浙江省宁波市余姚市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析）.pdf

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1、浙江省宁波市余姚市舜水中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.下列图形中为轴对称图形的是（）2.已知三角形两边的长分别是4 和 7,则此三角形第三边的长可能是（）A.12 B.10 C.11 D.33.下列哪个数是不等式2（x-1）+3 0的 最 小 整 数 解 是.13.已知：如图，在AABC中，点。在边8 C上，AB=A D =DC,Z C =35,则NBAD=度.14.如图，在 ABC中，A B=A C,A。，8（7于。点，点后、尸分别是4。的三等分点,若 ABC的面积为18cm2,则图中阴影部分面积为 cm2.15.如图，已知AABC中，

2、ZACB=90,。为A B的中点，点E在BC上，且CE=AC,ZBAE=1 5 ,则/COE=度.16.如图，在长方形ABC。中，A8=3,AZ4,E、尸分别为边8C、C D上一点，E F 1 A E,将AECr沿EF翻折得 下,连接A C,当 BE=时，版7是以A E为腰的等腰三角形.三、解答题2(x+l)X D1 7.解不等式：x+7.请结合题意填空，完成本题的解答.l-2 x-2(1)解不等式，得;(2)解不等式，得；(3)把不等式和的解集在数轴上表示出来：I111IIIII1II-5-4-321 0 12 3 4 5 6(4)原 不 等 式 组 的 解 集 为.1 8 .在下面三个2

3、x2 的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影(所画的三个图形不能重复)图1 图2 图31 9 .已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，A B=D C,B E =CF,NB=NC.求iiE：A F =D E2 0 .如图，A B=A C,直线/过点A,直线/,直线/,垂足分别为M、N,且BM=AN.(1)求证 A M B 也 C N A；(2)求证 N 8 A C=9 0。.2 1 .落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫外线消毒灯和体温检测仪，已知：购 买 1 台紫外线消毒灯和2个额

4、温计需要1 4 5 0 元，购买 2 台紫外线消毒灯和1个额温计需要1700元.(1)求紫外线消毒灯和额温计的单价各为多少元？(2)根据学校实际情况，需要购买紫外线消毒灯和耳温计共计75件，总费用不超过38500元，请你通过计算，求至多可以购买紫外线消毒灯多少台？2 2.如图，在长方形纸片ABCC中，AB=3,A D=9,折叠纸片ABC。，使顶点C落在边 A。的点G 处，折痕分别交边A。、B C 于点E、F.(1)求证：AGEF是等腰三角形(2)求 GEF面积的最大值.23.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，(1)如图 ABC中，A B=A C=6

5、，BC=2,求证：ABC是“美丽三角形”；(2)在 RtA ABC中，ZC=90,屋2=2上,若 ABC是“美丽三角形”，求 BC的长.24.(1)如图，在四边形ABCD中，ABC D,点 E 是 BC的中点，若 AE是NBAD的平分线，试判断AB,AD,DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法：延长AE交 DC的延长线于点F,易证AEBgaFEC得到 AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.AB,AD,DC之间的 等 量 关 系.(2)问题探究.如图，A D 是AA BC 的中线，AB=6,A C=4,求 A D 的范围：如图，在四边形ABCD中，ABCD,AF与

6、DC的延长线交于点F,点 E 是 BC的中点，若 AE是/B A F 的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量关系，并证明你的结论.参考答案：1.A【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【详解】A 项是轴对称图形，故本选项符合题意；B 项不是轴对称图形，故本选项不符合题意：C 项不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 项不是轴对称图形，故本选项不符合题意.故 选:A.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形.2.B【分析】设第三边的长为/,再根据三角形的三边关系进行解答即可.【详解】解：设第三边的长为/,

7、则 7-4 V/V 7+4,即二三角形第三边的长可能是10故选：B.【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.3.A【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可.【详解】解：解不等式2(x-l)+3 0,得因为只有-3-g,所以只有-3是不等式2(x-l)+3是AABC的角平分线，EQ是 3 c 的垂直平分线，A CD=DE,AE=BE在 RtA A.CD 和 RtA A ED 中DE=DCAD=AD：.Z 1 ACDAAED(HL)：.AC=AE,：.AC=AE=BE=6,故答案为6.【点睛】此题考查角平分线的性质，关键

8、是根据角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质解答.8.B【分析】由/ADC=2/B 且/4D C =/8+/3C E 知=据此得由线段的中垂线的性质可得答案.【详解】解：/ADC=2NB且 ZADC=NB+/BCD,，ZB=ZBCD,：.DB=DC,.点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.9.D【分析】根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 可 以 得 出得BE=CG,D E=F G,可用AAS得AD WAGEP,得出P E=P G,根据边之间的关系即可得EP=1,综上，即可得.【详解】解：是等边三角形，A AB=BC=AC,

9、ZA=ZB=ZACB=60,/ZACB=ZGCF=60,：.NB=NGCF,V DE IB C,FG.LBC,：.ZDEB=NFGC=90。,在和CFG中，答案第3 页，共 17页ZDEB=ZFGC和GFP 中，ZDPE=ZFPCv ZDEP=ZFGPD E=FG：AED%4FP(AAS),故正确；ZBD：=90o-Z B =30o,只有当P D L A 3时，ZPDE=60,故错误；Y d E D g&F P,P E=P G,/BE=C G,：.EG=E C+C G =EP+BE=BC=2,：.EP=-E G =f2故正确；综上，正确，故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的

10、判定与性质，解题的关键是证明三角形全等.10.C【分析】先推导出正三角形的面积公式，设放ABC的三边为：AC=b,AB=C,BC=af根据勾股定理有：a2b2=c2,则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知 AGC、&AFB、8 C 4的面积分别为：且 从、鼻、虫,则根据上图有：4 4 4$+$5=乎/,S3+S6=-a2,S2+S4+S5+Sh=-c2,结合即可解答.答案第4页，共17页【详解】正AXYZ的边长为，过顶点x作XVLYZ,V为垂足，如图,在正AXYZ 中，有 NY=60。，XZ=XY=YZ=u,XVYZ,：.YV=VZ=-YZ=-u,ZXVY=9Q0,2 2.在 R o x

11、y v 中，w XV=ylXY2-YV2=.正AXYZ的面积为：S=-xYZxXV=2 4如图,可知AAG C、AAFB、BCH是正三角形,AB=Cf BC=a,根据勾股定理有：a2+b2=c2,则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知AAG C、4AFB、BCH的面积分别为:鼻、与、身2,4 4 4则根据上图有：St+S5=-b2,S3+S6=-a2,S2+S4+S5+S6=-c2,即有51+邑+5 3+5 6=3/+立 从,a-+b-=c,，St+S5+S3+S6=-a2+-b2=-c2=S2+S4+S5+S6,即St+S3=S2+S4,故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的

12、面积等知识，正确识别图形是解答本题的关键.1 1.真【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即答案第5页，共17页可.【详解】解：根据题意得:命题“如果=|加 那 么 足=户，的条件是如果=物,结论是=，故逆命题是如果好=按，那么=依，该命题是真命题.故答案为：真.【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.1 2.3【详解】解不等式2 x-5 0 得；x2.5,.大于2.5 的最小整数是3,二原不等式的最小整数解是3.故

13、答案是：3.1 3.4 0【分析】根据等边对等角得到N C 4 D =N C =3 5。，再根据三角形外角的性质得到A B D A =Z C+Z C A D=7 0,故=/6 D 4 =7 0。，由 三 角 形 的 内 角 和 即 可 求 解 的 度数.详解】解：V A D =DC,N C=3 5 ,二 Z C A D =Z C =35 ,：.ABDA=Z C+Z C A D=7 0 ,/AB=AD,：.Z B =N B D A =70,：.Z B A D=1 8 0-Z B-A BDA=4 0 ,故答案为：4 0.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几

14、何知识并灵活运用是解题的关键.1 4.9【分析】根据等腰三角形的性质得到B D=C。，A D L B C,利用三角形面积公式得到SABEF=SAC E F,所以图中阴影部分的面积=g s。.【详解】解：A B=A C,AO 是 8 c 边上的高，：.BD=CD,：.SAABD=SACD,SABEF=SAC E F,（同底等高的三角形面积相等）二 S 阴 桁 SABAE+SACEF+SABFD=SABAE+SABEF+SABFD=SAABD=y SABC=g X 1 8=9答案第6页，共 1 7 页(cm2).故答案为：9.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质：利用对称发现并利用 CE

15、F和 8E F的面积相等是正确解答本题的关键.15.7 5【分析】根据等腰直角三角形的性质得到/C4E=NAEC=45。，求得NCAB=60。，得到N8=30。，根据直角三角形的性质得到CO=BO=AO=gA8,得到“OC是等边三角形，N O C B=/8=30。,于是得到结论.【详解】解：,/ACB=90,CE=AC,：.ZCAE=ZAEC=45,：ZBAE=1 5,：.ZCAB=60,：.ZB=30,V ZACB=90,。为 AB 的中点，：.CO=BO=AO=AB,.AOC 是等边三角形，NOCB=N 8=30。，；.AC=OC=CE,：.Z C O E=Z C E O=x(180-30

16、)=75。，故答案为：75.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键.7 41 6.或【分析】设 B E=x,则 EC=4-x,由翻折得：EC=EC=4-x.当A=A C 时，作A H 1.E C ,由乙4EF=90。，EF 平分 NCEC 可证得 贝丝4 H E,所以 BE=HE=x,当AE=AC时，由三线合一得E=C ，E C =2EH,即 8-月 2 v,推出B E=；当 AE=C E 时，由勾股定理得C E =A E=JE42+A”2=JX2+32,得到_ 74*=6+3?，推出O【详解】解：四边形ABC。是矩形，：

17、.BC=AD=4,设 B E=x,则 EC=4-x,答案第7 页，共 17页由翻折得：EC=EC=4-X9VEFAE,/.ZAEF=AEC+ZFEC=90,NBEA+NFEC=9。,VAECFy&EF翻折得,:.NFEC=NFEC,：.NAEB=NAEH,V ZB=ZAHE=90f AE=AEf：./ABEAAHE(AAS),：.BE=HE=x,当 AEuAC?时，EH=C H ,EC=2EH,4-x=2x,.4 K=,3当 AE=CE1时，。，石=短=JE H-+A/=飞+号，4-X=7X2+32，x=L 8 7BE=-.87 4综上，或答案第8页，共17页_,7 、4故答案为：或【点睛】本

18、题主要考查了矩形，等腰三角形，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，根据题意列方程，是解答本题的关键.1 7.(l)x-2(2)x -l(3)见详解(4)-2 x x2x+2 x2 x 2 2,故答案为：x -2；(2)I x 2-2 x x 2 X+x 222-4 x x+7 A-x x N 7 2-5 x 2 5答案第9 页，共 1 7页x -l,故答案为：x 1 ;（3）根 据（1）和（2）结果，作图如下，1）1 1 1 1 -5-4-3-2-1 0 12 3 4 5 6(4)根 据(3)中的图形，可知不等式组的解集为：-2 x -L故答案为：-2 x

19、中，C D V A D,:.G E 1 C D,.GEF的面积为：S=xGExCD,：CD=AB=3,.GEF的面积的大小取决于GE的大小，根据折叠的性质有，OG=8=3,ND=NO=90，G E =ylDG2+D E2=yj9+DE2，即随着G点往A点移动，可知OE在逐渐增大，二当点G与点A重合时，OE最大，此 时GE也最大，.GEF的面积也最大，如下图，当点G与点A重合时，AGE尸面积最大，由折叠的性质可知，GF=FC,NAFE=NEFC,在 RfAABF 中，A F2=A B2+B F2：.A F2=9+(9-AF)2,解得：AF=5,根 据（1）中的结论可知：AAEF是等腰三角形，AE

20、AF,答案第13页，共17页：.AE=AF=5,在长方形ABC。中，C D L A D,，AEA.CD,.G E F 的面积最大值为：S=g x A E x 8 =；x 5 x 3 =7.5,即4 G F 的面积最大值为7.5.【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及矩形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是找到AGEF面积最大时的位置，灵活运用矩形的性质.23.(1)见解析；(2)B C=3 或 B C=4.【分析】(1)由“美丽三角形”的定义知，要求出 A B C 的中线长，再作比较，由A8=AC=,可知 A B C 是等腰三角形，由“三线合一”，可作BC 的中线A Z),则A D即为B C

21、的高线，由勾股定理求A D的长即可证明；(2)R S A B C 中有三条中线，由斜边上的中线是斜边的一半，排除斜边的中线；则有两种可能：4C 边的中线等于AC 或 B C 边的中线等于B C.结合中线的定义及勾股定理即可解答.【详解】(1)证明：如图，作 BC 的中线AD,如图，：A B=A C=后,AD是 BC 的中线，A A D 1 B C,B D=CD=B C=L在 R t A A B D 中，由勾股定理得A D=萩2=5 -1 =2,，A D=B C,.A B C是美丽三角形.(2)解：如图1,作 AC 的中线B D,ABC 是“美丽三角形”,图1答案第1 4 页，共 1 7页当 B

22、D=AC=2 时，则 C D=聂 C=收，由勾股定理得B C =-C Z?=4 2 )-(同”=3如图2,作 B C 的中线AD,ABC是“美丽三角形”，图2当 BC=AD时，则 CD=1j5C =J D，在 R S A C D 中，由勾股定理得 炉+4/:血*,则 0*+(2初)=(2 3 六 解 得 CD=2,/.BC=2CD=4.故 BC=3 或 BC=4.【点睛】本题考查了信息迁移，等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，明确 美丽三角形 的定义是解答本题的关键.24.(1)AD=AB+DC；(2)1AD5；AB=AF+CF,证明见解析.【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义

23、，易证NBAE=/F,ZB A E=ZD A F,从而可以推出Z F=Z D A F,再利用等角对等边，可证AD=DF,利用线段中点的定义，可知BE=C E,然后利用AAS证明4ABE也F C E,利用全等三角形的对应边相等，可证得A B=CF,再根据DF=DC+CF,可得AB,AD,DC之间的数量关系；延长AD至 E,使 DE=AD,连结B E,利用SAS证得AADC丝4 E D B,根据全等三角形的性质，可得A C=B E,由此将AD,AB,AC转化到一个三角形中，然后利用三角形的三边关系定理，即可求出A D 的取值范围；延长AE交 DF的延长线于点G,根据已知易得 CE=BE,Z B A

24、 E=Z G,再 利 用 AAS证明ZAEB也G E C,利用全等三角形的对应边相等可证得AB=GC,然后利用角平分线的定义推出/F A G=/G,从而可得到FA=FG,然后根据CG=CF+FG,可证得结论.答案第15页，共 17页【详解】解：(1)AD=AB+DC；理由：延长A E交D C的延长线于点F,VAB/7CD,AE 平分/D A B,AZBAE=ZF,ZBAE=ZDAF,AZF=ZDAF,AAD=DF,丁点E是C B的中点，ABE=CE,/BAE=NF在ZkABE 和FCE 中，NAEB=NCEF,BE=CE/.ABEAFCE(AAS),AAB=CF,VAD=DF=DC+CF,AD

25、=AB+DC；延长AD至E,使DEnA D,连结BE,V A D AABC的中线，BD=CD,AD=ED在ZkADC 和 AEDB 中，v ZADC=ZEDB,BD=CD/.ADCAEDB(SAS),A AC=BE,AE=2AD,在 ABE 中，AB-BEAEAB+BE,答案第16页，共17页.22AD10,A1AD5；AB=AF+CF；证明：延长A E交 D F的延长线于点G,E 是 BC的中点,ACE=BE,VAB/7DC,AZBAE=ZG,在ZkAEB WAGEC 中,Z.AEB=Z.GEC,BE=CE AEB g GEC,AAB=GC,T A E 是NBAF的平分线，A ZBAG=ZFAG,VZBAG=ZG,AZFAG=ZG,AFA=FG,TCG=CF+FG,AB=AF+CF.【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形三边关系定理、等角对等边以及全等三角形的判定和性质等知识，“遇中线，加倍延“，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.答案第17页，共 17页