数学高考真题卷--天津理数（含答案解析）.pdf

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1、2 0 18 年普通高等学校招生全国统一考试-天津卷(理工类)第 I 卷本试卷分为第/卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 15 0 分,考试用时12 0 分钟.参考公式：如果事件A,B 互斥,那么=P(Q+P(吩.如果事件A,6 相互独立,那么P(A协=P(A)P.棱柱的体积公式S力，其中S 表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.棱 锥 的 体 积 公 式 方，其 中 S 表示棱锥的底面面积，力表示棱锥的高.选择题:本大题共8小题,每小题5 分，共 4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为 R,集合 A=x 0 x 2,B=x x21,则 AQ&面=(A)

2、x|0 d l (B)x/O G 1(C)x|lx 2 (D)x Qx 2 x +y 0,(A)6(B)19 (0 2 1(D)4 5(3)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为2 0,则输出7的值为I i=2,T=Q I/输入V /第(3)题图(A)l(B)2 (0 3 (D)4(4)设 x G R,则“是“fC”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知 bc(B)ba c(C)c ba(D)c a b(6)将函数y r in(2 x)的图象向右平移盘个单位长度,所得图象对应的函数(A)在 区 间 上 单 调 递 增(B

3、)在区间?,村上单调递减4(C)在区间 与,9 上单调递增 在 区 间 写,2 n 上单调递减(7)已知双曲线=1(a X),6 3)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,8两点.设A,8 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d和且d+d=6,则双曲线的方程为(A)尤 戈 可 立 旦=14 12 12 4 次 且 可(D)立义=13 9 9 3(8)如图，在平面四边形ABCD,ABLBC,AD 工CD,NBAD A2 0 ,AB=AD=.若点月为边切上的动点，则AE 前的最小值为(呜 明(呜 (0)3第(8)题图第n卷二.填空题:本大题共6 小题,每小题5 分，共 3 0 分

4、.(9)i 是虚数单位,复数雷=.(10)在(x 晨尸的展开式中,步的系数为.(11)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图)，则 四 棱 锥 夕 伽 的 体 积 为.(1 2)已知圆x +y-2 x=Q的圆心为C,直线x =1+-t,1(力为参数)与该圆相交于4 6 两点，则/!勿的”3-今面积为(1 3)己知a,6G R,且 a-3 方与电则2+证 的 最 小 值 为.(1 4)已知a 0,函数f(x)2 产?若关于x的方程个)=ax 恰有2个互异的实数解,则a的取值(-xz+2 a x-2 a,x 0.范围是.三.

5、解答题:本大题共6 小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(1 5)(本小题满分1 3 分)在 式 中，内角4 6,C 所对的边分别为a,b,c.已知A si n /f-ac os().(I)求角6 的大小；(I I)设 a=2,c=3,求 b 和 si n(2 4 的值.(1 6)(本小题满分1 3 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为2 4,1 6,1 6.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(I I)若抽出的7 人中有4人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这7 人中随机抽取3人做进一步的身体检

6、查.(i)用 X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量小的分布列与数学期望；(i i)设 4为事件”抽取的3人中,，就有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”，求事件/发生的概率.(1 7)(本小题满分1 3 分)如图，4 0 8c 且 AD=iBC,AD LCD,E G AD 旦 E G=AD,CD/F G.CD=F G,/_ L 平面 ABCD,D A=D C=D G=.(I )若材为d的中点,N 为%的 中 点,求 证 邠 平 面CD E-,(I I)求二面角E-BC-F的正弦值；(I I I)若点尸在线段D G上,且直线徒与平面血?必1 所成的角为60 ,求线段少的长.(1 8)

7、(本小题满分1 3 分)尊面 是等比数列，公比大于0,其 前 项 和 为 出 是等差数歹(J.已知 3 1,l.(I )求函数A (%)=f(x)-%l n a的单调区间；(I I)若曲线广(x)在点(小，A x.)处的切线与曲线y=g 5在点(松以加)处的切线平行,证明x.+g(x 21nlnaIna(I I I)证明当a时，存在直线1,使1是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.123 4 5 67891011 12 1314BCB A D ACA4-i52J_ 1 112 2 4(4,8)(DB【考查目标】本题主要考查集合的交、补运算，考查的核心素养是数学运算.【解析】因为

8、小 x|x l ,所以 招=x x l ,因为4=x|o a 2,所以AQ(由=x|o x l ,故选B.(2)C【考查目标】本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作 出 直 线 平 移 该 直 线，当经过点。时,z取 得 最 大 值,由 产:得 产:汕。(2,3),所以ze3 X2 巧X 3=21,故选C.(%十 y 5 1y 3,【方法总结】用线性规划求目标函数最值的步骤：画出约束条件对应的可行域；作出目标函数对应的直线,并将其平移,找到最优解；I 等最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.(3)B【考查目

9、标】本题主要考查程序框图，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】A 之0,上2,7X),：=10,是整数；7X)+1=1,厂2+1=3,3 53号，不是整数；/-3+1=4,4节,“专巧,是整数；I 47=1+1之，+1=5,结束循环.输出的r=2,故选B.(4)A【考查目标】本题主要考查充分条件、必要条件的判断,绝对值不等式的解法，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】通解 由得o a i,所以由 1,得 x i,不能推出OGI.所 以，月 甘 是Q”的充分而不必要条件.故选A.优解 由4得 0 4 4,所以0 y i,所以充分性成立；取 产 9,则分;，(3尸=匚 l,/-l n 2G

10、(0,1),c 4o g i i=l o g23 l o g2e l,所以 c a 6,故选 D.2 3优 解 l o g j=l o g 23,如图,在同一坐标系中作出函数y-l o g 2%,y-l n x的图象，由图知c 为苑 故选D.2 3【方法技巧】对数值的大小比较方法:化为同底的对数后利用函数的单调性比较；怎闲I 用作差或作商法比较;包闲I 用中间值(0或 I)比较;名为同真数的对数后利用图象比较.(6)A【考查目标】本题主要考查函数片s i n(3 户 0)的图象的平移变换及函数的单调性，考查数形结合思想,考查的核心素养是直观想象,数学运算.【解析】把函数1 i n(2 x)的图

11、象向右平移盘个单位长度得函数g(x)r i n 2(x*)以 r i n 2 x 的图象,由+2 4 兀4 兀(*Z)得2 4 n 冗(AZ),令k=,得 WxW，即函数g(x)=sin 2 x 的2 2 4 4 4 4一 个 单 调 递 增 区 间 为 故 选 A.4 4【易错警示】本题易错点有：平移的方向弄错;不熟悉函数的性质，混淆正弦函数的单调递增区间与单调递减区间.(7)C【考查目标】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解析】通解 因为直线1 8 经过双曲线的右焦点，所以不妨取4(c,Q),5(C,),取双

12、曲线的一条渐近线a a为直线bx-a y,由点到直线的距离公式可得d嗡 得 与 叱,气 丝,因 为小+出工,所以叱 之 空=6,所以2 6=6,得 6=3.因为双曲线4=1 Q K),6 3)的离心率为2,所以2 2,所以也手女,所以c c az b a az丁 工 解 得 a2=3,所以双曲线的方程为4=1,故选C.az 3 9优解 由d、+&4,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以8=3.因 为 双 曲 线(a ,6 3)的离心率a2 b为 2,所 以 之,所 以 学 工 所 以 中 工 解 得 4=3,所以双曲线的方程为】g=l,故选C.a az a2 3 9丫 2 .2 o【方法总

13、结】若四是双曲线靠号=l(a _ X),6 刈的焦点弦，则|初小言.(8)A【考查目标】本题主要考查向量在平面几何中的运用，考查逻辑推理能力、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理,直观想象,数学建模.【解析】以A为坐标原点,4?所在直线为x 轴,建立如图的平面直角坐标系,因为在平面四边形 ABCD,AB=AD=,Z BAD=12 0。，所以 4(0,0),6(1,0),(一,争，设 C(l,而,(x,y),所以反=与 加 3 而=(转),因为 必 _ 勿 所 以(|,力 争(，)/3 y-2,因为荏=(x,y),而=(x T,y),所 以 版,BE=x,y)(x-2 L X l+21,y)4

14、 一户/加砂 2)2 片 6,令f y)为/与百户6,片 苧,行.因为函数Ay)=y-5 国.h 6在 俘,上 单 调 递 减,在 国 上单调递增,所以Ay)m i nz=4 X(9/)飞 百2 8 8 8 8 16所 以 荏 锯的最小值为2 故选A.【方法技巧】用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：婕立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；巴运算结果“翻译”成几何关系.(9)4-i【考查目标】本题主要考查复数的运算，考查的核心素养是数学运算.拓 1 6+71 _(6+7i)(l-2i)_2

15、0-5i.解析,6+2设遏5 工(1 0)|【考查目标】本题主要考查二项式定理,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】(X-泰尸的展开式的通项加9/，(志 厂 式 炉 号 号);令 5 讶 2得r 2所以*2的系数为C 式 学 学(11)【考查目标】本题主要考查四棱锥的体积公式,考查空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象和数学运算.【解析】连接AD x,CD y,RA,B C AC,因为E,分别为Al l,切的中点，所以E H/AC,E 吟 AC,因为F,G 分别为Bx A,8c的中点,所以F G/AC,F GAC,所以E H/F G,E H=F G,所以四边形9/为平行四

16、边形，又E G=HF,E H=HG,所以四边形掰牙1 为正方形,又点M 到平面皮招尸的距离为右所以四棱锥班W的 体 积 为 衿(争 飞 得.【规律总结】求解几何体的体积的关键是找到高,注意更换顶点和底面技巧的应用.(1 2)i【考查目标】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】直线的普通方程为x+y-2),圆的标准方程为(X T)?歹=1,圆心为C ,0),半径为1,点 C 到直线x+y-=Q 的距离 所以/48/=2 J 1 (4)2=&所以 SABC Xy 2 X-=i.(13)；【考查目标】本题主要考查指数的运算和利用基

17、本不等式求最值，考查的核心素养是逻辑推理和4数学运算.【解析】由 a-36 用R,得 a A-6,所以2 号/扁 在 12 3 b-6 x壶 之x2 ,当且仅当2,鹏 琮,即 6=1时等号成立.【名师支招】利用基本不等式求最值要灵活运用两个公式：(Da,6 G R,R A 2ab,当且仅当a=6 时取等号；(2)a,6 G (0,+8),a+8 2病,当且仅当时取等号.对于这两个公式,首先要注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件.(14)(4,8)【考查目标】本题主要考查了函数的零点，利用零点个数求参数的取值范围，考查的核心素养是直观想象和逻辑推理.【解析】当 x W O 时，由 /也

18、a x+a=a x,得 a=-x-a x 当 x 0 时，由-V+Z a x Na M x,得 2 a=x +a x.令g(x)-x 2；axx-o-作出直线y=a,片2a,函数g(x)的图象如图所示,g(x)的最大值为:岑岑,由图象可知,若f(x)=a x 恰有2个互异的实数解,则aja a,得 4,B=y 有 l f=a+c-2 a c c o s 庐7,故 b=yf7.由 bsin A=a c o s,可得 s i n 4 福.因为 ac,故 c o s A号.因 止 匕 s i n 2 y lz=2 s i n J c o s A,c o s2 4 2 c o s 2 总 T J,7所

19、以，s i n(2 4 三i n 2 月 c o s 6-c o s 2 4 s i n B9世 史 旭.7 2 7 2 14【方法技巧】解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等,作为化简变形的重要依据,若涉及面积或周长的最值,则考虑采用重要不等式或基本不等式.(1 6)【考查目标】本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【解题思路】(I)先求出三个部门的人数之比,然后利用分层抽样的定义求出三个部门的员工人数；(I I)(i)先根据超

20、几何分布的定义列出X的分布列，然后求其数学期望，(i i)先 将“既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”分解为简单互斥事件的和,然后结合(i)求其概率值.【解析】(I)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3 ；2 ；2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2 人,2 人.(I I)(i)随机变量小的所有可能取值为0,1,2,3./V*)且 用(公 0,1,2,3).所以，随机变量才的分布列为随机变量X的数学期望(切O X gl注|+2 X挣 3 白。(i i)设事件6为“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有2人”；事

21、 件 C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1 人 ，则A=BU G且 6与 C 互斥.由(i)知，P=P(X孙 P 9 寸(41),故 (/)=P(BU 0)=尸(六2)+P(X=1)差.7所以，事件/发生的概率为*【规律总结】与数学期望有关的问题,先判断概率模型是否是常见的概率模型，如二项分布和超几何分布,然后利用数学期望的公式和数学期望的定义求解.(1 7)【考查目标】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解题思路】(I )先根据题意建立空间直角坐标系，

22、写出各点的坐标,然后求出平面。应的法向量m,从而只需证明尔 而M 即可证明脉平面侬;(H)先分别求出平面BCE、平面及方的法向量n,m,然后求出二面角6的正弦值；(1 H)先设出征的长，然后求出平面4次法的一个法向量，根据直线征与平面4a 花的法向量所成的角求出”的长.【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以万?，玩，说 的方向为x 轴,y轴,z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得。(0,0,0),4(2,0,0),6(1,2,0),C(0,2,0),(2,0,2),厂(0,1,2),6(0,0,2),1/(0,|,1),M l,0,2).(I)依题意方？二(0,2,0),屁 二(2,0

23、,2).设 m二(x,y,z)为平面应的法向量，则 如:覆 料 机 葭,不妨令Z=-1,可得为=(1,0,-1).又 丽=(1,g 1),可 得 而 功力,又因为直线网。平面CD E,所以脉平面CD E.(II)依题意,可得前=(T,0,0),BF=(l,-2,2),CF=(0,-1,2).设n=x,y,z)为平面腔的法向量,则In：:苍 3=。,不妨令 z=l，可得=(，1，1)设 折(X,%z)为平面呼的法向量，则F *=。即广：7 n 不妨令z=l，可得加=(0,2,1).(m CF=0,(少+2z=0,因此有cos 5 .哥噜，于 是 sin,n 噜所以，二面角/金厂的正弦值为噂.(I

24、II)设线段分的长为A(AG 0,2),则点尸的坐标为(0,0,A),可得加=(-1,-2 ).易知,D C=(0,2,0)为平面4屋的一个法向量,故/cos BP,D C.焉 盛由题意,可得 ,2 rsin 60 =-,解得力0,2.I 2 2 3/+5所以，线段8的长为号.【方法技巧】立体几何的第一问一般是证明线线、线面、面面的位置关系，解题时主要是通过线线、线面、面面的平行和垂直的判定定理和性质定理进行推理论证;第二问一般是二面角的求解，其中准确建立空间直角坐标系是关键,注意有时需要先证明两条直线垂直,然后再建立坐标系.(1 8)【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项

25、公式及其前项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法和运算求解能力.【解题思路】(I )先设出 a 的公比Q,然后根据题意列出关于q的方程求解,设出(&,的公差d,根据题意列出关于d 的方程求解,进而求出生(I D(i)先根据(/)求 出 S,然后求出T,将务款嘤化简之后再利(k+l)(/c+2)用裂项相消法求和.【解析】(I )设等比数列&的公比为q,由团=1,备 招 您 可 得 因 为 内 0,可得q t,故a .设等差数列 4 的公差为d.由a bj+b,可 得 力 由 金=&+2 反,可得3 仇+1 3 /=1 6,从 而 =1,7=1,故b=n.所以,数列 a,的通项公式为a,#数列

26、 4 的通项公式为b=n.nn(n)由(/),有 之-1,故 T“=(2*-l)-Z 2*-/7-X12-/7 I-/7-2.1 2,.1 2k=i k=l(i i)因为(Tk+bk+2)bk _f2k+1-fc-2+fc+2)fc _ k 2k+1 _2k+2 2k+1(fc+l)(fc+2)(fc+l)(k+2)(k+l)(fc+2)k+2 1 k+1所以nf (.Tk+bk+2)bk_(23 2 ，24 2 .(2n+2 2n+2n+2K-L【易错警示】利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项；(2)将通项裂项后,有时需要

27、调整前面的系数,如若 a,是等差数列，则/(三 二).d dn cin+i dn(in+2 2d an dn+2(1 9)【考查目标】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.【解题思路】(I)先利用离心率找到a,6 之间的关系，然 后 再 利 用 /6|求出a,8的值；(I I)先将已知条件进行化简求出P,0 纵坐标之间的关系,然后将直线与椭圆联立,利用根与系数的关系求出P,0 纵坐标之间的关系，从而求出衣的值.【解析】(I )设椭圆的焦距为2 c,由 已 知 有 又 由 才=炉+/,可得2 a

28、 y20,故|P0|s i n AAO Q=y-y2.又因为|力。|二二与一，而/的 5 三,故|。|=由黑 一 尊s i n N/O Q可得5 力4%.smNOAB 4 PQ 4由方程组卷 二:二，消去x,可 得 为 金%易知直线四的方程为尸尸24由方程组?n消去X、(-F =1,V9k2+4 1%+y-Z=O,194可 得 及 咨.由 5 次4九 可 得 5 (4+1)39k2+4,两边平方，整理得5 6/巧 0 1 1 4),解得住或 A 士.fc+12 28所以，4的值为;或(2 0)【考查目标】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方

29、法,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.【解题思路】(I )先求出A (x),然后令即可得A(x)的单调区间；(H)利用两函数在两点处的切线平行建立等式,然后进行化简；(III)先分别求出f(x)在点(不,(汨)处的切线方程和g(x)在点(及,M)处的切线方程,然后利用切线重合建立等式,消元后转化为方程的解的问题.【解析】(I )由己知，/?(x)=a*-x ln a,有/?(x)=a*ln aT n a.令 A(x)R,解得产0.由 a l,可知当x 变化时,/?(x)(x)的变化情况如下表：X(-0,0)0(0,+)力 (-0+力(X)极小值

30、/所以函数为(x)的单调递减区间为(-华0),单调递增区间为(0,+8).(H)由 f (x)=a*ln a,可得曲线y=f(x)在点(汨，f(x。)处的切线斜率为a%ln a.由/(x)噎，可得曲线y 招(x)在点(鸟爪加)处的切线斜率为十.因为这两条切线平行，故有a%ln a-,即(In a)、l,两x2l n a x2lna边取以a 为底的对数,得lo g z,A2 i 2 1 o g Jn司或所以夫依(%)=?：吗Ina(III)曲线尸f(x)在点(M,a*i)处的切线h:y-aX1=aX 1l n a (x-否),曲线尸g(x)在点(松lo g,/)处的切线h:y-1 o g,淡 一

31、 ：(x-X2).x2lna要证明当a时,存在直线，使/是 曲 线 片 f(x)的切线,也是曲线片屋x)的切线，只需证明当a时,存1在 x i W (-,+8),X2E：(0,+8),使 得又与心重合，即只需证明当 心 e$时，方程组(aX1 n a =,X 2 lna 1 有解.l a-x n a =o gax2-由得於 二、2,代入，得axi(lna)zaX 1-x aX 1l n a-f-x -n a=Q.(3)Ina Ina因此,只需证明当42时,关于汨的方程存在实数解.设函数u(x)=a-x a】n a+*生 辟 咽,即 要 证 明 当&，时，函数片u(x)存在零点.Ina Inau

32、yx)-l-(ln a)2x a 可知 x (-0 0,0)时，/(x)X);x (0,+)时，(x)单调递减,又u (0)=1 X),/(7 T%)二 1 a(m a)2 0,故存在唯一的Ab,且刖为,使得u (x o)=Ot即l-(ln/用谟。力.由此可得(Ina)2U(x)在(-8,沏)上单调递增，在(施，+8)上单调递减，u(x)在彳二的处取得极大值(加.因为a 2 e 故In In 3 2 T，所以u/x o)、ax丫 -Ab aXy oli n a+x o 弋,1-21nlna 1 不+x q J21、nlna三-2+2-l-n-l-n-a川、八，Ina Ina x0(lna)Ina Ina下面证明存在实数乙使得 O 型-义瞿上=-(ln a)x J_?n in a,所以存在实数心使得 0.Ina ma Ina Ina因此当时，存 在x i e (-+，使 得u(x j=0.所以，当a 2蓝时,存在直线/,使/是 曲 线y=f(x)的切线，也是曲线y招(x)的切线.【名师点睛】函数与导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法,在含有参数的试题中,通常考查分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等,解决函数与导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.