湖北省重点中学2023届高三上学期第一次联考数学试题及答案.pdf

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1、2023届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考数 学本试卷共6 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡指定位置上，并在相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 3 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合尸=x|xN L x e N ,Q=X2X 8,则P C I 0=()A.x|1 x 4 B.x|lr.-U.-U.-2 4 2 43.若将整个样本空间想象成一个lx 1 的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示()口4 1 B)A.事件/发生的概率C.事件5 不发生条件下事件4 发生的概率B.事件8 发生的概率D.事件/、3 同时发生的概率4.已知实数见，函数/(x)=x2+wx+，满足/(2 /(3)40,则 苏+2加的二、选择题：本题共4 小题，每小题5分，共 20分,在

3、每小题给出的选项中,最 大 值 为（）1 68 18 11 6A.3B.TC.TD.5.在数列。,中，已 知，31且%一4%+2+-,则以下结论成立的是()A.a6 1C.1D.%16.椭 圆 三+匚=12 5 1 6上的点到圆+3 _ 6)2=1上的点的距离的最大值是（)A.1 1B.V 7 4C.5 7 5D.97.恰有一个实数X使得/一切c-l =0成立，则实数。的取值范围为（）A.(-0 0,正)B.3近r、JC.笥D.卜修8.已知四面体。一/8 C 中，AC=BC=AD=BD=T,则。-Z8C体积的最大值为()A.逑2 7B.3 V 2 8 C.2百27D.正1?有多项符合题目要求,

4、全部选对的得5 分，有选错的得0分，部分选对的得3 分.9.已知函数/（x）=|x|+|xr-C O S X，则下列说法正确的是（）A.f（x）是偶函数B.7（x）在（0,+oo）上单调递减C./小）是周期函数D.D）l恒成立1 0.多选题 已知抛物线F=；歹 的 焦 点 为 知（玉,必），N（X 2，%）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点尸的坐标为B.若直线MN过点、F ,则x,x2=-1 6C.若 砺=力 标,则 的 最 小 值 为:3 5D.若|用用+|桥|=彳，则线段MN的中点尸到x 轴的距离为三2 81 1.如图，在棱长为2的正方体/8 C。-/EG A中，。为正方体的中心

5、，/为。A 的中点，/为侧面正方形44QQ内一动点，且满足8 7平面BC|M,则()A.若 P 为正方体表面上一点，则满足A。/的 面 积 为 一 的 点 有 1 2 个2B.动点尸的轨迹是一条线段C.三棱锥F -B C、M的体积是随点F的运动而变化的D.若过4 M,G 三点作正方体的截面。，。为截面。上一点，则线段4。长度的取值范 围 为 半，2 夜1 2.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：b 0)的离心率为*,耳、用分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线/:b x +ay

6、-/=0 ,则()A.直线/与蒙日圆相切B.。的 蒙 日 圆 的 方 程 为=2/3D.若矩形M N G H 的四条边均与C 相切，则矩形M N G H 的面积的最大值为8 b 2三、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共 20分.1 3.已知(2。+A2 4/+1)=1,则2a+6 +-/,1的最大值为7 J 4 a 2+1 扬+1此时a +b =1 4 .六名考生坐在两侧各有一条通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完试卷后立即离开座位走出教室.则其中至少有一人交卷时为到达通道而打扰其 他 尚 在 考 试 的 同 学 的 概 率 为.1 5 .如图，。4月，”国,44

7、名是全等的等腰直角三角形(0 4 =拒，与1 =1,2,3)处为直角顶点)，且。，4，4，4 四点共线.若点片，鸟，鸟分别是边4片，A2B2,A3B3上的动点(包含端点)，则0 B 西=,瓯-0 P,的取值1 6 .有一个棱长为6的正四面体，其 中 有 一 半 径 为 的 球 自 由 运 动，正四面体内未被球4扫过的体积为_四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .已知AZBC的外心为O,M,N 为 线 段 上 的 两 点，且。恰 为 中 点.(1)证明:s(2)若|工。|=/,O M|=1,求 黄”的最大值.、匕 ABC1 8 .如图，在平面五

8、边形力8 C O E 中，4 8 C。是梯形，A D/B C,A D=2 B C =2插,A B =，/4 B C =90，ANOE 是 等 边 三 角 形.现 将 沿折起，连接EB、EC 得如图的几何体.(1)若点M是 的 中 点，求证：C W平面/8 E；(2)若EC =3,在棱E8上是否存在点E,使得二面角E /0 尸的余弦值为述？3F F若存在，求的值；若不存在，请说明理由.E B(3、1 9 .已知数列%前项和为S”,q=2,Sn+=S+(/7 +l)-an+2 .I )(1)求数列 为 的通项公式；(2)若a=an+n ,求数列 的前项和小2 0 .微信小程序“党史知识竞赛”中的“

9、答题竞赛”版块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0 分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1 分，没有全部答对的单位记-1 分.设每轮比赛中甲单位全部答对4 2的概率为，乙 单 位 全 部 答 对 的 概 率 为 甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.(1)经 过 1 轮比赛，设甲单位的记分为X,求 X的分布列和期望；(2)若比赛采取3 轮制，试计算第3 轮比赛后甲单位

10、累计得分低于乙单位累计得分的概率.2 1.如图，已知圆+/=*点8(1,0),以 线 段 为 直 径 的 圆 内 切 于 圆 O,点A的集合记为曲线C.(1)求曲线C的方程；3(2)已知直线/:x =4,0(1,-),过点8的直线4 与。交于两点，与直线/交于点k-kK,记的斜率分别为勺，&，问：7k3皆 是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.2 2.已知函数/（x）=e*2 a x +b 在 x =0处的切线经过点（1,2）.（1）若函数/（x）至多有一个零点，求实数。的取值范围；X 1 1（2）若函数/（X）有两个不同的零点再,2（不 5,求证：-.Xf d ClX-y

11、)2023届湖北省二十一所重点中学高三第一次联考数 学本试卷共6 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡指定位置上，并在相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 3 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5分，共 40分.在每小题给

12、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合尸=x|xNl,x eN,Q=x2xS,则P C l0=()A.x|1 x 4 B.x|lr3 C.1,2 D.1,2,3【答案】D【解析】【分析】先化简集合。，再去求p n。即可解决.详解0 =国2 8 =小43则尸c Q =x|xNl,xeN cx|x3=1,2,3故选：D2.设复数z满足z T=2 i,目=2,复数z所对应的点位于第一象限，则=()ZA 1 +V3i R A/3 i r 1 +V3i n VJ+i2 4 2 4【答案】B【解析】2b=2【分析】设z=a +b i(a e R,b e R),由题可得/+=4 ,即求.0,

13、6 0【详解】设z=t z +b i(a w R,b w R),则三=_ 例，由复数z满足z-N =2 i,同=2,复数z所对应的点位于第一象限,2b=2则=4 ,解得。=6力=1,a 0,b 0,1 _ 1 _ V 3-i.丁 正 一 丁 .故选：B.3 .若将整个样本空间想象成一个bl的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示()A.事件/发生的概率C.事件B不发生条件下事件A发生的概率B.事件8发生的概率D.事件4、8同时发生的概率【答案】A【解析】【分析】根据图示，表示出涂色部分的面积，利用条件概率的概率公式整理化简，即可

14、求得答案.【详解】由题意可得，如图所示的涂色部分的面积为P(4 3)P(8)+1 P(8)P(川 历=P(AB)+P(B)P(A IB)=P(AB)+P(AB)=P(A),故选：A4.已知实数，函 数/)=尤2 +优+，满足2)./(3)W0,则/+2 m的最大值为()1 6 8 1 人 8 1 1 6A.B.C.D.3 5 3 5【答案】B【解析】【分析】设知乙是/(x)的两个零点且芭2,3,吃 ,应用根与系数关系求得x,+x2=-m,g =n,进而代换目标式得到以玉为参数、的为自变量的二次函数，由二次函数的性质可得“2+2 Z4卢 二，构造函数并应用导数研究单调性，即可求最大2x,-1值.

15、【详解】令占用是/(X)的两个零点,由题设若玉e 2,3,x2R,由根与系数关系有：Xj +x2=-m,Xj X2=n,所以加2+2 小 =(Xj +x2)2 2(M+x2)(X1 X2)=(1 2 xj)2 +2x(1 x)x2+x；=h(x2),由 1 2%0,所以g(x)在 xe 2,3 上 递 增,则 g(x)e综上，g(X)m a x=M，此时X=3,Q 1所以x 1=3 时，/+2m的最大值y.故选：B.【点睛】关键点点睛：设/(x)的零点并注意 e 2,3,X2 R，由根与系数关系用零点表示机、，进而转化为以巧为自变量的二次函数形式，根据其开口方向及其最值得到不等关系，最后构造函

16、数并应用导数求不等式中关于阳表达式的值域.5.在数列 为 中，己 知,且“用=石 工，+，则以下结论成立的是()A.4 1 C.%1 1).49 1【答案】C【解析】【分析】先根据递推公式可得肾吟=-3 若，得出 4 的通项公式，从而验证得出答案.3 1a+2 i M +1 i 勺 一 1【详解】。中+广小,则“+I岸，-二若 中存在某项小，使得%=1，则可得a“=1这与条件中生力 1相矛盾.所以斗H l,将上面两式相除可得 =-3.所以数列4色 二 是 公 比 为-3的等比数列.则!=(3)7,设 生 斗=/e(3,9),则%=1+(:一2a-l a2-l a2-l/x(-3)-12 2所

17、以&=1 +诏产1=1 +同,2 2a7=l+-4一=1 -1rx(-3)8-2-l 3 61-12 2Q q=1 H =1 Z 2【分析】题意转化为椭圆1+5=1上的点到圆的圆心距离的最大值加上1,利用参数法，即可求得结论.【详解】依题意得所求即为椭圆W+上的点到圆的圆心距离的最大值加上1,2 5 16设 椭 圆 会+能=1上的点为(5c osa,4si n a),则椭圆片+=1上的点到圆的圆心距离为2 5 16+(4si n a -61=J 2 5 c os2 a+16si n 2 a-48 si n a +3 6，=J-9 si n 2 a-48 si n a +6=J-9（si n a

18、 +g）+12 5.si n a =-l时，椭 圆 寸+匕=1上的点到圆的圆心距离的最大值为10,2 5 16二椭圆（+看=1上的点到圆f+s 6）2=1上的点的距离的最大值为11,故选：A.7.恰有一个实数“使 得/女-1 =0成立，则实数。的取值范围为（）【答案】B【解析】【分析】首先分析x=0不是方程的根，故将其转化为。=-！，继而转化为丁 =。与Xf（x）=x2-的图像仅有一个交点，对函数/（X）求导研究其单调性即可.X【详解】解：当x=0时，-1=0不成立，所以x=0不是方程的根，故对原方程转化为a =f-，X故转化为歹=。与/（x）=V -,仅有一个交点，X构造小）=2、+吴号当二

19、 x 0 时，f(x)0,当 时，/(x)-8 时，/(x)f E,X f+8 时，/(X)f+O 0,且x f 0一 时，x-o+时，/(x)f-oo,故要使得歹=。与“X)仅有一个交点,即。的取值范围是-8,()A 4正 R 3 V2 26 n 百2 7 8 2 7 18【答案】C【解析】【分析】设M为 8 的中点，连接NM8M设四面体/力C D的高为，利用等体积法表示出四面体的体积，利用三个正数的均值不等式即可求得答案.【详解】设M为CZ)的中点，连接N M,8 M设四面体4 88的高为，则 4Z A/,由于 N C=8 C=N O =8/)=1,故&A C D 卬B C D ,j r则

20、 Z A C D =/B C D，设 Z.ACD=/B C D=a,a e(O,-),则 AM=BM-BC sin a-sin a.CD=2CM=2BC cos a=2 cos a,所以 KBC=VA-D BC-s B C Dh-1恒成立【答案】AD【解析】【分析】判定“X)的奇偶性判断选项A；判定X)的单调性判断选项B；判定/(x)的周期性判断选项C；求得“X)的最小值判断选项D.【详解】/(x)的定义域为R _f (-x)=|-x I +I -x p-cos(-x)=|x|+|x|2-COSX=f(x),则/(x)为偶函数.故选项A判断正确；X0 时，f(x)-x+y/x-COSX/(x)

21、=1+正+sin X 2 0恒成立，则/(X)为(0，+8)上增函数.2x故选项B判断错误；选项C判断错误；又“X)为偶函数，则X)为(-8,0)上减函数又/(0)=0+0-cos0=-1,则/(X)的最小值为-1.故选项D判断正确；故选：AD10多 选 题 己 知 抛 物 线 的 焦 点 为 尸，(西,凹)，N(X2,乃)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点尸的坐标为（g,0B.若直线MN 过点、F ,则X|W =16c.若 标=几 而，贝 的 最 小 值 为:3SD.若 蚀 阳+|N曰=,则线段MN的中点尸到x轴的距离为?2 8【答案】B CD【解析】【分析】根据抛物线方程的标准形

22、式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.【详解】易知点尸的坐标为,选项A错误;,1根据抛物线的性质知，物V过焦点产时，花 =-p 2=一，选项B正确;16若 诉=4而，则 脑V过点尸，则|阿|的最小值即抛物线通径的长,为2 p,即:，选项C正确,抛 物 线 的 焦 点 为f o,：,准线方程为y=一）,2 k o y 8过点M,N,P分别作准线的垂线M M,N N ,0 P垂足分别为M,N ,P,所以 1M M =A W|=|N F|.所以+|A W =阿+|N F|=|,所以线段m所以线段MN的中点尸到x 轴 的 距 离 为 归-134，选项D 正确.

23、8 8故选：B CD11.如图，在棱长为2 的正方体/8 C O-4 4 G。中，。为正方体的中心，仞为。的中点，F为侧面正方形4 4。内一动点，且满足用尸平面8 GM,则（）A.若 P为正方体表面上一点，则满足AOPZ的 面 积 为 三 的 点 有 12个2B.动点尸的轨迹是一条线段C.三棱锥尸-6G”的体积是随点产的运动而变化的D.若过4 M,G三点作正方体的截面。，。为截面。上一点，则线段4。长度的取值范 围 为 平,2血【答案】B D【解析】【分析】选项A：设O 为底面正方形力8 8 的中心，根据AOO4的面积为-A O O O =-由此可判断选项A；2 2选项B：分别取工 4，4。的

24、中点”，G,连接与G,GH,H B,A D,-证明平面Bfi H /平面B C、M,从而得到点F的轨迹为线段G H.选项C：根据选项B可得出G4 平面8 GM,从而得到点尸到平面8 GM的距离为定值，再结合AB G M的面积也为定值，从而可得到三棱锥b-8 GM的体积为定值.选项D：设 N 为8 片 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面。即为面A M C.N ,从而线段4。长度的最大值为线段4 G的长，最小值为四棱锥4 AMC】N以4 为顶点的高.【详解】对于A：设O为 底 面 正 方 形 的 中 心，连接/。，AO,O O,则AOr=AC=y/2,OO=AA,=1,2 2 1所以A。

25、4 的面积为ZO.OO=Lx拒xl=Y2,2 2 2所以在底面ABCD上点P与点O必重合，同 理 正 方 形 的 中 心，正 方 形 的 中 心 都 满 足 题 意.又 当 点 尸 为 正 方 体 各 条 棱 的 中 点 时 也 满 足 的 面 积 为 也，故A不正确；2对于B：如图，分别取4 4，4 2的中点，G,连接8。，GH,HB,AD.因为 BH/CM,GH/5C,u 平面 BUG,G u 平面 6弓 加，Gu 平面BHG,。18 M G=；x；x2x2x2=g,所以匕 -w c =5A,w c-h=Vc 解得 h-冬色.A-AM L y 3 J2 W C 1 3 3 3综上，可知4。

26、长度的取值范围是故D正确.故选：B D.12.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆。：与+点=1（。6 0）的 离 心 率 为 白，、B分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线/：云+心-。2 =0 ,则（）A.直线/与蒙日圆相切B.。的蒙日圆的方程为V+V=2/3D.若矩形A/N G 的四条边均与C相切，则矩形MNG”的面积的最大值为8/【答案】AC【解析】【分析】分析可得出/=2 b?,求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线

27、的距离公式可判断C选项的正误;分析可知矩形MNG”的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x=。、y=+b,所以，点（a,b）在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为因为3=后=尸=6 1孝可得心班对于A选项，蒙日圆圆心到直线/的距离为=a2=+b=2 =4r4-;2-+-/r,yj a2+b2所以，直线/与蒙日圆相切，A对；3对于B选项，。的蒙日圆的方程为/+/=/+/=5。2,B错；对于C选项，由椭圆的定义可得M闻+ME卜2。=2标，则|4月|=2四 以用，所以，d g|=d +M片 2标,因为c=a =b，直线/的方程为x+3

28、b=0,点耳（-仇0）到直线/的距离为/4b 4 7 3,-T=-bG 3所以，d|/闻=1 +|耳|2。2才 2回（4 7 3-6 7 2）63当 且 仅 当/片 时，等号成立，C对；对于D选项，若矩形A/N G 4的四条边均与C相切，则矩形MNG”的四个顶点都在蒙日圆上，所以，M N f+M H f=（2 7 3/）2=1 2/2,所以，矩形MN GH的面积为S =|加码|朋”|/叫=6后，D错.故选：AC.三、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共 20分.1 3.已知+A2 4Q2+1）=1,则2。+b+/,的最大值为7，4/+1 _扬 +1，此时 a +b=.【答案】.-2 .0【解

29、析】【分析】将2 a +b+b2-4 a2J 4 a 2 +1 -J/+11化为-=2a +4a +116 +扬+1,由条件利用均值不等式可得出答案.【详解】2a +b +b2-4a2+1 -J/+12a +b +(b2-4a2(A/4 1 4a。=2 a 2a 则 2 a +“a?+1 0，所以2 a +J 4 a 2 +1 =1，解得a =由 6 +西+1=1，可得 Z =0 故 a +%=0故答案为：-2 :01 4 .六名考生坐在两侧各有一条通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完试卷后立即离开座位走出教室.则其中至少有一人交卷时为到达通道而打扰其 他 尚 在 考

30、 试 的 同 学 的 概 率 为.4 3【答案】上【解析】【详解】要不打扰其他尚在考试的同学，必须每次坐其两旁的同学先离开，即每次有两种选择，于是，共有2 5种可能.故所求概率为1-二=二.6!451 5.如图，。百，AA2B2,4 4员 是 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形=拒，耳1 =1,2,3）处为直角顶点），且。，4,4，4四点共线.若点4，P”月分别是边4瓦，A2B2,4员上的动点（包含端点），则函 西=，OB2-OP,的取值【答案】.6 （2）.1 0,1 2【解析】【分析】如图：以。为原点，以 所 在 的 直 线 为x轴建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而可得直线4瓦，A

31、2B2,4员 的方程，设出4，6，月的坐标，结合横坐标的范围以及数量积的坐标表示即可求解.【详解】如图：以。为原点，以 所 在 的 直 线 为x轴建立平面直角坐标系，则。（0,0）,4（2,0），4（4,0）,4（6,0），4（1,1）,%（3,1），5,（5,1）,直线44的方程为:y=-x+2,设片（玉,2-玉），K x,e l,2 ,直线4层 的方程为：y =-x +4,设巴（工2,4-%）,且看 3,4 ,直线4层 的方程为：y =-x +6,设6（x 3,6-七），且遍 引5,6 ,所 以 西=（1,1）,西=（对6-覆），O Bx-OPi=xi+6-x3=6,O B2=（3,1）,

32、OP2=（X2,4-X2）,所以。易,。4=3+4-马=4 +2%G10,12,故答案为：6；1 0,1 2 .1 6.有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为逅的球自由运动，正四面体内未被球4扫过的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】9员圣。W-书【解析】【分析】先考虑球运动到四个顶点位置时，由棱锥的体积减去球的体积求出此部分的体积；再考虑球沿着4方向运动且始终与二面角8-P4-C相切时，得到未被球扫过空间均为相同的柱体，求出柱体的体积，即可求得正四面体内未被球扫过的体积.如图设正四面体尸-N 8 C,当球运动到与平面尸4、平面P N C、平面P 8 C相切时，可

33、得此时球无法继续向上运动，设 切 点 分 别 为 瓦 则 此 时 球 面 与 正 四 面 体 顶 点P之间的部分球无法扫过，同理可得正四面体顶点A,B,C均有相同的空间未被球扫过，作与平面/3 C平行且与此时球相切的平面4片G，易得棱锥尸-44G为正四面体，设棱长为。，作P G 平面44G于G,则正四面体尸一4 8c l的体积=；x；a x曰“X曰4 =*苏，表面积S=4 x a x a =V 3 a2，2 2设球半径为厂，则%皿=L5乂尸，即旦逅,解得。=3,作1 3 1 2 3 43EH L P A,易得，为 中 点，则。=一，2设4个顶点处未被球扫过空间的体积为匕，球的体积为匕,，可得当

34、球沿着P/方向运动且始终与二面角8-P/-C相切时，设球与平面尸4 8、平面PZC的切点始终为瓦/，过E,b的大圆与PN交于由垂径定理知又 O E,O F LP A,易得M E,MF V P A,则NEA加 即为二面角B-P A-C的平面角，易得未被球扫过的部分为柱体，且柱体的底面为扇形。及 与 四 边 形/之间的部分，设尸/中点为N,连接B N,C N ,易得B N A.P A,C N 上PA,则/8N C即为二面角6-R4 C的平面角，又B N =C N =3 也，由余弦定理得 cos N B N C =O )+)*=1，则 ZB N C=cos-1：，则2x3j3x3j3 3,1cos

35、ZEMF=2 cos2 N EMO 1 =,3则cos/EA/O=逅，tanZEMO =-则=3 2形A/Ob之间部分面积为,扇形O E F 面积为SO EF,/.E OF=7i-Z.E M F=兀-cos-1 g一c e _V3 V6 i f.n f V6?Si=SM E OF-SOE F=-X _ _2X|；r_ C 0 S 3 JX-4 二3 3 3由上知尸=,又4 =6,则柱体的高为6 士士=3,2 2 2未被球扫过空间均为相同的柱体，设这部分体积为匕，则r/_ 3/3(,(n1.,2772 27 28 16 1 3)4 8 83二昱，设扇形。瓦 与四边2-,则372 3(n8 16

36、1 3；正四面体尸-Z8C的六条棱-cos-11,则正四面体内未被3球扫过的体积为匕+匕=9后+二c o s/-+27万1 2 8 3 8故答案为：9-72 +c os-1-+7t.8 3 8【点睛】本题关键点在于将正四面体内未被球扫过的空间分为两部分，第一部分为球运动到四个顶点位置时，球面与正四面体顶点之间的部分：第二部分为当球沿着尸/方向运动且始终与二面角8-尸/-。相切时，球面与二面角之间的柱体部分，再由几何体的体积公式求解即可.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知的外心为。，M,N为 线 段 为 上 的 两 点，且。恰为N中点.(

37、1)证明：s 若|/。|=6,|。|=1，求 常 皿 的最大值.【答案】(1)证明见解析-9【解析】【分析】(1)设/M =X 1,8 M=M，/N =X 2，C N =%，利用余弦定理求得COSN/A/O,c o s ZB MO,再根据3 5乙4。+8$/8。=0,化简，可求得王必，同理可求得x2y2,即可得证；(2)利用余弦定理求得c o s 4,c o s N A O N,再根据c o s 4 O M+c o s/ON=0结合(1)求得x j+x j,设=土,2=2,可求得九+，再根据三角形的面积公式结合必 y2基本不等式即可得出答案.【小 问1详解】证明：设 A M=X,B M=yi，

38、A N =,C N =y2,人 一 心 /八 x+O M2-A O2 y O M2-B O1由余弦定理知：c o s Z A M O =-,c o s Z B M O =,2 X j -O M 2yl-O M由。是AABC外心知A O =B O =C O,而 c o s Z.AM O+c o s Z.BM O=0 ,2x,-0M 2y.O M即区必+OM2-AO2）（再+必）=0,而 西+切4 0,因此X 必=/。2 。/2 ,同理可知%=/。2-。解，因此 X/=x2y2,所以|Z M B|=|ZN|N C|；【小问2详解】解:由 知 再 乂 =马 必=2,*人力士e-,AO2+OM2-X.

39、2，.AO2+ON2-X,2由余弦定理知：cosZ.AOM=-,cos ZAON=-,2A0 0M 2AOON代入 cos AAOM+cos 4 O N =0 得 x：+x22=8,设=土,九=,则+2=工 +-=4,M 必 2 2S：_ AM-BM 川 1 w 1 =4因此又低.一 AB A C-（+1）（2+1）-1+三 一1+9-6,M 4当且仅当4=2=2时取到等号，SA因 此 萨 的 最大值为：.、A BC 918.如图，在平面五边形N8COE中，48C。是梯形，AD/BC,AD=2BC=2五,AB=6，N 4BC =90，ANOE 是等边三角形.现将沿折起，连接 8、EC得如图的几

40、何体.图 图（1）若点M是 的 中 点，求证：CW平面/8 E；（2）若EC=3,在棱E 6上是否存在点尸，使得二面角E b的 余 弦 值 为 逑？F F若存在，求）的值；若不存在，请说明理由.E B【答案】（1）证明见解析；（2）存在;【解析】1-3-EE【分析】（1）取Z E的中点N,连接M N、B N ,证明出四边形8 CA/N为平行四边形，可得出C M/B N,再利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）取/。中点。，连接。C、O E,推导出O C、O D、O E两两垂直，然后以点0为原点，分别以射线O C、O A.O E为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设E F =A E B（O

41、 A O（0,J I,0）、E（0,0,网，贝 屈=（G,&,-甸，A =（0,-V2,V6）,7 5 =（0,-2 7 2,0）,假设在棱E B上存在点F满足题意，设 方=几 丽（0 4 K 1）,则 定=4(百，/,一C),=A E +F =(V 3 2,V 22-V 2,V 6-V 62),设平面A DF的一个法向量为m=（x,y,z）,m-A F -0m A D -0则,即yfi Xx+V 2 j J V +(Z=0-2 2y=0令z =X,得 平 面 户的一个法向量而=（l一夜又平面E/Z）的一个法向量=（1,0,0），由已知|c o s|m-|2-1272r+公 3整理得3丸2 +

42、2/1 1 =0，解得九=；（2=-1舍去）,7 6 E F 1因此，在棱E 8上存在点R,使得二面角一E的余弦值为三 丝，且=-.3 E B 3【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角的余弦值解决动点问题，考查计算能力与推理能力，属于中等题.1 9.已知数列%前“项和为S,4=2,S+i=Sn+（n+l）（-an+2.7（1）求数列。的通项公式;(2)若b,=a*+n,求数列也 的前项和7；.【答案】(1)a=n y-n.(2)刀 叫)3二+1.【解析】【分析】(1)由s 向=5,+(+1)(3 “+2)整理可得42 =3*%+2；进而得到彳工+1 1 是首项为3,公比为3的等

43、比数列，即可求出其通项，从而求得结论；(2)利用第一问的结论，求得数列 的通项，再结合错位相减法即可求得结论.【详解】解：(1)由题知=，+|-5“=(+1)乜+2,即 也=3 x%+2,n+1 n即，+1 =3(%+1 ,.q+l =3 w O,.0 +1*0,n+1 n J n数列1?+1 1 是首项为3,公比为3的等比数列，.一+1 =3 ,%=3 -；n(2)由(1)知，bn=nx3,7；,=IX3 +2X32+3X32+-+W X3 ,/.3 7；=l x 32+2 x 33+-+(n-l)x 3 +n x 3B+,一得，27；=3 +3?+3 3 +3 x 3 i =3 -3)x

44、3 M =(1一2)3 1 3,1-3 2 2.T(2 -1)3 ”3+屋【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.20.微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”版块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0 分；一单位全部答对而另一单位

45、没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记-1分.设每轮比赛中甲单位全部答对4 2的概率为，乙 单 位 全 部 答 对 的 概 率 为 甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.（1）经 过1轮比赛，设甲单位的记分为X,求X的分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：得26（2）135【解析】【分析】（1）理解题意，列出随机变量X所有可能的取值，然后相互独立事件的性质求解即可.（2）通过列举法列出3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的所有情况，然后利用 小 问（1）中所得的

46、结果进行计算.【小 问1详解】由题意X的取值可能为-1 ,0,1,那么X的分布列为:X-101P215354152 3 4 2E(X)=lx-F 0 x F1 x =.15 5 15 15【小问2详解】第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）:一1,一1,一1；-1,-1,4-1 ；所以P =2、31 5；+C；21 5啸）I喂2 1.如图，已知圆。：/+/=4,点 8（i,o）,以 线 段 为 直 径 的 圆 内 切 于 圆。，点A的集合记为曲线C.（1）求曲线。的方程；3（2）已知直线/:x=4,0（1,I）,过点B的直线4 与。交于两点，与直线/交于点K

47、,记 刎,QMQK的斜率分别为尢,月，左3,问：然 与 是否为定值？若是，给出证左2 一 行3明，并求出定值；若不是，说明理由.2 2【答案】（1）+=14 3（2）是定值，证明见解析，-2【解析】【分析】（1）按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；（2）作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可.【小 问 1详解】设 N8的中点为尸，切点为。，连接。夕,尸。,取 5关于y 轴的对称点O,则怛。|=2 ,连接4。，由于P是 的 中 点，。是 8。的中点,：.AD=2OP,=2 (|(9 P|+|P B|)=4|B Z|=2.所以点A的轨迹是以瓦。为焦点，长轴长为4的椭圆.其中a

48、 =2,c =l,b =JJ,则曲线C的 方 程 为 三+q=1；4 3【小问2详解】由第一问，作图如下：设4:=叩+1(?#0),将其与椭圆方程联立:x-m y+1(/7 7 W 0)4 3得(3/M2+4)y2+6m y-9 =0,由韦达定理，得:-6m _ -93?2+4，乂%-3一+4易得点K G,)，,m Ki2_3m 23m23 3 3M 一 乂一 r%一 ck=-=-,k2=-$-1 myx my2k k&一左3 +&-&A I kj h-4 左2 -h k2-%而 匕-右=（凹-/-皿丁/8=孙8-38&一4 （%-：）乂一血（1-一；）乂y 2 段 必1 3 乂2 m 2_6

49、m _ 9 3由必=乂必=5得 一 切=茄”必)代入得：7k,-k?,-=m y,1 y2 -3 y,0-1左2&myy2-3yx2 2故答案为：2+匕=1,是定值，理由见解析，-2.4 32 2.已知函数/(x)=e*2依+6在x =0处的切线经过点(1,2).(1)若函数/(x)至多有一个零点，求实数a的取值范围；“/X x.1 1(2)若函数/(X)有两个不同的零点%,工2(再 5，求证：一-X-y Cl C IX-（e a 2.7,e2 x 7.4,e3 x 2 0.1）Q-【答案】（1）a土，对不等式变形，结合2放缩，转化为只需证e 川-2 f；0(Z2 4),二次求导后得到证明.【

50、小 问1详解】/(x)=e*_ 2 a,./(O)=l _ 2 a,；.x =0处的切线方程为y =(1 _ 2 a)x +l +b,切线过点（1,2）,所以b=2 a,./（x）=e、2 +2。.V/(l)=O,，/(x)的零点不为 1,24=在(8,1)1 1(1,+8)上至多一个解.设f =x-l,x-1pz+l则 2。=、一=g(f)在(一 8,O)U(O,+8)上至多一个解.g(f)=(；-fe+=*e M,令g a)O得：1,令g(f)0得：0 /1 或f 0,.8(/)在(一。,0)和(0 上单调递减，1,+0 0)上单调递增，当f 0时，g(f)0时，g(/)在 =1处取得极小