新高考高中物理竞赛专题6狭义相对论45题竞赛真题强化训练解析版.pdf

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1、新高考高中物理竞赛专题6狭义相对抡4 5题竞赛真题强化训练一、解答题1.（2019全国高三竞赛）A、B两钟在相对于某惯性系的一条直线上做方向相同、速率不同的匀速运动.在相遇时两钟均拨到零点，A钟在时刻，向8 的方向发出一光信号，8 钟收到该信号的时间为心.证明：8 钟相对于A 钟的运动速率为丫=卫二J.【答案】证明见解析【解析】【详解】设A钟为S 系，8 钟为S 系.A钟发出光信号为事件1,8 钟收到光信号为事件2,则已知：芭=0,芯=。,t；=TB.对事件1：写洛伦兹变换关系.1令，J 1-则占 =7（占一0）=一/叱，:=/。+、斗）=*.按8 钟测量，光信号以C的速度在到8 期间，从X；

2、传播到石，有芯一口=c（f；T；）,即一X=c（及一 1）.将前两式代入上式，得八Zl=今一 ），即（C+V）u=j c 2 f 2 ,产C+V一 制（c+v）-（c-p）Tl-Tj C（北一 3忆7=禾 （c+v）+（c）-W 所以厂本题是洛伦兹变换的基础应用，权作练习，巩固知识.2.（2019全国高三竞赛）如图所示，静止质量均为名 的两质点A、B,现质点8 静止，A相对于B 以3的速度向B运动，碰后粘连，假设无任何形式的能量耗散，问：叫f f l0.”c B（1）碰后两者的共同速度；（2）动能的损失.【答案】!C （2）妇 二4,而32【解析】【详解】祖0 5 V 3（1）由相对论的质量方

3、程，有机人=T F =N%），式中夕=上=一 夕4 C 53 .2/%9 1考虑能量守恒定律（热能包括在总能量的静能中），有。2=%。2+3 2,所以，M=；C.（2）-M0 =戊-0gM得=半 用=芋 人 .碰撞过程中，系统动能的损失等于系统静能的增量，即 稣损+”“2）=吟 心 外C 2.系统的能量守恒与一定条件下的动量守恒不仅是牛顿力学的普适规律，也是相对论力学的普适性规律，而且在处理相对论力学中的碰撞问题时，几乎无法绕开这两个定律的应用，并且，在处理问题时.，它们相互支撑.相时论总的能量、静能与动能间的关系是许多同学纠结的问题之一,若不清楚前两者之差许多同学纠结的问题之一，若不清楚前两

4、者之差即为动能，只能说明这部分同学对相应知识的掌握是欠缺的，而只是的欠缺是很难从练习中得到全面补偿的，必须通过阅读相关的教材，全面理解.3.（2019全国高三竞赛）一宇宙飞船以速度0.6 c离开地球飞向离地球3光年的宇航站（地球参考系测出的距离），然后再返回地球.起飞时地球的钟为f =0,飞船的钟为f =0.地球上每隔1年向飞船发一光脉冲，飞船上的人也每隔1年向地球发一光脉冲，试问飞船上的人在哪些时刻收到脉冲？【答案】飞船收到第3,4,9个脉冲的时刻分别为4 =4.5年，心=5年，心=7.5年.【解析】【详解】设地球发射脉冲的频率为u,则当飞船远离地球时，飞船收到脉冲的频率/为发射的周期和接收

5、的周期分别用T和7 表示，T=1年，则飞船收到第1个脉冲时，1=2年，收到第2个脉冲时，4=4年.此时飞船开始返航.当飞船返航接近地球时，有因此，飞船收到第3,4,9个脉冲的时刻分别为4 =4.5年，（=5年，4 =7.5年.点睛.原本这种题多是由洛仑兹变换解决，这里提供一种更简洁的方法.光的多普勒效应并不一定要是真实的光，只要有一定频率，以光速传播的信号，无论是这里的光脉冲，还是贺年电报，均可由光的多普勒 效 应 来 解 决.只 是 有 一 点 需 要 注 意，如果飞船的转向在两次光脉冲之间，则需要特殊对待，这种题目前在竞赛中出现得很少.4.（2019全国高三竞赛）设5 系 相 对 于S系

6、的 速 度V并 不 平 行 于x轴，/=r=（）时，x与V轴，y与y轴，z与z轴 两 两 重 合.试 导 出 这 种 情 况 下 的 洛 仑 兹 变 换 公 式.提 示：把r,/分解为平行于丫的分量2=牛 口，4和 垂 直 于V的 分 量 L =r-丐，=v v【答 案】推导见解析【解 析】【详 解】，-V,r.V-V2/V 或 小v y li-v2/c2 yll-V-/c-V r.V r.Vt-Z-*-t-Z f =eV-cV l-V2/c2 yli-V2/c2点睛.在绝大多数的相对论题目中，速 度 方 向 均 沿x轴方向，这使我们几乎从未考虑过不沿x轴方向的情形.对 手 这 样 的 题，我

7、们应明确：参考系的坐标方向是人为建立的，只是为方便将x轴设到与速度方向相同.只有两参考系的相对速度方向才是事物本身的属性，而 非 人 为 决 定.因 此，洛 仑 兹 变 换 中 的x轴的方向应是相对速度的方向，不是人为设定的那个x轴.5.（2019全国高三竞赛）封闭的车厢中有一点光源S,在 距 光 源1 （车厢参考系）处有 一 半 径 为r的圆孔，其圆心为0一 光源一直在发光，并 通 过 圆 孔 射 出.车 厢 以 高 速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如 图 所 示.某 一 时 刻，点 光 源S恰 位 于x轴 的 原 点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地 面 参 考 系 的 时

8、 间 零 点.在 地 面 参 考 系 中 坐 标 为4处放一半径为R（R）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与X轴 垂 直.板 的 圆 心。2、S、。1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板 周 围 射 到 挡 板 后 面 的 大 屏 幕（图中未画出）上.由 于 车 厢 在 运 动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没 有 光 射 到 屏 上 的 情 况.不 考 虑 光 的 衍 射.试 求：（1）车 厢 参 考 系 中（所 测 出 的）刚出现这种情况的时刻.（2）地 面 参 考 系 中（所测出的）刚出现这种情况的时刻.【答案】（1）=一 见（2）r=%-r =x_ /1_(v/c)

9、2VFVv v rv【解 析】【详 解】（1）相对于年厢参考系，地面连同挡板以速度V趋向光源S运 动.由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大.若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R丫 R pj的圆面，如图所示，则有可得 =仪.I L r设想车厢足够长，并设想在车厢前端距s为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出.当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住.此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L.在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为/Jl-e/cT.故出现挡板完全遮住光束的时刻为丁r x q J i/

10、。）？-L .V得 f =L）2 _ Rl_v r（2）正确解答：车厢参考系中完全遮光这一事件的坐标为（乙r ）.山洛仑兹变换得/=7（/+2 x）,c相对于地面参考系，光源与车厢以速度V向挡板运动.光源与孔之间的距离缩短为而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为r=-7 i-（v/c）2.r r初始时，挡板离s的距离为4，出现挡板完全遮住光束的时刻为t，=_ z =S戊一（v/c.v v rv点睛.第二问是很容易错的一问，主要在于光的传播需要时间，在地面系中，光经光源发出后传到孔处需要时间，此时光源距孔的距离已不是原来的距离.因此在S系中观察光线的汇聚点并

11、不是光源的位置.同 时，在达到对应的相对位形后，光传播到挡板也需要一定的时间，正是这两个效应使错误的解答答案正确.此题也有不严谨之处，在地面系中，挡板将光完全遮住与没有光射到屏上并不是同一时刻.6.（2019全国高三竞赛）一根米尺，静置在S系的x-y平面上，与X 轴成30 角，如图所示，S 系相对于S系以速度v =0.8 c沿着x轴正方向运动，求此米尺在S系中的长度和取向.【答案】/=1 X J 1 _（岑）2 c o s?30 =0.7 2/n，t a n 6 =0.9 6 2 2,，=4 3.9；0 00,运动的米尺既收缩又转向.【解析】【详解】令米尺的两端为A和 B,在相对静止的S系中，

12、两端的坐标分别为A：x；=o,y=0B;XB=lQ c o s%,yg =la s i n%要得到相对于S系的米尺的长度，就得在同一时间t,测得A、B两端的坐标.应用洛仑兹变换，可以得到4=?=。，勿=所以，xA=v t又因为X s，=h c o s%,yB=l0 s i n%J i所以，XB=4 I-/?C O S 0a+V t于是，XR XA=-j 4)c o s 0(3 h=4用 叫米尺的长度 1=J(X s-x J+(y yj 2 =7 1-2/0c o s2%C VD-VA t a n，米尺与X 轴的夹角为t a n 6 =7一 二 一=了=卞代入数据，得到/=1 X J 1 -（。

13、*）c o s?30 =0.7 2mt a n 6 =0.9 6 2 2,6 =4 3.964，由此可见，运动的米尺既收缩又转向.7.（2 0 1 9 全国高三竞赛）静质量为外的质点，静止于x =（）的点，1 =0 时刻开始在一个沿x 轴正方向的恒力厂作用下运动，试求：(1)质点的速度和加速度。随X的变化关系：(2)质点的速度和加速度。以及位置x 随时间，的变化关系.【答案】式中=急(2)“飞ci c 1 -F2=T,x=(J+a2c2t2-1),式中 a =-工(1+a2c2/户 a moc-【解析】【详解】(1)质点运动至X处时，由功能关系有左二-/：1j%*2-%2,式 中/=巴U.A/

14、l-P C(2)将式两边对时间f求导，得_ du 2c2a dx 2c2au2-=-dr(l+ax)dr(1+ax)因 才 可 得 c2a(1+ax)3又因尸小M 可得口 力2 c4a2t2=：-r v 7H 1 +a2c2 产即=c2atj+a2c2t2ca将上式两边对时间,求导得对a X与4 1比较可得x+*2c2/一1),式中a=5.a /moc我们应该清楚，牛顿力学与相对论力学之间并不冲突，只是在牛顿力学中，物体的质量是不变的，时空是绝对的；而相对伦理学下时空是相对的，质量也是随速度的改变而改变的.换句话说，牛顿力学只是相对论力学在低速下的一阶近似下的结论.规律其实也是和谐的，牛顿力学

15、下的规律在相对论力学中也同样是适用的，如牛顿定律、动能定理、动量定理以及运动学相应的规律等，只是应注意到质量与时空的变化而已.8.（2 0 1 9 全国高三竞赛）如图甲所示，光源S 向速率v 沿其法线方向朝S 运动，试求S 接收到的反f J【答案】4【解析】【详解】建立随光源运动的S 系和随反射体运动的s 系，,子数分别记为心和%,则庶=?。，恤；.i反射体因多普勒效应，接收到的和反射出的光子同样因为多普勒效应，光源S 接收到的光子频率）全反射体S 发射一束平行光，发光功率为玲，设S 以匀射光功率P生源在S 系单位时间内发出的第i种光的频率和相应的光顷率同为匕廛%，其中尸=工一点1考虑到光源在

16、S 系的一个单位时间折合成S 系的内发出的光子数应为喘S，系中的现到山s 发出的喘个光子都是s 在图乙中画斜线的rA rr=X单位时间.故在W中单位时间内到达,CL-_ _ _ _ _ _ _ _ _c _ _ _ _ _ _ _ _ _ _JL 后个单位时间，s认为光源S 在S的 个单位M间。察者还认为S 是边运动边发射光子，S在单位时间内看王域内进行的，这些光子全部到达S 所经历的时间为反射体的光子数应为IT啕/蜉时间=工4 =序,t c-v 力S，中单位时间内有同样多的光子数端被反射出去理，S 单位时间内接收到的反射光子数为1-/于是，S 接收到光的功率为P=i i天体观察中的红移与蓝移

17、现象是大家熟悉的光的试题，极具代表性.本题的解答选取了一个“单位伊，对S 系中观察者，反射体以速率V 朝自己运动，同3 0,-p wNT，即 有 八 件 4 6多普勒现象，而本题是一道计算光的多普勒效应的典型j 间 内的光子作为研究切入点，但在不同的参照系中，“单位时间 内的光子发射、接受会让许多人晕头转向，找不到方向.由声波的多普勒效应的命题特点可以看出，模型中的声源和观察者与运动方向是在一条直线上的，而后再发展到不在一条直线上的情形.阿么，我们完全有理由猜测，今后，在光的多普勒效应的考查上，命题也极有可能项发光体与接收体的运动与光的传播方向不在一条直线上的情形过渡，希望大家能有这种应对的准

18、备.第26届全国中学生物理竞赛复赛的一道试题与此题类似，大家不妨查阅一下.9.（2019全国高三竞赛）试计算相对论粒子的“纵向质量”和“横 向 质 量“纵向质量”是指在作用力与运动方向平行时力与粒子的加速度之比，“横向质量”是指力与运动方向垂直时力与加速度之比m m【答案】纵向质 量%=（,严，横向质量”=【解析】【详解】已知相对论粒子的质量机=常方，其牛顿定律的表达式为尸=、才 方），其中 而 为粒子的静止质量.C当力与运动方向平行时，v|d v,有v（v-dv）=v（vdv）=v2dv,_ m）dv tnGv2 1 dv _ m（y dv所以，一 正.出+（_ 力2由.=F=，叫）所以，纵

19、向质量叫 一 百 一（l一 夕2 ）3/2.dr k）当力与运动方向垂直时，5dv=0,则口尸=万肛）方d正v，nv.所以，横向质量根工=7=）.将我们所熟悉的经典力学的规律用于相对论条件下时，应注意到相应的变化，如牛顿定律中，在经典力学下，力的方向与加速度的方向是一致的，但在相对论条件下，力的方向与加速度的方向一般是不在一个方向上的.另外，在一般的教材上难以找到“纵向质量 与 横向质量 这类概念，而在考试场上遇到这类不熟悉的概念时，应认真分析题目对概念含义的论述，不可想当然地进行处理，否则是前功尽弃.10.（2019全国高三竞赛）一个静止的兀+介子衰变为+子和中微子v,三者的静止质量分别为乩

20、，机 。和零，求+子和中微子的动能乙，Tv.【解析】【详解】由能量守恒和动量守恒有小。/=罕”V i-z这里，规定沿中微子运动的方向是正方魄 1+尾。一 脸 一 京=2月2 2 c P m；1O+mnO 22 2Ji （加“。2 _叫。2、2 2 2丁 厂 2 1%0,mnO 施 0 21 =E、,=mMc -1=cJ 1-夕-2 gl11.（2019全国高三竞赛）两束动能均碰撞时的反应相同？2T2【答案】4T+%咻c【解析】【详解】考虑迎头碰撞的两个粒子组成的系统，对于实验室参考系，有 =2（对/+7）其中人为粒子的静止质量.考虑其中一个质子为静止的参考系，这P，系统能量为 +叫,2 ,动量

21、为夕 .所述不变量给出关系（+惆C?）2 -c2pj由粒子的能量、动量间的关系，有E J两式消去P,可解出 =2 +4”2）C这个运动粒子的动能应为T=E-mt）c212.（2019全国高三竞赛）一艘宇宙飞都把自己的时钟拨到12点（1）按飞船上的时钟于午后12点30 5纥，。=转+且?2cB 11/7形.消去反，得加1 t o=%J】_.2=加，m =2%2%。兀u 为T的质子迎头碰撞的反应与多大动能的单束质子跟静止的质子炉-c2 P2是洛仑兹变换下的不变量.,P=o.个粒子的能量为，（/,动量为零，另一个粒了能量为,动量为=2（惆/+7）.=c2p2+成 c”.+福/=竺 竺 叱=47+27

22、：moc2/t t gC2船以0.8c,的速度于中午飞经地球，此时飞船上和地球上的观察者力飞经一星际宇航站，该站相对于地球固定，且该宇航站上的时钟指示的是地球时间，试求飞船到达该站时宇航站的时钟所指的时刻（2）试问：按地球上的坐标测量，宇航站离地球多远？（3）飞船于飞船时间午后1 2 点 3 0 分向地球发送无线电信号，试问：地球上的观察者何时（按地球时间）接收到该信号？（4）若地球上的观察者在接收到信号后立即发出回答信号，试问：飞船何时（按飞船时间）接收到回答信号？【答案】（1）5 0 m i n n （2）7.2 x l 0 m （3）在 1 点 3 0 分接收到信号（4）午后4点 3 0

23、 分（飞船时间）【解析】【详解】（1）由静止在飞船上的时钟测定，飞船从地球到宇航站所需的时间为本征时间.由地球上观察者测T3 0量，飞船飞行所需的时间为7 =京7=川_0另2 m i n =5 0 m i n ,式中夕=,（2）宇航站相对地球静止，H船在飞行时间内所走的距离（即为宇航站与地球的距离）为/=v r =0.8 0 x 3 x 1 0s x 5 0 x 6 0 m =7.2 x 1 0 m.（3）对地球上的观察者来说，无线电信号发自相对静止的宇航站所在地，故传至地球需要的时间为I 7.2x 10 八.t=-s =2400s =40m i n .c 3x i o8匕船飞行时间加信号传播

24、时间共（50+4（）m i n =9（）m i n，所以，地球在1点 30分接收到信号.（4）以地球为参考系.设飞船发出信号至接收地球发出的回答信号共需要时间，（地球时间），在这段时间内飞船信号传播了/的距离，回答信号传播了（/+0.8 或）的距离，故广满足/=,解得2/4八 八 .t=-=400m i n.0.2c加上飞船从地球至宇航站的飞行时间50m i n ,共450m i n ,故飞船收到回答信号的地球时间为午后7点 30分.将上述时间变换到飞船时间为/=由-仍=450 x 0.6 m i n =27 0m i n .故飞船收到回答信号的时间为午后4 点 30分.以飞船为参考系.设从发

25、出信号至收到信号共需时间（从弓船参考系看来，地球和宇航站在运动，地球与宇航站之间的距离要经受洛仑兹收缩，信号从飞船至地球的传播距离为/正 炉，光信号追地球的相对速度为0.2c,所以，匕船发出的信号至地球所需的时间为=班 二0.2c地球发回的信号相对匕船的速度仍为c,故信号被匕船收到所需的时间=几 这样，信号来回的时间为2/=2*=1.44x 10，s =240m i n -0.2c由于飞船从地球至宇航站需时30m i n,所以，飞船接收到回答信号的时间为午后4 点 30分（飞船时间）.本题是讨论相对论运动效应的典型模型.光信号在地球与飞船间往复传递，计算其传播时间，必须时刻注意事件发生的参照系

26、与地点，充分理解不同参照系、不同地点的时间含义及转换关系，时时防止自己用伽利略变换替代洛伦兹变换，防止用牛顿的时空观来替代爱因斯坦的时空观，不然就会让自己赶紧是走入了迷宫一般.13.（2019全国高三竞赛）竞走比赛（双脚不能同时离地）中，不犯规的极限速度是多大？【答案】竞走者相对地面的平均速度的上限为;.【解析】【详解】在地面系中，设地面上运动员的右足在后时，与地面上的左足相距4,右足的运动速度为 外,通过4的路程到达左足前4 处，经时：=一.右足落地后，设需要等待A6停 0 时间后才提起左足，取惯性系S ,相对地面以反向速度V运动，在5 系中,测得该运动员从右足落地到左足离地,经过的时间间隔

27、为4 僧=0i所以，A/I（?-/2,0 v .c所以，底面参考系中的平均速度为./,+/,1 1 cu-=-=即 n-i 1 111113%c u2 c u u2 c c c c所以，,考虑到 =、，解得v=0.82c.3c本题是相对论尺缩效应的训练题，提请注意的是，在垂直于运动方向的方向上并无尺缩效应.读者也可拓展性地研究三角形斜边的尺缩效应.18.（2019全国高三竞赛）如图所示，一飞船静止长度为4,相对于地面系的飞行速度为%,一光信号从船头发出、船尾接收，则在飞船系与地面系测得的时间分别为多少？L1 地圜一，./，一.-/-:r，：/77 万W T；一1 7;/厂【答案】在飞船系中：2

28、=4；在地面系中：f =Z,c c+v0 c【解析】【详解】以飞船系中，飞船的长度为金，光传播的速度为C，则信号从船头到船尾的时间为a =4.C在地面系中，飞船的长度为乙=正 74,信号相对飞机的速度为c+%,则信号从船头到船尾的时间为t,=J F k=三 1 4,式中尸=%.c+%丫1 +4 C C山F尺缩效应，在高度运动的飞船系与地面系中，飞船的长度是不一样的；又由于光速不受参照系的影响，因此，光信号相对于飞船运动的速度在两个参照系中是不相同的，所以，光信号从飞船头传到飞船尾在两个系中所经历的时间是不相同的.在本题背景下，初接触相对论者会纠结于：既然都是从船头传到船尾，为什么时间会不同呢？

29、19.（2019全国高三竞赛）串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，如图是其构造示意图.S 是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分N为充有氮气的管道，通过高压装置/使其对地有5.0 0 x l（）6 v 的高压.现将氢气通入离子源S,S 的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子黏附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子.氢负离子（其初速度为0）在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去黏附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子.已

30、知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度.质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子7.试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达丁时的速度v.电子电荷量4 =1.6 0 x1 0 7 9。质子的静止质量=1.6 7 3 xl0-2 7 kg【详解】带电粒子在静电场内从S 到T的运动过程中，经历了从S 到 N和从N到7的两次加速，粒子带的电荷量9的大小均为1.6 0 xl（）T 9 c,若以（7 表示N与地之间的电压，则粒子从电场获得的能量为E=2q U .质子到达T处时的质量为1YI v式中)式中v为质子到达T时的速度.质子在S 处的能量为阳1c 0 到达T处时具有的能量为me?,电

31、子的质量与质子的质量相比可忽略不计，根据能量守恒有me2=N E+moc2.1 2q U由式得 广 庐=1+本代入数据解得v=4.3 4 xl()7 m/s.这类加速模型在常规数学中往往都是不考虑粒子在加速过程中的相时论效应的，但在竞赛中，这种效应则不可避免地要加以考虑.应该说，在现在的加速器中，被加速的高能离子，随着速度的增加，其质量的变化是必须考虑的，因为这种影响己经不能忽略了.回旋加速器之所以不能用来加速电子，其原因便是电子的速度加速到一定的时候后，其质量会发生变化，进而影响到回旋周期的变化，导致在技术上无法保证回旋周期与电场周期的同步，回旋加速器也就无法正常工作了.V220.(2019

32、全国高三竞赛)如图所示，直角坐标系中光滑轨道的方程为y=工，且x 0.(1)用物理方法求上横坐标为x处的曲率半径段；求从x =0 到x =A处轨道曲线的长度s；(3)若环从原点O由静止开始,以恒定的切向加速度小4 A 忘+l n(l +应)加速到x =A处，其中c 为光速，求x =A处环所受到的切向力产切和向心力%心力.提示：Jl+x2dx=y/l+x2+l n(x +!+x2)+B.2 2【答案】R-41 +*严 (2)s =*+；l n(l +&)A (3)-心力=缥【解析】【详解】(1)先建立抛物运动的模型：设一质点在O处有沿x 方向的初速度%,同时具有沿y 方向大小恒定的加速度a,此后

33、，质点的运动满足:匕=%，x=vot -Vy=at,y =-at2.由此得质点的运动轨迹为：2%2 2将其与y=工 比 较得：A =b.2 A a在 X处，质点的速度大小为：V=y/v+v.=7 Vo +a2t2-方向与x 轴向的夹角。有：ta n e =2=&匕%质点在其法向的加速度为“=a c o s e=/,av、a，.皿+由例 上 得 曲率半径：夕严.P%叫2 2联立 =印，并考虑A =总 可得：K=p,=A(l +二 严.aA-A 当 x =A时，(=一,因为弧长为%ds =v dt=J 说+a,2 (j/,所以s =(：”盘+2 产山.2利用题中提示及A 可得(3)设环的静质量为人

34、,，在自然坐标系中，环做匀加速运动，有1=2aq s,代入即、s 可得：4=?，即 眩=，.考虑到相对论效应：F _d p _ d _ f_ _ msv _切 一了=矶一 小，小.y l-V2/c2(1-V2/C2)3/2考 虑 巳=1,有五切=等 为%,点睛.虽然我们说牛顿力学不适用于高速状态下的物体，这一结论的前提是不考虑运动物体的质量会随速度的变化而变化，实际上，将牛顿定律修改至相对论效应之下，其表述仍然是成立的.21.（2019全国高三竞赛）两 惯 性 系S 与S初始时刻完全重合，前者 相 对 后 者 沿z轴 正 向 以 速 度v高速运 动.作 为 光 源 的 自 由 质 点 静 止

35、于S 系中，以恒定功率P向 四 周 辐 射（各向同性）光 子.在S系中观察，辐 射 偏 向 于 光 源 前 部（即所谓的前灯效应）.（1）在S系中观察，S 系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以X轴为轴线的圆锥内.求该圆锥的半顶角a.已知相对论速度变换关系为4=|：2.式 中 乙 与M分 别 为S与S 系中测 得 的 速 度x分量，c为光速.（2）求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量.【答 案】（1）c r=a rc c o s-（2）丝=咚,=P.c Ar c Ar【解 析】【详 解】（1）先求两惯性系中光子速度方向的变换关系.根据光速不变原理，两系中光速的大小都是c.

36、以。和7分别表示光子速度方向在s和S 系 中 与X和 轴的夹角，则 光 速 的X分量为再利用相对论速度变换关系，得八 c o s 8+v i cc o s 0 =-1 +v c o s V cS 系中光源各向同性辐射，表 明 有 半 辐 射 分 布 于0K夕（/2的方向角范围内，S系中，此范围对应O 0ra.由上式求得7 1 VCOS-F a =a rc c o s-2-C =a rc c o sv.1,V 7 1 c1 +-C O S c 2可以看出，光 源 的 速 度v越 大，圆锥的顶角越小.S 系中，质点静止，在 时 间 内 辐 射 光 子 的 能 量 来 自 质 点 静 能 的 减 少

37、，即P M=A m0c 2.式中为A f时 间 内 质 点 减 少 的 质 量.S系中，质 点 以 速 度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少加，故 动 量 与 能 量 亦 减 少.转 化 为 光 子 的 总动量为 =A m】，即A加叫A p=t!j=V l-v2/c2转 化 为 光 子 的 总 能 量 为 即AE=/加而.V1-V2/c25 系中光源静止，测得的辐射时间&为本征时，在 S 系中膨胀为由以上各式可得在S 系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为Ap _ vP AE _天=I 7 =P-点睛.第一问是洛仑兹速度变换，前灯效应的结论应记录下来，这在考试中经常用到.第二问可像

38、题目中一样解答，球的速度未变，只是静质量减小，也可以用动量能量的洛仑兹变换，这种方法应用范围更广，在光的折射与反射的情况下代替洛仑兹速度变换可以降低计算量.另外，一定注意将动量P与功率P区分清.22.（2019全国高三竞赛）如图所示，一单色点光源在相对其静止的惯性系5 中各向同性地辐射光能量，其发光强度（单位立体角内的光辐射功率）为 4.当该点光源相对惯性系中的观察者以匀速度v 运动时，P测得发光强度I 会随观察方位而变.将观察方向与点光源运动方向之间的夹角用。表示，试求I随。变化的函数.为点光源【答案】【解析】【详解】S 系中点光源发射的光子频率记为 ,单位时间内发射光子数记为公.参考题解图

39、，在 S 系中设r=0时点光源位于与P相距%的&点，经 S 系中的“时间运动到S 系中的Q点，其间沿S 系中的方位 角 夕（夕在题图中未画出，。与题图中的。对应），在。领域的立体ftid C（题解图中也未画出）内发射的光子数为出=生 由&。.4万S 系认为点光源从。到 Q 所经时间以及Qo到 Q 的距离分别为超,/?=-,QoQ=vdts.c点光源在。处发出的光子，在S系中于r=时刻被P接受.点光源在Q处发出的光子，在S系中于f*C时刻被P接受，则有*,r,e一 vdr cos 0t=drv+-=drv4-c c=dq+7 -尸cos夕 d,故P接受全部dN个光子所经历时间为dt=f -Z=(

40、l-/?cos0)dZv,l-co s。.即得 dr=/ckS系中P接收这些光子的方位角近似都为题图中的。，接收的立体角则为d Q.在S 系，S系中与V垂直的平面上分别引入极坐标系下的幅角夕，9,则有d。=sin ed/d d ,dC=sin 0(X0(p,(p=(p,d(pr=A(p,/曰 dQ sin 0rd0 dcos。dQ sinGd。dcos。将速度变换公式6-=Cos ffTc1 2cx q=cos%,得 cos O=cos 0-p1 -p cos 6代入前式，得dQ，-伊dQ(1 一1 cos。)？S 系中点光源于d/时间内，沿方位角夕领域的立体角d 内发射的dN个光子所对应的光

41、辐射能量为d=dN%,发光强度为A).S系中于出时间内，沿方位角领域的立体角dQ内接受的dN=dM个光子所对应的光辐射能量为d=dNhv.P测得的该点光源发光强度便为与A)表达式联立，即得.d-d/dQ-dN 一光子在s系中有频率7ekd/=-/(drdQv0将前面所 得 出 -夕-2 -不dC-I ，7飞 一2dt l-co s。d。(1-4 cos。)与多普勒公式上=v0 1 -p c o s 0代入，即得1.(1-冲 I(1-(c o s 6)4 ,点睛.此题需要考虑的方面较多.首先，由于光的多普勒效应，接收到的光子频率会发生变化，这可以直接套用多普勒公式.其次，由于时间膨胀，S系中观察

42、到的光源发射光子的时间间隔会发生变化，但我们要求的是观测效应，而非测量效应(这一点很容易忽略).由于光源的运动，不同时间发出的光子传播的距离是不同的.这和多普勒效应是不同的，从粒子角度考虑，前者使光子间距变化，后者使光子频率变化，从波的角度考虑，前者使波列传到观察者的距离变化，后者使波列本身的长度变化.最后，还要考虑光子传播方向(即立体角)的变化.因此是一道综合性较强的难题.2 3.(2 0 1 9全国高三竞赛)一块厚玻璃以速率v向右运动.在A点有闪光灯，它发出的光通过厚玻璃后到达B点，如图所示.己知A、B之间的距离为L,玻璃在其静止的坐标系中的厚度为玻璃的折射率为n.试问，光从A点传播到B点

43、需多少时间？L Dnn-c-v)答案二cC【解析】【详解】取地面为参考系S,运动的厚玻璃为参考系S,S 系相对S系沿x 方向以速度u 运 动.在 S 系中，光在玻璃中传播的速度为；=,由速度变换公式，可得在s系中此传播速度人为nIf,=_2 _+_ _v_ _c_2 _+_ _c_n_vA +cm-v c2在S 系中玻璃的厚度为A.则在s系中厚度D为 D=D J1 _2.设在S系中的观察者看来，光在厚玻璃中传播所需时间为,在这段时间中玻璃向x 方向运动了必：的距离，故有D+v A r,=.由上述各式可得Doy l l _Dn(cn+v)设光在破璃外空间传播所经时间为加2，则有c A r2=L-

44、wtA Z1.A L DAc+vn)山此可 得 维 7一而落故光从A点传播到B点所需的总时间Z 为2 =期+A，2 .即有4D()(cn 4-v)L DQ(c+vn)C2-/i2+C 才，|一6L,D(/?-l)(c-v)=-1-/-C C2yl-J32 点睛.这是一道很常规的题，其难度并不大，方法也很简单，脱去相对论的外衣，是最简单的运动学题目.易出错的主要有两点：一是计算错误，解答中的字母很多，答案很复杂，稍不留神容易漏掉某个字母，因此一定记得检查答案的量纲.二是容易漏掉细节，如玻璃在S系中的厚度，因此要看清楚题目，不要因为简单、做过类似的题而粗心大意.24.(2019全国高三竞 赛)如图

45、所示，在某恒星参考系S中，飞船A和飞船B以相同速率尸c (c 为真空中的光速)做匀速直线运动.飞船A的运动方向与+3 方向一致，而飞船B的运动方向与一 x 方向一致，两飞船轨迹之间的垂直距离为d.当 A和 B靠得最近时，从 A向 B发出一细束无线电联络信号.试问：B eB gS(1)为使B能接收到信号、A中的宇航员认为发射信号的方向应与自己的运动方向之间成什么角？(2)飞船B接收到信号时，B中的宇航员认为自己与飞船A相距多少？八 兀 兀【答案】(D 6(-+ar c t an(-)-+ar c t an -y(2)Z Uy L p7(l +y g2)2+4 y 921+/?2【解析】【详解】(

46、1)在 S系中考查，A与 B相距最近时A发出信号，为使信号能被B收到，信号速度的x分量应与B的速度相同，即信号以光速c 传播，故信号速度的y分量为uv=Jc。-W；=yj P C .把上述速度转换到S 系中，对 5 系来说，S系的运动速度为匕=-c.根据速度合成法则，信号速度的两分量为%+匕=一耻一耻=2尸 0隆 处 一 1 +加 一 1+货，c21+c2故在S系中信右.7 1为，=+arcta（2）在S 系中考3传到B所需时代从S 系看来，S故A的速度为经t时间后，飞LA B=d2+（v；t：“1+尸2）2+41 +Z?2点睛.这是典型（1分，因此，对 亡中，若光传播型25.（2019全国轴

47、匀速度运动侪2,3头部各自点.（注意，S j将各自头部时钥参考系中此信号信号被其尾部天上一 炉c1 +夕 2 ;发射方向与A运动方向之间的夹角。，如图所示，1.吟 0+arctan 修.家B中的宇航员认为A在离得最近时发出信号，该信号在B的空间中以光速传播，为 =:系的运动速度为v：=c.，一%+吸 一 2/3A 1 +1+夕2 1-*-2 C船A在x方向运动的距离为匕/，故A与B相距）2千+博用2也d.勺速度变换的题目.速度变换是相对论新加进来的考点，但这毕竟是相对论很基础的一部:的熟练掌握是不可或缺的.另外注意，利用光速不变有时可以简化解题步骤，在平面J任意直角分量已求出，另一直角分量可由

48、光速不变直接求出，而不必再用速度变换.高三竞赛）静 长 同 为 三艘飞船，在惯性系S的f=0时刻，相对S系的空间位置和沿XJ速度分布如图所示.具体而言，三个飞船在S系中沿一直线航行，=0时刻，飞 船1,*于图示4，P2,&位置，飞 船1,2,3分别将自己头部时钟拨到本系内的时间零条认为飞船1,2,3头部时钟同时拨到零点，但飞船1,2,3并不认为它们彼此也是同时，拨到零点）设此时，即S系f=0时刻，飞 船1头部天线朝右发出无线电信号；在飞船2-被其尾部天线接收的同时，恰好其头部天线朝右发出无线电信号；在飞船3参考系中此:线接收的时刻记为4尾，试求之.【解析】【详解】S系中，匕船I头部天线发出信号

49、的时空坐标为（王头=。，6头=0）.飞船2尾部天线接收信号的时空坐标为（尾，G尾），有L 5L 2 尾=1 义 二二-七大c-v2 2c（Z尾=乙 +为 2尾=5 A/2 ）.飞船2头部天线发出信号的时空坐标为（头，,2头），有加;+2，A =|坂 乜 尾+7才A f；=0 （飞 船2自测尾部接收信号到头部发出信号所得时间差为零）.M =i。（飞船2自测尾部接收信号到头部发出信号的空间间距为/。）.%r =2+斗=2+选2为 2c 4 2c 4c5飞船3尾部天线收信号的空时坐标为（七尾，4尾），有 3尾=G头+L +（V,-v2）r2 _ 1 0 L 3/0C r 3匕船3头部天线发出无线电信

50、号的时空坐标为（马头，4头），有“端+十落区c 5 4=0，=1 0飞船3参考系中测得的其头部天线发出无线电信号的时刻4头的确定:船3参考系头部用同一个时钟测得从开始到其头部发出信号全过程的时间间隔,；同一过程s系用两个静止的时钟测得时间，即，3 头.故有履=6坂=兀+瑞飞船3参考系中测得的其尾部天线发出无线电信号的时刻 星的确定：因4尾=4头，即得_ 6 L 1 7/0 3 尾 +7 n-c 1 0 c【点睛】此题主要考查的是洛仑兹变换，同时也考查时间膨胀。因过程较为复杂，需要多次用到变换，因此很容易出错。对于这种题，一定要跟着过程走，不要有跳跃的思维.最后用飞船3头部的时间代替尾部的时间，