平面附C,而由中位线定理可得D E B C,于是EJ 平面B4C,最后由面面垂直的判定定理可证得平面B4C_L平面A D E.(2)由等体积法可知三楂锥P-4DE与三棱锥D-P AE的体枳相等，求出三棱锥P-A D E的体积即可求出答案，(1)证明，因为AM C 是直角三角形，且A C=B C,所以ACLBC.因为PA_L平面A 8 C,同BCu平面ABC,所以PA_LBC.因为AAu

13、平面R IC,ACu平面以C,且PAnAC=A,所以BC_L平面R 1C.因为。，E分别是棱PB,PC的中点，所以。E 8 c.因为BC_L平面用C,所以E_L平面附C.因为D Eu平面AOE,所以平面R4CL平面ADE.(2)解：因为 AB=6,所以 AC=BC=3/L因为2 4,平面ABC,且PA=6,所以三棱锥P ABC的体积V=xx3及x3&x6=18.3 2连 接C Q,因为。是棱PB的中点，所 以 三 棱 锥 的 体 积M=gv=gxl8=9.因为E是棱PC的中点，1 1 9所以三棱锥 A4E的体积匕=彳耳=-x9=.2 2 2因为三棱锥P-A D E与 三 棱 锥 是 同 一 个

14、 三 棱 锥，9所以尸-A Q E的体积为1.【例4】如图，在四棱锥。-4?8中，R 4 J _平面A B C。，四边形A B C。为正方形，点F为线段P C上的点，过A,D,F三点的平面与P B交于点E.(1)证明：E F/平面 A B C D；(2)若E为P B中点，且A fi =A 4 =2,求四棱锥尸-的体积.【答案】(1)证明见解析；1.【分析】(1)利用线面平行的判定证明4)平面P 8 C,再利用线面平行的性质、判定推理作答.(2)利用线面垂直的性质、判定证明 _ L平 面 进 而 证 得 收，平 面 皿 石，再借助锥体体枳公式计算作答.(1)正方形A B C D中，A Q/B C

15、,而B C u平面P B C,A ,而A D u平面A B C。，斯 二平面4 8 c O,所以E F/平面A 8 C D(2)因 P A J平面 A B C。，A D u 平面 A 8 C Z),则 A D _ LB 4,又 A D _ L4 5,ABoP AA,AB,P A(z平面R 4 B,则A D _ L平面R 4 B,P 8,4 E u 平面 P AB，于是得 _ L 4),P B _ L A D ,因 4 5 =R 4 =2 ,E 为 P B 中点，则 P B _ L 故,P E =AE =0，而A E n A O =A,4及4。(=平面4)尸,因此，2 8 1,平面4)/芭，由(

16、1)知 E F BC ,则有 E F =g 8 c=1,梯形 1)F E面积 S =；(E F +A )-A E =孚，所以四棱锥P A E E D的体积V =5尸 =1 述 乂 应=1.3 3 2【题型三】体积3:多面体型(切割与补形)规律：多面体切割，多从表面四边形对角线处“下刀”【例1】如图，在四棱柱A B C。-ABCR中，点M是线段8a上的一个动点，E,F分别是8 C,CM的中点.(1)设G为棱CD上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEF 平面8。及？(2)设三棱锥C-B D F的体积为匕，四棱柱A B C D-A g C Q的体积为匕，求%【答案】(1)G为8 中点时，平面GEF

17、 平面瓦仍石：,12【分析】(1)G为CO中点时，先证EF 平面8。用，再证GE 平面8。线，即可证得平面GEF 平面8力2线；(2)由 VC_BD F=VF_BDC=QVM-BDC，结合B R 平面BC。得0 c=V5!-BD C=5匕即可求得(1)V,=V,.1 2 2G为8 中点时，平面GEF 平面B Q R 4,理由如下：连接B M,取 8 的中点G,连接E G,F G,因为E,尸分别是6 C C M的中点，则E尸 B M，EF 0平面8。蜴,B Mu平面B D R B-则EF 平面以独片，同理可得GEBO,GEE/与梯形ABCD,可得AF/QE,A B/CD,因为4FS平面C 0 E

18、,且D Eu平面C D E,所以A尸 平面CDE,又因为A8E,所以平面ABF/平面CDE,因为B Fu平面A3尸，所以35平面CE.（2）解：因为平面ADE/7 J_平面4 8 c o,平面A D E F 0平面A B C D =A D ,且 C）J_A,CDu 平面 ABC。，所以 CO 1平面 AQEF,同理可证OE_ 1 _平面A B C D,连接 CF,故多面体 A B C D E F 的体积 VA BCIXF=VF_A BCD+VCFF=gxS梯 形.8、4尸 +:、5,。&y;.8 =：,FOVBO.,:BF=C F,FO=FO,NFOC=NFOB=90,，：.BFO XCFO,

19、：.BO=CO,由已知NBCD=45。得ABOC为等腰直角三角形，BO LCD,又FO LC D,BO cFO =O,BO、F O u平面BEO,8 _ 平面8/。，又 B F u平面 BFO,：.C D LB F；(2)解：取A 3中点G,连接尸G、O G,由(1)可知，OD=EF=1,又 EFUCD,，四边形O O M为平行四边形,棱柱O F G-D E A为斜棱柱且4B F为此斜棱柱的宜截面,在四棱锥厂一O C 8 G 中，由（1）知，FO.LCD,平面0 G8 C,V fi而体F-C=G棱柱OFG-0EA+%|极锥F-OCTG=/HFO E F +S 四边形 ；F1 1 5I=2 3

20、6=x l x l x l +-x 2 x x l x l x l =23 2【题型四】体积4：异形体积比【例 1】如图所示的五面体A B C D E F中,平面C D E F 平面A B C D,四边形C D E F为正方形,A B/CD,Z A D C =ZBCD=12O,A B =2A D.（1）求证：平面 A E；（2）若 4）=1,求多面体A B C DE/的体积.【答案】（1）证明见解析 手3【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理即可证明；（2）把多面体拆成一个三棱锥和一个四棱锥即可求体积.（1）证明：如图，因为ED LD C,平面C D E F，平面A B C

21、。，平面C DE 尸C l 平面A B C D =O C,E u 平回CD EF,所以即，平面A B C D因为BD u平面A B C。，所以B D_L E .在4A班）中，因为ZA DC=1 2 0,故ZZM B =6 0。，不妨 设 他=2 4 5 =2,所以由余弦定理，得班+则8 0 =6，所以A D2+B D2 A B2 所以 A Q _L B。，又 EDc AD=D,所以 B O _L 平面 A DE.（2）如图，若A =1,则 C =a?=l,由（1）知B Q _L 平面AD E,所以8。为三棱锥8 -A O E的高,而三棱锥B-C D E F的高为点B到平面C D E F的距离，

22、因为平面C DE F 平面A B C D,所以点B到平面C D E F的距离就是点B到直线C D的距离也，2故 yA HCD=v A,.+v r D.=-X 1X 1 X 1 X +-X 1 X 1 X=.ttr ti-AD L it-3 2 3 2 3【例2】如图，48C为矩形，点A、E、B、尸共面，ABE和AAB尸均为等腰直角三角形,且 ZBA E =NA FB=90,若平面 ABC。_L平面 A E BF.(1)证明:平面5CF_L平面A D F(2)问在线段EC上是否存在一点G,使得BG平面C?若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥C-A 8尸的体积之比，若不存在，请说明理由.【答案

23、】(1)证明见解析；4(2)存在，G是线段EC的靠近点C的一个三等分点，y.【分析】(1)利用面面垂直、线面垂直的性质证得A F _ L 3 C,再利用线面垂直、面面垂直的判断推理作答.(2)延长E 8至，使=连C”，过8作BGC”交CE于G,再利用点G,C到平面4叨下的距离关系及底面积关系，结合体积计算作答.(1)矩形ABCD中，B C L A B,乂平面ABCD_L平面AB尸，平面ABCDCI平面AEBF=A B,B C u平面ABC。，则BC_L平面而A产u平面尸，因此，A FA.BC,因NAEB=90，即冽U A F，而3CnBP=8，8。,8尸(=平面8。尸，则4尸_1平面3竹，又A

24、 f u平面AO F，所以平面BCF J_平面A D F.(2)因ABE和AARF均为等腰直角三角形，且NA4E=ZAF3=9 0,则NABE=NE4B=45，即有A F/8 E,并且有8E=&A B =24F,延长EB至“，使3=A F,连C”，如图，由母/A尸知，四边形他以为平行四边形，则 有 切/M BCD,ELFH=AB=CD.于是得四边形C*H是平行四边形，有 C H U DF,在平面CEH内过点8作3GC H交CE于G,因此8GO F,而 QFu平面CDF,3 G N平面C。/7,从而得3G 平面CF,2 2显然=则GE=GC E,即点G是线段CE的靠近点。的一个三等分点，3 32

25、2于是得点G到平面A E BF的距离h是点C到平面A E BF的距离3C的;，即=8。，而 S =g=，0酢)2 =2 S-112 4 1 4 K-ARF 4V(cj A.lBi cr.=-3 SA HAOBCF-h =3 -2Sa A l fAt B F 3-BC =3-(3-S A B F-BC)=-VC ABF,即=T ,AAZJ/，3 C-/i Z r y 3所以线段EC的靠近点C的一个三等分点G,能使3 G平面C D F ,三棱锥G-A 8 E 与三棱4锥 C-AB F的体积之比为【例 3】如图所示，斜三棱柱A8 C-AEG中，点 A为 AG上的中点.求证：8 G 平面A B Q.设

26、多面体A B C 4。的体积为匕，三棱柱A B C-AS G的体积为匕，求V2【答案】(1)证明见解析：【分析】(1)连接4B 交 A B,于点0,连接。，可得OD /BCi,由线面平行的判定定理即可证明BC/平面A B Q x由耳=匕-Z-MG D,，匕-A M=5匕-A闽 c,=不匕，匕-7闽=1G =匕可得答案.证明：连接A/B交A 小于点0,连接0。，则在平形四边形4 8B/A/中，点。为 A/B的中点，又点。为 4G的中点，所以 OD U/BCi,又 OQ/u 平面 A B/。/,8/C(Z 平面 A 8/。/,所以8。平面A B/O/.(2)因为K =匕一 匕 一 人 睇 4 一

27、K-c.O)匕 一 A S1n=耳匕一4 用 6=%匕，VC-BCR=%匕，i i 9 V?所以锣一”=在 所 以 号.【例 4】如图四棱锥P-A 8C D 的底面为平行四边形，E是 P B 的中点，过 A,D,E的平面a与平面P 8 C 的交线为/.(1)证明：/平面以D；(2)求平面a 截四棱锥P-A 8C。所得的上、下两部分几何体的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)3:5【分析】(1)由A D 5 C,得到AD平面P8 C,根据平面a 与平面P B C 的交线为/,结合线面平行的性质定理，即可证得/平面P A D ；(2)设/与 P C 交于点F,则 F为 PC的中点，连接OF,D

28、 E,D B,E C,设四棱锥P-A BC D的体积为V,得到VV VE_A BD=VE_BD C=J,VD_E FC=三,进而求得平面a 截四棱锥P-A BCD所得4 o的下面部分的几何体的体积，求得上、下两部分几何体的体积之比.(I)证明：因为A Z)8C,且0平面P 8C,8 Cu平面P8 C,所以4)平面P 8C,又平面a 与平面P B C 的交线为/,且 A u 平面a,则A D/1,乂 平 面 P A。，ADu平面P 4 D，故/平面P A Q.(2)解：设/与 P C 交于点凡 则 F为 P C的中点，连接OF,D E,D B,E C,设四棱锥P-A BCD的体积为匕 则VE_A

29、 BD=VE_BD C=?.v又由以-BD C=VD-BEC=2 VD-E FC，则%*C=W，oV V V 5V所以平面a 截四棱锥尸/3。所得的卜面部分的几何体的体积为:+7 +%4 4 8 8所以上面部分几何体的体积为 当，O故平面a 截四棱锥P-A 8C Q所得的上、卜两部分几何体的体积之比为3:5 .【题型五】体积应用1:点到面的距离【例 1】在如图所示的长方体A B C D-A 4C Q 中，底面ABC。是边长为2 的正方形，AAl=2m,点、E、尸分别为。2、8。的中点.（1）若机=1,求证：所，平面8。尸；（2）若三棱锥4 -CEF的体积为1,求 AA的长.【答案】（1）证明见

30、解析（2）3【分析】（1）证明CFJ_BD,B BI上CF,可证得。尸，平面3。与，从而可得EF工CF,再利用勾股定理证得EF ,再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据S出EF=Spq边形BDf稣S A*nE-S dB*F S ADEF求得 4 EE的面积，再根据XB（-CEF=%-玛 结合已知求得力的值，即可得出答案.（1）证明：.四边形A8CD是正方形，尸是的中点，80 _ L 平面 ABCD,CF u 平面 ABCD,/.BB、JL CF,又 BB、cB D =B,：.CV_L 平面 8 0 0 4 ,而 EFuBDD他，：.E F L C F,当加=1 时，EF=也,B、F=娓，

31、B1E=3,，EF2+BXF2=BE2,：.EFL BF,又B】F cC F =F,与尸、C F u 平面与C尸，尸，平面8。尸；(2)解：由(1)可知，平面3。片，SABEF=S四 边 形8叫用_ S 砧_ S&B研_ S.D E F=九 九 =九 磬 “1 7 I c 厂 匚 1 3 6%r r,-C E F =VC-B,EF=-S 时尸.C尸=X X ,2 =加，3/.m =,/.A A =3.2【例2】如图，在四棱锥尸一 A BC D中，底面A BC。是梯形，AB/C D f A D A.A B,A B=A D=P D =C D,P _L平面 A 8 C D,点 E是棱 P C上的一点

32、.证明：平面P BO_L平面P BC；是否存在一点E,使得上4平面由花？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由；Q(3)若三棱锥P-B C D的体积是4,求点。到平面以B的距离.【答案】(1)证明见解析；存在，PE =；PC,证明见解析；应【分析】(1)由线面垂直性质知P 0 L 3 C；取C。的中点M,由长度和平行关系可证得四边形4砌。是平行四边形，进 而 利 用 勾 股 定 理 证 得 由 线 面 垂 直 和 面 面 垂 直 的 判定定理可证得结论；A n A R 1 1(2)由三角形相似需=卷=5,则只需P E =；P C即可根据平行线分线段成比例得到PA HE

33、O,由线面平行的判定知4/平 面 从 而 确 定 存 在.(3)利用三棱锥的体积公式及等体积法求出点。到平面附8的距离即可.(1)P D _L平面A BC。，B C u平面A 3C D,._L3c.设 4?=a,则 A D =a,C D =2a B D =/2a-取C。的中点M,连结BM,又 DM/AB.，四 边 形 是 平 行 四 边 形，.BM=AD=a,.BC=&a，贝|J BD2+BC2=2a2+2a2=4a2=CD2，D BLBC.：PDDB=D,PD,DB u 平面 PBD,：.BCJ平面 PB).8 C u 平面 P8C,1平面P8C _L平面PBD.(2)当点E 为 PC 边上

34、靠近点尸的三等分点时(即PE=；P C)时，PA平面8 O E.理由如卜:.EOu平面 5DE,平面 BDE,：.P A/B D E.AO PE，八.-.,PA/EO.CO CE1 1 1 4(3)因为ABC,AB=-CD,所以故/二耳/一阮刀=，又-由=4，6 5 掺 切=1 尸1 4。3=：,解得 2,3 3 2 0 3因为A3，A),PO，A民PZ)D 4)=方,所以AB，平面出。，所以43，2,设点。到平面附8 的距离人，由 -A如=%的 8=,S%A8=g/7=4 A B =g2x/5x2 =：,3j 2 o 3解得/=&.即点D 到平面PAB的距离为应.【例 3】如图，四棱锥P-A

35、8c。中，底面ABCO为矩形，以，平面ABC。，E 为 P。的中点.(1)证明：PB平面4EC；设 AP=I,AD=6，三棱锥P-ABD的体积V=昱,求 4 到平面PBC的距离.【答案】(1)证明见解析亚13(分析(1)线面平行的证明，面外的直线与面内的直线平行，PB与平面AEC中的0 E 平行,利用中位线即可.(2)点到面的距离法一是直接法，法二是等体积法.(1)证明：如图，设 8。与AC的交点为0,连接E。因为四边形A B C D为矩形，所以点0为B D的中点.又点E 为 PO的中点，所以E 0PB.因为EOu平面AEC,P网平面A E C,所以P8平面4EC.(2)作于点H B4_L平面

36、ABC。.PA BC,PA rA B 又-rABC。为矩形，A)_LM,AP=1,A D=y/3.V=-A P A B A D =A B6 6由丫=且，可得A 8=：.4 2由题设知BCL平面以8,所以BCLA”，故 AH_L平面P B C,即A”的长就是点A 到平面PBC的距离.因为P8=J”2+AB2=叵,所以A H=处 迎=之 姮.2PB 13【题型六】体积应用2：最值(难点)【例 1】如图，等腰梯形A8C。中，AO=OC=BC=2,A B=4,E 为 A 8的中点，将AAOE沿。E 折起、得到四锥P-Q E B C,尸为PC的中点，M 为 EB的中点(1)证明：平面PDE：(2)证明：

37、D E L P C；(3)当四棱锥PBC的体积最大时，求三棱锥E-Q C尸的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；g.【分析】(1)连接CM并延长与DE延长线交于G,在小C P G 中F M U P G,根据线面平行的判定即可证结论.(2)“为OE中点，连接尸”,。7,易得DE8C为平行四边形、PDE为等边三角形且ZEDC=6 0,进而可得P H L D E、C H J.D E,再根据线面垂出的判定、性质证明结论.(3)首先确定四棱锥尸一OE8C的体积最大时面PD EJjFjD EBC,再确定P-O E8C的体高，并求得F到面OE8C的距离，由VE皿 产咚”c及棱锥的体积公式求体积

38、.(1)连接C M并延长与DE延长线交于G，则G在面P D E内,M为E B的中点，则M为C G中点，在 4 C P G 中 F M/PG,乂P G u 面P D E，f M cZ 面P D E,所以F M 平面PD E.(2)若”为中点，连接PH,CH,由题设C O/砧 且C =E B =2,即O E B C为平行四边形，则 E =B C =2,所以 P D E 为等边三角形,故P J _ D E,又A B C 为等腰梯形，则N B C =6 0 所以 N E C =6 0。，又 DH =1,8=2,易知：CHID E,又 P H C C H =H ,则 D E _L j f i i P”C

39、,PC u 面 P H C ,故。E _L P C.(3)当四棱锥P O E B C的体积最大时，面P D E 工面D E B C,则 P O E的高P H即为四棱锥P-D E B C的体高，又 F 为 P C的中点，所以F到面O E B C的距离/；=,由(2)易知O E B C为边长为2的菱形，2 2乂 S-O E C =SD E BC=6 ,所以 VR-DCF 匕-O E C =7 hS GE C=2 -【例2】已知：直四棱柱4 8 C O-A B C R所有棱长均为2,N D 4 B=6 0。.在该棱柱内放置一个球0,设球。的体积为匕，直四棱柱去掉球。剩余部分的体积为匕.(1)求三棱锥

40、的A-AMR的表面积S；V,(2)求昔的最大值.(只要求写出必要的计算过程，不要求证明)V2【答案】S =4+省+/7 ；【分析】(1)求出三楂锥的A-A 8 I R 的各个面的面积即得解；(2)设直四棱柱A B C O-A qGR的体积为丫，当球半径R最大时，匕最大时，3 取到最大值，求出乂最大值即得解.(1)解：因为直四棱柱A BCO-A4G。，所以M_ L平面A8Q,44为 三 棱 锥 的 的 高，由N D 4 B=6 0。，所有棱长为2,为等边三角形，所 以 应 B,4 =亭、22=6，中，5,4*=g x 2 x 2 =2,5 4 =；x2 x2 =2,中，4.=2,做=的=2 夜，

41、过 A作 耳。于 ，AH,x2 x7 7 =V 7,2,S f =；x2 x2 =2,S =4+/3+V 7 .匕 乂 1解：设直四棱柱AB8-A4G。的体积为V，所以匕 V-V,V_p乂所以当K最大时，)取到最大值，V2即求棱柱内放置一个球。体积匕最大，即球半径R最大，若球。与棱柱侧面相切，则半径R即为菱形A B C D 的内切圆半径,连接AC与 B D 交于点E,AC 1 BD,A B E 中，A E=&B E=l,凡=2 1=且，1 2 2若球。与棱柱上、下底面相切，则半径为=1，&4，所以球。半径最大为&=乎，此时球。体积匕最大，K=g%(与 j6兀V=A 4,SABC D=2 x 1

42、 x2A/3 x2=4A/3,匕=丫一匕=46 且 乃，此时苫=2 2%彳 痒 也 万2718 4【例 3】如图，圆柱。的轴截面A 8 C。为正方形，A B=2,E 尸是圆柱上异于AD B C 的母线，P，。分别为线段8 凡上的点.(1)若 P，Q 分别为BF,的中点，证明：P。/平 面 C D F；(2)若瞿=煞=再W1,求图中所示多面体F D Q P C的体积M的最大值.PF Q E D F【答案】(1)证明见解析(2)最大值g .【分析】(1)连接CE,根据圆柱的性质可得四边形跳FC 为平行四边形，即可得到P为C E 的中点，从而得到PQ/C D,即可得证；(2)设N C F =，,即可

43、得到C F =2 s i n 6,D F =2cos0,再根据比例关系，表示出表示出三棱锥Q-C F。与三棱锥Q-PC F的高，根据锥体的体积公式得到%=%-CTO+%-DCF=s i n 2 d(ta n，+(ta n g+l f ),令=1 2 1 1。,0 工 41 则4 七+1 1VCDFPQ=7-1、/1-V,再令=x +l23,根据函数的性质求出最大值；W+2)、(1)证明：如图连接CE,根据圆柱的性质可得BC/EF且B C=E F,所以四边形BEFC为平行四边形，因为尸为防的中点，所以尸为CE的中点，又。为皮 的中点，所以PQ/CD,因为PQ U 平面CQ/7,C Q u 平面C

44、Q/7,所以PQ平面8/，Q)解：RTAC D F 中,设 N8/=e,6elo,则 CF=2sind,DF=2cos0,一,BP DQ CF 2sin。所以=-=-=tan 9 1,PF QE DF 2cos。所以 S.DCF=C F D F =2sm 0cos0=sin 20,?=-x2sin6x2xtan，+l 22 sin 0tan+1 tan+1设三棱锥Q-C F。高为，设三棱锥Q-P b 高为一 tan。2tan6 一 由比例关系，可知=E F=-,s=DFtan/9+1 tan/9+12 cos。tan 9 +1 tan 0+1所以，V17Q-C FD1 c/2sin28tan。

45、v _ 1 c.=2 S-CFD,A=5 t a n+1 VQ_PCF 一3、”C F2 sin 203(tanO+1)2VcD FPQ =Q-CFD+Q-DCF=Sin2F=AE=x,BE =y,则/+丁=4.由以I、I、%，-DEF=-1S。D r,1 J _ 1 I x2+y2 2A D E F-B E-x（-xxx2）xy=-xy =-,J J，J J，J当且仅当x=y=应 时 等号成立，即点E,尸分别是A 8，CC的中点时，三棱锥B-DEF的体积最大，下面求二面角B-O F-E 的余弦值：法一：由（1）得 6E_L平面。所，因为Fu平面O E F,所以B E L D F.乂因为 E

46、F LD F,E F C B E =E,所以 E）F_L平面 8EF.因为B F u 平面B E F,所以3尸，。尸,所以/8正是二面角8-。/一后的平面角,由（1）知班户为直角三角形，则3尸=（血）2 +22=瓜故 cos NBFE =-4=-=.B F限 3所以二面角8-尸-的余弦值为 逅.3【题型七】体积应用3:翻折型【例 1】如 图 1,有一个边长为4 的正六边形/W CDEE,将四边形ADE尸沿着AD翻折到四边形AZJG”的位置，连接C G,形成的多面体MCDG”如图2 所示.图1图2（1）证明：A D 1 B H.若B H =2娓,M 是线段CG上的一个动点（M 与 C,G 不重合

47、），试问四棱锥M-A8CD与A/-ADG”的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值.若不是，请说明理由，【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，定值为24.【分析】（1）作 H K _LA D,垂足为K,连接B K,证明A_L平 面 可 得 结 论 成 立；（2）类似K 点的形成得出N 点，平面CGM与与平面ADCB和平面ADGH都垂直，过 M 作交 线 的 垂 线 得 其 为 平 面 的 垂 线，在！NCG中证明MP+MQ为定值，然后由棱锥体积公式计算可得.（1）作 HK_LA。，垂足为K,连接BK,因为=A K =AK,Z H A K =2 B A K ,所以！A/7K 三！ABK,T T

48、所以 NAKB=NAK”=-,即 3KJ_AD，2KHCKB=K ,K H,K B u平面 B H K,所以 AD_L平面3 4 K,又BK u平面BHK,所以A)_L8；(2)实际上K，,K 3是由原正六边形M C D EF中对角线BF折叠过来的，同理原正六边形ABC。所 中 对角线CE折叠之后形成G M C W,如图，同理有AD_L平面GC7V,又AD在平面ADCB和平面A D G H 匕 所以平面CGN与平面ADCB和平面ADGH都垂直，平面CGN与平面ADCB和平面4X7”的交线分别是CMGN,因此在平面CGN内过M 作MP_LOV,作M Q L G N,尸,。分别是垂足，则 MQ_L

49、 平面 ADG”,M P m A D C B,因为正六边形ABCD所 的 边长为4,所以GN=CN=4sin=2 G,又CG=BH=2屈,所以GN2+CN2=CG2,所以G N LCN,即！NCG是等腰直角三角形，则PCM,!QGM都是等腰直角三角形，M/W。是矩形，M P=NQ,QM=QG,所以 MP+MQ=GQ+NQ=GN=2上,AD=8,SADCB=SADGH=；*(4+8)x 2 G =12 G ,VM.ADCB+VM.ADCH=SADCB-MP+hADGH-M Q=n M P+x n M Q =4(M P +MQ)=4/3x25/3=24.【例 2】如图所示，边长为2 的正方形A 8

50、 8 中，点 E 是 A 8的中点，点 F 是 BC的中点,将A A E D A D C F 分别沿DE,DF折起，使 A,C两点重合于点A.(1)求证：4_16/；(2)求三棱锥A-EFD的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)由已知可得A D L A F,A D A.A E,从而有A _ L 平面A 合，进而可得结论；(2)由勾股定理可得A E _ L A F,从而易得/V E F 的面积，乂 由(1)知4 _ 1_ 平面4 针，从而根据匕一由 =V-，EF即可求解.(1)证明：由正方形A B C D 知，Z.D CF=ZD A E=90P,:.A：D A F,A D L A E,.