高中数学必修一--集合的基本运算（精讲）.pdf

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1、思维导图并集1.3集合的基本运算（精讲）所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,定 义 称集合A和集合B的并集-O-4 U 6=M*w 4 w s集合的基本运算交集全集Venn 图-O所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,定义 一 称为集合A与B的交集-记作 4 n 6 =A fixe 6Venn 图-如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,定 义 _ 那就成这个集合为全集-记 作 一 U补集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组定 义 成的集合称为集合A相对全集U的补集-记作 QZ=x|xeU,_&xCN-O -Venn 图-集集本算数点基运(1)有限集：定义法求解

2、，注意集合中元素的互异性.(2)无限集：数形结合法，借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点是否取等_(3)点集的交集即为两个集合中函数的交点，联立方程求交点AUB=AUBUAO B 是A 的子集交小并大AAB=ACACBO A 是B 的子集若Bq A 0 8是人的子集0 8=0和8彳0等式无意义o分母为0,开偶次方根根式0B=0不等式的左边(或N)右边(原式有等号空集无等号，反之)不等式左边(或4)右边B 0-比较端点的大小，注意是否取“=”子集端点取等问题：里实外空不取等号，其余皆取等号真子集求出，先按子集求解，再验证等号问题常见考法考点一数集间的基本运算集合间的关系考点五实际生活中集合

3、的基本运算考点一数集之间的基本运算【例 1 1(1)(2 0 2 1 辽宁高三其他模拟)已知集合4 =幻4 3,%,3 =-1,0,1,2,3 ,则 4口8=()A.0,1,2,3 B.1,2,3 C.2,3 D.0,1,3(2)(2 0 2 1 北京高考真题)已知集合 4 =x 1 X 1 ,8 =x 0 W x 2 ,则 A U 8=()A.(-1,2)B.(-1,2 C.r o,i)D.0,1(3)(2 0 2 1 浙江宁波市)设全集U=R,集合A =x|xN-l ,B =x|-2 x 3 ,则集合是()A.x|-2 x -1 B.x|-2x-1 C.x|-2x 1 D.目-1【答案】A

4、 B B【解析】(1)由题得A=X|XW 3,XWN =0,1,2,3 ,3 =-1,0,1,2,3 ,所以4 0 3=0,1,2,3 故选：A由题意可得：AUB=x|-l x 2 ,即 AUB=(-1,2 .故选：B.由 A =x|xN l ,则=又5 =x|-2 x 3 ,所以A)c3=x|-2 x -l 故选：B【一隅三反】1 .(2 0 2 1 黑龙江哈尔滨市)已知集合=-1,0,1,2),8=x 0 x V 3 ,则/D 8=()A.-1,0,1 B.0,1 C.-1,1,2 D.1,2【答案】D【解析】集合 4=-l，0,1,2 ,5=“0 x 3 ,则 ICQ 1,2 ,故选：D

5、2.(2 0 2 1 河南焦作市)已知集合。=1,3,5,7,9 ,A =1,5,7 ,8 =1,3 ,则 d(AU8)=()A.(3,5,7,9 B.3,5,7 C.1,9 D.9【答案】D【解析】题 意,A I J B =1,5,7 U 1,3 =1,3,5,7 ,又；。=1,3,5,7,9 ,，电(408)=9 .选：江3.(2 0 2 1 全国高考真题)设集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,6,3 =2,3,4 ,则 40(6 3)=()A.3 B.1,6 C.5,6 D.1,3【答案】B【解析】由题设可得28 =1,5,6,故Ac(a3)=l,6,故选：B.4.(2 0 2

6、1 全国)已知全集。=%0 8 ,Ac。沏)=1,2 ,t/(A u J S)=5,6,f i n(A)=4,7 ,则/集合为()A.1,2,4 B.1,2,7 C.1,2,3 D.1,2,4,7)【答案】C【解析】由题意U=1,2,3,4,5,6,7 ,用 V e n n 图表示集合A 8,依次填写4 0(8)，(AU B),B cQ,A),最后剩下的数字3只有填写在4nB 中，所以 A =1,2,3 .故选：C.5.(2021 辽宁)若集合4 =*|y =/T ,B=x|x 2,则 4 0 6=()A.x l x 2 B.x|x N l C.x|x 2 D.x|l x 2【答案】D【解析】

7、由题意，得 4 =刀|%2 1 ,所以A c3=x|l x 2.故选：Dx 26.(2021 四川自贡市)设集合=x|l Wx W3 ,B=x-0 ,则 C 8=()x-4A.x|2后 3 B.x|2W后 3 C.x|l Wx 4 D.*|l x 4【答案】A【解析】；/f=x|l Wx W3 ,8=x|2V x 4 ,.C 6=x|2V x W3 .故选：A.考点二点集之间的基本运算【例 2】(2021 河北高三其他模拟)已知集合M=k乂 y)|X-y =0,N=(x,y)|y =丁,则M cN 中元素的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】因为集 合 =（乂丁）以一丫=0,=

8、（羽丁）“二 月，所以 VcN=J（x,y），3=（0,0）,（1,1）,（-1,-1）,所以 A QB 中元素的个数为 3,故选：D【一隅三反】1.（2021 山东济南市）已知集合,1/=（八 y）|y=2x-l,x j WO，-（x，y）y x-4 ,则 McN 中的元素个数为（）A.0 B.1 C.2 D.1 或 2【答案】A【解析】；集合材=（x，y）|y=2x-1,x y WO，”=（*，y）-4,y=2x-l,xy 0.J C V=（x,y）|r 2,=0.川中的元素个数为 0.故选：A.y=xz-42.（2021 全国高三其他模拟）已知集合M=（x,y）x+y l,X G Z,y

9、 e Z ,N=（x,y）|2 ,则集合M c N 中元素的个数是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】由丁+丁 42 可得，V 2,丁 4 2 ,即国 后,仅 归 及，A 中的满足x w Z,的整点有：(0,0),(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1).共 9 个点，其中只有(1,1)这一个点不满足x+yl,故M c N 中的元素个数为8 个，故选：C.3.(2021 江苏南通市)若集合M=(x,y)|3 x-y =0,=(x,y)|x2+/=0 ,则()A.M c N =M B.M u N =M C.M 2

10、N =N D.M c N =0【答案】B【解析】集合M=(x,y)|3 x-y =0,2V =(x,y)|x2+y2=0 =(0,0),3 x y =0 f x =O(,因为 2:八八.McN=(O,O)=N，所以MuN=M，故选：B.xz+y=0 y =0 1 考点三韦恩图求交并补【例 3】（2021 北 京 101中学高三其他模拟）已知集合A =0,1,集合8 =-1,0,1,2,3 ,则图中阴影部分表示的集合是（）A.1,3 C.-1,2,3 B.(1,3 D.-1,0,2,3)（2）（2021 山东烟台市）已知集合M,N都是A 的子集，且=则“nN=（）A.M B.N C.0 D.R（

11、3）（2021 珠海市）下图中矩形表示集合4 A,6 是的两个子集，则不能表示阴影部分的是（）A.C.酒（A c（）【答案】（1）C（2）A（3）CB.5(A A B)D.8 A【解析】（1）依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是金人，因集合A=0,l ,集合3=-1,0,1,2,3 ,则有备A =T,2,3 ,所以图中阴影部分表示的集合是-1,2,3 .故选：C 由题知：M MN=0 ,所以即McN=M.故选：A（3）由图知：当为全集时，阴影部分表示集合/的补集与集合3的交集，当方为全集时，阴影部分表示A C8 的补集，当A I J B 为全集时，阴影部分表示力的补集，故选：

12、C.【一隅三反】1.（2021 浙江温州市）设全集为实数集亿集合4 =/?卜g ,集合8 =0,1,2,3 ,则图中阴影部分表示的集合为（）A.0 B.0,1【答案】BC.3,4 D.1,2,3,4)【解析】图中的阴影部分表示集合6 中不满足集合4 的元素，所以阴影部分所表示的集合为04.故 选:B.2.（2021 沈 阳市）已知非空集合A、B、C 满足：A D B q C,A n C c f i.则（）.A.B=C B.A o（B u C）C.（B c C）=A D.A c B =A c C【答案】C【解析】因为非空集合A、B、C 满足：A p B C,A c C=8,作出符合题意的三个集合

13、之间关系的venn图，如图所示，所以A c 3=A c C.故选：D.3.（2021 江苏苏州市）已知U 为全集，非空集合A、B 满足A n（Q/）=0,则（）A.A cBB.B A C.(楸)c(3)=0 D.(树)D(“5)=U【答案】A【解析】如下图所示:：A n（a，B）=0，由图可知，A cB,（楙）C（u B）=%3,故选：A.4.（2021 全国高三专题练习（文）若集合A,B,U满足：A 茴3 U,则。=（）A.B.B UaA C.D.【答案】B【解析】由集合A，B,U满足：A 荷8 U,.稠 U A,如图所示：A UA =t/,B V A U ,B U Q,B =U 故选：B考

14、点四利用集合运算求参数【例 4】（1）（2021 山东泰安市）集合4 =0,-1,/,8=_ 2,/.若 4 8 =2,1,0,4,16,贝心=（）A.1 B.2 C.3 D.4（2）（20 21 嚏国高三专题练习）设集合A =5,，a，B =抄,。+一 1 ,若 4 03 =2,1 ,则。=b=_.（3）（20 21 重庆八中）已知集合4 =目1%/w ,若 An（、B）=0,则阳的取值范围为（）A.(-o o,l B.(-0 0,2 C.l,+o o)D.2,+o o)(4)(20 21 河南安阳市)已知集合 A =x e N*k 2-2 x-3 0 ,B =xax+2=6,若 4 08

15、=8,则实数。的取值集合为()A.1,2 B.-1,0 C.-2,0,1 D.2,1,0(5)(20 21 全国高三月考(理)设集合 A =x|/+以 一2。,B =x -i x 3,且AUB=x|-2 x 3,则 A p|8=()A.x|-l x l B.x|-2 x l C.x|-2 x -l D.x|1 x 3【答案】(1)B(2)1 2(3)A(4)D(5)AQ 2=4【解析】(1)由4 3 =-2,1,0,4,1 6 知，4,解得a =1 2 故选：Ba=1 6(2)b b_ 2._1由 4。5 =2,1 ,得,Q 或v a-b =-a-b=2b(当 a 时，解得c，此时A=5,2,

16、1 ,B =2,3,-1),符合题意；a b=-l 也=2=-1 f a =1 ,)当 a 时，解得,此时A=5,2,-1 ,集合8 中的元素不满足互异性，不符合题意.,C 0 =-1a b-2 i综上所述，a =l,8=2.故答案为：1；2.(3)由题知A n(4 B)=0,得 Aq 8,则加1,故选：A.(4)A =x e N*k 2 _ 2 x _ 3 0 =l,2,因为4 08 =3,所以BqA,当a =0时，集合8 =x|a r+2=0 =,满足BgA；当awO 时，集合5 =H a r+2 =0 =x =卜2?由 6 =A =1,2 得 一一=1 或 一一=2,解得。=一2 或。=

17、一1，a a综上，实数。的取值集合为-2,1,0 .故选：D.由题意，集合6 =x|-l K x 3 ,且AUB=X|-2XW3,可得一 2 是方程/+3 一2=0的根，即（2）2+m x（2）2=0,解得m =l,所以 A =x|X2+x-2 0 =x|-2 x 1 ,则 Ac B=x|-l W x l .故选：A.【一隅三反】1.（20 21 全国高三）已知集合4 =0,1,3=1,0,2。+3 ,若=则实数 a 等于（）A.一 1 或 3 B.0 或-1 C.3 D.-1【答案】C【解析】由AnB=A l j B 可知A =B，故=2。+3,解得。=一1 或。=3.当。=一1 时，。2=

18、i，与集合元素互异性矛盾，故 =一1 不正确.经检验可知a =3 符合题意.故选：C.2.（20 21 辽宁沈阳市）已知集合4 =-1,（）,1 ,3=门 2 ,若 4 08 =8,则实数x=（）A.-1 B.1 C.1 D.0 或 1【答案】A【解析】由4 口6 =3 得 BqA,x =0时，/=0=不合题意，x =l 时，无 2=1 =也不合题意，%=一 1 时，/=,满足题意.故选：A.3.（20 21 安徽宣城市）A =x-3x6,B=xa-l x 6 ，解得3 Wa4,即a的取值范围为 3,4）；(2)可得。/4=%|X-3或I 2 6,.A)?3?,若5=0,则。7 2 2。，解得

19、。7,满足题意；a-1 2a若B H 0,则 7N 3,不等式无解，综上，。的取值范围为2a 64.(2021 浙江高一期末)在“A n 8 =0,AC8H0”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中,求解下列问题：已知集合A=x|2a-3 x a +l,B=x|O x l.(I)若a=0,求A IJB；(II)若 一 (在，这两个条件中任选一个)，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.【答案】(1)X|-3X 1 ；(2)若选，(一8,lU2,+8)；若选，(-1,2)【解析】(1)当 a=O 时，A=x 3 x l,8=xO xl；所以 AUB=x 3xl(2)

20、若选，4 n 8=0,当A=0时，2a-3 2。+1,解得a 2 4.当A w 0时,a1a 4或a+l 0，解得:2 W a4或a W-l,综上：实数。的取值范围(H O,T U 2,+8).若选，A c 3 r 0,2a-3 a+1 a 4则2a 31,即a2,解得：，a 0 a -l考 点 五 实际生活中集合间的运算【例5】(2021 山东高三专题练 习)西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过 西游记或 三国演义的学生共有80位，阅读过 西游记的学生共有60位，阅读过

21、 西游记且阅读过 三国演义的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过 三国演义的学生人数为()A.60B.50C.40D.20【答案】A【解析】因为阅读过 西游记或 三国演义的学生共有80位，阅 读 过 西游记的学生共有60位，所以只阅读了 三国演义的学生有8（）6（）=20位，乂因为阅读过 西游记且阅读过 三国演义的学生共有40位，所以只阅读过 三国演义的学生共有20+40=60位，故选：A.【一隅三反】1.（2021 云南省云天化中学高一期末）西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了

22、100位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90位，阅 读 过 红楼梦的学生共有80位，阅 读 过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过 西游记的学生人数为（）A.80 B.70 C.60 D.50【答案】B【解析】因为阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90位，阅 读 过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有60位，所 以 西游记与 红楼梦两本书中只阅读了一本的学生共有90 60=3（）位，因为阅读过 红楼梦的学生共有80位，所以只阅读过 红楼梦的学生共有80-60=20位，所以只阅读过 西游记的学生共有30-20=10位，故阅读过 西游记的学生人数为10

23、+60=70位，故选：B.2.（2021 全国高三专题练习）西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90位，阅读过 红楼梦的学生共有80位，阅读过 西游记且阅读 过 红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过 西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过 西游记 的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70 100=0.7.故选 C.3.（2021 吴县中学高

24、一月考）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（）A.63%B.47%C.55%D.42%【答案】B【解析】设只喜欢篮球的百分比为工，只喜欢羽毛球的百分比为丁，两个项目都喜欢的百分比为z,由题意，可得x+z=60,x+y+z=95,y+z S2,解得 z=47.，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是47%.故 选:B.4.（2021 广东清远市 高一期末）某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有 16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有 8 位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为（）A.19 B.20 C.21 D.37【答案】C【解析】由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为13+16-8=21.故选：C