福建省福州延安2022届高三上学期开学考试数学试卷及答案.pdf

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1、福建省福州延安中学2022届高三上学期开学考试数学试题一、单选题1.已知点a =1 3 0,则角 a 的终边在（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.2sin60。8 s 60。的 值 是（)A 62B.1上不C 24D.63.已知 f（x）二=2,+1,贝 11/(0)=()A.-1B.0 C.1D.24.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160cm,设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为。、b、c（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）A.a+Z?+c160 B.a+b+c 160 D.a+0+cK1605.已知全集。=

2、0,2,4,6,8,10,集合A=2,6,10,则Q,A等 于（）A.4,8 B.4,10 C.0,4,8 D.0,4,10）6.若 则 下 列 各 式 正 确 的 是（）A.a-2b 2 B.2a 2b C.2tz 2b D.b7.如图，在正六边形ABCDEF中，点。为其中心，则下列判断错误的是A.AB=OCC.|码=|网8.下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两条直线平行B.AB/D ED.AD=FCB.平行于同一直线的两平面平行D.垂直于同一直线的两条直线平行9.圆心在(2,-1),半径为3的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y +l)2=3

3、B.(x-2)2+(y +l)2=9C.(X+2)2+(J-1)2=3 D.(x +2)2+(y-l)2=91 0.若直线2 卬-1 =0 与直线(3 a-l)x+y-l =0 平行，则实数。等 于()A.B.g2 2C.-3D.-31 1.下列向量中，与（3,2）垂直的向量是（)A.(-4,6)B.(2,3)C.(3,-2)D.(-3,2)1 2.为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校1 4 0 0 名学生中随机抽查4 0 0 名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是（）A.1 4 0 0 名学生的心理健康情况是总体 B.每个学生是个体C.4 0 0 名学生是总体的一个样本 D.4

4、 0 0 名学生为样本容量1 3 .容量为1 0 0 的样本数据，按从小到大的顺序分为8 组，如下表：组号12345678频数1 01 3X1 41 51 31 29D.%)0A.x（）8 B.或内）8 C.0 x0 /2I 2 L 2 J 2 J二、填空题1 6 .函数y =c o s q x e R）的 最 小 正 周 期 是.j _ x/22 y D.1 7 .已知M =（4,3）,=（-1,2）,则万与5夹角的余弦值为一.1 8 .正方体的全面积是24cm它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是1 9 .在 A A B C 中，若 4 3 =3,Z A B C =7 5。,Z A C

5、 B =6 0。，则 B C 等于.2 0 .为 为等差数列，4+4+%=3 9,4 +4+4=2 7,贝 i j S 9 =.三、解答题2 1 .已知t a 4 =2&,公 信，求：2 c o s 2 j-s i n l 的值2 2 .求到两个定点A(-2,0),8(1,0)的距离之比等于2的点的轨迹方程.2 3 .己知 q 是各项为正数的等比数列，且4=1,见+生=6,求该数列前1 0 项的和S-2 4 .如图，在直三棱柱4BC-ABG中，AB=A C =,/见=0,A B 1 A C,求异面直线BG与 A C所成角的度数.2 5 .某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在1 5 0 吨至2

6、 5 0 吨之内，其年生产的总成本户(万元)与年产量4 (吨)之间的关系可近似地表示为7 =1-3 0X+4000(1)当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本(2)若每吨平均出厂价为1 6万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润.2 6.已知函数/(x)=I n x -x2-a r.(1)当。=1 时，求曲线y =/(x)在x=i 处的切线方程;(2)若f(x)4 0恒成立，求。的取值范围.2 7.己知函数/(x)=e*-x-a(aw R).当 =0时，求证：f(x)x.(2)讨论函数/(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围.参考答案:1.B

7、【分析】根据象限角概念求解即可.【详解】因为90 130。b,所以a-2 b-2,故选项A 正确，2-a 2-b,故选项B 错误，-2a-8)2 =，则圆心在(2,-1)上，半径为3的圆的标准方程为(x-2 +(y +l)2=9.故选：B1 0.C【分析】由题知两条直线均与x轴平行，进而得%-1 =0,即a =g【详解】由题知2砂-1 =0与x轴平行，所以当直线2 a y-l=0与直线(3 a-l)x+y-l=0平 行 吐 直 线(3 a-l)x+y-l=0与x轴也平行，故 3 a 1=0,即“=.3故选：C1 1.A【分析】分别求出向量(3,2)和A,B,C,D四个备选向量的数量积，如果数量

8、积等于0,则这两个向量垂直，否则不垂直.【详解】解：对于 A,(3,2).(T,6)=7 2 +1 2 =0,；.A 成立；对于 B,(3,2)2,3)=6+6=1 2,；.B不成立；对于 C,(3,2 X3,-2)=9-4 =5,.(不成立；对于 D,(3,2).(-3,2)=-9 +4 =-5,：.D不成立.故选：A.12.A【分析】根据总体、个体、样本容量概念依次判断选项即可.【详解】对选项A：1400名学生的心理健康情况是总体，故 A 正确；对选项B,每个学生的心理健康情况是个体，故 B 错误；对选项C,400名学生的心理健康情况是总体的一个样本，故 C 错误；对选项D,400名学生的

9、心理健康情况为样本容量，故 D 错.故选：A13.A【详解】分析：由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，得到要求的结果，根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率.解答：解：由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，频数为 100-(10+13+14+14+13+12+90)=1414频率为一=0.14.100故选A.14.A【分析】分工 4 0 与x 0,解不等式，即可得到结果.【详解】当X 40时，因为3+1 4 2,所以不存在/(%)3;在 0 时,10g2x 3=log28,解得%8故选:A15.B【分析】题干条件变形为cos

10、2y=l-2sin。，根 据 三 角 函 数 有 界 性 得 到 sin?x,从而得到sin2 x+cos2 y=1-sin2 XG.【详解】丁 2sin?x+cos2 y=1,cos2 y=l-2sin2 x,，0 l-2 sin2x l,0sin2x/5 ,二匚a6 2 2A/5所以8 S*丽=前=石.故答案为：正2 51 8.1 2 7r.【详解】试题分析：设球的半径为R,则正方体的对角线长为2 R,依题意知 4 R2=3 a2=1 2,B P 依=3,A S =4 n R2=4 7f 3=1 2 7t(c m2).故答案为 1 2 7t.考点：球内接多面体；球的体积和表面积.1 9.G

11、【分析】由条件利用三角形内角和公式求得N B A C,再利用正弦定理即可求解.【详解】在 A A B C中，AB=3,ZABC=75 ,ZACB=60 ,N B A C=1 80 -60 -75 =4 5 SB C ABB C A B Hn f=i=故答案为：瓜【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.2 0.9 9【分析】根据已知，利用等差数列的性质、求和公式求解.【详解】在等差数列%中，由4+生+%=39,4+&+%=27有：两式相加可得4 +4 +%+/+6+%=3 9 +2 7 =6 6 ,而由等差数列的性质可得,+%=4+/=/+,=，故可得6%=6 6,解

12、得%=,故&=取:）=%=9 9.故答案为：9 9.2 1.-3-2 夜【分析】由正切的二倍角公式计算出t an。，再弦化切，代入计算，即可得出结论.【详解】t a皿9=2 血 3生 力t an 6 =（舍去），或 t an 6 =-J ，2所以原式=3-疝9=匕 吧 =上/_ =_2 夜-3.s in 8 +co$e t an +1 一 J 2 +12 2.（x-2）2+y2=4【分析】设M（x,y）,利用两点间距离公式表示出翳=2,整理即可得到轨迹方程.【详解】设 M（x,y）为所求轨迹上一点，则 篇 =2，.+=2 ,即（x +2）2 +y 2 =4（x-）2+4y2,7（JC-1）+/

13、整理可得：X2-4X+/=0,BP（X-2）2+/=4.2 3.1 0 2 3【详解】设公比为4,根据已知等式，利用等比数列通项公式可求得9的值，代入等比数列求和公式即可得到结果.【分析】设等比数列 4 的公比为4，：4 各项均为正数，,4 0;生+。3 +=q +g2 =6,:.q=2 q =-3（舍）,.O|0i-q1-2=1 0 2 3.【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案【详解】解：以A为原点,A8为x轴，AC为y轴，A A,为z轴，建立空间直角坐标系,则 A（0,0,0）,C（0,l,0）,8（1,0,0）,G（0,1,夜）所 以 西=卜1,1,a），/=（0,

14、1,0）,设异面直线8G与4c所成角为，（0。4方），忸。.耐 1 1则c s 同闻=叩=于因为所以e =q,则异面直线8G与AC所成角的度数为?2 5.（1）x =200吨时每吨成本最低为1 0元.（2）年产量为2 3 0吨时，最大年利润1 2 9 0万元.【详解】（1）设每吨的平均成本为犷（万元/吨）W=2=2+幽 一3 0 2 2、耳 咽 一3 0=K）4 分X 1 0 X V io X当且仅当王=4幽，200吨时每吨成本最低为1。元2分10 x（2）设年利润为“（万元）w=16x-30 x+4000)=-+46x-4000=-5-(X-230)2+1290 4 分10当年产量为2 3

15、0 吨时，最大年利润1 2 9 0 万元2分2 6.(I )y =-2 x；(H )-1.【分析】(1)将。=1 代入，求导后运用其几何意义求出切线方程(2)分离参量得令 刈力=今一%,求导后算出最值【详解。=1 时，函数/(力=至 _/_，可 得/(同=_2 1,所以1(1)=-2,x =l 时，1)=2曲线y =/(x)则x =l 处的切线方程；y +2 =-2(x-l)即：y =-2x；由条件可得I n x-f-z x 0),则当x 0 时，“2也-x 恒成立，X令/z(x)=q-x(x 0),则 (x)=l-x 11nx,令 k(x)=1 -x?-l n x(x 0),则当x 0 时，

16、。)=-2 -0；在(1,物)上，(x)0.所以(x)在(0,1)上为增函数；在(1,内)上为减函数.所以/?(必*=理)=一1，所以a L【点睛】本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果.27.(1)证明见解析；(2)。1 时，函数 x)在 R上有两个零点.【分析】(I)构造函数g(x)=x)-x，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于0.(2)先利用导数得到/(x)的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下/(x)的零点情况.【详解】(1)当a=0时，f(x)-ex-x,-$(

17、x)=fx)-x-e -x-x=ex-2x,则,(x)=e -2.令g x)=0,得x =l n 2.当x l n 2时，g(x)l n 2时，g,(x)0,g(x)单调递增.所以x =l n 2是g(x)的极小值点，也是最小值点，即 g(x)向=g(l n 2)=e n2-21 n 2=21 n 0故当a=0时，/(x)x成立.(2)r(x)=e*l,由,(x)=0,得x =0.所以当x 0时，r(x)0时，/(x)0,/(x)单调递增.所以x =0是函数/()的极小值点，也是最小值点，即/(力,=)=1一口当1。0,即。1时，x)在R上没有零点.当1一。=0,即。=1时，“X)在R上只有一个零点.当 1。1 时，因为/(a)=e-(a)a=eR 0,所以/(x)在(3,0)内只有一个零点；由(1)得e，2 x,令x=a,得e2a,所以a)=e a a=e 2 a 0,于是x)在(0,位)内有一个零点；因此，当al时，/(力 在R上有两个零点.综上，al时，函数/(x)在R上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数,属于难题.