因式分解的常用方法.pdf

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1、(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)因式分解的常用方法因式分解的常用方法第一部分：方法介绍第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中所必需的，而且对于培养学生的

2、解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法。二、运用公式法。在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：现将其

3、反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：2 22 22 22 2（1)1)（a+b)(aa+b)(ab)=ab)=a b b -a-a-b-b=(a+b)=(a+b)（a-ba-b）;2 22 22 22 22 22 2（2 2）（a ab)b)=a=a 2ab+b2ab+b a a 2ab+b2ab+b=（a ab b）；2 22 23 33 33 33 32 22 2(3(3）(a+b)(a(a+b)(a-ab+b-ab+b）=a=a+b+b-a a+b+b=（a+b)a+b)（a a-ab+b-ab+b)；2 22 23 33 33 33 32 22 2(4)(a(4)(ab b）(a

4、(a+ab+b+ab+b)=a)=a b b-a-a b b=（a-b)(aa-b)(a+ab+b+ab+b）下面再补充两个常用的公式下面再补充两个常用的公式:2 22 22 22 2（5 5）a a+b+b+c+c+2ab+2bc+2ca=+2ab+2bc+2ca=（a+b+ca+b+c）；3 33 33 32 22 22 2(6)a(6)a+b+b+c+c 3abc=3abc=（a+b+c)(aa+b+c)(a+b+b+c+c-ab-bc-ab-bccaca）；）；例。已知例。已知a，b，c是是ABC的三边的三边,且且a2b2c2abbcca,则则ABC的形状是（的形状是（）A A。直角三

5、角形。直角三角形 B B 等腰三角形等腰三角形 C C 等边三角形等边三角形 D D 等腰直角三角形等腰直角三角形解：解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20abc三、分组分解法。三、分组分解法。（一）分组后能直接提公因式（一）分组后能直接提公因式例例 1 1、分解因式：、分解因式：amanbmbn分析：从“整体分析：从“整体 看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解,但从“局部但从“局部 看看,这个多项这个多项式前两项都含有式前两项都含有a a,后两项都含有后两项都

6、含有b b，因此可以考虑将前两项分为一组，因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解，然后再考虑后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。两组之间的联系。解：原式解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！每组之间还有公因式！=(mn)(ab)例例 2 2、分解因式：、分解因式：2ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组第三、四项为一组.第二、三项为一组第二、三项为一组.解：原式解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式原式=(2axbx)(1

7、0ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)1(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)练习：分解因式练习：分解因式 1 1、a2 ab ac bc 2 2、xy x y 1（二（二)分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式例例 3 3、分解因式、分解因式:x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解但提完后就能继续分解,所以只所以只能另外分组。能另外分组。解解:原式原式=(x2 y2)

8、(ax ay)=(x y)(x y)a(x y)=(x y)(x y a)例例 4 4、分解因式：、分解因式：a2 2ab b2c2解：原式解：原式=(a2 2ab b2)c2 =(a b)2c2 =(a b c)(a b c)练习：分解因式练习：分解因式 3 3、x2 x 9y23y 4 4、x2 y2 z2 2yz综合练习综合练习:（1 1）x3 x2y xy2 y3 (2 (2）ax2bx2bx ax a b（3)3)x2 6xy 9y216a28a 1（4)4)a26ab 12b 9b2 4a（5)5)a4 2a3 a29（6)6)4a2x 4a2y b2x b2y（7 7）x2 2x

9、y xz yz y2（8 8）a2 2a b2 2b 2ab 1（9 9）y(y 2)(m 1)(m 1)（1010）(a c)(a c)b(b 2a)（1111）a2(b c)b2(a c)c2(a b)2abc(12(12）a3b3 c33abc四、十字相乘法。四、十字相乘法。（一）二次项系数为（一）二次项系数为 1 1 的二次三项式的二次三项式直接利用公式直接利用公式x2(p q)x pq (x p)(x q)进行分解。进行分解。特点：特点：（1 1）二次项系数是）二次项系数是 1 1；（2 2）常数项是两个数的乘积）常数项是两个数的乘积;(3(3）一次项系数是常数项的两因数的和。）一次

10、项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律思考：十字相乘有什么基本规律?例。已知例。已知 0 0a5 5，且，且a为整数，若为整数，若2x23xa能用十字相乘法分解因式能用十字相乘法分解因式,求符合条件的求符合条件的a。解析：凡是能十字相乘的二次三项解析：凡是能十字相乘的二次三项 式式 axax2 2+bx+c+bx+c，都要求，都要求 b24ac0 0 而且是一个完全平方而且是一个完全平方数数.于是于是 98a为完全平方数，为完全平方数，a 1例例 5 5、分解因式：、分解因式：x25x 6分析：将分析：将 6 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于分成两个数相乘，且这两个数

11、的和要等于 5.5.由于由于 6=26=23=(-23=(-2）（）（-3-3）=1=16=(-16=(-1）（）（6),6),从中可以发现只有从中可以发现只有 2 23 3 的分解适合的分解适合,即即 2+3=52+3=5。1 21 2解：解：x25x 6=x2(2 3)x 23 1 3 1 32(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)=(x 2)(x 3)1 12+12+13=53=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例例 6 6、

12、分解因式：、分解因式：x27x 6解解:原式原式=x2(1)(6)x (1)(6)1 11 1=(x 1)(x 6)1 -6 1 -6（-1)+-1)+（-6-6）=7 7练习练习 5 5、分解因式（、分解因式（1 1）x214x 24（2)2)a215a 36 (3 (3）x2 4x 5练习练习 6 6、分解因式、分解因式(1(1）x2 x 2（2 2）y2 2y 15（3)3)x210 x 24（二）二次项系数不为（二）二次项系数不为 1 1 的二次三项式的二次三项式-ax2bx c条件条件:（1 1）a a1a2a1c1（2)2)c c1c2a2c2（3 3）b a1c2 a2c1b a

13、1c2 a2c1分解结果：分解结果：ax2bx c=(a1x c1)(a2x c2)例例 7 7、分解因式：、分解因式：3x211x 10分析：分析：1 -2 1 -2 3 -5 3 -5 (6 6）+（5 5）=-11=-11解解:3x211x 10=(x 2)(3x 5)练习练习 7 7、分解因式：、分解因式：（1 1）5x2 7x 6（2)2)3x27x 2（3 3）10 x217x 3（4 4）6y211y 10（三）二次项系数为（三）二次项系数为 1 1 的齐次多项式的齐次多项式例例 8 8、分解因式：、分解因式：a28ab 128b2分析：将分析：将b看成常数，把原多项式看成关于看

14、成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 8b 1 116b16b 8b+8b+（16b)=16b)=8b8b解解:a28ab 128b2=a28b (16b)a 8b(16b)=(a 8b)(a 16b)练习练习 8 8、分解因式、分解因式(1)(1)x23xy 2y2(2)(2)m26mn 8n2（3)3)a2 ab 6b23(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)（四）二次项系数不为（四）二次项系数不为 1 1 的齐次多项式的齐次多项式例例 9 9、2x27xy6y2例例 1010、x2y23xy2 1

15、12y2y把把xy看作一个整体看作一个整体 1 11 1 2 23y3y1 1-2-2 (-3y)+(-3y)+（-4y)=-7y-4y)=-7y（1 1）+(+(2)=2)=3 3解解:原式原式=(x2y)(2x3y)解：原式解：原式=(xy 1)(xy2)练习练习 9 9、分解因式：、分解因式：(1(1）15x27xy4y2（2 2）a2x26ax8综合练习综合练习 1010、（1)1)8x67x31 (2 (2）12x211xy 15y2（3)3)(xy)23(xy)10 (4)(4)(ab)24a4b3（5 5）x2y25x2y6x2 (6 (6）m24mn4n23m6n2（7 7）x

16、24xy4y22x4y3（8 8）5(ab)223(a2b2)10(ab)2（9)9)4x24xy6x3yy210(10)(10)12(xy)211(x2y2)2(xy)2思考：分解因式：思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc五、换元法。五、换元法。例例 1313、分解因式（、分解因式（1 1）2005x2(200521)x2005（2 2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2解：解：（1 1）设）设 2005=2005=a，则原式，则原式=ax2(a21)xa =(ax1)(xa)=(2005x1)(x2005)（2 2）型如）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两

17、分组相乘。的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式原式=(x27x6)(x25x6)x2设设x25x6A,则则x27x6A2x原式原式=(A2x)Ax2=A22Axx2 =(Ax)2=(x26x6)2练习练习 1313、分解因式（、分解因式（1 1）(x2xyy2)24xy(x2y2)（2)2)(x23x2)(4x28x3)90（3)3)(a21)2(a25)24(a23)2例例 1414、分解因式（、分解因式（1 1）2x4x36x2x2观察：此多项式的特点是关于观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列的降幂排列,每一项的次数依次少每一项的次数依次少 1 1，并且系数成“轴对称”，

18、并且系数成“轴对称”。这种多项。这种多项式属于“等距离多项式”式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数,然后再用换元法。然后再用换元法。1111解解:原式原式=x2(2x2x62)=x22(x22)(x)6xxxx11设设xt，则，则x22t22xx2 t22)t 6=x22t2t 10原式原式=x2（4(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)21 =x22t 5t 2=x22x 5x 2xx2122 =xx2x 5 x 2=2x 5x 2 x 2x 1xx =(x 1)2(2x 1)(x 2)（2)2)x4 4x3 x

19、2 4x 1411 12)=x2x224x 1xxxx11设设x y，则，则x22 y2 2xx原式原式=x2(y24y 3)=x2(y 1)(y 3)11 =x2(x 1)(x 3)=x2 x 1x23x 1xx练习练习 1414、（1 1）6x4 7x336x2 7x 6（2 2）x4 2x3 x21 2(x x2)解解:原式原式=x2(x24x1六、添项、拆项、配方法。六、添项、拆项、配方法。例例 1515、分解因式（、分解因式（1)1)x33x2 4解法解法 1-1-拆项。拆项。解法解法 2 2添项。添项。原式原式=x313x23原式原式=x33x2 4x 4x 4(x 1)(x2 x

20、 1)3(x 1)(x 1)=x(x23x 4)(4x 4)=(x 1)(x2 x 13x 3)=x(x 1)(x 4)4(x 1)(x 1)(x2 4x 4)=(x 1)(x2 4x 4)=(x 1)(x 2)2 =(x 1)(x 2)2(2(2）x9 x6 x33解解:原式原式=(x91)(x61)(x31)=(x31)(x6 x31)(x31)(x31)(x31)=(x31)(x6 x31 x311)=(x 1)(x2 x 1)(x6 2x33)练习练习 1515、分解因式、分解因式（1 1）x39x 8（2 2）(x 1)4(x21)2(x 1)4(3)(3)x47x21（4 4）x4

21、 x2 2ax 1 a2（5)5)x4 y4(x y)4（6 6）2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4b4 c4七、待定系数法。七、待定系数法。例例 1616、分解因式、分解因式x2 xy 6y2 x 13y 6分析：原式的前分析：原式的前 3 3 项项x2 xy 6y2可以分为可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n)解：设解：设x2 xy 6y2 x 13y 6=(x 3y m)(x 2y n)(x 3y m)(x 2y n)=x2 xy 6y2(m n)x (3n 2m)y mn5(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛

22、最全的教案)x2 xy 6y2 x 13y 6=x2 xy 6y2(m n)x (3n 2m)y mnm n 1m 2对比左右两边相同项的系数可得对比左右两边相同项的系数可得3n 2m 13，解得，解得n 3mn 6原式原式=(x 3y 2)(x 2y 3)例例 1717、（1 1）当）当m为何值时，多项式为何值时，多项式x2 y2 mx 5y 6能分解因式能分解因式,并分解此多项式。并分解此多项式。(2(2）如果）如果x3ax2bx 8有两个因式为有两个因式为x1和和x2,求求ab的值。的值。（1)1)分析：前两项可以分解为分析：前两项可以分解为(x y)(x y)，故此多项式分解的形式必为

23、，故此多项式分解的形式必为(x y a)(x y b)解：设解：设x2 y2 mx 5y 6=(x y a)(x y b)则则x2 y2 mx 5y 6=x2 y2(a b)x (b a)y aba b ma 2a 2比较对应的系数可得：比较对应的系数可得：b a 5，解得，解得:b 3或或b 3ab 6m 1m 1当当m 1时，原多项式可以分解；时，原多项式可以分解；当当m 1时，原式时，原式=(x y 2)(x y 3)；当当m 1时，原式时，原式=(x y 2)(x y 3)（2)2)分析：分析：x3ax2bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如是一个三

24、次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc的的一次二项式。一次二项式。解：设解：设x3ax2bx 8=(x 1)(x 2)(x c)则则x3ax2bx 8=x3(3 c)x2(23c)x 2ca 3ca 7b 23c解得解得b 14，2c 8c 4ab=21练习练习 1717、（1 1）分解因式）分解因式x23xy 10y2 x 9y 2（2 2）分解因式）分解因式x23xy 2y25x 7y 6（3 3）已知：已知：x2 2xy 3y2 6x 14y p能分解成两个一次因式之积，求常数能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。并且分解因式。（4 4）k为何值时，为何值时，x2 2xy ky23x 5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全第二部分：习题大全经典一：经典一：一、填空题1。把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式:m-4m=.3.分解因式：x 4y=_ _。24、分解因式：x 4x4=_ _。2235.将 x-y 分解因式的结果为(x+y)（x+y)(xy），则 n 的值为 .6nn22