高一数学常见知识点梳理.pdf

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1、集合一、集合的含义与表示L集合的概念：一般地，我们把特定的研究对象的总体统称为集合，简 称“集”，通常用大写字母4 8,C,表示集合；集合中的研究对象叫做这个集合的元素，简 称“元”，通常用小写字母出b,c,表示.2.集合的元素特性 确定性:给定一个集合，则任何一个对象是不是这个集合的元素，必须是明确的.(2)互异性:一个给定集合的元素之间必须是互异的，即一个集合中的任意两个元素(对象)应该是不同的，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中.无序性:集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关.3 .元素与集合的关系(1)如果a是集合力的元素，就说“属于集合Z ,记作a e/

2、.如 果a不是集合4的元素，就 说/不属于集合力，记作a e Z.4 .集合的表示(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般形式是其中x是集合中元素的代表形式，/是 元 素 的 取 值(或 变 化)范 围，p(x)是这个集合中元素所具有的共同特征.(3)图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.5 .常用数集及其记法常用数集一览表掌握打J常用数集简称记法全体非负整数组成的集合非负整数集(或自然数集)N所有正整数组成的集合正整数集M/N+全体整数组成的集合整数集Z全体有理数组成的集合有理数集Q全体实数组成的集合实数集R1二、集合间

3、的基本关系1.子集、真子集、集合相等补充说明：若 集 合/有 个 元 素，则:(1)4有2个子集/有2-1个真子集/有2-1个非空子集(4)Z有2 -2非空真子集2三、集合的基本运算L交集、并集、补集名称交集并集补集记号ABZU8C 意义xxe A,且X G B、XXE A,或X 曷x I X G t7,且 X e 4示意图(33o32.分式不等式不等式解集/(X)一0g(x)/(x)-g(x)0ZW0/(x g(x)N O 且 g(x)w O44 og(x)/(x)-g(x)0ZH g(x)4 0且g(x)#O3.含单绝对值的不等式的解法不等式解集x 0)x-a x 0)xx a|a x+b

4、|0)把a x+b看成一个整体，化成区0)型求解|(7 X +/)|c(c 0)把a x+b看成一个整体，化成国“a0)型求解4函数的概念和性质一、函数及其表示1 .函数的概念给定两个非空的数集48,如果按照某个确定的对应关系了,使对于集合4中的任意一个数X,在集合5中都有唯一确定的数/(X)和它对应，那么就称对应/:力-8为从集合Z到集合8的一个函数，记作y =/(x),xG/.其中x叫做直变量:与X的值相对应的 值叫做函数值.2 .函数的三要素(1)定义域:自变量x的取值范围4,叫做函数的定义域.(2)值 域:函数值的集合卜=/(x),xe/叫做值域.(3)对应法则:从Z到8的对应关系叫做

5、对应法则.3 .同一函数定义域相同、值域相同、对应法则也相同的函数是同一函数.4 .区间的概念设a,b是两个实数,且a x b我们规定：(1)满足不等式a W x W b的实数x的集合叫做闭区间,表示为 a,6 .(2)满足不等式a x b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a力).(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 a,6),(a,句.实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“8”读 作“无穷大”，“-8”读作“负无穷大”，“+8”读 作“正无穷大”.55 .函数定义域的求法(1)若/(x)为分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.(2)若/(x)是偶次根式，则

6、其定义域是使根号内的式子大于或等于。的实数的集合./(X)=x 的定义域是 x 7?|X H 0 .(4)若/(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各个部分都有意义的实数的集合的交集.6 .函数解析式的求法(1)待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程(组)，求出参数确定函数解析式.换元法：已知/(g(x)的解析式，要求“X)的解析式时，可令/=g(x),再求出/的解析式，再将，用X 代替即可.配凑法：已知/(g(x)的解析式，要求/(X)的解析式时，从/(g(x)的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示，再将g(x)用X 代替即可.6二、函数的基

7、本性质1 .单调性的定义一般地，设函数/(X)的定义域为/:(1)增函数:如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值玉当为时，都有/(王)/(/)，那么就说函数/(X)在区间。上是增函数，区间。称为“X)的单调递增区间;(2)减函数:如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值%,马，当X,/()，那么就说函数“X)在区间。上是减函数，区间。称为.“X)的单调递减区间.(3)复合函数的单调性如果函数歹=瓦)的定义域为从 函数=g(x)的定义域为。，值域为C,且时，称函数/(g(x)为了与g在。上的复合函数，其中M叫中间变量，“=g(x)叫做内层函数，y =/()叫做外层函数。若内

8、外层函数同为增函数或者减函数，则/(g(x)单调递增；若这两个函数一增一减，则/(g(x)为减函数，简称为“同增异减”.2 .奇偶性的定义 偶函数:一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X ,都有/(-x)=/(x)成立，那么函数就叫做偶函数.(2)奇函数:一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x ,都有/(x)=/(x)成立，那么函数就叫做奇函数.(3)判断函数的奇偶性几个常用结论设/(x),g(x)的定义域分别是，D2,在他们的公共区域上，有下列结论：7函数奇偶性的运算性质 x)偶函数偶函数奇函数奇函数g(x)偶函数奇函数偶函数奇函数/(x)土g(x)偶函数非奇非偶非奇非偶

9、奇函数/(x)g(x)偶函数奇函数奇函数偶函数8基本初等函数一、指数与指数嘉的运算1.整数指数得 个(1)正整数指数嘉定义：a=a-a-a(ae7V*).正整数指数号的运算法则：储 =屋 +()=a a+a=a(加 ,a K 0)(ab)n=anbn?b 乎 0)规 定/=l(a w 0),=5(aH 0,eN*).2.根式(1)根式的概念根式概念一览表掌握打，根式符号表示备注一般地，如 果/=a,那么x叫做4的“次方根，其中H 1,且“e N*.无无当为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时，正数的次方根是有两个，它们互为相反数Va(a0)负数没有偶

10、次方根9(2)根式的性质 脸 y=。(当后有意义时)当是奇数时，4a=a；当是偶数时，4a=|。|=-a,a 0,m,G N*且 1).正数的负分数指数嘉的意义与负整数指数嘉的意义相仿，m 1规定 Q =7V*,且 0 的正分数指数嘉等于0,0 的负分数指数嘉没有意义.(2)有理数指数嘉的运算性质整数指数得的运算性质对于有理数指数霖也同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下列运算性质：/-as=aK(a 0,r,s 0)(/)=a,s(a 0,r,s G Q)=a br(a 0,b 0,r G Q)上述有理数指数嘉的运算性质可推广到无理数指数累的情况.10二、指数函数及其性质1.指数函数的概念

11、一般地，函数夕=a*(a0且awl,xe7?)叫做指数函数.三、对数与对数运算1.对数的概念与基本性质(1)对数的概念对数：一般地，如果优=N(a 0且。=1),那么数x 叫做以。为底N 的对数，记作x=log“N,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，log1N简记为IgN.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，为了简便，bgN 简记为InN.(2)对数的基本性质对数log“N(a 0,且a H 1)有如下性质：11负数和零没有对数，即N 0.1的对数是0,即k)g“l=0.底数的对数是1

12、,即lo g/=L对数恒等式：由a=N 可得b=log“N,将/=N 中的b 写成k)g“N,那么i=N.2.对数的运算性质如果a 0,且a 工 0,N 0,那么：(1)log(W)=logflA/+log?V,即积的对数等于对数的和.(2)log”=log M log“N,即商的对数等于对数的差.N log“Mn=log“M(n 6 R),即指数幕的对数等于底数的对数的指数倍.3.换底公式及其变形公式对数换底公式为：log“N=”d(a 力均大于0且不等于l,N 0),它的推论有:log,a lo g#lo g/=1n(2)log,b=logfl/tn*=6。&-12四、对数函数及其性质1.

13、对数函数的概念一般地，函数歹=lo gx（a 0,且。彳1）叫做对数函数，其中x是自变量，对数函数y =lo g。x的定义域是（0,+o o）.特别地，以1 0为底的对数函数y =lgx叫做常用对数函数，以e为底的对数函数歹=ln x叫做自然对数函数.2.对数函数的图象与性质定义y=lo ga x（a 0,且 a 丰 1）定义域（0,+8）值域为R性质当x l时，歹 0；当 0 x l时，歹 0；当 0 x 0是（0,+8）上的减函数1 3三角函数一、任意角和弧度制 正角一逆时针旋转而成的角L任 意 角 负 角 一 顺 时 针 旋 转 而 成 的 角零角一射线没旋转而成的角2.角a的 始 边

14、与x轴 的 非 负 半 轴 重 合，终 边 落 在 第 几 象 限，a就叫做第几象限角,终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 不 是 象 限 角，称 之 坐 标 角（或 象 限 界 角、轴 线 角 等）.3.弧 度 制：半 径 为r的 圆 心 角a所 对 弧 长 为/,则a=（弧 度 或 厂血）.r4.与 角a（弧 度）终 边 相 同 的 角 的 集 合 为 四夕=a+2hr,AeZ,其 意 义 在 于a的终 边 逆 时 针 旋 转 整 数 圈，终边位置不变.注：弧 度 或厂就可省略5.两 制 互 化：周角=360=至=2（弧 度），即=180.r1 （弧 度）=f 1 57,30=5718,故

15、 在 进 行 两 制 互 化 时，只 需 记 忆 =180,1。=二 两 个 换 算 单 位 即 可.1806.弧 长 公 式：l=a r（a （0,2句）扇 形 面 积 公 式：S=ar22 2注：关 于 扇 形 面 积 公 式 的 记 忆，可 以 采 用 类 似 三 角 形 面 积 公 式 的 方 法，把扇形的弧 长 类 比 成 三 角 形 的 底，半 径 类 比 成 三 角 形 的 高，则 有s=1底高=12 2如 图 所 示：/一-、14二、任意角的三角函数1.定义已 知 角a终 边 上 的 任 一 点 尸（x j）（非 原 点O）,则 尸 到 原 点O的距离r-0P-x2+y2 0.

16、sin a=2,cosa=-,tan =.r r x此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对-y,邻n x,斜n，如下图所示.三、同角三角函数的基本关系、诱导公式1.同角三角函数的基本关系平方关系：sin2 6 Z +cos2 a=1 商数关系：tan a=Sn acos a2.诱导公式小./xsina（为偶数）cos a（几为偶数）sm（o+馆）=1.%左，cos（a+府）=I 乂上-sm a（为奇数）7 一 cosa（为奇数）tan（a+）=tan a（为整数）(2)奇偶性：sin(-a)=-sin a,cos(-a)=cos a,tan(-a)=-tana（3）sin a=cos

17、o,cos a=sina,tan a=-2）U ）U ）tana奇变偶不变，符号看象限先将诱导三角函数式中的角统一写作 工。2无论有多大，一律视为锐角，判断工 a所处的象限，并判断题设三角函数2在该象限的正负当为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.15四、三角函数的图象与性质y=sinxy=cosx在 0,2 7 上的图象110-1V1、寸,7T定义域(-0 0,4-0 0)-0 0,4-0 0)值域（有界性）f l T,l 最小正周期（周期性）2 7 1奇偶性（对称性）奇函数偶函数单调增区间_.7t _.712ATT ,2ATT+(左 eZ)2攵乃一，

18、2左 （ke Z）单调减区间2 A r+,2 A r+_ 2 2 _(keZ)2左 乃，2左 乃+（左 Z）对称轴方程x=左;r+(攵 EZ)x=k;rk e Z)对称中心坐标（左肛0）（左G Z）左左+条0）（左wZ）最大值及对应自变量值x=2k 兀+工时 si n x =12 L J maxx=2k7r 时 c o sx=1Jmax最小值及对应自变量值X s2 3冗、2k兀H-时2i n xl .=-1JminX=2k冗+4时c o sL=T1 6函数正切函数歹=tanx，vA,X W KTC 4 J图象人0 x1 _2定义域2 J值域(-0 0,+oo)周期性T =7T奇偶性奇函数，图象

19、关于原点对称单调性,冗 1 汽 0在+生T,一+左万1 2 2 J仕eZ）上是单调增函数对称轴无对称中心心。(E17三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦公式cos(cr _ 0)=cos cos 夕 +sinasin 0cos(a+/?)=cos a cos/?-sin sin 02.两角和与差的正弦公式sin(a 一 力)=sin a cos/?-cos a sin 0siinn(a+夕)=sin a cos 0+cos a sin 3.两角和与差的正切公式tan(a-)=。-尸=tan a-tan B=tan(a-)(1+tana tan/?)l 尸)l+t

20、anatan v 八/tan a+tan 6tan(a+尸)=-=1 -tan a tan tana+tan 0=tan(a+/?)(l-tana tan 伙二、二倍角的正弦、余弦和正切公式1.二倍角的正弦公式sin 2a=2 sin a cos a2.二倍角的余弦公式cos la -cos2 a-sin2 a-2 cos2 a-1-1-2 sin2 a3.二倍角的正切公式3 2 tan atan 2a=-1-tan a三、降嘉公式.1 .c.2 1 -cos2a 2 1 +cos 2asin a cos a=sin 2a；sin a-；cos a-2 2 2四、辅助角公式a sin x+力 cos x=yja2+b2 sin(x+9),其中sing=/b,cose二ay/a2+b218