重庆市某中学校2021-2022学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）.pdf

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1、重庆市第八中学校2021-2022学年九年级上学期开学考试数学试题一、选择题（本大题12个小题，每小题4分共48分）1 .下列四个数中最大的数是（）A.-2 B.-1 C.O D.1【答案】D【解析】【详解】：-2 V -1 0 =1:3,且AABC的面积为4,则。斯的面积为（）A.8 B.10 C.16 D.36【答案】D【解析】AD n A 1【分析】利用位似的性质得到46CS 郎 AB/DE,所以然后根据相似三角形的性D E O D 3质求解.【详解】解：:ABC与）/位似，点。为位似中心，A/ABC/DEF,AB/DE,.A B O A _ 1 DE-OD-3,/X A B C s X

2、 D E F._ J.，“S OEF9SADEF=9SAABC:=9X4=36,故选：D.【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形：对应点的连线都经过同一点；对应边 平 行（或共线）.5.如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中NB4C=NE4O=90,NB=60，N E =45。,AE与BC相 交 于 点/，若 A B/I D E,则NEEB的大小是（）cA.7 5 B.90 C.1 0 5 D.1 2 0【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等得到N E 4 B =NE=4 5,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式计算即可解题.【详解】

3、解：；A B/D E,N E =4 5 Z A B =Z E=4 5.N B =6 0=NB+ZE 4 B =6 0 0 +4 5。=1 0 5。故选：C.【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.6.估 计 J 5（版-24）的值应在（）A.1 和 2 之间 B.2 和 3 之间C.3 和 4之间 D.4 和 5 之间【答案】B【解析】【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算即可得解.【详解】解：7 2（7 1 0-2 ）=7 2 0-2,42 2 0 52，4 V 2 0 5，2 /2 0-2 1 a 2 111.若关于X的不

4、等式组 2 恰有3个整数解，且关于y的分式方程+，=一2有非负整+5x vg 2-y y-2,3 一数解，则符合条件的所有整数。的 和 是（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】1【分析】分别解不等式组 2 的两个不等式，根 据“该不等式组恰有3个整数解”，得到关于。的a-2 1不等式组，解之即可初步求得整数。的值，解分式方程:;一+-=-2,结 合“该分式方程有非负整2-y y-2数解”即可得到。的值，由此即可得到答案.3r-1【详解】解：解不等式 1得：X1,2-T-“A*_lx。+5x c 24 a解不等式一 ,8得：A；,3 5原不等式组的解集为：1X,若 望，该不等式组恰

5、有3个整数解，该不等式组的整数解为：2,3,4,.24 a.则4”-5,解得：一14,4,，整数的值为0,1,2,3,4,。-2 1 .+1解分式方程 +=-2得：y=且yw 2,2-y y-2 ,该分式方程有非负整数解，将整数的值0,1,2,3,4分别代入，得:当。=0时，y=g （不是整数，不符合题意，舍去），当。=1时，y=（是整数，符合题意），3当。=2时，y=5 （不是整数，不符合题意，舍去），当。=3时，y=2（是整数，但与y w 2矛盾，故不符合题意，舍去），当。=4时，y=|（不是整数，不符合题意，舍去），综上所述，符合条件的整数a的值为1,符合条件的所有整数”的和是L故选：A

6、.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，分式方程的非负整数与“的整数解容易混淆，仔细判断是解决本题的关键.1 2.如图，已知平行四边形A 5C。的顶点A、8分别在x轴和y轴正半轴上，顶点C、力分别落在双曲线y=人上，过 点C作y轴垂线交y轴于点E,且=若平行四边形A 5C。的面积为1 6,则幺的x值 为（）A.6 B.12 C.18 D.24【答案】B【解析】【分析】连接A C,设QB=2 a,则=则B（0,2a）,E（0,3a）,C占,3a）,设点A的横坐标为k km ,则 A（肛 0）,由平行四边形的平移可知，+白，。）；再根据点。在反比例函数丁=一上，则3。Xk 2k（机+）

7、。=上，即勿?=,最后根据ZASC=S梯 形 0 A C&%8CE=8建乂方程即可可解得 =12.3。3a【详解】解：如 图,连 接 AC,/.3(0,2。),E(0,3),k 点C在反比例函数y 二一上,xC(,3a),3a设点A 的横坐标为加，则 4 m,0）,由平行四边形的性质可知，BC/AD,B C =AD,k由B到。向上移动。，向右移动，3a,.由A 到。向上移动。，向右移动，3akD（m H f ）f3a又 点。在反比例函数y=上,x(;n+)a=k,3a解得：，=彳*SBC=S梯 形 内 _ SOB _ S&B C E =8,解得：k=n.故选：B.【点睛】本题考查反比例函数的性

8、质，平行四边形的性质，由平移方式确定点的坐标，能通过8点的平移方式和反比例函数上点的坐标特征表示。点的坐标是解决本题的关键.二、填空题：（本大题6个小题，每小题4 分，共 24分）1 3 .计算：舛+（2 0 2 1-%）-=.【答案】-4【解析】【分析】直接利用立方根的意义以及零指数累法则、负整数指数累法则分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案.【详解】解：原式=一2 +1 3=4故答案为：-4.【点睛】此题主要考查了立方根的意义以及零指数基法则、负整数指数幕法则，正确化简各数是解题关键.1 4 .在一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，它们的标号分别为-3,-1,1,2,4.先

9、从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为a,b,则使得反比例函数y =经过第二、四象限的概率为X3【答案】-【解析】【分析】当。+人0时，反比例函数y =*经过第一、三象限；当。+力0时，反比例函数y =X X经过第二、四象限.分别得出总的摸球方法和使得+0的方法数，即可求出概率.【详解】解：当。+8（）时，反 比 例 函 数 经 过 第 二、四象限.X5个完全相同的小球，随机摸出两个小球，总共有1 0种等可能的结果，分别为-3,-1；-3,1；-3,2；3 ,4；1 1 ；1,2；1,4；1,2；1,4；2,4.其中a +Z?AC2-EC2=丁不2?=2#)，V CE=CF,BC=CD,E

10、为 BC的中点,，F为C D的中点，同理可得：AF1CD,1-S&EB=5%比=/x 2 x 26=2 也=S fc，阴影部分的面积S=S&EC+S FC S扇 形 C E 尸=4琳-120万360=4#-，故答案为：4-/3-7T.3【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出AAEC、AEC和扇形ECR的面积是解此题的关键.17.如图，在三角形A 8C中，点。为边8 c的中点，连接A。，将三角形9沿直线AD翻折至三角形ABC平面内，使得3点与E点重合，连接C E、B E,分别与边AC交于点”，与AO交于点。，若AH=CH,AB=2屈,。？=4,则点4

11、到 线 段 的 距 离 为【答案】y【解析】【分析】如图，过点A 作 A T L C B 交 C 3 的延长线于T.利用勾股定理求出A。，利用三角形重心的性质求出。，再 利 用 勾 股 定 理 求 出 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 A T 即可.【详解】解：如图，过点A 作 A T L C B 交 C B 的延长线于T.-方-由翻折的性质可知，4。垂直平分线段班;,.ZAOB=90,V AB=2713.0B=4,OA=4AB1-OB2=J(2V13)2-42=6，；AH=CH,点、D为边B C的中点、,点。是AABC的重心，:.OA2OD,OD=3,.BD =yloB2+OD

12、2=742+32=5,ZBDO=ZADT 9/BOD=NT=90。,:.DOBSXUTA,OB DB二.=,AT AD4 5 =一，AT 9:.AT=,5故答案为：.【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.1 8.某品牌4 s 汽车店7 月份购进A型、B型、C型三种新能源车共3 0 辆，已知购入A型车每辆1 8万元，8 型车每辆2 4 万元，C型车每辆3 2 万元；在 8 月份，由于受到市场汽车芯片短缺影响，在购入价格不变的情况下，4 S 店购进的A型车是7 月份的;倍，C型车购进了 8 辆

13、，结果该4 s 店 8 月共购进了三种新能源车共2 0 辆，且比7 月份少用了 2 0 0 万元，则该4 s 汽车店8 月份购进了 B型新能源车 辆.【答案】4【解析】【分析】设 7 月份购进A型、8 型新能源车分别为。辆，辆，根据4 s 店 8 月共购进了三种新能源车的费用比7 月份少用了 2 0 0 万元可列出方程即可求解.【详解】解：设 7 月份购进A型、8 型新能源车分别为a 辆，匕辆，则C型新能源车有(3 0-4-力辆，则 8 月份购进A型新能源车为g4辆，则8 型新能源车位(2 0-1 4-8)辆，2 2由题意，得 1 8x a +3 2 x 8+2 4(2 0-a-8)=1 8a

14、 +2 4 6+3 2(3 0-a-b)-2 0 0 ,3 3化简得 5 a +4 6=1 0 8,是 4的倍数，又.N S 店 7 月份购进的A型车是7 月份的;倍，是 3 的倍数，：.a可 取 1 2 和 2 4,当。=1 2 时，b=2,当a =2 4 时，匕=一3 (舍去)，.,.a =1 2,b=1 2,2 0-a-83=2 0-x l 2-83=4，.该4 S 汽车店8 月份购进了 B型新能源车4 辆，故 答 案：4.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意列出方程.三、解答题：(本大题共7个小题，每题10分，共 70分)1 9.计算：(1)(Q+2)-(Q-3)(Q+

15、2)z(2_ )x .(5-4-。+1 +。)+-a-2-。-.a I 14 2【答案】(1)5 a +1 0；(2)a-a【解析】【分析】(1)根据完全平方公式(。+。尸=Y+2.匕+，以及整式乘法运算、加减运算法则即可求出答案.(2)根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案.【详解】解：(1)原式=/+4 a +4-(/一。-6)=a2+4a+4-a2+4 +6=5 a+1 0.(2)原式=F5-4 (1 4-6 Z)(6 f -1)a-a-a(a-2)。2 4。+4 1a-1 a(a-2)(4-2)2 1-a-1 a(a-2)a-2a(a-1)_ a-2【点睛】本题考查整式的混

16、合运算以及分式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式(a+hy=a2+2ab+b2,整式的加减运算以及乘法运算法则，分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型.2 0.8 月 2 5 日是全国低碳日，工业和信息化部、发展改革委、生态环境部向全社会倡导“节能减碳，绿色发展”“低碳生活，组 建 未 来 为 此，某学校组织八、九年级的所有学生(其中八年级学生有4 8 0 人，九年级学生有5 2 8 人)一起开展了知识竞赛，现分别在两个年级各随机抽取了 1 6名同学的竞赛成绩，相关数据整理如下：【收集数据】八年级1 6名同学竞赛成绩统计如下:5 5,62,64,67,7 3,7 5,7 5

17、,7 5,7 9,8 0,8 2,8 2,8 8,8 9,96,99九年级1 6名同学竞赛成绩统计如下：7 6,90,60,8 5,64,69,92,7 7,64,7 7,7 9,7 9,61,8 1,8 8,7 7.【整理数据】成绩6060 x 7 07 0 x 8 08 0 x 90八年级13552九年级0a63b【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：【问题解决】根据以上信息，回答下列问题:统计量平均数中位数众数方差八年级7 7.67 7n1 4 4.9九年级7 6.2m7 71 0 2.7（1）填空：a=；b=：m-；n=；（2）按照比赛规则，8 5 分及其以上的同

18、学会被评为优秀，请你估计八、九年级所有学生中优秀学生共有多少人？（3）根据以上数据，你认为该校八年级和九年级哪个年级的竞赛成绩更好？请说明由（写出一条理由即可）【答案】（1）a =5,b=2,加=7 7,=7 5；（2）2 5 2 人；（3）因为八年级的平均分7 7.6九年级的平均分7 6.2,所以八年级的竞赛成绩更好【解析】【分析】（1）根据题意，可直接求得“，b 值，再根据众数与中位数的定义即可分别求得，的值；（2）分别利用八九年级的总人数乘以优秀学生所占比，将所得结果再相加即可求得答案；（3）从平均数，众数，中位数，方差的大小任选其一判断即可.【详解】解：（1）由题意可得：a=4,b=2

19、,从八年级1 6名同学竞赛成绩可知：7 5 出现的次数最多，二众数=7 5,将九年级1 6名同学的竞赛成绩按由小到大的顺序排列如下：60,61,64,64,69,7 6,7 7,7 7,7 7,7 9,7 9,8 1,8 5,8 8,90,92.;共 有 1 6个数,/.中位数为第8 个和第9 个平均数，即=（7 7+7 7）+2=7 7,故答案为:4；2；7 7；7 5；4（2）八年级8 5 分及其以上 人数为：4 8 0 x =1 2 0 人，1 64九年级8 5 分及其以上的人数为：5 2 8 x =1 3 2,1 6所以八、九年级优秀人数一共有1 2 0 +1 3 2 =2 5 2 人

20、.（3）因为八年级的平均分7 7.6九年级的平均分7 6.2,所以八年级的竞赛成绩更好.（答案不唯一）【点睛】本题考查方差，样本估计总体，中位线，众数，平均数等知识，解题的关键是掌握中位线，众数，平均数，方差的定义，属于中考常考题型.2 1.如图，平行四边形A B C。中，ZADB=90.（1）求作：AB的垂直平分线MN,交 A B 于点交8。延长线于点N （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）在（1）的条件下，设直线MN交于E,且N C=2 2.5。，求证：NE=AB.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意作4 8的垂直平分线MN,交 A B 于点

21、交8。延长线于点N.（2）连接附，根据平行四边形的性质求得NZMB=NC =2 2.5,进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得L A D N是等腰直角三角形，进而证明4 A D B也即可得证NE=AB.【小 问 1 详解】如图，AB的 垂 直 平 分 线 交 A B 于 点 交 延 长 线 于 点 MN【小问2详解】如图，连接ML 四边形ABCO是平行四边形：.ZDAB=ZC=22.5-M NAB,NAD8=9()。ZMBN=ABD=90-22.5=67.5,AMNB=90-NMBN=22.5：.ZMNB=ZDAB则/DAB=ZDNE是AB的垂直平分线:.NA=NB:.ZNAB=ZNBA=67

22、.5：.ZNAD=4NAB-ZDAB=45又 NADN=NADB=90：.ZAND=45;.AD=DN在AB 与%)：中，NDAB=ZDNE3 2【解 析】【分析】(1)根据分式有意义 条件可得尤-2 w 0,由此即可求得答案;(2)把工=一1、x =6分别代入解析式即可求得加、的 值；(3)描点、连线，画出该函数的函数图象；2(4)根据关于x的方程|+1=&有两个不相等的实数根，则丁=%与函数的图象有两个交点即可得x-2到结论.2【详解】解：(1)函数y=|-1+1,自变量工的取值范围是：x w 2；x-2故答案为：X H2；2 5(2)当x =-l 时，m =|-1+1=一，-1-2 32

23、 3当 X=6 时，n=-1+1=,6-2 25 3故答案为：一，一；3 2：.1+1 1,x-22VI-1+1=/：,x 2.%1,的取值范围是左 1.故答案为：kl.【点睛】本题考查了带绝对值的函数图象上点的坐标特征，求函数值，图象的画法等知识，正确的画出图象是解题的关键.2 3.如果一个正整数的各数位上的数字都相同，则称这样的数为“叠合数”，比如：3,44,7 7 7,6 6 6 6,；对任意一个三位数人如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”.将 一 个“互异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为/小).如 =1

24、3 4,对调百位与十位上的数字得到3 14,对调百位与个位上的数字得到43 1,对调十位与个位上的数字得到143.这三个新三位数的和/()=3 14+43 1+143 =8 8 8,是一个“叠合数”.(1)计算：尸(13 2),尸(6 18),并判断它们是否为“叠合数”；(2)若“互异数”=3 00+10+q (其中p、(7 都是正整数，l W p 9,1 乡4 9),且尸()为最大的三位“叠合数”，求的值.【答案】尸(1 32)是“叠合数”;尸(6 1 8)不是“叠合数”；(2)“=34 2；351；324；31 5【解析】【分析】由“叠合数”定义，计算尸(1 32)、尸(6 1 8),即可

25、判断是否是“叠合数”；(2)由“互异数”的定义，尸()为最大的三位“叠合数”得/()=9 9 9,且3+“+4=9,计算的值为 31 5 或 324 或 34 2 或 351.【详解】解：(1)-.(1 32)=31 2+231 +1 23=6 6 6,1(1 32)是“叠合数”;.6 1 8)=1 6 8 +8 1 6 +6 8 1 =1 6 6 5,尸(6 1 8)不是“叠合数”；(2)由题意可得：n=3pq,p 手 3,q 丰 3,p+q Q ,F()=3qp+qp3+p3q=(30 0 +1 0 q +p)+(1 0 0 q +1 0 p +3)+(1 0 0 p +30 +q)=30

26、 0 +1 0 q+p +1 0 0 7+1 0.+3+1 0 0 p +30 +q=333+l l Ip +l l 0=l l l(3+p+q),又.啜A 9,1 轰 0 9(p,q 为正整数)，且尸()为最大的三位“叠合数”，尸(“)=999且3+g=9,/.p+q-6,f p =4 f p =5 /?=2 p =1、q 取值如下：。或 或,或 ，4 =2 q =l q=4 q =5.由上可知符合条件三位“互异数”=342；351；324；31 5.【点睛】本题考查新定义，涉及多位数、二元一次方程等相关知识点，难点是新定义“叠合数”和“互异数”的应用求值.24.为做好开学前后新冠肺炎疫情防

27、控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资学校原计划订购8 4 消毒液和医用酒精共50 0 0 瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20 元.(1)据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过1 1 20 0 0 元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？(2)后来，学校决定就以1 1 20 0 0 元的总资金按照(1)中消毒液的最大数量进行购买但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了1 0。瓶，医用酒精多订购了原计划的“,医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低5 a%元，消毒液单

28、价不变，最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，求 a(a w O)的值.【答案】(1)30 0 0 瓶；6 0【解析】【分析】(1)设原计划购买消毒液x 瓶，则原计划购买医用酒精(50 0 0-x)瓶，根据学校计划购买防疫物资的总资金不超过1 1 20 0 0 元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；(2)根据最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，即可得出关于。的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】解：(1)设原计划购买消毒液x 瓶，则原计划购买医用酒精(5000-X)瓶，依题意，得:24x+20(5000-x)112000,解得：x3000.答：原

29、计划最多购买消毒液30 0 0 瓶.(2)依题意，得：(3(X)010a)x24+2(XX)(l+a%)(20 5a%)=11200(),令a%=t,则a=l(X)f,(3(XX)-1 OOOr)x 24+2(XX)(1+/)(20-5r)=112(XX),整理得：1 0/一6，=0，解得：6=0或/2=0.6,/.a,=0 或 a 2=6(),/a。（），a =6 0,答：a的值为6 0.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.25.在平面直角坐标系x O y 中

30、，直线/过点A（l,0）且与y 轴平行，直线6过点3（0,2）且与X 轴平行，直k线 4,与直线4相交于点P，点 E为直线6上一点，反比例函数丁=一（攵0）的图象过点E且与直线4 相X交于点F.（1）若点E与点P重合，求女的值；（2）连接OE、O F、EF，若 的 面 积 为AFEF的面积的3 倍，求点E的坐标；（3）当攵2时，G是），轴上一点，直接写出所有使得/（；是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来.【答案】（1）2；（2）E（2,2）或（；,2）；（3）G*或 G（0,l）或 G（0,|）,过程见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，若点E与

31、点P重合，即点E与点P的坐标相同，因此直接代入解析式求解即可；（2）当 E在 右边时，作轴于例，设 后（租,2）,则 E（l,2m）,然后分别表示出AOE尸和 PER的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M,设(列2)，则F(l,2m),分别表示出AOEb和AP律 的 面积，根据题意建立方程求解即可；(3)根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可.由题意产(1,2),点E与点尸重合，把尸(1,2)代入丁 =七得到=2,X 左 的值为2.(2)如图2中，当E在尸右边时，作轴于M.设E(见2),则尸(1,2m),SQEF-S O F +S梯 形A例-S-ME，S4AoF -S

32、&EOM，q=q2梯 形AM EF，q-7Q EOF 4PEF.2+2nt.zn_-3x2.x(7H-l)(2/n-2),解得：m=1或加=2,；E在P右边,/.m=2,此时 E(2,2)；如图3中，当E在尸左边时，作E 2W _ L x轴于M.设 石（?,2）,则/（1,2m），同理可得一）=3x（l-根）x（2 2加）,2 2解得：加=1或 机=!，2.E在P左边，1m=,2综上所述，当 口2,2）或（g,2）时，AOEF的 面 积 为 产面积的2倍.（3）：k 2,0 m,2 I-1 5BG=PE=1=-,0G=2-BG=2=-,3 3 3 3 此时综上，或 G(O,1)或 G(O,g)

33、.【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键.四、解答题：(本大题1个小题，共8分)2 6.已知I,在等腰直角三角形A B C中，NACB=90,AC=B C,点。在边A C 上运动，连接3 0,过C 作C M /I A B 交8 0 的延长线于点M.11C B图1C B图3(1)如 图1,点。为AC边上的中点，B D =#)，求CM的长；(2)如图2,过点A作8M于点E,交CM于点凡 连接OE，求证：B D =A F+D F x(3)如图3,过点A作A E _ L或)交8。的延长线于点E,P为8 E的中点，AB=2亚，请直接

34、写出C P的最小值.【答案】(1)CM=2 0；见解析；匕 叵.2【解析】【分析】(1)证明AM D C MA8 D 4(A S 4),得至IJCM=A8,RABCD中,利用勾股定理解得B C的长，再在中，利用勾股定理解题即可；(2)延长AF交B C的延长线于T,证明 B C D A C T(A S A),4 D C F%N C F(S A S)，再根据全等三角形对应边相等的性质、线段的和差性质解题；(3)取A B中点Q,取8。中点G,连接P。，PG,C G,过点G作GH，8 c于点，解得A Q,B G的长，当C、P、G在同一条直线上时，C P有最小值，再利用勾股定理解得8 G的长，继而解得8

35、”的长，再运用勾股定理求解.【详解】解：(1)如图，.V A在等腰直角三角形AB C中，Z A C B =90 ,A C =BC,1 C M I I ABNMCD=4 BAD=45,/MDC=ABDA 点。为AC边上的中点，AZ):.AMDCBDA(ASA)设 DC=x,CB=AC=2xRt ABCD 中，DC2+BC2=BD1.一 +(2X)2=(逐)2.5/=5；.x=l或x=-l(舍去)；.CB=AC=2在 中，AB=J展+展=2五CM=AB=2x/2；(2)证明：如图，延长 交BC的延长线于7,图2,；AE 工 BM，ACBC,:./BCD=ZAED=90。,/NBDC=ZADE,/.

36、ZAED=ZBCD=90,/.NCBD=NCAT,V ZBO)=ZACT=90,CBCA,8 8丝ACT(ASA),A CD=CT,BD=A T，AABC是等腰直角三角形ZACM ZBAC 45,：.ZDCF=ZTCF=45,CF=CF,：.D C g K C F(SA S),FD=FT，V AT=AF+FT=AF+FD，AT=BD，/.BD=AF+FD.(3)取AB中点Q,取8。中点G,连接尸。，PG,CG,过点G作Ga J_8C于点H,图3AQ=BQ=LAB=LX2 =,B G =QG=LBG=LXB2 2 2 2 2.P为8E的中点，。为AB的中点，PQ为ABE的中位线，：.PQ/AE-

37、.-AELBDPQ1BD：.ZBPQ=90G是2Q的中点，:.PG=；BQ=*当C、P、G三点在同一条直线上时，CP有最小值,.G”_LBC,NCBA=45;.NBGH=NCBA=45:.BH=GH设 BH=GH=xBG=BH2+GH2=&+白=*:.岳卫2Vio.x=-4在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90，AC=BC,AB=26，AC2+BC2=AB-：.2BC2=(2V5)2BC=M:.CH=BC BH=巫4 4在 RtCGH 中，CG=ylCH2+GH2=(平 了 =|:.CP=CG PG=h =.2 2 2【点睛】本题考查三角形的综合题，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.