高等数学专项练习之曲线积分与曲面积分.pdf

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1、高等数学专项练习之曲线积分与曲面积分第一部分教学内容一重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。第二部分内容提要第一节曲线（面）积分的定义第一类曲线积分/i I L f(x,y)d的斗fg,n1)AS,（存在时）AS，表示第个小弧段的长度，（g1,n,）是AS，上的任一点小弧段的最大长度。实际意义：当f(x,y)表示L的线密度时，Lf(x,y)ds表示L的质昼；当f(x,y)三时，ILds表示L的弧长，当f(x,y)表示位千L上的柱面

2、在点(x,y)处的高时，IJ(x,y)ds表示此柱面的面积。L 二第二类曲线积分“I L Pdx+Qdyl_ i 妇02P（如，n,）竺Q（如，打，）Ay,（存在时）i=l 实际意义：设变力F=P(x,y)i+Q(x,y)j将质寺从点A沿曲线L移动到B点，则F作的功为：W=f/dS=(P心QdyI其中d立(dx,dy)事实上，ftdxI tQdy分别是F在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。三第一类曲面积分ll 甘f(x,y,z)ds的四区f(如飞）ASI存在时）:E.-i=I AS，表示第1个小块曲面的面积，（女n,S,）为AS，上的任一点，儿是n块小曲面的最大直径。实际意义：当f(x,yI Z)

3、表示曲面2上点(x,y,z)处的面密度时，甘f(x,y,z)ds表示曲面江的质鼠，当f(x,y,z)=1时，2 ff心表示曲面江的面积。2 四第二类曲面积分ff Pdydz+Qdzdx+Rdxdy今四区P（如飞）（AS，压Q（如飞）（AS心R（如心）（AS，八（存在I;.j;I 时）其中(AS,）yz,(AS,)u,（AS,）汀分别表示将2任意分为n块小曲面后第I块AS，在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz,dzdx,dxdy分别表示这三种投影元素，（女兀(;)为AS，上的任点，A是n块小曲面的最大直径。实际意义：设变力V(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(

4、x,y,z)k为通过曲面2的流体（稳定流动且不可压缩）在2上的点(x,y,z)处的速度。则中fj VdS=f j Pdydz+Qdzd.x+Rdxdy表示在单位时间内从江的一侧流向指定的另一侧的流量。第二节曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质(l)被积函数中的常数因子可提到积分号的外面(2)对积分弧段（积分曲面）都具有可加性(3)代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关f Pdx+Qdy=Pdx+Qdy fL ff Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=ff Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 工一第三节曲线（面

5、）积分的计算一曲线积分的计算a、依据积分曲线L的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限二曲面积分的计算方法l、第一类曲面积分的计算a将积分曲面I投向使投影面积非零的坐标面b将2的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。C将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、第二类曲面积分的计算a将积分曲面I投向指定的坐标面b同lc依2的指定的侧决定二重积分前的+”或-“第四节格林公式、高斯公式和斯托克斯公式一格林公式fr Pdx+Qdy=ff(6Q 6P-)dxdy l

6、 D 6x句其中P、Q在闭区域D上有一阶连续偏导数，L是D的正向边界曲线。若闭区域D为复连通闭区域，P、Q在D上有一阶连续偏导数，则JJ(6Q)dxdy=tt Pdx+Qdy其中L;(=1,2.n)均是D的正向边界曲线。放6y二高斯公式炉Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=ff f oQ.oP.oR(+)dxdydz Q 函oyoz 其中P、Q、R在闭区域Q上有一阶连续偏导数，2是Q的边界曲面的外侧。三斯托克斯公式6-axp dz dy JJT 6-oyQ dx dz 心dyi I frPix+Qdy+Rdz 其中P、Q、R在包含曲面2在内的空间区域内具有一阶连续倌导数，2是以为边界的分片光滑

7、曲面，r的正向与2的侧向符合右手规则。第五节平面上曲线积分与路径无关的条件设P、Q在开单连同区域G内有一阶连续偏导数，A、B为G内任意两点，则以下命题等价：(l)L.Pdx+Qdy与路径L无关LA8(2)对于G内任意闭曲线L,ti_ Pdx+Qdy=0 6Q 6P(3)在G内处处成立ox函(4)在G内，Pdx+Qdy为某函数U(x,y)的全微分第六节通量与散度、环流量与旋度_ 设向量A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k则通量（或流量）如ffA iids 又，其中户(cosa,cos/J,cos r)为2上点(x,y,z)处的单位法向量。散度旋度-.oQ.

8、oP.aR div A=+对坐标的曲面积分与2的形状无关的充要条件是散度为零。淑6y6z l8-axp _-tA ro-K6-azR-j6一函Q环流量向量场入沿有向闭曲线的环流量为frPdx+Qdy+Rdz=入了小fr 第三部分知识点详解第一节曲线积分的基本概念与性质一对弧长的曲线积分又称第类曲线积分定义 设f(x,y)在xOy面内的光滑曲线L上有界flf(x,y)ds泗2fg,n1)心（极限存在时）i=I 其中（女n,）是任意分割曲线L为n个小段弧后，所得到的第i个小弧段上的任意一点，心，为该段弧的长度，,1,=1nax心，1gs11 r为空间曲线时，类似地有归x,y,z)ds=lf f(名

9、，三）心，入Oi=I 物理意义设曲线L的线密度为p(x,y)，则其质量为M=frp(x,y)ds 性质1运算性质炒(x,y)士g(x,y)心Lf(x,y)ds士fLg(x,y)dsfL村(x,y)ds=kfLf(x,y)ds 其中k为常数性质2对弧长的曲线积分与积分路径的向无关，即flf(X,)d:s=f_L f(X,Y)ds 其中L是与L方向相反的曲线弧性质3对积分路径具有可加性，即炉x,y)ds=L,f(x,y)dH f Li f(x,)ds+Lk f(x,y)ds 其中L=L,+L2+Lk.二对坐标的曲线积分又称第二类曲线积分定义设P(x,y),Q(x,y)在xOy面内的有向光滑曲线L上

10、有界f,.P(x,y冲Q(x,y)dy=1i心P（巨）心，Q位，n，）Ay,L A分0i=I（极限存在时）其中(g,n,）是任意分割曲线L为n个有向小弧段后所得的第i个小弧段上的任意一点心，为该段弧的长度，入 max心，I5i5ll r为空间曲线时，类似地有frP(x,y,z)d.x+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz r 皿言P（合三）心，Q（女n，心）Lly;+R(;,7，心）Az,-物理意义 变力F=P(x,y)i+Q(x,y订沿曲线L所作的功为W=LP(x,y)dx+Q(x,y)dy.L 性质1对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即f,P(x,y汕Q(x,y)dy=f_,P(

11、x,y汕Q(x,y)dy,其中L是与L方向相反的有向曲线弧性质2对积分路径具有可加性，即f l P(x,y)dx+Q(x,y)dy=f L,P(x,y汕Q(x,y)dy 寸P(x,y)心Q(x,y)dy+L.,P(x,y)dx+Q(x,y)dy h LK 其中=L1+L2+Lk.三两类曲线积分之间的关系平面曲线L上两类曲线积分有如下关系L P(x,y汕Q(x,y)dy=L P(x,y)cosa+Q(x,y)cosfds 其中a(x,y),/J(x,y)为平面有向曲线L上点(x,y)处的切线向量的方向角空间曲线r上两类曲线积分有如下关系f r P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,

12、y,z)dz=f r P(x,y,z)cos a+Q(x,y,z)cos/J+R(x,y,z)cos r ds 其中a(x,y,z),/J(x,y,z),y(x,y,z)为空间有向曲线r上点(x,y,z)处的切线向量的方向角第二节曲线积分的计算公式一对弧长的曲线积分设函数f(x,y)在平面曲线L:x=rp(t),y=(fl(t),(a:S:t:s;fJ)上连续叭t),w(t）在区间a,/J上连续，且矿(t)u2(t)五0,则/3 炉x,y)ds寸f炒(t)，江）W问(t)2+1f(t)2 dt a 设平面曲线L的方程为y=y(x),(a s店b)且y(x)在区间a,b上连续，则L f(x,y)

13、ds=I勹x,y(x)汇言dx设函数f(x,y,z)在空间曲线rx叭t),y=1/f(t),z=m(t),(as t s/J）上连续，例(t)，叩(t),w(t)在区间a,/3上连续，且O,O:;区2冗）解：（方法一）根据公式将曲线积分化为定积分ds=dt欢dt=adtfi(x2+y2),ds=f。a cos t)2+(a sin I)2 adt 2万=f a2心1dt=2叩加l。（方法二）由千在曲线L上x2+y2=02，且f小为曲线段L的长，所以ti_(x2+Y勺,ds=(a2ds=2冗U2n+Ii【例2】计算fe沪荨血其中L为圆周x2+y三正直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边

14、界分析由于曲线L分段光滑，所以先将L分为若干光滑曲线段之和再利用曲线积分的可加性计算曲线积分解：什了ds=I/了心I!沪了心j/扣了dsLl的方程为y=x,（肛x5幸）ds=言芞5心忍f产了ds=f气/$产人心L,J 0 寸幸1e2d（丘）ea-I。L2的方程为：x=a cost,y=a sin t,（归t5f)ds=dt=(-asint)2+(acost)2 dt=adt 巴f产了心 f0iaedt=!.f矿o 4 L3的方程为y=O,(Osxsa),ds=:；气5心dx.庐了ds=f。矿dx=ea-1 所以y Ll OI L3 a x 图10-2杆囥ds=f产了心I产了ds+f产了ds=e

15、a-1于“ea-I=（千宁2【例3】计算frx2 yzds其中为折线段ABCD这里A(0,0,0),8(0,0,2),C(l,0,2),D(l,2,3).分析求本曲线积分的关键是求直线AB,BC,CD的参数方程空间过点(x1,Y1,21),(x2,Yi,22)的直线的对称式方程xX1 y-yl zZ1。令该比式等千t，可得到直线的参数方程X2-xl)，2一），I22-zl 解：如图10-3,fx2y泌fABx2 yzds+f页.2yzds+f石x2yzds 线段AB的参数方程为X=0,y=0,Z=2t,(0勺釭）ds=.Jwddt=2dl f 言2yzds=f。002t 2dt=0 线段BC的

16、参数方程为X=t,y=0,Z=2,(0 区1)ds二dt=dt z C(l,0,2 IA(0,0,0)y f阮x2yzds=f t2 0 2.cft=0。女图10-3 线段CD的参数方程为x=l,y=2t,z=2+t,(0:,;t:,;1),ds高了歹言dt=5dt 归x2yzds=t 12 2t(2+t)5dt=2司；（2t+t2)dt=:所以f r;.2 yzds=f AB x2 yzds+f页x2yzds+f芬x2yzds琵【例4】计算f(4x3+x2欢从其中L为折线段忖叶Yl=1所围成区域的整个边界解：（方法一）如图10-4炉3+x2y)心(4x3+x2y)ds+Jli.(4x3+x2

17、y)d.+J L,(4x3+x2 y)心JL.(4x3+x2 y)ds L1的方程为y=1-X,(0$X$I)J,_(4x3+x分）dsLI 寸;(4x3+X勹）二dx=5斗心入31昙4 3。12 L2的方程为y=I+X,(-1 s x s 0)L.(4x3+x2沁L2。寸一。(4x3+x2+x3)霆Ix气x4心l=lllf L3的方程为y=-1-X,(-1 S X S 0)y 1 :-1O)解：（方法一）如图10-5(a),L的参数方程为x=(l+cost),y=sint,(O勺s2刓2 2 y ds=产(t)+y2(t)dt 勹I=I1(-sm t)2+号costrdt=沪心2+y2 图1

18、0-5(a)I a 2 a 2 y=.,(1+cost)2+sin 2 t 4 4 巠.j2(1+cost)=+osfl o l a 伈x2+y2 ds广o已2I cos气2t 图10-5(b)a2 I f;.lt I让t 2=2 0cos冗COS2dt=2a 1 x J X（方法二）如图10-5(b)L的极坐标方程为r=acos0,（亨红0气）由直角坐标与极坐标的关系，则x=r(0)cos 0=a cos2 0,y=r(0)sin 0=a cos Bsin 0 x2(0)+y2(0)=rcos0r sin 0 2+rsin 0+r cos 0 2=r2(cos2 0+sin2 0)+r气co

19、s2 0+sin 2 0)=r2+r2=(asin0)2+(acos0)2=a2 ds炉（o）+y2(o)d0=5二了d0=ad0护(acos20)2+(a cos 0 sin 0)2=aicos 0 I 巴巴压二了心I2fa2|cos0如2a2f。cos0 d0=2a2 注意在方法一中参数t表示圆心角，而在方法二中参数0表示极坐标系下的极角，参数的意义不同，一般取值范围也不相同若曲线在极坐标系下的方程为r=r(0)，则els=了口万d0可直接引用此式该例也可以先利用对称性化简再化为定积分计算【例6】计算f(x2 沪2z)ds其中r为X2 沪Z2=R2 x+y+z=O F(x,y,z)=0 分

20、析计算这个曲线积分的关键是正确的写出的参数方程一般地如果的方程形式为时先G(x,y,z)=O H(x,y)=O 求出厂关千xOy的投影柱面H(x,y)=O，即利用两个曲面方程消去z再求出平面曲线 的参数方程z=O x=p(t)并将其代入其中一个曲面方程解出z=OJ(t)，即得r的参数方程y=lf/(t)解：（方法一）由千r是平面x+y+z=O上过球x2+y2+z2=R2的中心的大圆两个曲面方程联立消去z，得X2+xy沪：，产）2+（f+）丁罕 在式中，令$R x=cost,x=JRcost 2$3.x R.R.R-+y=sin t,y=sin t-cost 2 5 5高R R 将，代入平面x+

21、y+z=O得z一一cost-sint，故的参数方程为拓拉,f s。c R 巨_ x R.R y=sin t-cost 拉扎R R z=-7cost-7sin t,(O:;t:;2亢）扣拉ds=x2(t)+y2(t)+z2(t)dt 气sin2 t+（詈号2+（詈7zr dt=Rdt所以f r(x2+y2+2z)ds r 对。2气cos2t+R2:tc2 2R了勹）f飞os2 t+-TJ主2R2sm t cost l l=R3 f 02(cos2 t+-7J 页飞R3(t+sin 2t于言。于3（方法二）由千积分曲线方程中的变量x,y,z具有轮换性，即三个变量轮换位置方程不变且对弧长的曲线积分与

22、积分曲线的方向无关故有杻ls=fri心炉s=i炉2+y2+z2)c/s气ds=气矿同理1 炉fiyds仔Is=f ti(x+y+z)ds=0 所以Tr(x2沪2z)ds=f r(x2沪z2沁fr(x+y+z)ds=：冗R3注意利用变量之间的轮换对称性技巧来解对弧长的曲线积分，往往有事半功倍之效【例7】计算fi.(2a-y)dx+xdy其中L是摆线x=a(t-sin t),y=a(I-cost)上对应t从0到江的一段弧解：根据公式f L(2a-y)dx+xdy=f。22a-a(l-cost)a()cost)dt+f。(t-sin t)a sin tdt=a2厂o-cos2 t)+sin t(t-

23、sin t申,2汀=a 2 J:,sin tdt=a2-tcost+sin t =-2冗矿。【例8】计算fI.(X2/）心（x2一）,2)dy，其中L是曲线y=1-II-xl对应千x=O的点到x=2的点L 解如图10-6I f I.(x2+沪）心（x2沪）dyL 寸L,(x2+y2)dx+(x2子）dy+f Li(x2+y2)dx（x2子）dy（方法)取x为参数，L1的方程为y=X,(Q:;X:;,;1)ft.(x2+沪）dx+(x2-沪）dy=(2x2心l2的方程为L,o 3-y=2-X,(I X 2)I(x2+y2)心（x2了）dyL2 y 千入;2+(2-x)2 tfx+j心（2-x)2

24、.(-l)dx 所以2 寸2(2-x)2dx=12 1 3 f矿沪）dx+(x2-y2)dy=L 3 L2。l 2 X 图10-6（方法二）取y为参数，L1的方程为X=y,(Q y 1)J,_(x2+y2)dx+(x2子）dy=(2y2dy=L2的方程为x=2-y始点对应的参数值为1终点对应的参数值为0由千dx=-dy,J/dx+x2dy=0，故有J 2(x2+y2)d+(x2一）2)dy=r-2y2dy=所以L.(x2+y2)dx+(x2子）dy=4 L 3【例9】计算frxyz中其中r是用平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得的截痕从x轴的正向看去沿逆时针方向解 将y=z代入球面方程x2

25、+y2+z2=1消去z得，x2+2y2 J=l，令x=cost,y=sin l并将其代入y=z得，五1.z=五smt.r的参数方程为x=cost,y=l.1 sint,z=五：五sin t，始点对应的参数值为0终点对应的参数值为2兀f rxyzdz=f。2飞costsin 2 t古costclt古f。2:rsin22tdt=1嘉f。(1-cos4t)dt卢【例10】利用格林公式计算f,.xy2dy-x2 ydx其中L为圆周x2沪a气沿逆时针方向解2 8P 2 8Q P=-x2y,Q=xy2,=x沪函6x由格林公式(xy2dy-x2ydx=丿（詈詈dy=fj(x2+y2)dxdy=j判。0产，d

26、r=f产f。r3dr=冗a4常见错解设P=-x2y,Q2 oP 2 oQ 2-x y,=xy，百X，百y炉2dy-x2 ydx=fJ(x2+y2)dxdy=fJ a2d.xdy=冗矿D D 错误原因在曲线积分中(x,y)EL,L的方程可以直接代入曲线积分中，但在二重积分中(x,y)ED，所以把L的方程代入二重积分的被积函数中是错误的注意利用格林公式计算对坐标的曲线积分时，P,Q不要颠倒了计算沿闭曲线对坐标的曲线积分时常利用格林公式简化计算【例11)已知平面区域D=(x,y)I 0釭立立，Oy幻叶，L为D的正向边界试证：(1)t xesin Y dy-ye一sinxdx=fl,xe一siny d

27、y-yesin X clx;叶xesinydy-ye-sinxdx;?:2冗2L 证明（方法)（I)亢0左边f。兀esinydyf兀兀e-sinX心冗f。reSUl人心冗f。“e-sinxdx寸(esinx+e-sinx)心。右边f:Jr e-sin Y dy-f：兀esin 人心冗f。“esi,口心冗f。e-sinx dx 冗l。开(esinx+e-sinx)dx 所以flxesin y dy-ye-sin X clx=f l xe_、inydy-yesinx dx(2)由于esinx+e-sinx 2,由（1)得T L xesinydy-ye-sinxdx=冗f。斤(esinx+e-sin

28、x)d立2兀2（方法二）（l）根据格林公式得f L xesin Y dy-ye-sin人心=ffcesiny+e六inx)dxdyD f L xe-sin Y dy-yesinx dx=ff(e-siny+esinx)dxdy D 因为D关于y=x对称，所以Jf(esiny+e-sinx)dxdy=ff ce-siny+esinx)dxdy D D 故fL xeiny dy ye-sin入心 fL xe-sin Y dy yesin 入一心(2)由(1)知f L xesin Y dy-ye-sin 人心=JJ(esin y+e-sin x)dxdy D=JJO，作圆周L1:x=r cost,y

29、=rsint,使L包含在L的内部并取L1的方向为顺时针则P,Q在L,Li所包围的区域D内有连续的阶偏导数且l,l1构成D的正边界由格林公式从；：x2xy:Ij（詈勹xdy=fj忙勹22)2-(x2 2+-y2尸xdy=OL X 图10-8所以f ydx-xdy=ff严三y-fydx-xdy l 2(X2+y勹6x6y L,2(x2 沪）D 廿ydx-xdy=勹(-sin2 t-cos2 t)dt=冗2Ji,(x2+y2)2Ji汀常见错解信？2xyd：厂Ij(譬詈tdy=O错误原因P,Q及一阶偏导数在(0,0)点没有定义，故不能直接使用格林公式注意在本例中，若把L换为不过原点的任意分段光滑且无重

30、点的闭曲线，应该分为原点在L所包围的区域内和原点不在这个区域内两种情况进行讨论对前一种情况，曲线积分利用此例的方法就可以求出【例14)证明曲线积分f(3,4)(6xy2沪）（ix+(6.,产2y-3x/)dy在整个坐标面xoy上与路径无关并计算积分值(1.2)解（方法一）P=6xy2沪，Q=6x2y-3xy2,因为詈12xy-3沪詈且P,Q在整个坐标面xoy上有连续的阶偏导数，所以曲线积分与路径无关f:l3:）)（6矿y3)dx+(6x2 y-3xy2)dy 寸AB(6xy2沪）dx+(6x2 y-3xy2)dy+f sc(6xy2沪）dx+(6x2 y-3x:产）dy3=r(6x22-23)

31、dx+(6-32 y-33-y2)dy f:=80+156=236（方法二）由千被积表达式Pdx+Qdy=(6xy2-y3)dx+(6x2 y-3xy2)dy=(6xy2 dx+6x2 ydy)-(y3 dx+3xy2)dy=d(3x分勺d(xy3)=d(3x2/-xy3)所以曲线积分与路径无关y)4),2,3 3(B c J)2,I(A。X 图10-9设u(x,y)=3x亨xy3，则j（1324)(6xy2-y3)dx+(6x2 y-3x沪）dy=3x了xy3驾236【例15】设du=(3x2 y+8xy2)dx+(x3+8x2 y+12yeY)dy，求u(x,y)解（方法一）设P=3x2y

32、+8xy2,Q=x3+8x2 y+J2yeY 由6P=3x2+16xy=oQ 句祁I(x.y)所以u(x,y)=(00)（3.,:2y+8矿）dx+(x3+8x2y+l2yeY)dy+C1=f。0O)内的有向分段光滑曲线其始点为(a,b)，终点为(c,d)记l=f1+X Ly 卢（入;y)x亏卢(xy)-1伈，(1)证明曲线积分I与路径L无关(2)当ab=cd时求I的值(2002年数学考研题）证明(I)设PX=1+y勹(.xy),Q甘卢(xy)ly y oP oQ oy=f灼）-i+xyf(xy)y 6x 在上半平面内处处成立所以在上半平面内曲线积分I与路径无关(2)（方法一）如图10-10，

33、由千积分I与路径无关所以l=f(（：昙I+y勹(xy)伈干门(X)y+j:b勹且I+y勹(xy)归：卢(xy)-1伈=I翠l+b勹(bx)曰了门(cy)-1伈于bf(bx)dx+：寸(cy)dy曰c a bc cd c a叫=1飞j a/.f(t)dt+s:f(t)dt=1飞寸abf(t)dt当ab=cd时厂f(t)dt=0,(lb y 所以l=一C a d b（方法二）lIdx xdy 亏寸对(xy)dx+4(xy)dy L y y L c a c a 寸f(xy)ydx+xdy；了L厄）d(xy)d b L 因为几）连续所以F(t)=(f(t)dt存在，。)d)cb c(J c 包A。x

34、图10-10dF(t)=f(t)dt=f(xy)(xdx+ydy)I兀y)d(xy)=F(xy)飞F(cd)-F(ab)L 当ab=cd时Lf(xy)d(入:y)=0，由此得I王2L d b【例17】已知力场F=yzi x-2 ZXJ+xyk，问质点从原点沿直线移动到曲面勹十十二司在第一卦限部分上的a b c 哪一点作的功最大？并求出最大功解：设所求点(x。,y。,z。)在椭球面上原点到该点的直线的参数方程F:x=x。t,y=y。t,z=z。t,t从0到lW=f ryzdx+zxdy+xydz r=f;（y。z忒x。+z。x矿y。+.,，oYo户z。)dt=3x0y0z0 f t2dt=x0y

35、0z。2 2 2 求显大功的问题实际上就是求W=.ryz在条件上+上-+二=l下的极值问题a 2 b 2 C 2 2 _ 2 _2 设F(x,y,z,A)灯Z十凡（千；占l，分别对x,y,z，儿求偏导并令偏导数等于0得a c-X,-,.-,.,-.,.,y 互yz+2A.=0,(D,FY=xz+2A.=0,a2 b2 z 2 2 2 x y z F,=xy+2J=0,+=l,c2 正沪c2(Dxx-xy得2儿0当/4=0时，解得(x,y,z)为（0,0，土c)或（0，土b,O)或（土a,0,0)；当狂0时，解得x2 y2 下a2 b2 xy-xz得2凡压气0解得y 2 z 2 b2-岫c2 千

36、是有X 2 2 y z?-a2 L-一bL下c 将代入得X=a b c,y=3,_,3,Z=$.由问题的实际意义知W=max 2 2$xyZ2 abc，即质点从原点沿直线r移动到曲面-+2=1在第一卦限部分上9 a2.b2 C 的点作的功最大且最大功为Wmax=lf abc a a【例18】曲线L为圆周x2+Y2=a上由A(O，们到B(a,0)、C（五，忒i)组成的有向弧段ABCI分别计f xds f xdy 算(1)l.;(2)L 分析曲线积分(1)、(2)化为定积分计算时，若取X为积分变矗，则L应分为两段弧AB，弧BC.弧AB:y嘉产了了，弧BC:y=-了二了则f xds=f xds+f

37、xds f xdy=f xdy+f xdy AB BC AB BC 显然计算姐交繁琐，若以y为积分变量，则L:X=厂二厂，这时计算就简便许多，若用圆的参数方程x=a cost,仁asin t以参数t为积分变犀，可以更简便因此曲线积分化为定积分计算时，选好积分变量，或选好曲线的方程是关键我们用后两种方法分别计算积分(1),(2).解法一以y为积分变量L:X=厂：了一ady(l)ds言dy=位言了f xds心言了ady=a(a+)丘勹五这里对弧长的曲线积分化为定积分时，下限必须小于上限（与曲线的方向无关）-a f xdy=f了心-I 二2-y2dy 2 2-a 3冗l4 a costdt=(+-)

38、(2)L=;2 4 2.-a 这里对坐标的曲线积分化为定积分时，下限必对应起点的参数值y=a.上限对应终点的参数值Y=；，下限不必小于上限（与曲线的方向有关）冗一冗解法二圆弧的参数方程x=a cost Y=asmt t由2变到4(1)ds=拓（t)矿(t)dt=adt 巴1I xds=facos t adt=a2(1+)L 于5，积分下限必须小千上限(2)dy=acostdt 三三矿3兀lJ xdy=J工4a cost a cos tdt=a勹.:.4cos2 tdt=-(+)L 2 2 2 4 2 冗冗t=-t=-这里下限对应起点参数值2，上限对应终点的参数值4【例19】由x+y=2x的四分

39、之一圆弧AB及折线BAO组成顺时针闭曲线L，计算必xy 0.L、丿l(f xdy+3ydx(2)l 分析闭曲线L由三部分组成，因此应分三部分作积分，对弧长的曲线积分(1)与曲线方向无关，而积分(2)要注意曲线方向是顺时针方向的对千BA,因为X=1，以y为参数所以BA段的曲线积分只能化为对y的定积分，同理AO段，只能化为对x的定积分解 先计算积分(I)，写出各段曲线方程，对应各段曲线方程，求出ds冗夕一、OB（用参数方程较好）x=l+cost,y=sint,ds=dt=dt(2:s;t:s;冗).BA:X=J（以y为自变量）（。:S:y:S:l)ds=了Ody=dy,AO:y=O（以X为自变量）

40、(Q:S:X:S:1)ds=dx，于是 xyds=f+f+f xyds=f冗I r xyds=k+L+L xyds=fi(1+cost)sin tdt+i。1-ydy+f。X0dx=-cost+;sm2 t;+i=l 再计算积分(2)，写出各段曲线方程，直接化为定积分计算如下：冗OB:x=1+cost,y=sin t,t由冗变到2,dx=sin tdt,dy=cos tdt BA:x=l，自变星Y由)1变到y=O,dx=0 dy,dy=dy AO:y=O,自变呈歼扫X=1变到X=O,心dx,dy=Odx_扣心3ydx=J寸寸xdy+3yd x千是l OB BA AO=t喟l+cost)cost

41、+3sin t (-sint)it+fi1.dy+3y.Ody+r x Odx+3 0 dx=冗2 8Q 8P-=1-3=-2 积分(2)若用格林公式将更为简便因为ax8y，再注意曲线的方向是顺时针方向，对千它所围成的区域D而言，是反向的，因此格林公式中二重积分前应取负号，千是f xdy+3 ydx=-JI涅氢dxdy=-ff(-2)dxdy ff dxdy=2王二L D 0 x 6y D=2 I)4 2 f(x-l)dy-ydx【例20】L(x-1)2+y2，曲线L为不过点A(l,O),的逆时针方向的闭曲线（l）不包围A点，（2）包围A点（设L所包围的闭区域为D)y X1 8P _ y2-(

42、x1)2 p=6Q 解 这里(x-1)2+y2 Q=(x-1)2+y2,8y (x-1)2+y2盂(l)若曲线L不包围A点，即A茫D，则可知P,Q在D上具有一阶连续偏导数，由格林公式可得f(x-l)dy-ydx=II立竺）dxdy=0 i(x-1)2+y2 J;ax 8y aQ aP(2)若曲线L包围A点，即AeD,则在D内含有奇点A,即破坏p/Q,ax,oy连续性的寺，这时应在D内，以A为圆心，半径适当小作圆l:x=1+r cos t,y=r sin t，由L(逆时针方向）与l（顺时针）围成复连通区域DII在复连通区域DI内P,Q的一阶偏导连续所以可以应用格林公式得曰(x-l)dy-ydx=

43、jj(6Q叱dxdy=0 L I(xl)2+y2 D 6x-6y f=f(x-l)dy-y产千是LI-(x-1)2+y，等式右边积分曲线为小圆周l取逆时针方向，直接计算这个积分得f=f(x-l)dy-ydx,?2 2=f穴广cos-t广sin2t(xl)+y 2 dt=2冗L I-o r 注利用格林公式计算曲线积分常常是简便的，但是在应用格林公式时应注意，围成闭区域D的曲线L的方向f xdy+3ydx 对D而言必须是正向的，否则在公式左端应取负号，如例1中的积分L，其次，积分表达式中的函数P,Q在区域D内必须具有一阶连续偏导数，否则应作辅助曲线构成复连通域，在复连通域上应用格林公式，如例3，如

44、果L不是闭区域，适当作辅助线，通常都用平行于坐标轴的直线段与L起构成闭曲线，这时也可以应用格林公式如下题f 2xydx+(x2+a.x)dy.【例21】求L已知L的起点为A(O,1)终点为B(l,2)的一曲线段且L与直线AB为成平面面积为s.解 作辅助直线BA:y=l+x.起气为B,终点为A.L+BA构成闭曲线，由格林公式得f 2xydx+(x2+ax)dy=ff 2x+a-2x)dxdy=as l+BA D 从而尸入y如(x2+ax)dy=a.v丿A2入;ydx+(x1+ax)dy=as-r 2x(x+l)dx+(x2+ax)dx=as-1 伈2y十五）dy-ydx【例22】计算L,L为抛物

45、线y=入，由A(-1,I)到B(lI I)的一弧段忒访与直线BA为成有向闭曲线解这里满足格林公式计算二重积分未必简便所以还应该直接化为定积分计算伈言）dy-ydx=l+f氐y正五ydxAOB BA f矿j了一）2xdx-x2dx+f1 Odx-dx jl-l 2 4 O-+2=3 3（在关于圆点对称区间上利用函数奇偶性即得）I(x+y)dx-(x-y)dy【例23】计算Lx+y 其中L是沿y 冗COSX由A(冗，一冗）到B位，一冗）的曲线段oQ x2-2xy-y2 oP=ox(解 直接计算是困难的，但是x2+y千句所以在不包围圆点的任何闭区域内，积分与路径无关，可以适当选择一条路径C来代替L上

46、的积分，比如圆 弧ANB上的积分一冗5冗n A.NB:x立costY辛sint t由飞一变到了，这时l=l=I气正怅ost+smt)dcos t(cost-smt)dsmt竺二22.2 只l)dx=斗2兀(cost+sin t)j 2 l-4 ANB=4 注这里不能用直线段AB代替L上的积分【例24证明(xy-ysinx)心（xy+cos x)dy在整个xoy面上是某个二元函数的全微分，并求出这样一个二元函数u(x,y).oP=2xy-si oQ-smx=解函6x 在xoy全平面上恒成立，所以(xy2-ysin x)dx+(x y+cosx)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分，目u(x,y

47、)=tr:l(.xy2-y sin x)dx+(x2 y+cos x)dy(0,0)(xy 取OA+AB为积分路径u(x,y)=foA+L/xy2-ysinx)dx+(x2y+cosx)dy=0+矿y+cosx)dy=丿x2y2+ycosx 0 2 1 一 F=勹（yi-xj)【例25】平面力场中：力X 使质点由A(2,l)移动到点B(l,2)求场力F所作的功W.l W=fFd;=f了(ydxxdy)解LL X P斗，Q二，三上拉2 这里XL-X 函x ax，所以在不包含y轴的区域内，场力作功与路径无关，可选择平行于坐标轴的路径ABC，如右图，于是心ydx-xdy r ydx-xdy.r yd

48、x-xdy r-2 J.r2 2dx 3 W=j(21)x2 1 x2+x2=I2了dy+l了勹【例26】伈dx+zdy+xdz.r:x2+y2+Z2=2az，其中x+z=a 卫0）且从z轴正向看去为逆时针方向分析对坐标的空间曲线积分计算方法，通常有多种方法，这里只介绍一种基本方法作为例子，即把曲线的参数方程找出来，直接把曲线积分化为定积分计算2 解 求r的参数方程，将z=a-x代入x2+y2+z2=2az,得2x2+y2=a 2 2，在xoy平面上，2x2+v2=a2+y-=a是个椭圆，所以的参数方程为a.1 x=cost,y=a sin t,z=a(l-i=cost)拉拉o:;区2冗千是2

49、冗矿l a2 i ydx+zdy+xdz r-fzsin t+a气l万cost)cost石costsint dt=-a 2冗0=-a切Ji拉总结I.曲线积分的计算方法是化为定积分计算，化为定积分计算的关键是选择恰当的参数方程，并注意积分限的确定，这也是两类曲线积分计算方法的重要区别J Pdx+Qdy aQ aP=2对千坐标的曲线积分L应首先考察积分是否与路径无关，即考察函oy是否恒成立(I)当在单连通区域内恒成立时炉众Qdy=O若L为闭曲线，则由等价命题可知L若L为非闭曲线，则积分与路径无关，可选取较为简洁的路径代替L作积分，如例6，通常是选取平行于坐标轴的直线代替仁aQ.aP 士(2)当ax

50、ay时若L为不包围奇点的闭曲线，可以直接应用格林公式，当然格林公式中二重积分的计算应比原曲线积分的计算简便。若非闭曲线或包围某个奇点的闭曲线，则可以利用辅助线，使满足格林公式的条件，再利用公式计算。(3)其他一般情况可直接化为定积分计算，这时应选好积分变温与曲线方程并正确确定上下积分限第二节曲面积分【例27计算曲面积分叭z+2x+y s其中t为平面千个令1在第一卦限的部分解：设区z=4勹勹立O,yO,；三l，2在坐标面xoy上的投影区域D人）为z 王丘，立0,y?:0砃二R=l+(-2)2+(-1)=2而2 3 3 3 z+2x+i y=4(工乌勹43 2 3 4(x,y,z)E区）所以叭z+