高数总结笔记.pdf

《高数总结笔记.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数总结笔记.pdf（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一函数的概念1.用变上、下限积分表示的函数(I)y=i切，其中几）连续，则贵小）(2)Y=s:,:)f咋t其中叶），吐）可导，几）连续，则皇主心（x)-f叶）帜(x)2.两个无穷小的比较瓜）设lim.f(x)=O,limg(x)=O,且lim-=lg(x)(I)l=O,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以八x)=Og(x)，称g(x)是比J(x)低阶的无穷小。(2)巨0，称J(x)与g(x)是同阶无穷小。(3)/=1,称J(x)与g(x)足等价无穷小，记以f(x)g(x)3.常见的等价无穷小当x0时sin x x,tan x x,arcs in x x,arc tan x x 1 2 l-

2、cosxx2,ex-lx,ln(l+x)x,2(l+xt-1 ax 二求极限的方法I.利用极限的四则运算和需指数运算法则2.两个准则准则l单调有界数列极限一定存在(1)若x11+1:;x,(n为正整数）又x,1之m(n为正整数），则limx,=A存在，且A2:m妞(2)若x11+1 x,(n为正整数）又x11 M(n为正整数），则limx11=A存在，且AMII一OO准则2.（夹逼定理）设g(x)J(x)h(x)若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A 3.两个重要公式公式.smx I.Jim=1 x。x1 II 1,I 公式2匣(1+;=e l吧(1+;)=e I li

3、ll-(1+V)-;=e，今04.用无穷小重要性质和等价无穷小代换5.用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）X 2 当x今0时，ex=1+x+A+三-+o(x)2!n!3 _ 5 _ 211+1 x-x-.I.n X sinx=x-+J+(-1)+o(x211+1)3!5!(2n+1)!cosx=1三十三A（l)“立o(亡）2!4!(2n)2 3 X X ln(l+x)=x-+-A+(-1)+1三o(x)2 3 n 3 5 X X 2吓ln+l X arctanx=x-+-A+1-1 3 5(-1)+1+O伈1+1)2n+l(l+x尸l+ax+伞l）2伞l扒a-(n-1)x+A+

4、2!n!X心）6.洛必达法则。法则l.（型）设Cl)limf(x)=O,limg(x)=O。(2)X变化过程中，J(x),g(x)皆存在f(x)(3)lim-=A（或oo）g(x)兀）则lim-=A（或00)g(x)f(x)（注：如果lim不存在日不是儿穷人晕情形，则g(x)八x)不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）g(x)oo 法则2.（型）设C l)limf(x)=oo,limg(x)=oo oo(2)X变化过程中，J(x),g(x)皆存在(3)Jim J(x)=A（或心）g(x)八x)则lim=A（或心）g(x)7.利用导数定义求极限基本公式：lim f伈心）J伈）A=f伈）如果ru

5、:-0 存在8.利用定积分定义求极限1“K 基本公式！皿江）I1(x汕如果存在三函数的间断点的分类涵数的间断点分为两类：(1)第一类间断点设x。是函数y=f(x)的间断点。如果八x)在间断点X。处的方、右极限都存在，则称x。足f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的共他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连纹的函数f（对，有以下儿个基木性质。这些性质以后都要用到。定理I.（有界定理）如果函数f(x)在闭区间a,b士连续，则八x)必在a,b上有界。定理2.（最大值

6、和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大伯M和最小值m的定义如下：定义设伈）M是区间a,b上某点Xo处的函数值，如果对千区间a,b上的任一点X,总有J(x归M,则称M为函数f(x)在a,b上的最大值。同样可以定义最小值m。定理3.（介仇定理）如果函数J(x)在闭区间a,b上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对千介千m和M之间的任何实奻c,在a,b上罕少存在个;使得鬼）c 推论：如果函数J(x)在闭区间a,b连续，且J(a)与J(b)开号，则在(a,b)内至少存在一个点O,a ct=1)xlna dx d log11 x=(a

7、0,a,;:.1)xlna l l(lnx)1=-dlnx=-dx X X（矿）=alna(aO,a:t:-1)da=旷lnadx(a 0,a:t:-1)2(e.)=ex dex=exdx(arcsinx)1=勹(arccosx)1=-I 1(arctanx)=l+x2,(arccotx)=1 1+x2 d arcsi 1 arcsinx=汇7dxd 1 arccosx=-言dx 1 d arctanx=dx l+x 2 d 1 arccotx=dx l+x 2 如（x+歹了）I=1 矗dln(x左言）1 厂dx 加（x+歹了）I=l 二dln(x丘言汀l 5 dx 2.四则运算法则加）土g(

8、x)=f(x)土g(x)J(x)g(x)=f(x)g(x)+J(x)g(x)叭t)存在，且妨(t)-:t=0,则dy _ lfl1(t)dx叶）（叶）丑o)二阶导数立d皇d皇上=w“心（t)lfl，心”(t)dx2 clx dt 叶）3dt 5.反函数求导法则设y=J(x)的反函数X=g(y)，两者皆可导，且J(x):/:-0 则g（y)l=l J(x)-.fg(y)(.f(x):/:-0)二阶导数g”(y)dgd;y)=d产i=-J”(x)=-f”g(y)r(X)3 Jg(y)3(J(x)=1:-o)例=f,心(g(x),e0)3.复合函数运算法则设y=f(u),u=(f)（对，如果叭x)在

9、x处可导，f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f抄(x)在x处可导，且有dy dy du=dx du dx f小）切(x)对应地dy=f（叶du=f物(x)切(x汕由千公式dy=f(u)如不节u足自变械或中间变扯都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4.由参数方程确定函数的运算法则设x(f)(t)y的）确定函数y=y(x)，具中(f)(t)6.隐函数运算法则设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y的方法如下：把F(x,y)=O讷边的各项对x求导，把y看作中间变址，用复合函数求导公式计饼，然后再解出y的表达式（允许出现y变品）7.对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数

10、求导方法得出导数y。对数求导法主要兀千：幕指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数关于需指函数y=J(x)心）常用的种方法3 y=e心）lnf(x)这杆就可以自接用复合函数运算法则进行。8.可微与可导的关系八x)在x。处可彶J(x)在x。处可导。9.求n阶导数（n 2,正整数）先求出y,y,A，总结出规律性，然后写出Y(n)，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式(I)y=ex y(n _ n x=e(2)y=ax(aO,a=1=I)(3)y=smx y(n)=sin(X了）(4)y=cosx 产cos(x+:(5)y=lnx 其中C,=n!k!(n-kJ.产a入（lna)y()=

11、(-1)-t(n-l)x-11 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式II u(x)v(x)（儿）区Cn/.，u(k)(x)汃-k)(x)k=O v(o)(x)=v(x)假设u(x)和v(x)都是n阶可导。微分中值定理一罗尔定理设函数J(x)满足(I)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)J(a)=J(b)则存在乒(a,b)，使得f(g)0二拉格朗日中值定理设函数J(x)满足u(0l(x)=u(x),(I)在闭巨间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导；则存在i;E(a,b)，使得f(b)-J(a)=J(i;)b-a 或写成八b)-J(a)=f(i;Xb-a)(a i;

12、b)有时也写成八心心）f伈）f(x。+0心）.LU(001)这里X。相当a或b都1-1以，1-1J.Jr1-1负。推论1若J(x)在(a,b)内可导，且f(x)=0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2若J(x).g(x)在(a,b)内皆可导，且f(x)三g(x)，则在(a,b)内（x)=g(x)+c,其中c为个常数。三柯西中值定理（数学四不要）设函数J(x)和g(x)满足：(1)在闭尸 间a,b上皆连续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)-:t-0则存在i;E(a,b)使得即）l(a)_/()=如）g(a)-g亿）(a;b)（注：柯西中伯定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊悄形g(

13、x)=X时，柯西中伯定理就是拉格朗日中值定理。）四泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理I.（皮业诺余项的n阶泰勒公式）设f(x)在x。处有n阶导数，则有公式.f(x)=J(x己旯心宁压）+A+)（入一X。)”+R.(x)4(x今X。)其中RJx)=ol(x-x。),l令项。煦。(xR-：)=oJ 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同悄形取适当的n,所以对常用的初等函数如exsin x,cos x,ln(l+X)和(1+xt(a为实常数）绍t的n阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）设f(x)在包含Xo的区间(a,b)内有n+1阶导数，在(xX。)称为皮亚诺a

14、,b上有n阶连续导数，则对xE a,b，有公式儿）小。）宁(x-x。)宁丛.-X。)+A+。)(x-x。)“+R.(x)其中R,(x)=f(n+l)(t)”(n+1).(xX。)/1+1(在x。与x之间）称为拉格朗日余项。上而展开式称为以x。为中心的n阶泰勒公式。当X。=0时，也称为n阶麦克劳林公式。如果limR,(x)=0,那么泰勒公式就转化为泰勒级n-0 数，这在后面尤穷级数中冉讨论。导数的应用：一基本知识1.定义设函数J(x)在(a,b)内有瓦义，x。是(a,b)内的某一点，则如果点x。存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x(x-:t:.x。)，总有八x)f(x。)，则称f(x。)为函数

15、f(x)的一个极小值，称x。为函数J(x)的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2.必要条件（可导情形）设函数f(x)在x。处可导，且x。为J(x)的一个极值点，则f伈）0。我们称x满足f(x。)0的x。为J(x)的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或小可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3第一充分条件设八x)在x。处连续，在0lx-x。|0,而在(x0,x。+5)内的任一点x处，有f(x)0,则伈）为极大值，x。为极大值点；20如果在(x。-o,x。)内的任一点x处，有f(x)0,则f伈）为极小值，x。为极小值点；30如果在

16、(x。-o,x。)内与(x。,x。+6)内的任一点x处，f(x)的符号相同，那么八心）不是极值，X。不是极值点。4第二充分条件设函数J(x)在Xo处有二阶导数，且f(x。)0,f(x。)o，则当f(x。)0时，f伈）为极小值，X。为极小值点。5 二函数的最大值和最小值1.求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的方法甘先，求出J(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点x1,A,xk,其次计算f伈），A，八xk.)，八aJ(b)。最后，比较f(x1),A,J(xk),J(a)，八b),其中品大者就是f(x)在a,b上的品大值M；其中录小者就是J(x)在a,b上的最小值m。2.最大（小）值的应用问题

17、首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出H标函数在巨间内的最大（小）值。三凹凸性与拐点1.凹凸的定义设八x)在区间1上连续，若对杆惫不同的两点X1,X2恒有f(X:x2);J(x1)+f伈）J(x12 x2 0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；如果在(a,b)内的每一点x，恒有J，（对O,a-#l)是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑傲分形式：(1)f八ax+b胚切(ax心（ax+b)a(a:/=o)(2)f八ax+b)x11-1 dx=f f(ax心（ax+b)5.J sinxdx=-cosx+C 1 6.J sec2 xdx=f dx=tan x+C COS-X 7.

18、J csc2 xdx=仁勹Y=-cotx+C sm 2 X 8.J tan x sec xdx=sec x+C 9.J cot x csc xdx=-csc x+C 10.J tanxd:飞lnlcosxl+C 11.J cot xdx=Inlsin xi+C 12.J secx心lnlsecx+tan xi+C 13.J cscxdx=lnlcscx-cotxl+C J dx.x C(a o)14.=arcsm-+心矿x2a J dx 1 x(a o)15.2 2=arctan+C a+x a a J dx 1 la+x(a o)16.2 2=ln-+C a x 2a a-x 17.J dx

19、 心=lnlx丘言C(a 0)二换元积分法和分部积分法1.第一换元积分法（凑傲分法）设j如汕F(u)+C,义叭x)可导，则雇吵(x胚停心(x二ff吵u=F(u)+C=F抄(x)+C 这里要水读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就(a:;t:.O,n:;t:.O)(3)f八lnx)空八lnx汃lnx)X f(4)J f（：）产I心（：）(5)J心）贵2I八功（五）(6)仇心xdx卢侵压）(aO,a-:t-1)庐xxdx=J瓜沁）(7)j八sinx)cosxdx=JJ(sinx)d(sinx)(8)J八cosx)sinxdx=-J八cosx)d(cosx)(9)J八tanx)sec2xdx=J八

20、tanx)d(tanx)(10)J八cotx)csc2xdx=-J J(cotx)d(cotx)(11)J八secx)sec x tan xdx=J八secx)d(secx)(12)J八cscx)cscxcotxdx=-J八CSCX)d(CSC X)(13)I f(arcsmx)j 心I八arcsin x)d(arcs in x)C 14)J dx=-J J(arccosx)d(arccosx)卢I(l5)I J(arctanx)dx=J J(arctanx)d(arctanx)(16)J J(arccotx)dx=-I+x2 仇arccot心(arccotx)7 1 fl arctan.:.

21、(17)f(l+X2 xdx=ff(arcta分(arctan;（AV-（x-X。)2 然后再作下列三种三角替换之一：(18)j 心x扣言）1卢dx=f本（x歹）他（x+汇二）(a o)(19)I f1in(x+5二）15 dx=f J加（x+汇了）他（x+汇=7)(a o)(20)f俐心ln|凶C(.r(x)-:t:-0)2.第二换元积分法设x的）可导，且rp(t)-:f:.0,若f八的）切（初G(t)+C,根式的形式所作替换二角形不意陷（求反函数用）二、卢干J矿x2x=a sin t:J矿x2x=atant f勹示心2-a2 x=a sect JX-41 c 3.分部积分法设u(x),v(

22、x)均有连续的导数，则f u(x)dv(x)=u(x)v(x)-f v(x)du(x)或fu(x)v(x)心u(x)v(x)-f u(x)v(x)dx 则使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作f八x)dx令x的）I凇(t)(fJ，心t=G(t)+C=G忙（对Cv(x)有定规律。其中t矿（x）为x的）的反函数。第二换元积分法绝人多数兀千根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变蜇替换分为两大类：Iax+b 第一类：被积函数是x与忒云了5或x与或cx+d 由矿构成的代数式的根式，例如心五言口；等。只要令根式a勺t，解出X=(f)(t)已经不再有根式，那么就作这种变抵替换X=(f)(t)

23、即可。第二类：被积俘1数含有Ax2+Bx+C(A-:t:-0),如果仍令Ax2+Bx+C=t解出x的）仍是根号，那么这样变黛替换不行，要作特殊处理，将AO时先化为扛l(x-X。)2士l 2，A0时，先化为(I)P,(x)eaxP,，（对sinax,P,(x)cos ax情形，P,(x)为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，每次均取eax,sin ax,cos ax为v(x)：多项式部分为u(x)。(2)P,(x)lnx,P,(x)arcsinx,P,(x)arctanx情形，P,(x)为n次多项式取片(x)为v(x)，而lnx,arcs in x,arctan x为u(x)，用分部积分

24、法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑具它方法。C3)eax sin bx,ea.r cos bx情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。(4)比较复杂的被积函数使用分部积分法，婓用凑微8 分法，使尽量多的因子和心凑成一定积分的概念与性质1.定积分的性质(1)勹(x汕I勹(x胚(2)f J(x)dx=O(3)J:kJ;(x)+k2儿(x)伈k1f勹(x沁k2f：儿（x胚(4)r f(x)dx=f f(x)dx+勹(x)dx(c也可以在a,b之外）(5)设a:s;b,f(x):s;g(x)(a:s;x:s;b)，则f:r(x贮f。飞(x汕(6)设ab,m可(x):s;M(a:s;x:s;b)，则

25、m(b-a)三fa勹（x贮M(b-a)(7)设ab,则i勹（x)dxl:;f/b|八寸心(8)定积分中值定理设八x)在a,b上连续，则存在c;E a,b，使f勹(x汕心a)1 b 定义：我们称f八x)dx为J(x)在a,b上的积b-a Ja 分半均值(9)奇偶函数的积分性质fa f归x=0(f奇涵数）-a f(x汕2f。勹(x协Cf偶函数）(10)周期函数的积分性压设f(x)以T为周期，a为常数，则r+r/(x协f。勹(x汕二基本定理1.变上限积分的函数定义：设瓜）在a,b上可积，则F(x)几肋，x E a,b称为变上限积分的函数定理(I)若儿）在a,b|可积，则F(x)=i入（叩在a,b卜连

26、续(2)若f(x)什a,b上连续，则F(x)=r f心研a,b上可导，且F(x)=J(x)叭x)推）形式设F(x)f(t)dt,(f)）（对，伲伈）可导，P1(x)f(x)连续，则F(x)=.f？()）。二3.参数形式表出的曲线所围成的面积设曲线C的参数方程x叭t)y訰）(a:;t:;fJ)叭a)=a,lf(/3)=b,(f(t)在a,/3（或p,a)上有连续导数，月(f)(t)不变号，叭t);:0日连续，则曲边梯形面积（曲线C与阿线x=a,x=b和x轴所围成）S=J:ydx=s:lf心（初10 飞：二平面曲线的弧长（数学一和数学二）1.直角坐标系设光滑曲线y=y(x),(as x s b)也

27、即y(x)有连续的导数弧长S=f:t订了礼x而dS=可只可心也称为弧微分2.构坐标系设光滑曲线r=r(0),(as0s/J)r(0)在a,/J上有连续导数弧长S=r(0)2+r(0)2 d0 3.参数方程所表曲线的弧长设光滑仙线cX=x(t)y=y(t)（卢ts/J）国），y(t)在a,/J上有连续的导数曲线C的弧长S=i气邓）2+y(t)2 dt 三特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分）1.已知平行截面面积的立体体积设 空间一 个 立体山一个曲面和乖直千z由两半面z=c和z=d所围成，z轴每一点z(cs z s d)且匪直千z轴的立体截向的面积s(z)为已知的连续函数，则立体体积v=J

28、:s(z炉2.绕坐标轴旋转的旋转体的体积(I)平厢图形由曲线y=y(x)(?.0)与直线x=a,x=b和x轴围成绕x轴旋转一周的体积仄叶了(x)dx绕y轴旋转一周的体积V),=24飞(x汕v入2叶偷:,dyx(y协b(2)平面图形由曲线X=x(y)(：o)与直线y=cy=d和y轴围成绕y轴旋转一周的体积Vy冗rx2(y协绕x轴旋转一周的体积/-才个c胚什/气八)夕才r l.设AB的方程为y=y(x)(as x s b)则S=2寸沁劝了厂局巨r、2.设AB的极坐标方程为r=r(0),(a:;0:;p)则S=2寸:r(0)sin0.jr(0)2+r(0)2 d0 3.设AB的参数方程为X=x(t)

29、,y=y(t),(a:;t勺/3)则S=21rt/3y（心x(t)2十权(t)2dt 常微分方程二变量可分离方程及其推广1.变量可分离的方程dy(1)方程形式：P(x)Q(y)(Q(y)*0)dx 四绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）设平面曲线C门位千x轴j-方，它绕x轴一周所AB 得旋转曲伽的面积为S。通解jdy Q(y)寸沁汕C（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）(2)方程形式M1(x)凡(y汕M2(x)凡(y协0通解IM(x)心f兑(y)M2(xf;,J N心）dy=C（从(x)=t-0,N1(y)=t-0)2.变量可分离方程的推

30、广形式（）齐次方程皇f(门y 令=u,X du 则空u+x=J(u)dx dx f du dx 即）UJ X=f+c=1n Ix I+c 11(2)贵J(ax+by+cXa*0,b*o)令ax+by+c=u,则空ab如）dx f du a+bf(u)寸dx=x+c(3)dy.A a1x+b1y+c1 云f（a2x+b2y+Ca.b 当A=I I-:t:-0情形，先求：_111a2 b2 alx+bly+C,0的解(a,/3）a2x+b2y+c2=0 令u=xa,v=y/J 则：仁言2勹f:：属于齐次方程情形a.b 当A=1 1=0悄形，a2 b2 入=b2-bl=a2-al 令则dy A a1

31、x+b1y+c1 云f（入(alx+bly)+C2)令u=a1x+b1y,则:=a1+bl贵a1+b1.f二c；2 屈千变星可分忠方程情形。三一阶线性方程及其推广1.一阶线性齐次方程空P(x)y=0 dx 它也是变量可分离方程，通解公式y=Ce-!小）气(C为任意常数）2.一阶线性非齐次方程dy dx+P(x)y=Q(x)用常数变易法司求出通解公式令y=C(x)e-/P(x)小代入方程求出c(x)则得y=e寸P(x)加(x)eJP(x)d,dx+CJ 3.贝努利方程d+P(x)y=Q(x)ya(a式，1)dx 令Z=Y I-a dz 把原力程化为+（1-a)P(x)z=(I-a)Q(x)dx

32、再按照一阶线性非齐次方程求解。dy 4.方程：1 dx-Q(y)-P(y)x dx 可化为+P(y)x=Q(y)dy 以y为自变昼，x为未知函数再按照阶线件非齐次方程求解。四全傲分方程及其推广（数学一）1.全微分方程P(x,y)dxQ(x,y协0,满足oQ oP-=ax oy 通解：u(x,y)=C,其中u(x,y)满足du(x,y)=P(x,y汕Q(x,y协求u(x,y)的常用方法。第一种：凑全微分法P(x,y汕Q(x,y协A.=du(x,y)把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。Cl)xdx+ydy d厂厂；(2)xdx-ydyd(12(3)ydx+xdy=d(xy);(

33、4)ydx+xdy=d(lnxy);xy(5)x言产dln伈y2)(6)=dln伈y2)X2-y2 2(7)x2 ydx=d(:;(8)ydxy-2xdy=d(:.(9)yxd：十：产d（arctan:J(10)xx气广d(arctani);(ll)ydx-xdy=d(!inX-y.X2-y2 2 x+y(l2)xdy-ydx=dlnx+y X2+y2 2 x-y(13)f,：勹2d;=d(-;X2 y2(14)xdx-ydy=d丿l(f-y2)2 2x2-y2;(15)=d厂l伈y2)22 arctan伈y2)(16)l+xt:2-yyd:)2=duarctan伈了）第二种：特殊路径积分法（

34、因为积分与路径无关）J-饮，vJ)(X凡？）（从礼）_飞o 心，y)小。，y。）+I(x,y)P(x,y汕Q(x,y灼(xo,Y o)=u(xo,Y。)，OP(x,y。)dx+f:。Q(x,y炒第三种：不定积分法由au=函P(x,y)得u(x,y)=J沁，y肚C(y)对y求导，Ou 6 得Q(x,y)=P(x,y)dx+C(y),匈匈求出C(y)积分后求出c(y)2.全微分方程的推广（约当因子法）设P(x,y汕Q(x,y协0不是全微分方程。不满足oQ oP-=ox彻但是存在R(x,y)使得R(x,y)P(x,y)dx+R(x,y)Q(x,y)cty=0为全微分方程，也即满足=祁Q_ oRP 函

35、oy则R(x,y)称为约芍因了，按全微分方程解法仍可求出R(x,y)P(x,y汕R(x,y)Q(x,y协du(x,y)通解u(x,y)=C。这种情形，求约当囚子是关键。特殊的高阶微分方程13 一可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解产f伈）y=趴扒心）”ClxI-l+C产n次令y=p，则y=p，原方程p=J(x,p)一阶方程，设其解y=J(x,y)为p=g(x,C小即y=g(x,C,)，则原方程的通解为y=f g(x,C1胚C2o 令y=p,把p看作y的函数，则y兜空空p空dx dy dx dy 把yy的表达式代入原方程，得y=J(y,y)dp 1 dy 一Pf(y，p)-阶方程，设

36、其解为p=g(y,cl)，即ddy x gl(yy,CCII),则原方程的通俯为I(y办)=x+C2.g,C1 二线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分力程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更1乌阶的线性微分方程。二阶齐次线性力程y+p(x)y+q(x)y=0(1)二阶非齐次线性方程y+p(x)y+q(x)y=.f(x)(2)L.若Y1（对，Y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合C1Y1(x)+C2Y2(x)(clC2为14 任意常数）仍为同方程的解，特别地，当y,(x)土入Y2(x)仅为常数），也即y,(x)与Y2(x)线性无关时，则方程的通解为Y=C1 Y1(x

37、)+C2Y2(x)2.若Y1(x),Yi(x)为二阶非齐次线件方程的两个特解，则Y,(x)-Y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3.若y(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y(x)为对府的二阶齐次线性方程的任意特解，则沁）y(x)为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4.若了为二阶非齐次线性方程的一个特觥，而C1y1(x)+C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解(cl,c2为独立的任意常数）则y=y(x)+C,y,(x)+C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。5.设y,(x)与Y2(x)分别是y+p(x)y+q(x)y八（x)与y+p(x)y+q(x)y儿（x)的特解，则

38、Y1(x)+Y2(x)是式y+p(x)y+q(x)y=八(x)儿(x)的特韶。三二阶和某些高阶常系数齐次线性方程l.二阶常系数齐次线性方程y+py+qy=0 其中p,q为常数，特征方程入2+pJ+q=0 特征力程根的三种不同情形对应力程通解的三种形(1)当1=p 2-4q 0特征方程有两个不同的实根入I/42则方程的通解为y=C1e炉1+Ce炉2(2)当A矿4q=0,特征方程有二币根儿I=/42 则方程的通解为y=(C1+C2x)e小(3)当1-:,.=p2-4q i+D2 x+A+Dk产）sin/Jx歹产R,(x)cos fJ x+T,(x)sin肛(I)若a土i/J不是特征根，则令由此司见

39、，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征力桯的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。四二阶常系数非齐次线性方程方程：y+py+qy=f(x)其中p,q为常数其中R,(x)=a。x+a1 xn-l+A+a,_1 x+a11 叶0,1,J,n)为待定系数T,(x)=b。x+b1x-1+A+b,一1x+b11b;(i=0,1,J,n)为待定系数15(2)若g士i/J是特征根，则令y=xe汁R,(x)cos/Jx+T,（对sin/Jx五欧拉方程（数学一）,(,1)/1-l(/1-l xy(n)+p,x-y(11-I

40、)+A+Pn_,xy+P,Y=0 其中p;(i=1,2,A,n)为常数称为n阶欧拉力程。令x=e代入方程，变为t是自变晕，y是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性侬分方程。注意下面变换公式：dy dy dt _-I dy 1 dy _ _ dy dy 一=e=-,x=,dx dt d,y dt X dt d;飞dt:贵归侵三（e,贵e-2,臼e-2，夸臼靡2矿yd2y dy x=-dx2 dt2 dt 向盐代数与空间解析几何向量的运算a=a/+a2j+a3k忆，a2,aJb=b1i如b次仇，b2,bJc=c,i+c2j+c3k=伈，C2,C31.加法。a+b忆b1,a2+b2,a3+bJ

41、减法。a-b=a1-b1,a2-b2,a3-bJ 2.数乘。入a=袖，弘，弘仅是常数）向盘的加、减和数乘运算统称线性运算。16 3.数品积。ab=|a|b|cos（嘉）=a1b1+a凸a3b3其中动）为向晕a,b间夹角ab为数岳也称点乘。ab。表示向址a在向扯b上的投影，即a-b0=Pr j ba 4.向堡积axb也称为叉乘。laxbHall凡saxb的方向按木手法则垂曰：fa,b所在平而，目i j k ax b=la,生生b,b2 b3 axb是向篇，axb=-bxa。laxbl等千以a,b为邻边的平行四边形的面积。5.混合积：定义(a,b,c)=(axb)飞，坐标公式a1 a2 a3(a,

42、b,c)=lb1忙从cl Cz C3 几何意义l(a,b,c表不以a,b,c为棱的平行大面体的体积。四两向址间的关系设a=忆，a2,a3,b=仇，b2，从关系向蜇表示向量坐标表示a,b间灾a b co笚呫吆吆COS(p=lallbl J仁奇忒J片屯氏角炒）a与b乖a-b=0 a戊a丸b丸0直a与b平行axb=0 a3-b3 _ a2万_ all-b_ 一平面及其方程l.法（线）向翟，法（线）力向数。与平面冗垂直的非零向扯，称为平面冗的法向扯，通常记成n。法向址m,n,p的坐标称为法（线）方向数。对才给定的平面兀，它的法向批有兀穷多个，但它所指的方向只有两个。2.点法式方程已知平面 冗过M(x0

43、,y。,z。)点，其法向景n=A,B,C，则平面冗的方程为A(x-x。)B(y-y。)C(z-z。)0或n(r-i。)=0 其中r。=x。,y。,z。，r=x,y,z 3.一般式方程Ax+By+Cz+D=0 其中A,B,C不全为零。x,y,z前的系数表示冗的法线方向数，n=A,B,C是冗的法向朵。特别悄形：Ax+By+Cz=0,农示通过原点的平面。Ax+By+D=0,平行千z轴的平面。Ax+D=O,平行yOz平面的平而。x=O表示yOz半面。4.三点式方程设A(x1,Y1,21)B(x2,Y2,22),C(x3,y3,Z3)三点不在一条百线上，则通过A,B,C的平面方程为设直线L的一般式方程为

44、心Bly+Ciz+Dl=0，则通过L的所有平面方程A2x+B2y+C2z+D2=0 为k1(A1x+B1y+C1 z+D1)+k2(A2x+B2y+C2z+D2)=0，其中(klk2)-:;:.(o,o)。6.有关甲面的问题两平而为冗1:A1x+B1y+C1z+D1=0 冗2:x+B2y+C2z+D2=0 冗1与冗2间夹角（叫A 1 A 2+B1 B2+C1C2 COS(f)=扛Bi+Ci归B：+C:垂直条件A1A2+B1B2+c,c 2=0 平行条件4生气气A2 B2 c 2 D2 重合条件A B C DI l l l=-=-=A2 B2 C2 D2 设半面兀的方程为Ax+By+Cz+D=0

45、,而点M伈，Y1,21)为平面冗外的一点，则M到平面冗的距离d:d=Ax1+By1+Cz1+D 归2+B2+C2 三直线及其方程l.力向向益、力向数与宜线平行的非零向虽s,称为直线L的方向向童，力向向益的坐标称为方向数。2.直线的标准方程（对称式方程）。X-X。=y-y。三l m n X-xl y-y1 X2-x,Y2-Y1 X3-x,Y3-Y,5.平面束z-z,Z2-z,I=0 z3-z1 具中(xu,Y。,z。)为直线上的点，l,m,n为直线的方向数。3.参数式方程17 ltmtnt+xoyozo _ xyz,Vd Ax+By+Cz+D=0 且线L的方程为：s=l,m,n,t为参变菜。4.

46、两点式设A(x1,yi,z1),B(x2,y2,z2)为不同的两点，则通过A和B的直线方程为x-x1 y-y1 z-z1=I=X2一斗Y2-Yi Z2-z1 5.一般式方程（作为两平面的交线）：心Bly+Clz+Dl=0，方向向盘Azx+B2y+C2z+D2=0 S=Ai,B忑x队，B2,C26.有关直线的问题两直线为LI:x-x,y-y,z-z1=/1 m1 n1 L2:x-x2 y-y2 z-z2=l 2 m 2 n 2 LI与L2间夹角(0)cosB=从m吧n1n2t12咐n:J片咐nix-x。y-y。z-z。-=-=C l m n L与冗间夹角Al+Bm+Cn sin a=位）lsin

47、a=言l m n L与冗垂门条件一A B C L与兀平行条件Al+Bm+Cn=0 L与兀重合条件Al+Bm+Cn=0 L上有一点在冗上多元函数傲分学多元函数的偏导数与全微分四方向导数与梯度（数学一）1.平面情形z=(x,y)在平面上过点片(x。,y。)沿方向I=(cosa,cos/J）的方向导数砑=lim f伈tcosa,y。+tcos/3）f(xo,Y。)atl(xo,Y。)1今0t 垂百条件从m1m2+n心0半行条件n1一生_ m_叱_ l_h 四平面与直线相互关系z=J(x,y)在点P0(x。,y。)处的梯度为gradf伈，y。)（气0 x,y。)，气;,y。)而方向导数与梯度的关系为创

48、at l(xo,Y。)=graq小。，y。）l=lgradf伈，y。伈cos!(graq凡，y。）,l)多元函数傲分法一复合函数微分法锁链公式校型1.z=f(u，叶，u=u(x,y),v=v(x,y)半即冗的方程为：18 函F=一8z F,函F(2)确定x=xy,z)则=-;ay F,ov-ay oz彻+au动oz一如=oz匈.ov-ox oz加+au-ax oz-au=空亟z：三(3)确定校型2.u=J(x,y,z),z=z(x,y)如，位八fc0 x 0 x 如，6z刀J二匈匈三三：桢型3.u=f(x,y,z),y=y(x),z=z(x):兀几y(x)+J;z(x)气了模型4.w=J(u,

49、v),u=u(x,y,z),v=v(x,y,z)OW-=f,6u,Ov+f 祁BxJV ox OW r,OU，彻=f+f 彻“6yv创OW r,OU，加-=f+f-泣6z.I,6z 6yF=土8x F y 匈Fy=y(z,x)则=一;oz F y 多元函数的极值和最值一求z=J(x,y)的极值第进一步步00 _)yy x,x,(刀几、.y习什J 驻山“,(xk,Yk)(k=1,2,A,!)第一少令Ak 尺（xk,Yk)八龙，Yk)-f龙，动2若t:,_k0则f伈，Yk)是极值若尺(xkyk)Q则八xk,Yk)为极小伯若尺(xk,Yk)O则f(xk,Yk)为极大伯w 还有其它模型可以类似处理二隐

50、函数微分法设F(x,y,z)=0 二求多元（卢2)函数条件极值的拉格朗日乘子法求u瓜，A,x,，）的极值正，A,xJ=O约束条件M(mn)(p111(x,A,X11)=0 作F=F(xl,A,x，凸，A，仁）f（xl,A,xn)区炒尪，A，x,1)i=I 6z F =-函F;祝F(I)确定z=z(x,y)则=-函Fz 19 F=0 M F=0 Xn 凡正，A,xJ=OM 度仇，（x,A,x11)=0 求出（如，A,xk)xk=1,2,A,l)是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定具充分性。这种方法的关键是斛方程组的有关技功。多元函数积分学二在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积