立体几何大题：垂直及其应用归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf

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1、专题1 0立体几何大题：垂直及其应用归类目录热点题型归纳.1【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直.1【题型二】面面垂直.5【题型三】线线垂直.10【题型四】垂直应用1：线面角.13【题型五】垂直应用2：二面角.17【题型六】翻折中的垂直.20【题型七】垂直探索型.25【题型八】垂直应用3：角度综合.30二最新模考题型.36【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。【例

2、 1】已知长方体4 G 中，棱 A B=8 C=3,棱 8氏=4,连接B/C,过 B 点作B/C的垂线交CCi于E,交 B/C于 F.求证A/C J 平面E B D；(2)求二 面角B E 4 的正切值.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)先证明5 E J _平面Ag C,则AC，BE,再证明8 _L 平面C,则力(，8。,从而即可证明4c L平面EBD-(2 )由A 4 _ L 平面B/CG，又B F L B E,则进而可得4 4,尸耳是二面角g-BE-A的平面角，在 R t d B/C 中，求出8 尸=1,即可在R t A B F q 中求出与尸=为，从而即可得答案.(1)证明：.4 瓦

3、，平面耳8 C J,又 B(L B E,AMD8C=B 1,.8?_1 平面4 8 0,.4。，8 ：,又 A 4,_L 平面 A 8 C。，.人|，8。，且 B O _L A C,AAtY A C =A,.8 D _L 平面 A 4 C .:.AtC L B D,又 B E c B D =B,A/C J L 平面 E B D；(2)解：.A gd.平面 B/CG，又二 幺广耳是二面角Bt-B E-At的平面角，1 2在R l 隹 8 c 中，B C =3,BB、=4,/.5 =5,/.B F =y ,在R S B 尸片中，B、F=BIB?-BF2 若,t an“FB=她=-=,1 B p 1

4、 6 1 6.5【例 2】如图，四棱柱A B CO-Ag G。的底面438为菱形，Z A B C =60,其中侧面用8(7 为矩形，E、尸分别为B C,8 c 的中点，P 在线段4 E上，且满足A P:P E =1:2,过 8。和点P的平面交A B 于G,交 D C 于 H.证明：BCJ/GH；(2)证明：G”J _平面AM；T T(3)若 A B =P F =1 2,且N E P F =g,求四棱锥E-G”Gg 的体积.【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)2 8 8【分析】山 平 面 ABC 平面A M G 2 得到两条交线平行即可；(2)通过AE BC和E F，8C 证明BC

5、 J面AEF即可证明G H，平面AEF；(3)作出四棱锥的高，求出底面面积，利用体积公式计算即可.(1)四棱柱A B C D-A B C R中，平面4 3 8 平面A百G A,设过BC和 P的平面为a,由题可知面A 8 8 n a =G ，面 A 4 G。Pla=AG,5G /GH由（1）得6”4 8（7,连接4 7,./8 8 为菱形，ZABC=60；.ABC为等边三角形，E为 BC中点，.AE1BC,又.超BCG为矩形，.出 BLBC,E,F分别为SB,BC中点，所以所 用B,.-.EF1BC,A E c E F =E,.BCLlin AEF，.6_1面47:Q G H u 面G H C

6、禺,由（2）知G”_L面 AEF,面GHC向 JL面 AEF,面G”C向 口面A E F =PF,过 E做 EW_LPF交尸产于 M,.EM1.面 G”GB|,在等边“BC 中，AB2,:.AE=6yj3,jAP:PE=l:2,2 r-TC 71.产后=3 人 =4 6,，在 7?腕中，ZEP F=-,:.EM=P Esin-=6,由（2）得5CJ_面 AEF,PEu 面 AEF,8。八 PF,.四边形的高为 PF=12,SC H C A=12x12=144,V CHCR=-X6X144=288.【例 3】如图，在四棱锥PA3C）中，底面ABC。为平行四边形，Z A D B =Z P D C

7、=90,平面底面ABC。，M 是棱PC上的点.M 证明：P D _L 底面A B C。；(2)若三棱锥A-切W的体积是四棱锥P-A B C。体积的!，设 P M=f MC，试确定，的值.4【答案】(I)详见解析；f=1.【分析】(1)利用面面垂直的性质定理，可得平 面 皿)，然后利用线面垂立的判定定理即证；(2)由题可得匕一进而可得MC=g pC,即得.(1)Z A D B =9 0 ,平面 P A D _L 底面 ABCD,/.A D V B D,平面尸4。门底面4 8。)=4),8 u 底面 A B C Z),8 O _L 平面尸A ),P E u 平面尸A ),A B D 1 PD,又

8、N P D C =9 0 ,A P D L D C,BD1 D C =D,/P )J _ 底面 A B C。：设 dQ =/z,M到底面A B C。的距离为 ，:三棱锥A-B D M的体积是四棱锥P-A B C D体枳的L4 A-BDM=P-ABCD，乂 M-A B D=SAA B D，人,V p_ A B CD=OA B CD S则口=万 c A B CD:.h，=；h,故MC=g pC,又PM=t M C,所以 1 =1.【例 4】如图，正方体ABCO-ABCR中，点E,F分别为棱C R,B C 的中点.证明：平面ABGR；(2)证明：E F/平面 ABGR.【答案】(1)详见解析；(2)

9、详见解析.【分析】(1)利用线面垂直的判定定理即证；(2)设A O c 4 R=G,由题可得E尸G 3,再利用线面平行的判定定理可证.(1)由正方体4B C D-A 8 G R 的性质，可得A B,平面/.AB D,又 4Z)CA8=A,平面 ABGA；(2)设 A Q c A A=G,连接EG,BG,E G U B F,E G =BF,；四边形B F E G为平行四边形，尸G B,又 E F,4 8为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.求证：AF 平面BCE；平面3CEJ平面CDE.西藏自治区拉萨中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)证

10、明见解析【分析】(1)取CE的中点G,连接F G,B G,由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形GE4B为平行四边形，则A FB G,再由线面平行的判定定理可证得结论，(2)山等边三角形的性质可得4尸_1 _ 8,由EJ_平面AC。，可得Z5EJLA尸，则由线面垂宜的判定可得A/J_平面C O E,而 所 8 6,所以可得BG_L平面C D E,然后由面面币;宜的判定定理可证得结论(1)取CE的中点G,连接FG,8G,因为尸为CD的中点，所以尸G OE,FG=，DE,2因为AB J_平面ACC,DE_L平面ACO,所以4 8 OE,所以FG AB,因为AB=；D E,所以/G=A3,所以四

11、边形GE4B为平行四边形，所以A尸 BG,因为AF工平面BCE,BGu平面BCE,所以AF 平面BCE,(2)因为AC。为等边三角形，尸为C。的中点，所以AFJ_CO,因为DEL平面AC),AFu平面ACD,所以O EJ_A F,因为CnOE=。，所以AF_L平面C 3 E,因为AF8G,所以BGL平面C O E,因为BGu平面B C E,所以平面BCE _L平面COE【题型三】线线垂直【例1】如图，三棱柱A8C-A8 c中，侧 面 阴CC为菱形，AC=A耳.若月CIA%,NCB4=60,A B=B C,求 直 线 与 平 面ACg所成的角.【答案】(1)证明见解析(2)60【分析】(1)连接

12、8孰，交BC于点0,连接A。，证明出B,CJ.平面45。，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；(2)分析可知直线A区与面 阴C所成角等于直线的 与面被。所成角，证明出 BOC芬 B O A,可得出A O L8O,证明出8 0上面，可得出/班。是直线A5与面9 C所成角.结合三角形全等可求得结果.(1)证明：连接8G，交B C于点0,连接A。.因为四边形C88G为菱形，所以8G，C g,。是8 c的中点，A4B By又因为A C=A 81,所以4 0,8 0,因为A 0 c B G=。，平面ABO,平面ABO,(2)解：因为A B/A 4,所以直线A B|与面ABC所成角等于直线AB与面ABC所

13、成角.因为A C L A 4，所以AO=CO,又因为AB=C8,B O=B O.A O =C O,所以，ABOCRBOA,所以 NC0B=NA08=90,即 AO_L8O,v BOrB,C,AOnS,C=O,所以3。_1面4 8(,所以/B A。是直线4 B与面AB,C所成角.因为N C B A=6(T,所以N34O=/BCO=60,所以直线A 8与面ABQ所成角等于60,所 以 直 线 与 血 阴。所成角等于60.【例2】如图，在三棱锥A-BCD中，点E,尸分别是80,BC的中点，AB=AD,AE BC,求证：(1)EF平面 ACQ；(2)AE1CD【答案】(1)证明见解析证明见解析【分析】

14、(1)山 尸。力即可证明E/7平面ACD；(2)由A_L8。，AE_LBC可证明AEJ_平面8c。，即可证得A E _LQ)(1)因为点E,b分别是BO,2C的中点，所以EFC,又因为防 二 平面AC。，CEu平面A C D,从而EF平面ACO.(2)因为点E是 的 中 点，且AB=4),所以A E J_8),又因为AEL8C,8。匚平面8(7。，B D u 平面 BCD,8(7 0 8 0=3,故AE_L平面B C D,因 为 平 面 以 笫，所以AE_LC【例3】如图，在四棱锥P-A BC D中，A8CD是正方形，PD_L平面ABC。，尸。=A B,E,F,G分别是P C,PR 8C的中点

15、.p(1)求证：P C I AD,(2)求证：平面PAB/平面瓦G.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由尸 _!_ 平面ABC。，得 A O 1.P),再根据线面垂直的判定定理和性质定理得 证(2)由瓦7 M B 证 明 瓦/平 面 的，由EG/PB证明E G/平 面 再 由 面 面 平行的判定定理证明即可.(1)由 平面 ABC。，得 A PD,又 4)_LC(ABC。是正方形)，PD c C D =D,所以 ADJ_平面PC,所以ADLPC.(2)由E,F分别是线段PC,P的中点，所以所 C D,又43CQ为正方形，A B/C D,所以E F/A B,又EFZ平面R S

16、，所 以 防 平面R钻.因为E,G分别是线段PC,8 c 的中点，所以E G/P 3,又EGZ平 面 加 3,所以EG平面 力 B.因为EFnEG=E,E E G u平面E F G,所以平面EFG平面RW.【例 4】如图，四棱锥P-A 3C 3的底面ABCO为矩形，24，底面45。，PA=A B,点E是 求证：CB1AE；(2)若 他=2,8c=百，求三棱锥P-A C E 的体积.(参考公式：锥体体积公式V=：S/7,其中S为低面面积，h为高.)【答案】(1)证明见解析 巫3【分析】(1)根据矩形和线面垂直性质可证得CBA.AB,P A L C B,从而得到CBJL平面,由线面垂直性质可得结论

17、；(2)利用体积桥的方式可知匕T C=匕,E B C,由此可计算得到结果.(D 四边形ABC。为矩形，.CBL A B：.PA_L平面ABC。，C 8 u 平面AfiCQ,：.P A 1C B：又A4 n 45=A，/乂,48=平 面 弘 6，（二 8_1平面尸/18，.AEu 平面 R4B，.*.CB _L 他.（2）,.,E 为尸3 中点,=3$的；,=g x g x 2x2=1,由（I）知：C8_L平面网，.W fC=ZAE=：SEEm C=9-【题 型 四】垂 直 应 用 1:线面角【例 1】如图，矩形A8CZ）中，AB=2,BC=,M 为边C。的中点，将 ZSADM沿直线AA7翻折成

18、A M E,且 8=石，点尸为线段8 E 的中点.（1）求证：PC 平面AME；（2）求直线PC与平面ABM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析*【解析】【分析】（1）取 AE的中点。，连接QM,QP构造平行四边形可证；（2）取 AM的中点。，先证E 0 垂直于底面，根 据（1）将问题转化为求角ZA M Q,然后结合已知可得.（1）证明：取 AE的中点Q,连接QM,QP,因为P,。均为中点，故 PQ A 3 且尸。=gAB,又因为MCA 8,且MC=JAB,所以PQM C,所以四边形MCPQ为平行四边形，故PC QM,又 PC 4j,sinZ E M Q =,cosZ E M Q =-=Q

19、 M V5 J5 Q M V5T故 sin/4M Q =*.【例2】如图，在四棱锥P-A B C D中，底面ABC。是矩形，P A=A D=4,A3=2.M是棱PD上一点，且CM=2 6,A M _L平面尸CD(1)证明：平面B4BJ平面ABC。；(2)求直线C。与平面A C M所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析显3【分析】(1)根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；(2)根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解.(1)_在矩形ABCD中，所以AC=7?

20、=2加，.AM J_ 平面 PCD,CM u 平面 P CD,PD u 平面 P CD,:.A M V C M,A M L PD ,A M=J(2后-(2回=2四，在中，,PA=AD=4,AM 为 P D中 点,P D =2 M D =2x 在 一 (2 伪 2=4 应,:.P +A D1=P Dr,即 B4J_AD,又 A3 _L AD,A 3c AP=A,3A u 平面 P AB,u 平面 P A B，.4)_1_平面必3，又ADu平面A8CD,.平面PAB_L平面A B C D；(2)山(1)知，S A C M=-A M M C =-x2yf2x2j3 =24 6,AM，平面 PC。,C

21、Ou平面 PC D,A M L C D y又 CD _ L AZ),AZ)cAM=A,AD,A M u平面 P A D,C D 八平面PA O,又CD AB,.A3 L平面4。，又 E4u平面 P AD,:.A B L P A,.P A A.A B,平面 PABc 平面 4 8 8=A8,PAu 平面 R4B,平面ABC。，由(1)知M为PQ中点，所以M到平面ABC。距离为g AP =2,设)到平面A C M的距离为/,由匕)-A C M =V”-ACD 1P-X276/Z=-X1X4X2X2,解得h=述,3 3 2 3设宜线C D与平面A C M所成的角为。，则则 sin。=-=-C D 3

22、所以直线C。与平面A C M所成角的正弦值为显.3【例3】已知菱形ABCO的边长为2,ZABC=6 0 ,对角线AC、B D 交于点O,平面外一点P在平面A B C D内的射影为O,/汨与平面ABCZ)所成角为30.(1)求证：B D L PA；fi P N(2)点N在线段尸8上，且%.8=组，求二的值.N-P 8 12 P B【答案】(1)证明见解析爵I(1)由PO_L面ABC。得PO_L8),然后证明出BO _L而PAC即可(2)由PO 1面ABC。得/汨与平面ABC。所成角为NP8O=30,然后利用/一碗=/一 蛇算出点D到平面P C B的距离 为 酒，然后利用丫 =VM P C N即可

23、算出答案.7【详解】(1)由题意 POJ_ifi A5CD,:.P 0 工 B D,菱形ABCO中，A C 1 B D,又POnAC=O,则面PAC,所以比)_LR4；(2)因为尸0_1_面4 5 0所以P3与平面ABCD所成角为/P3O=30。，又菱形边长为 2,ZABC=6 0 ,所以80=百，P 0=l,P B=2,C0=l,P C =所以 cos Z.BP C=4+2 j ,sin Z.BP C=-2-2-V2 4 4设|PN|=如 尸8|=22,点。到平面PCS的距离为d由%-PB C =V p一 DB C 得 S4B CD,P。=S&P B C,d,C P-x x2 x2 xs i

24、 nl 2 0 xl =-x x2 x V 2 xxd,解得d=2y3 2 3 2 4 7所以。到平面P N C的距离也为2叵.7r c r l l,l z 1 1 6 一,9 2 加 6 ,1所以/TC O=%-PC N X=五=/1 =.【例 4】如图，平 面&1 8 为圆锥的轴截面，。为底面圆的圆心，M 为母线a 5 的中点，N 为底面圆周上的一点，A B =4,SO=6.求该圆锥的侧面积；若直线S O 与M N 所成的角为3 0。，求M N 的长.【答案】（1）4 71 0?:（2）2 上.【详解】试题分析：（1）山题意知S O,平 面A B N ,在R t A S O B中，山条件和

25、勾股定理求出母线B S,山圆锥的侧面积公式求出该圆锥的侧面积；（2）取 O B的中点C ,连接M C,N C ,由条件和中位线定理可得M CIIS O,C的长，由线面角的定义可得N N M C ,在Rt A MC N中由余弦函数求出M N 的长.试题解析：（1）由题意知，SO_L平面A B N,在 RTA SOB 中，OB =；A B =2,SO=6,:.B S=y/22+62=2 /1 0,该圆锥的侧面积S=z r-0 8-8 S=4 ji U%：取 O B的中点C,连接M C,N C,例 为母线S B 的中点，.MC 为A S O 8 的中位线，:.M C/SO,M C=-S O =3,S

26、O _L 平面 A B N,M C，平面 A B N,N C u 平面 A B N,:.M C，NC,直线S O与MN所成的角为3 0，:N MC=3 0 ,MC在 H T&W C V 中，=co s 3 0 0,MNMC 3 /rMN =-=产=2 V3.co s 3 0 g2【题型五】垂直应用2：二面角【例 1】如图，在四棱柱中，底面A8CO为菱形，其对角线AC与8。相交于点 O,Z4 AB=Z A.A D=Z B A D =60,A4,=3,A8=2.证明：A。，平面A8CD；(2)求二面角A,-A B-C的正切值.【答案】(1)证明见解析2公【分析】(1)连接A 2 A 8,则AABG

27、A4 A 0,所以AO=A B,由等腰三角形的性质可得A O L B O,在中，由余弦定理可知4 =不，由勾股定理的逆定理可得从而由线面垂直的判定定理证得结论，(2)过。作O E LA B于E,连接A E,则可得乙4也0为二面角A-A B-C的平面角，从而可求出其正切值(1)连接 A R A B,4民/4 4 8 =/4 4。，4 4为公共边，:.A,A B AA D,又 二。为 8。的中点，在A A AB中，由余弦定理可知A 3 =+A2 一 2 44rA8 cos 60=布,在 RtAOB 中 AO=灰，A 4 =3,AO=G，满足 A02+AO2 =AA2,.AQ_LOA,又.AOc8)

28、=O,.A。，平面A8CD(2)过。作 OE_LAB 于 E,连接 A E.；AQ_L 平面 ABCD,A B I 平面 ABC。，.A。，AB.又.AB_LOE且。口4。=。,，他，平面4后。,：4是底面圆。上的两条平行的弦，轴。尸与平面PC。所成的角为60。.(1)证明：平面用B 与平面PC。的交线平行于底面；(2)求二面角C-O P-D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17-12&.【分析】(1)设 平 面 与 平 面 PCZ)的交线为/.由题意可证明A B/平面P C Q,从而可得AB/1,从而可证明结论.(2)由题意可得NCOD为二面角。-0 尸-。的 平 面 角.可 证

29、平 面 平 面 PC。，直线。尸在平面PCD上的射影为直线PF,NOP尸为O P与平面PCO所成的角，通过解三角形可得答案.【详解】(1)证明：设平面以8 与平面PCO的交线为/.V AB/CD,A B平面 P CD,：.A 3/平面 P CD：A B I面P A B,平面P AB与平面P C D的交线为I,：.AB/1在底面上，/在底面外与底面平行；(2)因为0 尸 _1。),O P1 O C,所以N C8为二面角C-O P-D 的平面角.设CO的中点为F,连接。凡P F,由圆的性质，N C O D=2 N C O F,OP J_CD：O尸 L底面，8 J_平面A B C D,且平面A D

30、D平面A B C D =A D ,所以_L平面P A D，由P Du平面P A D,所以8 M_LPD(2)P AD是等边三角形,连接PM,P M Y A D,由 且 PM c B M =M ,则4)_L平面PB M,因为P 8 u平面PB A 7,则(3)设等边 4 )的边长为2,则仞=&.因为平面尸8 C D平面A B C =B C,AD/BC,由(1),(2)得P3，B C,M8 _LB C,则N PB M即为二面角得平面角，PM71因为t an/尸=1,所以N P 8 M=-,BM 4T T所以平面P 8 C与 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为【例 4】如图，在矩形ABC

31、O中，AB=3心 BC =3,沿对角线3 3 把4 BCD折起，使点C移到点C,且 C在平面A B D内的射影。恰好落在A B上.（1）求证：平面3CJ_平面AO C；（2）求二面角C-的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）底.3【分析】（1）由题意易知8 U JL A O,根据线面垂直的判定可得5 c，平面A D C,再由面面垂直的判定证平面D8C，平面ADC.（2）由（1）结合勾股逆定理知C，A_LAD,根据线面垂直的判定有4 5，面CAB,有NCAB是二面角C-A-B 的平面角，即可求余弦值.【详解】（1）证明：C在平面ABE）内的射影。恰好 落 在 上，即A 3为BC在向4 町上的

32、射影，而 AB_LA,所以 BC_LAD,V BCCD,C D A D=D,：BC J平面 A D C,又 3C u 平面 D B C,，平面8C_L平面A D C .（2）由（1）知：B C r A C,在 RZAACB 中，有 AC=3 0,即 C T +A=CD?,CA A D,又 CArAB=A,即 ADJ.面 CAB,；：血角C-4。8 的平面角是NCAB,.A C 瓜 cos ZC AB=-=,AB 3二面角C 4 0 8 的余弦值是 迈.3【题型六】翻折中的垂直【例 1】如 图 1,在直角梯形ABC。中，AB/CD,AB_L4,且 48=40=；8=1.现以人。为 一 边 向 形

33、 外 作 正 方 形 然 后 沿 边 AD将正方形ADEE翻折，使平面AD所 与平面ABC。垂直，M 为 E）的中点，如图2.DCEE（1）求证：AM 平面BEC；（2）求证：8 c l.平面BOE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可k（2）根据面面垂直的性质定理，结合勾股的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可【详解】证明：取 居 中点N,连结MMBN.在中，M,N 分别为ED,EC的中点，所以脑VC,且MN=gcQ.由已知/W/C D,A B =C D,所以 M N/A B,且=

34、因此四边形MNBA是平行四边形，所以有B N AM,又因为B N u 平面B E C,且平面B E C,所以A M/平面BEC；（2）证明：在 正 方 形 户中，EDA.A D.又因为平面A D E F 平面A B C D中，且平面A D E F D 平面A B C D =A D ,所以D E_L平面ABCD,又B C u平面ABC。，所 以 匹 _L8C.在直角梯形ABC。中，A B =A D =C D =l,可得B C=母.在BCD中，B D =B C =e,C D =2,所以 8 4+8C?=C.所以 B DLB C,BD cD E =D，B D,O E u平面BC_L 平面 8DE.【

35、例 2】如图，已知等腰梯形ABC。中，A D/B C,A B =A D =B C =2,E是 8 c 的中点,A EC B D=M,将A&LE沿着AE翻折成g A E,使平面，平面ACDBIEBECC 求证：8，平面用。；(2)求B、E与平面B.M D所成的角；B.P(3)在线段8c 上是否存在点P,使得MP平面4A。，若存在，求 出 差 的 值；若不存在,D|C说明理由.B.P 1【答案】(1)证明见解析；(2)3 0。；(3)存在，4=-.DC 2【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明A E _ L 平面乌MD,再证明A E C Z)即可求解；(2)根据(1)中结论找出

36、所求角，再结合已知条件即可求解；(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点尸的具体位置,即可求解.【详解】(I)因为A O/8 C,E是8c 的中点，所以A B =A O =8 E =；B C =2,故四边形A B E D 是菱形，从而A E L B D,所以 叫!沿着 A E 翻折成 4 A E 后，A E l BtM ,AE DM.又因为=M ,所以4 5,平面A M O,由题意，易知A )C E,AD=CE,所以四边形A E C D 是平行四边形，故 A C D,所以CDL平面及OW；(2)因为平血4所以片E与平面g MO所成的角为N E 8 阳，山己知条件，

37、可知 A 8 =A E =CD,AB=A D =BE=BC=2 ,所以用4E是正三角形，所以/E 4M=3(T,所以BtE与平面B.M D所成的角为3 0。；(3)假设线段8c 上是存在点P,使得M P 平面4 A。，过点尸作尸。8 交80于。，连结M P,A Q,如下图：所以A M C Z)/P Q,所以A,M ,P,Q四点共面，又因为M PH平面4 A O ,所以MP/AQ,所以四边形A M P。为平行四边形，故AM=P Q =；C O,所以P 为 BQ中点，故在线段4c 上存在点尸，使得M P 平面A A Z),且 笠=：.DC Z【例 3】如图，矩形A B C。中，AB=2,BC=,E

38、为CO的中点，把AADE沿 4E翻折，使得平面A D E _ L 平面ABCE.DED(2)在C D上确定一点F,使A。/平面8 E A(3)求四棱锥尸-A 8 C E的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)线段C。上取C。的三等分点尸(靠近C)；(3)巫.6【分析】(1)先由勾股定理证明8 E _ L A E,再由面面垂宜的性质得出B E _ L平面Z M E,进而由线面垂直的性质得出线线垂直；(2)作辅助线并证明4)/尸G,再由线面平行的判定定理求解即可；(3)先由面面垂直的性质得出D O L平面4 5 C E,进而确定四棱锥尸-A 8 C E的高，最后得出体积.【详解】(1)证明：；平面

39、4)E _ L平面A B C E,平面A D E D平面A B C E =A E又由已知可得A E =8 E =0，A B =2,B E r A E,则跖 _1平面 4 ：；A Z)u 平面 D 4 E,B E Y A D,故 4 5 _ L B E；(2)连接A C交B E于G,则 当=(=!，在线段C D上取C O的三等分点F C靠近C),GA AB 2连接尸G,则 变=生=,，可得4)F GCD CA 3而A U平面BEF,F G u 平面BEF,则A D /平面BEF；(3)取A E中点。，连接0。，则。O J他又平面A D E _ L平面MCE,且平面A O E D平面A B C =

40、A ED O,平面/W C E,在R r/X A D E中，可得。=注2“为C。的三等分点尸(靠近C),.F到平面A 5 C E的距离为4正=更.3 2 6可得四棱锥尸-A B C E的体积为gx；(l +2)x 2 x聆=立.【例 4】四边形4 B C O是边长为2的菱形，ZBAD=6Q,A C H B D=0,如图甲，以A C为折痕，将平面A 8 C翻折到A B C的位置，如图乙，得到三棱锥斤-A C，M为BC的中点，DM=yi.(1)求证：0M/平面 AB。；(2)求证：平面ABCJ_平面OOM；(3)求二 面 角 C O-O 的正切值.【答案】(1)证明过程见详解；(2)证明过程见详解

41、；(3)毡3【分析】(1)由已知可得O M/A B,根据线面平行的判定定理，即可证明结论；(2)求出。R O M,通过勾股定理可得OQLOM,结合O D J.A C,可证D O,平面ABC,即可证明结论；(3)根 据(2)可得3。1 平面A C D,在平面ACD中，过点。作 O N L C D 交C D 于点N ,连接8 N,可证二面角8-C-。的平面角为N B N O,求出O N,即可得出结论.【详解】(1)证明：点。是菱形A2CO的对角线的交点，.点。是 AC的中点，为 8 c 的中点二 O M/M B,：A B u平面 ABC,OM 0 平面 AB C,；.O M H 平面 ABD；(2

42、)证明：在ABC中，-：OM/AB,/.O M =-AB=l.2在菱形 A8C)中，,/ZBAD=60,A C H B D=O,：.O D =-B D =,D O L A C2;D M=叵,：.O M2+OD-=D M2,：.D O V O M,又A C fW =O,。，平面人9 ,3 O u 平面。OW,平面ABC_L平面QOM(3)又(2)可知D O,平面A B C,二 平面平面AC),/B O L A C,平面A*c n 平面AC=ACBOJ_平面 AC。在平面ACD中，过点。作ON_LCD交CD于点N,连接夕N,如图BO CD,ON CD,BOl O N =O,C D z 平面 8ON

43、,，8 _ L 8，N,:面角B,-C D-O的平面角为ABNO,由题意可知：BO=l,O D =,O C =BDC=2,O N=ODOC=,D C 2tan ZBNO=BO 1 2 O N 7/3 2【题型七】垂直探索型【例 1】直三棱柱A B C 4AG中，A B =5,A C =3,B C =4,点。是线段A 6上的动点.（1）当点。是AB的中点时，求证：ACJ平面与C。；（2）线段A B上是否存在点。，使得平面ABBA，平面C。与？若存在，试求出A。的长度；若不存在，请说明理由.9【答案】（1）见解析；（2）【解析】【试题分析】（1）连接BC，交8c于点E，连接 石，则点E是B G的中

44、点，利用三角形的中位线有D E/A G，由此证得线面平行.（2）当CDLA 5时平面AB用A _ L平面C D B 利用C D 1 A B,C D A A,可证得C D _ L平面ABB,A,由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得A的长.【试题解析】（1）如图，连接B G，交B。于点,连接O E，则点E是8G的中点，又点。是A B的中点，由中位线定理得。E|A C-因为DEu平面BCD,A CX（Z平面B g D ,所以A G|平面3。.（2）当CD，43时平面ABB,A，平面C D B 证明：因为平面ABC,C）u平面A B C，所以A4 1 _ L C D.又 C D 工 A B,AAcA

45、3=A,所以 CD_L 平面 ABBM,因为C D u平面Cog,所以平面ABB.A,，平面CL)与，故点。满足CDJ_A5.因为AB=5，AC=3,3 c=4，所以4。2 +8。2 =452,故A4BC是以角。为直角的三角形，9又CZ)_LAB,所以AO=一 .【例2】如图，在三棱柱ABC 481cl中，CG，底面4JC，A C A-C B,点。是A8的(I)求证：A C 1 BC,；(H)求 证:AC】平面CDB1.(H I)设A8=2A4,A C =B C,在线段4蜴上是否存在点M,使得BM，*?若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由.【答案】(I )见解析：(H)见解析：(I I

46、I)存在，M为线段4片的中点，理由略.【解析】试题分析：(1 )通过证得CG_L4C,且ACL3C，即可证得AC_L平面BCGB 即证A C 1 B CX；(I I )设CB1与GB的交点为E,连结。E,因为D是AB的中点，E是 的 中 点，由二角形的中位线定理得DE/AC1，又由线面平行的判定定理即证A 平面CD81；(I I I)在线段4片上存在点M,使得BM_LC4,且 为线段AA的中点.证明如下：由已知得AA 1CD.由已知AC=B C,。为线段4 3的中点，所以C)_ L AB，可得C _ L平面/见与3.连接B M .因为8M u平面44内8,所以C D _ L BM，易证&W _

47、 L q。，所以BM_L平面片。力，即 可 得_ L C 8 1 .试题解析：(I )在三棱柱ABC-A4G中，因为CG J底面ABC,ACu底面ABC,所以CG，AC.又 A C L B C ,BCDCC,=C ,所以A C,平面8CG4.而BCi u平面BCG 4,则 A C B C.(I I )设CB1与QB的交点为E,连结。E,因为。是A B的中点，E是B q的中点，所以。E 因为D E u平面C D BAC,.由已知AC =B C,。为线段A B的中点，所以 C D _ L AB.又 A4,p|AB=A,所以C D J平面A41g B.取线段A中 的中点M,连接BM.因为平面4 4百

48、8,所以C)_ L 8 W.由已知4 8 =2朋，由平面几何知识可得又C n4 =n，所以B M J_平面筋8.又用Cu平面耳C Z),所以3 M _ L C耳.【例 3】三棱锥 P-A B C 中，AB=A C =2,BC=2 PA =P B=5 面/V L B_ L面 ABC.(1)求P C长；(2)求三棱锥体积；(3)A/%。内(含边界)上是否存在，点，使8”_ 1 _面巳4。.若 存 在，点，求出，点的位置；若不存在点，说明理由.A9/s【答案】(1)3；(2)-；(3)H存在，在棱总 上，旦=3 5【解析】【分析】(1)根据勾股定理可得C4_LAB,进而可得NC4P=90,再用勾股定

49、理计算PC即可.(2)作AB的中点M,连接PM可知月以，平面ABC,再求解体积即可.(3)作 8，R 4 F H,再证明BH _ L 面PAC即可.【详解】(1)AB2+AC2=BC2,Z C 4 B =9O,C 4 AB.平面PAB1 平面 ABC,平面 a s c平面 ABC=AS、C4u 平面 ABC,且C4，AB,可知C4_L平面E43,ZCAP=90.PC=VAC2+AP2=3 -(2)作AB的 中 点 连 接PM,由题意知PM _L平面ABC,8cpM=1X1X22X7T=1.c(3)作 于”，H在。4上.AH=ABs i n ZABH=ABsin/APM=、一.5；C 4 _ L

50、 平面/V L B，平面 R W，；BH A.CA,KBH1PA,C 4u平面FAC,PAu平面PAC,CAI A4=A,平面PAC,即“存在，在棱P4上,且AH 二 处.5【例4】已知长方体ABC。A 4 G A，点。为BQ1的中点.（1）求证：A g 面 aq。；2B E（2）若 4 8 =*朋，试 问 在 线 段 上 是 否 存 在 点 E使得AC J.A E,若 存 在 求 出 胆，3若不存在，说明理由.B E 4【答案】（1）证明见解析；（2）在 线 段 上 存 在 点 E有=-B B,9【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质