高二（上）数学知识点总结——空间向量和立体几何.pdf

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1、昌 知 识 清 单：空间向量和立体几何一、空间向量及其运算：1.空间向量概念：(1)定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的氏度或模。空间向量用字母,b,c.表示。有向线段：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模。(3)零向量：我们规定，长度为0 的向量叫做霎向量，记为0。当有向线段的起点/与终点3重合时，A 8 =O 单位向量：模 1 为的向量叫做单位向量。(5)相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量,记 为 工。(6)共线向量，如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

2、那么这些向量叫做共线向量或平行向量。我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量4,都有0|ao(7)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量。因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。2.空间向量的加减法以及数乘运算：(1)任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算。(3)a+S =0 4 +A 8 =O 8 ；a-b =O A+O C C A.(4)当 4 0 时，Aa=A O A =P Q;当 0 时，Aa=A O 4 =M N ；当 zl0 时，Aa=0 Q(5)交换律：a+b=b+a；结合

3、律：a+(B+c)=(a+1)+c,=；分配律：(X +)“=X a+a,a+b=,a+A,bc共线的充要条件：对任意两个空间向量,S(6),ZII5 的充要条件是存在实数/I,使 a=。方向向量：在直线/上取非零向量2,我们把与向量平行的非零向量称为直线/的五向向量。这样，直线/上任意一点都可以由直线/上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。(8)共面向量：如果直线/平行于平面a 或在平面a 内，那么称直线/的方向向量平行于平面。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。共面的充要条件：如果两个向量,坂不共线，那 么 向 量 力 与 向 量 B 共面的充要条件

4、是荏在唯二的有序实数对(x,y),p=xa+y bQ3.空间向量的数量积运算：(1)由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因为，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。(2)夹角：已知两个非零向量3,b,在空间任取一点。，作 方=2,O B =b,则 4 0 8叫做向量a,b的夹角，记作卜，万)。如果(a,=，那么向量a,b互相垂直，记作a 1 b.数量积:已知两个非零向量Z,b,则丽cos(词 叫 做,B 的数量积，记作7 3,即 7 5=同耳以*弓。特别地，零向量与任意向量的数量积为0。(4)ffi：a A.b a-b=0；a-a=|a|a|cosa,a=

5、|a|；(/la)坂=%),Z e T?;交换律：a-b-b-a；分配律：a(b+c=a-b+a-cc投影向量：在空间，向量向向量5 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面a 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量B 共线的向量2 ,c M c o s(a,b),向量2 称为向量在向量B 上的投影向量。类似地，可以将向量向1 1 布直线/投影。二、空间向量基本定理:I.定理：如果三个向量Z,b,不共面，那么对任意一个空间向量方，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得夕=xa+y5+zc。2.如果三个向量Z,b,不共面，则所有空间向量组成的集合是p =xa+yb+zc,x

6、,y,z&这个集合可看作是由向量“，b,。生成的，我们把1 叫做空间的一个基底，a,b,工称为基向量。空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。3.特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常 用,可表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可分解为三个向量/，yj,z l,使3=后+力+z K像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交会解。三.空间向量及其运算的坐标表示：1.空间直角坐标系：定 义：在空间选定一点5 口一个单位正交基底$1,耳，以点。为原点，分别以7,j,i的方向为正方向，以它们

7、的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系小，。叫做原点，7,兄都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙 平 面，C”平面，Q r平面，它们把空间分成八个部分。画空间直角坐标系0 M时，一般使N xO y=135(或45。)，yZyOz=9 0(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向V轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。(3)点的坐标表示：在空间直角坐标系中Q#中，7,j,E 为坐标向量，4 对空间任意一点，对 应 一 个 向 量 耐，且点4

8、的位置由向量力唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯二的有序实数组(x,y,z),使。4=x，+y/+z K在单位正交基底 7J,耳下与向量为对应的有序实数组(xj,z),叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作Z(x j,z),其中x 叫做点N的横坐标，丁叫做点力的纵坐标，z 叫做点4 的竖坐标。(4)向量的坐标表示：在空间直角坐标系中Q y z 中，给定向量，作 方=,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,使(x),z),a=x i+y j+z kc有序实数组(x,y,z)叫做工在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=(x,乂 z)。2 .空间向量运算的坐标表示：设 a=(卬,电，

9、%)，务=电也,瓦)(1)4+B=(4+可,%+优,%+4 )；(2)a-B =(%-4-4 吗 一4)；(3)Aa=e R；(4)a-b=+a2b2+a3b3;(5)|a|=也;+生 2+%2 ；(6)C O S(词=%=她+地+岫、/卜帆 Jq,+七2 +婷 Qb：+b +b；3.空间两点间的距离公式：片(x Q i,zj,P2(x2,y2,z2)两点间的距离：山舄|=|而|=J(82 -须)+(了 2 -必)+”2-2 2).四、空间向量的应用：1.用空间向量研究直线、平面的位置关系：(1)空间中点的向量表示：在空间中，我们取一定点a 乍为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 而 来

10、表示。我们把向量 而 称 为点尸的位置向量。空间中直线的向量表示：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。(3)空间中平面的向量表示：空间任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。对于平面 a,直线a,取直线/的方向向量,我们称向量为平面。的随 量。给定一个点/和一个 向 量 那 么过点4且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 尸(4)空间中直线、平面的平行：直线平行：设 互，区分别是直线七4 的方向向量，有/J Ko I l l E o m Xe H,使得 ux-AU2 O直线与平面平行：设 是直线/的方向向量，5 是平面a 的法向量，/2 a,有平面平行：设 勺，%分别

11、是平面a,尸的法向量，a|尸o|%。三几e R,使得%=2M2 O(5)空间中直线、平面的垂直：直线垂直：设 小,“2 分别是直线4,4 的方向向量，有 4 J-4 o/J-M2 O/%=0。直线与平面垂直：设 是直线/的方向向量，7 是平面a 的法向量，有/=e R,使彳导=An,平面垂直：设 勺，%分别是平面，尸的法向量，有 a J 2 ，2 =。使得1 彳 2 2.用空间向量研究距离、夹角问题:点 生|直线/的距离：设直线的单位方向向量为建 取直线上定点4设 万=,贝晌量 亦 在 直 线/上的 投 影 向 量 而=,)5。在火/Z UP。中，由勾股定理，得公P0=,研一园2=#_ 0不

12、点 建 坪 面 a 的距离：设平面a 的法向量为K 取平面。内定点4过点夕作平面a 的垂线/,交平面a 于点。，则 是直线/的方向向量，且 点 生!1 平面。的距离就是A P在直线/上的投影向量Q P的长度。因此d=P Q =(3)异面直线所成角：一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得。也就是说，若异面直线4,4 所成的角为氏其方向向量分别是1v,则 cos。U VU-V(4)直线与平面所成角：直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角。设 直 线 池 与 平 面 a 所成的角为6,直线法的方向向量为i，平面a 的法向量为(5)平面与平

13、面的夹角：平面a 与平面/相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面a 与平面尸的夹角。若平面夕，的法向量分别是加和点，则平面。与平面的夹角即为 和2 的夹角或其补角。设平面份 专 属 练 习：1.已知非零向量q,e2不共线，如果43 =q+02，A C =2e1+8e,A D =3e-e2,则四点4 B,C,D ()A.一定共圆 B.恰是空间四边形的四个顶点C.一定共面 D.肯定不共面2 .已知4(-4,2,3)关于x O z平面的对称点为4 ,/关于轴的对称点为4,则|44|等于()A.8 B.12 C.16 D.19A T 13.已知4(4,1,3),8(2,-5,

14、1),C为线段4 B上一点，且 为=：,则。点的坐标为()4.已知，=(1,0,2)是直线/的一个方向向量，是平面a的一 去 向 量，且/1|tz,则不可 能 是()A.(0,1,0)B.(2,1,-1)C.(-2,1,1)D.5.已知三棱锥O-4 5 C,点M,N分别为Z B,Q C的中点，且 厉=,OB=b,A./仅+1 Z)B.；伍+3田 C.l(a-6+c)D.l(c-a-6)6.已知直线/|的方向向量3=(2,4,x),直线4的 方 向 向 量(2),2),若口=6,且4 1/2,则 x+y()A.一3或 1 B.3 或一 1 C.-3 D.17.已知力(1,1,0),80,0,1)

15、,C(0,1,1),则平面Z3 C的一个法向量的单位向量是()A.(1,1,1)1 1 13 3 3也V3 近8.已知平面a 内有一点（1,T,2）,平面a 的 一 N去向量”=（2,-1,2）,则下列点P 在平面a 内 的 是（）A.（-4,4,0）B.（2,0,1）C.（2,3,3）D.（3,-3,4）9.若)=(0,1),6=(1,1,0),且R+)_L,则实数2的 值 是()A.-1 B.0 C.1 D.-210.正方体/8 CO-4 4 G R,棱长为4,点 a 到截面Z8 Q 的 距 离 为()16 4百 3 rA.B.C.-D./33 3 4O11.若)=(1,/1,2),5=(2,-1,2),且 与 B 的夹角余弦为9则 X等 于()A.-2 或2 B.-2 c.2 D.2或-12 .如图所示，在棱长为2的正方体Z8 CO-4 与G R 中，。是底面4 B CD 的中心，E,方分别是CG，犯 的 中 点，那么异面直线OE 和尸R所成角的余弦值等于（）C.V105B-123V15D.5