数学中考专题训练——切线的判定与性质.pdf

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1、中考专题训练切线的判定与性质1 .如图所示，在 Rt Z A B C 中，/BAC=90 ,以4B为直径作。0交 8 c 于点。，E是 A C的中点，连接ED 点 尸 在 俞 上.且 FOL AB,连接3尸并延长交AC的延长线于点C.(1)求证：OE 是00的切线；(2)连接AF,试说明A F、B G的数量关系.2 .如图，A8是。的直径，B C是00的弦，A E J _ 0 C于点),交 BC于 F,与过点3 的直线交于点E,且 B E=EF.(1)求证：8E是。的切线；(2)若。的半径为1 0,0。=6,求 BE的长.E3 .如图，在ABC中，Z BAC=9 0，点 E为 AC边上一点，过

2、 C作 C A B 交射线B E于点。，ABC的外接圆。与 BO交于点F,连接A F,A D,若N B D C=N F A D.(1)求证：AO为。0的切线；(2)若 B C=6,N A C B=30 ,求 C E 的长.4.如图，A B为。直径，C、D为。上不同于A、B的两点，N A B D=2 N B A C,连接CD.过 点 C作 C E J _ L 8,垂足为E,直线A8与 CE 相交于尸点.(1)求证：C 尸为的切线；(2)当B D=6,s i n F”，求 8F 的长.55.如图，己知AB为。的直径，点。为。0上一点，B C _ L C。于 点 C,交。于点,CD与BA的延长线交于

3、点F,BD平分N A B C.(1)求证：C。是。的切线;(2)若A 8=1 0,C E=,直接写出。尸的长6 .如图，点C在以A B为 直 径 的 上，8。平分N 4 8 C交。于点/),过。作8 c的垂线,垂足为E.(1)求证：O E与。0相切；(2)请用线段A B、8 E表示C E的长，并说明理由.7 .如图，A B是。的直径，点C在A B的延长线上，N B D C=N A,CE AD,交 的 延长线于点E.(1)求证：C D与。相切：(2)若 C E=4,D E=2,求 A Q 的长，0c8.如图，A 8是。的直径，点C在00上，连接A C、B C,点。在8 A的延长线上，且ND C

4、A Z A B C,点E在O C的延长线上，5.BELDE.(1)求证：。是。的切线；(2)若 t an NQ=/，BE=y+l,求 D4 的长.9 .如图，是A B C的外接圆，A B为。的直径，P为圆外一点，连接PC、P R,且满足 PC=PB,Z P C B Z B A C.连接P 0并延长交00于E、F两点.(1)求证：尸8是。的切线；(2)证明：EF2=4OD-OP.A 7 y7!E10.如图，BE是 ABC的角平分线，/C=90,点。在4B 边上，以08 为直径的。经过点E,交 B C 于点E(1)求证：A C 是0 0 的切线；(2)若 s in 7 l=3,。的半径为5,求a

5、B E F 的面积.511.如图，ZVIBC内接于。，/ACB=45,AO是。的直径，过点B 作A。的平行线,交 A C 的延长线于点P.(1)求证：PB 是。的切线；(2)若 48=2,/C48=30,则能的长为.(结果保留it)12.如图，在团A 8 C D 中，A B=A C,作 4 B C 的外接圆。O,CD与。交 于 点E,连接AE.(1)求证：DA是。0 切线；(2)若。的半径为5,cosZB AC=,求 D E 的长.513.如图，用 是 以 A C 为直径的半圆。的切线，B 是半圆。上的一点，连 接 P B 并延长交A C 的延长线于点M,连接A8,N A P B=2 N B

6、A C.(1)求证：PB是半圆。的切线；(2)若 4 c=6,tanZ A M P=-,求 和 AB 的长.4MoC1 4 .如图，在 A B C中，B A B C,以A 8为直径作O。，交A C于点。，连结。B,过点。作O E L B C,垂足为点E.(1)求证：O E是。的切线；(2)若。的半径为5,B D=8,求B E的长.1 5 .直角梯形A B C Q,Z A=Z B=9 0 ,以腰A B为直径作。0,0 C平分N B C D(1)求证：8 与。相切；(2)若0D=6,0 C=8,求阴影部分的面积.1 6 .如图，A A B C为。的内接三角形，过点B作交。0于点E,交A C的延长线

7、于点 ,在线段C Q上取一点F,使得N C E F=N C B D.(1)求证：E尸是。0的切线；(2)若。的半径为强，C F=1,求A C的长.1 7 .如图，A 8为。直径，C、。为上的点，Z A C D=2 Z A,交0 5的延长线于点E.(1)求证：直线C E与。相切；(2)若 A C=1 2,4 8=1 3,求 C E 的长.A1 8.如图，Rt A A B C中，Z C=9 0，点。在直角边B C上，N Q 4 C=N 8,点。在斜边A B上，以点。为圆心、0。为半径作O O,交。的延长线于点E,交B C 于点F,连接EF,ZE=yZAOC-(1)求证：A 8为。的切线；(2)若。

8、的半径为3,t an Z A B O-1-求AO的长.1 9 .如图，已知A B是圆。的直径，C是圆。上异于4,8的点，。为它中点，K D ELAC于点E,连结C D(1)求证：D E是圆。的切线；(2)若圆0的半径为5,且 8=6,求A C.20 .已知：如图，A B为。0的直径，C B为。的切线，B为切点,0 C交00于点E,AE的延长线交B C于点F,过点A作A Z)OC,交。于点。，连 接C O,B D.求证：(1)C 与0。相切；(2)C E，FB=ABC F.c参考答案：1.如图所示，在Rt Z X A B C中，/B A C=9 0 ,以A 8为直径作。交8 c于点。，E是A C

9、的中点，连接E D.点 尸 在 俞 上.且F 0 L 4 B,连接B F并延长交4 c的延长线于点C.(1)求证：O E是。的切线；(2)连接4 F,试说明4尸、8 G的数量关系.【分析】(1)连 接OD,A D,由圆周角定理得出NA OB=/A OC=9 0 ,由直角三角形斜边上中线的性质得出D E=A E,得出NE4 O=NED4,由等腰三角形的性质得出/O A D Z O D A,继而得出/OOE=90 ,即可证明OE是0。的切线；(2)FOAB,A G 1 A B,得出尸O AG,平行线分线段成比例定理，得出F是BG的中点，由直角三角形斜边上中线的性质得出AF,BG-【解答】解：(1)

10、证明：如 图1,连接。，AD,为。0直径，点。在。0上,.NAB=/AZ)C=90 ,是AC的中点，：.DE=AE,：.4E A D=4E D A,，：OA=OD,：.ZO AD ZO D A,V Z OAD+Z AD=Z BAC=90 ,：.ZODA+ZEDA=9Q,即NOOE=90 ,/0。是半径，.,.OE是。的切线；(2)AF,BG，理由如下：如图2,图2JFOLAB,AG1.AB,C.FO/AG,为A8的中点，.F是8 G的中点，V ZBAC=90Q,；A F-B G-2.如图，AB是。的直径，BC是。0的弦，AEL OC于点。，交BC于F,与过点B的直线交于点E,且BE=EF.(1

11、)求证：BE是。0的切线；(2)若 的 半 径 为10,0。=6,求BE的长.【分析】(1)由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出/0C8=N 0BC,NCFD=NEBF,由垂线的性质得出NOC8+NCF=90,进而得出/EBA=90,即可证明BE是。的切线；(2)先由勾股定理求出A O=8,再证明DAOsaBAE,由相似三角形的性质即可求出BE=15.【解答】(1)证明：NEFB=ZEBF,：NCFD=NEFB,NEBF=ZCFD,：OB=OC,：.NOCB=NOBC,AEOC,N0C8+NC尸D=90,：.AOBC+AEBF=W,即/ERA=90,；AB是直径，是O O的切线：(2)解：。的

12、半径为10,.OA=10,AB=20,：AE O C,。=6,ABC的外接圆。与交于点尸，连接A F,A D,若N BDC=N E W.(1)求证：A。为。的切线；(2)若 B C=6,ZAC B=3 0,求 C E 的长.【分析】(1)连接AO并延长交。于点G,连接FG,根据直径所对的圆周角是直角可得NA G=90 ,从而可得/用G+/G=90 ,根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 N B OC,再利用同弧所对的圆周角相等可得/A8 O=NG,从而可得NG=/=A),然后利用等量代换可得NMD+/MG=90 ,从而可得N OA=90 ,即可解答；(2)根据90 度的圆周角所对的弦是直径可

13、得BC是。的直径，再在Rt Z A 8C中，利用 含 30 度角的直角三角形的性质可得A B=3,A C=3 3,再利用等腰三角形的性质可得NOA C=30 ,从而可得/CAD=60 ,然后利用平行线的性质可得N A C=90 ,从而在R t Z A C。中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后证明从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答.【解答】(1)证明：连接4 0并延长交。于点G,连接F G,A Z AF G=90 ,A Z MG+Z G=90 ,JAB/C D,NABD=NBDC,V ZA B D ZG,NBDC=NFAD,：.ZG=ZFAD,：.ZFAD+ZFAG90Q,；.NO

14、AO=90,VOA是。的半径，；.4。为O O 的切线；(2)V ZBAC=90,；.BC是O O 的直径，：BC=6,ZACB=30,.AB=X48=3,A C=&A B=3&,2,：OA=OC,；.N O A C=/O C A=3(r ,：ZOAD=90,ZC AD ZO AD -NOAC=60,:ABM CD,.NAC)=NBAC=90,.CD=4Ctan60。=3炳乂炳=9,：NAEB=NCED,：./AEB/C ED,.A B=AE=2=1CD/T.C E=2A C=9M，4 4.CE的长为今代.4.如图，A B 为G)O 直径，C、D 为O。上不同于A、B 的两点，ZA B D=2

15、ZB A C,连接C D.过点C 作 C E LO B,垂足为E,直线AB与 CE相交于F 点.(1)求证：C尸为G)O的切线；(2)当BD=6,sin F 口时，求 B尸的长.5【分析】(1)连接0 C,由圆周角定理结合已知得出N 80C=N A B O,得出。CB O,由平行线的性质得出O C LC F,即可证明C尸为。0 的切线；(2)连接AO,O C,由圆周角定理得出/4。8=90,由 CE_L OB,得出NBEF=90,由三角形内角和定理及N A B D=N EB F,得出N F=N B A O,利用解直角三角形求出BD=6,进而求出A B=1 0,得出O C=O B=5,在 RtZ

16、iFOC中，S川=里=5 旦 即FO 5+B F 5可 求 出 的 长 度.【解答】(1)证明：如 图 1,连接0C,：ZBOC=2ZBAC,NABD=2NBAC,.ZBO CZABD,：.OC/BD,JCELDB,：.OCA.CF,：o c 为。的半径，；.c 尸为。的切线；(2)解：如图2,连接A。，OC,D图2AB为O O 直径,A ZADB=90,VCEDB,ZBEF=90,NABD=/EBF,：.ZF=ZBAD,s i n N BAD二s i n F二IA B 5 B)=6,6 3 A B 5.A8=10,08=5,0C=0B=5,在 RtaFOC 中,Q C _5而=5+B F35

17、.R3 Dro5.如图，已知AB为。0 的直径，点。为。上一点，BCL CO于 点 C,交。于 点 E,CD与BA的延长线交于点F,BD平分/ABC.(1)求证：8是。的切线；(2)若 AB=10,C E=1,直接写出。尸的长 正 .一 4 一【分析】(1)连 接 0。，只要证明CDJ_O。即可，利用角平分线，等腰三角形的性质先证得OOB C,根据BC_L C 即可证得结论：(2)连接AE交 0。于，先证明四边形HECO是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到0A”的三边长，再利用即可求得DF的长.【解答】(1)证明：连 接 0。/ABD=/DBC,又 OB=OD,：./OBD=/ODB,

18、:/DBC=/ODB,：.OD/BC,VBC1CD,ODLDC,*/。是o o的半径，CO是。的切线；(2)解：连接AE交。于点儿A ZAEB=90,：.ZHEC=90,:BCJLCD,ODA.DC,：.ZODC=ZC=90,四边形ECO是矩形，:DH=CE=1,HE=CD,ZEHD=90：.OOJ_AE,:AH=HE,：AB=10,：.OA=OD=5f：.OH=OD-DH=5-1=4,在 RtZ4OH 中，,HE/CD,AH=Q 0A2-0H2=V52-42=3:HEa CD,：./OAH/OFD,oO45AH-FD3FD：.D F=-.4故答案为：立.46.如图，点C在以AB为直径的。0上

19、，平分NA8C交。于点。，过。作BC的垂线,垂足为E.(1)求证：OE与。0相切；(2)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由.【分析】(1)由角平分线的性质，等腰三角形的性质得出/E B O=/O O B,得 出0。B E,由 平 行 线 的 性 质 得 出 即 可 证 明。E与。相切；(2)过 点。作。尸_L 4B于点凡 先证明得出BE=BF,DE=DF,再证明。吊 乡 ，得出A F=C E,即可证明AB-BE=CE.【解答】(1)证明：如 图1,连 接0。图1TB。平分 NA8C,/ABD=NEBD,，：OD=OB,：,/ODB=NABD,：.ZEBD=ZODBf：.OD/BE,9：

20、DEL BE,：.OD1DE,0。是半径，OE与。相切；(2)解：AB-BE=CE,理由如下:如图2,过点。作QPL A3于点F,图2VDFAB,DE工BE,：NDFB=NDEB=90,:BD 平分 NA5C,:/DBF=/DBE,在ADBF和QBE中，/DFB=NDEB ZDBF=ZDBEBD=BD:.4 D B F空 A D B E C AAS),：.B E=B F,D E=D F,.四边形A B C。内接于OO,：.N D C E=N A,在 DR和中，ZD CE=ZA 求。4 的长.【分析】（1）连 接。C,由圆周角定理得出/ACO+NOCB=90,由等腰三角形的性质得出 N 0C B

21、=N A B C,由/。CA=NABC,Z A C 0+Z D C A =90a,即NCO=90,即可证明。C 是。0 的切线；（2）连接 0 C,在 RtOCO 中，tanO=上，设。C=O B=x,则 C=2x,得出 0。DC 2=&x,在RtZOEB中，tan=些=工，由8E=y应+1,求出。E=2代+2,由勾股定DE 2理 求 出 8 0=遥（遥+1）,进 而 求 出 0。=代（V 5 +1）-X，得出方程遥X=遥（7 5 +1）-X,求出 x=遥，D A=B D-A B=5-遥.【解答】（1）证明：如 图 1,连接0C,图1：A B是直径,.NA CB=90 ,即N A C O+N

22、OC B=90 ,:OC=OB,：.ZOCB=ZABC,：ZDCAZABC,：.ZOCB=ZDCA,：.ZACO+ZDCA=90,即/。C O=90 ,;oc是半径，.QC是。的切线；(2)解：如图2,连 接 0 C,图 2在 R t Z D C。中，t anO=上，DC 2设 0C=08=x,则 DC=2 r,0D=VDC2-K)C2=V (2X)2+X2=忘,在 R t Z E B 中，t an)=，DE 2：.DE=2BE,:BE=A+I,：.D E=2(V5+1)=2 遥+2,S=VDE2+BE2=V(2 V5+2)2+(V5+l)2=/5(代+1)，：.OD=BD-O B=-Js(V

23、5+1)-x,:.匹x=A(V5+1)-x,解得：x=遥，：.AB=2x=25,：.D A=B D-A B=4 5(V5+1)-2 代=5-&.9.如图，0。是ABC的外接圆，A8为。的直径，尸为圆外一点，连接P C、P B,且满足 P C=P B,NPCB=NBAC.连接P0 并延长交。于 E、F两点.(1)求证：P B 是。的切线；(2)证明：EF2=4OD O P；(3)过点E 作 EG 垂直AB交于点G,连接B E,若 包 型 _=2,求 tan/EB A 的值.ABOE 3A【分析】(1)证出NPBA=NPBC+NABC=N/M C+N4BC=90即可得出结论；(2)求证8 O S/

24、POB,得 出。解=。，根据EF=2OB即可得出结论；(3)设BOC的面积为2 s.则BOE的面积为3 5,证出O E G s/V lB C,从而得到O E G 的面积为S.进 而 得 出 强=3,表示出EG和 BG的长 度.可得到答案.0G 1【解答】(1)证明：A 8为。的直径，4cB=90,：.Z B A C+Z A B C=9 0Q,:PB=PC.：.Z P C B=Z P B C.:N P C B=Z B A C,：.Z P B A=Z P B C+Z A B C=/BAC+NABC=90,J.OBLPB,是半径，.P8是。的切线：(2)证明：PC=PB,OB=OC,；.0 尸为BC

25、的垂直平分线，：.Z O D C=9 0C,由(1)得：NPBO=90 ,:N B O D=N P O B,:.BODS/PO B,.0D 二 一0 B,OB P0:.OB2=ODOP,:EF=20B,：.EF24OB24ODOP；(3)解：设BOC的面积为2 S,则BOE的面积为3S,：OA=OB,：./AOC的面机为2S,/XABC的面积为4S,；NODC=NACB=90,J.EP/AC,:.NBAC=4E0G,：EGJ_AB,./OGE=NACB=90,:./O EGs 2 ABC,.SAQEG/0 E、2 1SAABC 杷 4.OEG的面积为S,.O B 3 -二 ,0 G 1设 O

26、8=3 a,贝I OG=a.OE=OB=3a,*-EG=/OE2-OG2=2近。9*/mA-E G 2 V 2 a V 2B G 4 a 21 0.如图，BE是ABC的角平分线，N C=9 0,点。在4B边上，以4 8为直径的。经过点E,交BC于点F.(1)求证：AC是。的切线:(2)若sinA=g,O。的半径为5,求ABE/的面积.5【分析】(1)连接O E,利用等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质和切线的判定定理解答即可；(2)连接OE,O F,过点。作 OHLBF于 点H,利用垂径定理可得B H=H F=LBF,2利用平行线的判定与性质可得N O B=/A,则s in/0 B=3,

27、利用直角三角形的边角5关系定理和勾股定理可求BH,O H,再利用平行线间的距离相等，同底等高的三角形的面积相等可得S&BEF=SABOF,利用三角形的面积公式解答即可得出结论.【解答】(1)证明：连接0 E,如图，：OE=OB,J.ZOEBZOBE.：BE是ABC的角平分线，：.NOBE=/EBC,：.NOEB=NEBC,：.OE/BC,V Z C=90 ,：.ZOEA=90Q.：.OEAC,；OE为O O的半径，是O。的切线；(2)解：连接OE,O F,过点。作OHL BF于点从 如图，则 BH=HF=BF.2V Z C=90 ,：.ACLBC.：OH LBF,：.OH/AC,：.NHOB=

28、NA.V sirk4=,5：.smZHOB=,5；s in/OB=理，。0 的半径为5,OB：.BH=3.：.BF=6,H=VO B2-B H2=4 由（1）知：OE/BC,SABEF=SABOF.叱。”=/X6X4=12,:.SABEF=12.1 1.如图，ZVIBC内接于0 0,/ACB=45,A。是。的直径，过点8 作A 的平行线,交 AC的延长线于点P.（1）求证：P 8是O O 的切线；（2）若 AB=2,NCA2=30,则标的长为 返 工.（结果保留TT）3 A【分析】（1）连接O B,根据圆周角定理可得NAOB=90,然后利用平行线的性质可得ZOBP=90,即可解答；（2）利 用

29、（1）的结论，根据等腰直角三角形的性质可得。4=。8=&,再利用圆周角定理求出/COB=60,然后利用弧长公式，进行计算即可解答.【解答】（1）证明：连接。8,V ZACB=45,.,.N4OB=2/AC8=90,：AD/BP,.NAOB=NOBP=90,；OB是。的半径，.PB是O。的切线；(2)解：连接。C,V ZAOB=90,0 4=30,AB=2,.。4=0 3=妈=&,V2：Z C A B=3 0a,：.ZC OB 2 ZC AB=60 ,.曲的长=60 兀 x加=返 工故答案为：X1 2 L.12.如图，在回A 8C。中，A B=A C,作 ABC的外接圆。，CD与。交 于 点E,

30、连接AE.(1)求证：D4是。0切线；(2)若 的 半 径 为 5,COS/B A C=3,求 DE的长.5【分析】(1)连接A0 并延长交8C于点M,根据已知可得AM是 3 c 的垂直平分线，从而可得NA MB=90 ,再利用平行四边形的性质可得AD/B C,从而可得ND4M=90 ,即可解答；(2)利用等腰三角形的三线合一性质和圆周角定理可得NB0 M=NBAC,再 在 Rt A8 0 M中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出0 M,的长从而求出B C,AM的长，从而在R t Z A B M中，利用勾股定理求出A B 的长，进而求出A C,C D,4。的长，然后根据平行线和等腰三角形的性

31、质可得/4 BC=/D4 C,再利用圆内接四边形的性质可得/AEO=/ABC,从而可得NAE=/D4C,进而可证 D4 Es/oc 4,最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.【解答】(1)证明：连接A0并延长交B C于点M,：AB=AC,OB=OC,.A M是3 c的垂直平分线，:四边形A 8CD是平行四边形，：.AD/BC,：.ZDAM=ZAMB=90,是。的半径，：.DA是。切线；(2)解：AB=AC,AMLBC,:.NBAC=2NBAM,；ZB0M=2NBAM,:.NBOM=NBAC,：cosZBAC=,5c o s Z BOM,5在 R t Z X B O M 中，。3=5,0 M

32、=。8 c o s N B OM=5 义 3=3,5，BM=5/BO2-OM2=V52-32=4,.AM=AO+OM=8,8C=2 B M=8,在 RtAABM 中，ABRBM+AM=+82=4病，.四边形A B C。是平行四边形，：.AD=BC=S,AB=CD=4,AD/BC,：.ZDAC=ZACB,：AB=AC,：.ZABCZACB,：.ZABC=ADAC,/四边形ABCE是。的内接四边形，ZABC+ZAEC=180,V ZAEC+ZAE=180,/.ZAED=ZABC,：.ZAED=ZDAC,:/D=N D,:.XDAESXDCA,.D E _ D AD A D C.D E _ 8：.D

33、 E yf551 3.如图，必 是 以 AC为直径的半圆。的切线，8 是半圆。上的一点，连 接 PB 并延长交4 c 的延长线于点M,连接A8,ZAPB=2ZBAC.(1)求证：PB是半圆0 的切线；(2)若 AC=6,ta n/A M P=3,求 BM 和 AB 的长.4【分析】(1)连接0 8,先根据切线的性质可得NOAP=90,从而可得NP+NM=90,再利用己知和圆周角定理可得N B 0 C=N 4 P B,从而可得N8OC+NM=90,然后利用三角形内角和定理可求出/O 2M=90,即可解答；(2)连 接 B C,在 RtZ0BM中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理可求出BM=4,0

34、 M=5,再根据直径所对的圆周角是直角可得NABC=90,从而可得NBAC+NACB=90,然后利用等腰三角形的性质，以 及 等 角 的 余 角 相 等 可 得 从 而可证 M B CSA MA B,进而利用相似三角形的性质可得区=，最后在R t/V I B C 中,AB 2利用勾股定理进行计算即可解答.【解答】(1)证明：连 接。8,;勿与半。相切于点A,，N O AP=9 0 ,.N P+N M=9 0 ,V ZAPB=2ZBAC,ZB0C=2ZBAC,：.NBOC=NAPB,A ZBOC+ZM=9 0 ,8 M=1 8 0 -(ZBOC+ZM)=9 0 ,；OB是半。0的半径,是半圆。的

35、切线;(2)解：连接B C,4OA/=VB02+BM2=VS2+42=5：.AM=AO+OM=8,；A C是半。的直径，A ZABC=90,.N R 4 C+/AC B=9 0 ,:OB=OC,：.NOBC=NOCB,:NCBM+NOBC=90 ,：.Z B A C Z C B M,：Z M=Z M,：.AMBCSAMAB,.典=跑 AM A B -7；.AB=2BC,在 RtZABC 中，AB2+BC2=A C2,：.5BC2=36,:.B C=辰 或 B C=-且 疾(舍 去)，5 5：.A B=2 B C=-/55.BM的长为4,A 8的长为工2 病.51 4.如图，在aA B C 中，

36、B A=B C,以A 8为直径作0。，交 AC于点。，连结。8,过点。作 O E LB C,垂足为点E.(1)求证：D E是。0 的切线；(2)若。0 的半径为5,B D=8,求 BE的长.【分析】(1)连接0 ),根据垂直定义可得NDEC=90,再根据直径所对的圆周角是直角可得/AOB=90,然后利用等腰三角形的性质可得A D=C D,从而可得D O是a4B C 的中位线，进而可得。0 8 C,最后利用平行线的性质可得NOOE=90,即可解答；(2)根据等腰三角形的 三 线 合 一 性 质 可 得 从 而 可 证然后利用相似三角形的性质即可解答.【解答】(1)证明：连接0,JDELBC,：.

37、Z D E C=9 0Q,为。的直径,ZADB=90,:AB=BC,:.AD=CD,：OA=OB,。0是 AB C的中位线，：.DO/BC,：.ZODE=ZDEC=90,。是。的半径，J O E是。的切线；(2)解：*：AB=BC,AD=DC,：.NABD=NCBD,V ZADB=ZDEB=90,J ADBsDEB,B D =AB*E B B D，.8 _ 1 0 ,E B 8：.BE=6.4,的长为6.4.1 5.直角梯形4 B C D,N A=/8=9 0 ,以腰A B为直径作0。，O C平分N B C D(1)求证：C D与OO相切；(2)若0。=6,O C=8,求阴影部分的面积.B C

38、【分析】(1)过 点。作O E L C D,垂足为E,根据角平分线的定义可得/O C B=N O C ,然后利用AAS证明 O B C g O E C,从而利用全等三角形的性质可得O B=O E,即可解答；(2)设 0。与。相交于点M,0 C 与。相交于点N,利 用(1)的结论可得/E 0 C=工/B O E,再利用H L证 明 RtAO AD RtAOED,从而可得/E O O=N 4 O E,进而可2 2得/)OC=90,然后在RtZOOC中，利用勾股定理先求出0 c 的长，再利用面积法求出 0 E 的长，最后根据阴影部分的面积=a c o。的面积-扇形M 0N 的面积，进行计算即可解答.

39、【解答】(1)证明：过 点。作 OE_L CD,垂足为E,0C 平分 N8CC,：.N O C B=/O C D,:NB=NOEC=90,0 c=0C,：./O B C/O E C (A A S),:.0 8=OE,.CD与。相切：(2)解：如图：设。与。相交于点M,0 C 与。相交于点N,:0 B 8 X 0 E C,：.NBOC=N E O C=L/B O E,2；NA=NOD=90,0D=0D,OA=OE,：.RtAODRtAOED(H L),：.ZA0D=ZEOD=ZAOE,2ZD 0C=ZDOE+ZCOE=Z A O E+Z B O E2 22=90。,V OD=6,OC=8,；C)

40、=VOD2+O C2=V62+82=10,.,COD 的面积=00 C=k r 0E,2 2：.CDOE=ODOC,.10O=48,OE=4.8,阴影部分的面积=/(7。的面积-扇形MON的面积=%0 -9兀*4.822 360=X8X6-5.76112=24-5.76n,阴影部分的面积为24-5.7611.1 6.如图，A8C为O O 的内接三角形，过点8 作 2O LA B,交0 0 于点E,交 AC的延长线于点D,在线段C D上取一点F,使得N C E F=N C B D.(1)求证：E F是。的切线；(2)若。的半径为遥，C F=1,求 AC的长.【分析】(1)连接A E,根据垂直定义

41、可得/4 8。=90,从而利用9 0 的圆周角所对的弦是直径，可 得A E是。的直径，然后根据同弧所对的圆周角相等，以及已知/C E F=N C B E,可得NAEC+NCEF=90,从而可得乙4EF=90,即可解答；(2)利 用(1)的结论可得/ACE=90,然后证明CAEs 从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答.【解答】(1)证明：连接AE,AD E B B D AB,：.N A BD=90 ,是。的直径，V ZAB C+ZC B E=90 ,Z A B C=ZAEC,N C E F=N C B E,：.ZAEC+ZC EF90 ,：.ZAEF=90,；AE是。的直径，尸是O。的切线

42、；(2)解：是。的直径，A ZACE=90,V ZA C=ZA F=90,Z C A E=Z E A F,：./C AE/EAF,.C A=AE E A A F，.C A _2 7 5 市 一 说，AC=4 或 A C=-5 (舍 去)，：.A C的长为4.17.如 图，AB为。直径，C、。为O O 上的点，Z A C D=2 Z A,CEJ_OB交 DB的延长线于点E.(1)求证：直线CE与。0 相切；(2)若 AC=12,A B=1 3,求 CE 的长.【分析】(1)连接0 C,根据垂直定义可得/E=9 0 ,再根据等腰三角形的性质和已知可得N4C=2NAC。，从而可得N 4C 0=NDC

43、。，然后利用同弧所对的圆周角定理可得N A=N D,从而可得N Z)=/)C。，进而可得OCE,最后利用平行线的性质即可解答；(2)根据直径所对的圆周角是直角可得乙4cB=90,从而利用勾股定理求出BC=5,再利用等腰三角形和平行线的性质可证N C 8 E=N 0 B C,然后证明BECs/X BC A,从而利用相似三角形的性质，即可解答.【解答】(1)证明：连接OC,：CELDE,：.ZE=90,：OA=OC,：.Z A Z A C O,：ZA C D 2ZA,：.ZACD=2ZACO,：.ZACO=ZDCO,：.ZA=ZDCO,：NA=ND,：.ZD=ZD C O,：.OC/DE,A ZO

44、 C=180-ZE=90,；OC是。的半径，直线CE与。相切；(2)解：是。的直径，；./A C B=90,A C=2,AB=13,-BC=7AB2-AC2=V 1 32-1 22=5OC=OB,O C B=N O B C,：OC/ED,：.ZOCB=ZCBE,:.NCBE=NOBC,V Z E=ZACB=90,:AB ECSABCA,C E B C,C A B A，.C E _ 5 ,1 2 1 3CE=13；.C E 的长为更L131 8.如图，RtzABC中，NC=90,点。在直角边BC上，N O A C=N B,点。在斜边AB上，以点。为圆心、。为半径作。0,交。的延长线于点E,交 B

45、C于点F,连接EF,ZE=yZAOC-(1)求证：A 8为。的切线；(2)若。的半径为3,ta n/A B o V，求 4。的长.【分析】(1)根据圆周角定理和已知可得N O O F=N A O C,再利用直角三角形的两个锐角互余可得/OA C+/A O C=90,从而可得N 8+/O O F=90,然后利用三角形内角和定理可得NBOO=90,即可解答；(2)根据已知可得ta n/O A C=L,然后在RtZiOAC中，利用锐角三角函数的定义求出2A C 的长，最后根据H L 证 明 RtAADORtAACO,从而利用全等三角形的性质即可解答.【解答】(1)证明：./E=*/)OF,Z E-Z

46、 A O C-：.ZD O F ZA O C,V Z C=90 ,A ZOAC+ZAOC=90,；NOAC=NB,A ZB+ZDOF=90,/.ZBDO=180-(NB+NDOF)=90,是。的半径,为。的切线；解：t a n N AB O-|，NOAC=NB,tan Z O A C=,2在 R t Z s O AC 中，A C=m=6，t a n Z O AC 工2V Z B D O=90 ,，N 4 D O=1 8 0 -NB D O=90,.N AZ)O=N C=9 0 ,：AO=AO,OD=OC,.R t AAD O R t AAC O (H L),：.AD=AC=6,.AD的长为6.

47、1 9.如图，已知A B是圆O的直径，C是圆O上异于A,B的点，。为前中点，S.D E1 AC于点E,连结C D.(1)求证：D E是圆。的切线；(2)若圆。的半径为5,且C D=6,求4 c.【分析】(1)连 接。、O C,利用圆心角、弦、弧之间的关系可得N B O D=N C O O=工 N2B O C,利用圆周角定理可得/8 A C=L/3 O C,进而/B A C=/B。，判 断 出O O AE,2由垂直的性质可知O )_ L O E即可.(2)根据勾股定理可求出A D,再根据锐角三角函数可求出D E、C E,再由勾股定理列方程求解即可.【解答】(1)证明：连 接。、OC,：)为前中点

48、，NBOD=N C 0 D=LNB0C,251.：ZBACZBOC,2：.ZBACZBOD,：.OD/AE,J.DEVAC,：.ODA.DE,：OD是半径，.O E是。的切线；（2）解：连接8）,为最中点，：.BD=CD=6,是。的直径，A Z ADB=90 ,在 中，AD=VAB2-BD28:NDCE=NB,.s.i nDj?=-AD=-=-8-=4 =s i n Z/DCC EM=-=-D=E =D EAB 1 0 5 D C 6：.DE=,5C=VCD2-DE2=第 D在R t Z A QE中，由勾股定理得，DE2+AE1=AD2,即（2）2+（A C+西）2=82,5 5A20.已知：

49、如图，A8为。的直径，CB 为。的切线，B为 切 点,OC交。于点E,AE的延长线交B C于点凡 过点A作 A OOC,交于点。，连接C D,B D.求证：(1)CD与。0相切；(2)C E*FB=AB C F.【分析】(1)根据圆周角定理以及平行线的性质，可证出C。丝CB。，再根据切线的性质得出N。8c=90 ,进而得出NOOC=90 ,得出结论；(2)利用相似三角形的判定和性质，分别证明A B E s/X B F E,ACEFS C B E,利用“中间比”进行代换即可.【解答】证明：(1)连接。D,：A B为直径，A ZAD B=90 ,AD/OC,：.OC A.B D.：.OC垂直平分B

50、 D,：.D C=B C,XV O B=O D,O C=O C,：./C D O/C B O C SSS),：.Z C D O=Z C B O,为。的切线，：.C B LOB,：.OD C D,是半径，.CD为 的 切 线；(2)连接B E,：A B为直径，A Z A E B=90 ,又；N A B 尸=90 ,.NF B E+NE 8A=90 ,/E48+NEBA=90 ,:.NEAB=N E B F,又 ：NAEB=NBEF=90,：.AABEsABFE,.AB BEB F-=EF,；OA=OE,：.ZOAE=ZOEA,又：NOEA=NCEF,：.ZFAB=ZCEF,；.NCBE=NCEF