突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(含详解).pdf

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1、专题0 5函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】1.(2 0 2 2 全国乙文)若/()=111+1匚+是奇函数，则。=,h=.2.(2 0 2 2 新高考 I I)已知函数/(x)的定义域为 R,K/(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),/(I)=1 ,则 /)=()k=lA.-3 B.-2 C.0 D.13.(2 0 2 2.全 国 乙 理)已 知 函 数 g(x)的定义域均为R,且凡r)+g(2-x)=5,g(x)/(x 4)=7.若 y=g(x)的图像关于直线x=2 对称，g(2)=4.则/(%)=()*=1A.-2 1 B.-2 2 C.-2 3 D.-2 44.(2

2、0 2 2 新高考I )已知函数/(x)及其导函数/(X)的定义域均为R,记 g(x)=f(x),若g(2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)【常用结论】1.函数奇偶性常用结论结 论 1：如果函数负x)是奇函数且在x=0处有意义，那么贝0)=0.结论2：如果函数人x)是偶函数，那么人工)=八一x)=A I H).结论3：若函数y=/u+b)是定义在R上的奇函数，则函数y=/a)关于点S，0)中心对称.结论4：若函数y=/(x+)是定义在R上的偶函数，则函数y=r)关于直线x=a 对称.结论5：已知函数人X)是定义在区间。上的奇函数，则

3、对任意的x e。，都有y u)+y(x)=o.特别地，若奇函数兀0 在D上有最值，则y U)ma x+/U)mi n =0.推 论 1：若函数段)是奇函数，且 g(x)=./U)+c,则必有g(x)+g(x)=2 c.推论2:若函数於)是奇函数，且 g(x)=y(x)+c,则必有gtx)ma x +g(x)mi n =2 c.结论6：在公共定义域内有：奇土奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇 乂(+)奇=偶，偶 x(+)偶=偶,奇 x(+)偶=奇.结 论 7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.结 论 8：偶函

4、数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.结论9:函数4 工)=炉+-3 0 且W 1)是偶函数；函数1 x)=r(G 0 且 是 奇 函 数；函数7U)=*)；(4 0 且。W 1)是奇函数；x-b_结 论 10：函数火x)=l o g扇/(0且QN I)是奇函数；函数段)=l o gC/l +加 12 土松)(4 0 且 a W 1)是奇函数.结 论 11：函数y=/U)是可导的奇函数，则导函数y=/(x)是偶函数；函数y=/U)是可导的偶函数，则导函数y=/(x

5、)是奇函数;结 论 12：导函数y=/(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y=7U)都是偶函数；导函数y=/(x)是连续的偶函数，则原函数y=/U)中只有一个是奇函数；2.函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定 理 1：如果函数产危)满足於+a)=/S x),则函数y=A x)的图象关于直线=皇 对 称.推 论 1：如果函数y=_/(x)满足/(a+x)=/(a x),则函数y f x)的 图 象 关 于 直 线 对 称.推论2：如果函数y=_/(x)满足x),则函数y=.*x)的图象关于直线x=0 (y 轴)对 称，就是偶函数的定义，它是上述定理1 的简化.(2)函数的点对称定理2

6、：如果函数y=/(x)满足J(a+x)+,/(a x)=2 b,则函数y=/(x)的图象关于点(a,与对称.推 论 1：如果函数y=_/(x)满足/(a+x)+/(4 尤)=0,则函数y=_/(x)的图象关于点(a,0)对称.推论2：如果函数y=/(x)满足兀v)+y(x)=0,则函数y=y(x)的图象关于原点(0,0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化.(3)两个等价关系若函数)，=携外关于直线x=a轴对称，则以下三式成立且等价：火 +x)=/3 x)o/(2 a x)=r)fl2 a+x)=j(x)若函数y=/(x)关于点3,0)中心对称，则以下三式成立且等价：式4+x)=j(2

7、 a-x)=f(x)o 式2 a+x)=f i.-x)(4)原函数与导函数的对称性的关系定 理 I：可导函数y=#x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是导函数y=/(x)的图象关于点(a,0)中心对称.定理2：可导函数y=/(x)的图象关于点(小人 )中心对称的充要条件是导函数y=/(x)的图象关于直线x=ci对称.3.函数周期性常用的结论结 论 1：若y(x +4)=/(X “)，则|x)的一个周期为2“；结论2：若y u+q)=-/(X),则共x)的一个周期为2 a；结论3：若/(乂+幻+大处二以。)，则 r)的一个周期为2 a；结论4：若於)=火彳+4)+/(尤 一 a)(a#0),则

8、 r)的一个周期为6a；若大+)喘结论5：则/U)的一个周期为2 a；结论6：若 r+4)=一启八 八 1则式x)的一个周期为2 a；结论7：若函数y(x)关于直线x=a 与 x=b 对称，则犬x)的一个周期为2|ba|.结论8：若函数兀0 关于点(a,0)对称，又关于点S，0)对称，则/U)的一个周期为2 枚一a|.结论9：若函数/U)关于直线x=a 对称，又关于点S，0)对称，则贝x)的一个周期为4 也一a|.结 论 10：若函数/(x)可导，并且是周期为T的周期函数，则了(幻 也是的周期为T的周期函数；若函数可导，其导函数/（X）是周期为T的周期函数，且式0）=火7）,则兀v）也是的周期

9、为T的周期函数结论7结论9 的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差.总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一.即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立.【同类问题】题 型 一 函数的奇偶性与周期性1.已知函数_/（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当 0 x U+3）=；U1）D./x+2）+/（x+1）=16.已知人尤）是定义在R上的奇函数，4 x+1）是偶函数，当x d（2,4）时，段）=仇一3|,则1 1）+式2）+八3）+44）+大2 02 2）=.7.（多选）定义在R上的偶函数7U）满足共x+2）=-/（x）,且在-2,0 上单调递减，下面关于式x）

10、的判断正确的是（）A.式0）是函数的最小值 B./U）的图象关于点（1,0）对称C.1 x）在 2,4 上单调递增 D.1 x）的图象关于直线x=2 对称8 .写出一个同时满足以下三个条件定义域不是R,值域是R；奇函数；周期函数的函数解析式9 .函数y=/U）对任意x GR都有式x+2）=/（一x）成立，且 函 数 的 图 象 关 于 点（1,0）对称，火1）=4,则42 02 0）+0 的解集为(4&,4Z+2)/GZ)题 型 四 抽象函数23.设函数y=/(x)的定义域为(0,+8),./(盯)=段)+，)，若 胆)=3,贝 4/(啦)=.24.己知定义在R 上的函数兀v)满足负1)=1,

11、且1 x+)=/U)+/(y)+l，则负4)=.25.(多选)定义在R 上的函数H外满足_/(x+y)=Ax)+犬V),当x 0,则函数兀0满足()A.7(0)0 B.y=/(x)是奇函数C.左)在 1,2 上有最大值式2)D.加-1)0 的解集为 小0且“W1)是偶函数；函数九0=，*(40且“W1)是奇函数；函数凡0炉+1=2 _(40且 是 奇 函 数；x-b_结论 10：函数式x)=log“R(a 0 且 aW l)是奇函数；函数,/(x)=log“N T T j士?x)(a0 且 aW 1)是奇函数.结 论11：函数y=7(x)是可导的奇函数，则导函数y=/(x)是偶函数；函数y=/

12、(x)是可导的偶函数，则导函数y=/(x)是奇函数：结 论12：导函数y=/(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y=/(x)都是偶函数；导函数y=/(x)是连续的偶函数，则原函数=/&)中只有一个是奇函数；2.函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定 理1：如果函数y=/(x)满足兀v+a)=Abx),则函数y=/(x)的图象关于直线=竽对称.推 论1：如果函数y=_/(x)满足/(a+x)=/(-x)=0,则函数y f x)的图象关于原点(0,0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化.(3)两个等价关系若函数)，=/(x)关于直线x=a轴对称，则以下三式成立且等价：fia+x

13、)=fia-x)fl2 a-x)=fix)fl2 a+x)=fi-x)若函数)，=Ax)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：J(a+x)=fiax)fi2 ax)=fix)a)(a W O),则/(x)的一个周期为 6“；结论5：若_/(x+a)=忘，则火x)的一个周期为2a；结论6：若_/(x+4)=一焉，则式x)的一个周期为2a；结论7：若函数於)关于直线x=a与x=%对称，则於)的一个周期为2位一小结论8：若函数 r)关于点(。，0)对称，又关于点3,0)对称，则_/U)的一个周期为2 g-a|.结论9：若函数y(x)关于直线尤=。对称，又关于点3,0)对称，则式x)的一个周

14、期为4枚一”|.结 论 10：若函数./U)可导，并且是周期为7 的周期函数，则了(x)也是的周期为T的周期函数；若函数凡0可导，其导函数/(x)是周期为T的周期函数，且1 0)=A 7),则./U)也是的周期为T的周期函数结论7结论9 的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一，口四倍差.总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断 一.即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立.【同类问题】题 型 一 函 数的奇偶性与周期性1.已知函数式x)是定义在R上的周期为2 的奇函数，当 0 c x 1 时，|)I)=-4 =-2-+A1)=-2.2.(2021全国甲)设函数,/(X)的

15、定义域为R,A x+1)为奇函数，於+2)为偶函数，当xG l,2 时，,)=加+b.若10)+人3)=6,则/(D 等于()9 3 7 c 5A.a B.2 C.D.22.答案 D 解析 由于K r+1)为奇函数，所以函数兀v)的图象关于点(1,0)对称，即有_ A x)+/(2x)=0,所以火1)+/(2-1)=0,得贝1)=0,即。+=0.，由于./(x+2)为偶函数，所以函数./(x)的图象关于直线 x=2 对称，即有7U)A 4x)=0,所以10)+人3)=-/(2)+/0)=44一%+6=-3 =6.，根据可得。=2,b=2,所以当xG l,2 时，A x)=-2 f+2.根据函数

16、/U)的图象关于直线x=2 对称，且关于点(1,0)对称，可得函数段)的周期为4,所以婚)=/0=一昭*-2=|.3.已知函数1 x)为定义在R上的奇函数，段+2)是偶函数，且当xG(0,2 时，(x)=x,则4-2 022)+火2023)=()A.-3 B.-2 C.1 D.03.答 案 C 解 析 .函数 v+2)是偶函数，函数兀0 关于x=2 对称，.A x+2)=/(x+2),x+4)=/U)，/(1+4)=/1一(一此+4=式一x)=-/(x),.火 x+8)=y (x+4)+4 =-/(x+4)=/(x),.函数的周期为 8,.7/(一2 022)+式2 023)=-/(2 022

17、)+五2023)=；(6)+./(7)=/(2)/(1)=21 =1.4.(多选)(2022.威海模拟)函数的定义域为R，若式x+1)与人-1)都是偶函数，则()A.凡r)是偶函数 B.火 x)是奇函数 C.犬 x+3)是偶函数 D.犬 x)=_/(x+4)4.答案 CD 解析 是偶函数，.,.式 x+l)=/(x+l),从而五x)=/(x+2).:/(x-l)是偶函数，(一x从而人一x)=/(x-2)./(x+2)=/(x2),/：x+4)=/U),是以 4 为周期的周期函数.xl+4)=/(x1+4),即.八-x+3)=/(x+3),；./(x+3)是偶函数.5.(多选)己知凡r)为奇函数

18、，且/(x+1)为偶函数，若式1)=0,则()A.式3)=0 B./(3)=/5)C./(x+3)=A xl)D.八 +2)+x+1)=5.答案 A B C 解 析 因为函数_/(x+l)为偶函数，所以凡r+l)=/(l幻，又因为兀v)是 R 上的奇函数，所以兀v+l)=y(l x)=-/(x 1),所以 x+2)=-/U),y(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以x)的周期为 4,又因为/(1)=0,X 3)=火-1)=一负1)=0,式5)=/(1)=0,故 A,B 正确；/(x+3)=/(x+34)=/(x1),所以C 正确；/(2)=A 2-4)=A 2),同时根据奇函数的性质得/(

19、2)=-A 2),所以人2),X2)既相等又互为相反数，故/2)=0，所以犬2)+五1)=保 1,即/U+2)+_/(x+l)=l对于x=0 不成立，故 D 不正确.6.已知火x)是定义在R 上的奇函数，凡r+1)是偶函数，当x e(2,4)时，贝、)=k 一3|,则11)+犬2)+43)+式4)+十 式 2 022)=.6.答案 o 解析为奇函数,y(x+1)为偶函数，.y(x+x+1)=1),./u+2)=/U),.兀 v+4)=-y(x+2)=Ax),.函数Ax)的周期为 4,.犹 4)=火0)=0,_A3)=/(1)=一 丸 1)=0,即/U)=0.在兀r+l)=/(-x+l)中，令

20、x=l,可得贝2)=状力一110.答 案 B 解析 构造函数g(x)=M(x),该函数的定义域为R,所以g(-x)=-M(-x)=-M W=-g(x),函数g(x)为奇函数，故函数g(x)的图象的对称中心为原点.函数y=(x+l)/(x+l)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移I个单位长度，故函数y=(x+l M：x+l)图象的对称中心为(一1,0).11.已知函数/U)是定义域为R的偶函数，且式x)的周期为2,在-1,0 上单调递增，那么_/U)在 1,3上()A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增11.答案 C 解析 函数八x)的周期为2,且4 x)在-1,0 上单调递增

21、且为偶函数，函数人尤)在。，IJ上单调递减，函数段)在口，3 上先增后减.-112.已知定义在R上的奇函数大x)满足/(x+2)=/U),且在区间 1,2 上单调递减，令 a=l n2,c=l o g i 2,则犬/，肚),人c)的大小关系是()2A.他)旗c)秘 a)B.勺(c)勺S)C.八。)勺(份勺(a)D.犬c)勺()勺(勿12.答 案 C 解 析 依题意，定义在R上的奇函数./U)满足_/(x+2)=-/U),则/(x+2)=/(x),即函数y(x)的图象关于直线X=l对称，且X 0)=0.又兀V)在区间U，2 上单调递减，则於)在区间 0,1J 上单1调递增，则火1)0.由 0 =

22、l n2 l,得|编习(0)=0,6=(；)-=5=2,则_A，)=A2)=/(0)=0,c=l o g l2=-1,则所以人C)4S)7(4).1 3.定 义 在 R 上 的 奇 函 数 4 0,其图象关于点(一2,0)对称，且人尤)在 0,2)上单调递增，则()A./11)/(12)/(21)B .7(21)7(12)/(11)C .AU)/(21)/(12)D.人21)勺(11)勺(13.答案 A 解析 函数兀t)的图象关于点(一2,0)对称，./U-4)=一八一x),又兀0 为定义在R上的奇函数，所以一A x)=/U),所以y(x 4)=/(x),即函数H x)的周期是4,则八11)=

23、/(-1),(2幻的偶函数“)=.14.答 案 C OS 7 L V(常数函数也可，答案不唯一)解析 取兀r)=C OS 7 L ,证明过程如下：y(X)=C OS 兀 丫 的定义域为 R,由八一X)=C OS(7 L T)=C OS m=加0，故 7 U)为偶函数，又4 2 X)=C OS 兀(2X)=C OS(27 t 7 L T)=C OS Ttx=j(x).题型三 函数的周期性与对称性15.(多选)已知次幻的定义域为R,其函数图象关于直线尢=-3 对称且 r+3)=/a-3),当x 0,3 时，Xx)=2v+2 x-l l,则下列结论正确的是()A.式 x)为偶函数 B.兀0在 6,3

24、 上单调递减C.7(x)的图象关于直线x=3 对称 D.火2 023)=-715.答案 ACD 解 析 对于A,因为./U)的定义域为R,其函数图象关于直线太=-3 对称，所以.穴 一3)=Ax3),又 r+3)=/U-3),所以火工+3)=五一工-3),所以人(工-3)+3)=大一(*一3)3),即凡 )=大-x)，所以函数为偶函数，故 A 正确；对于B,因为y(x+3)=/(x3),所以./(x+3)+3)=/(x+3)-3),即穴x+6)=/(x),所以函数是周期为6 的周期函数，当x d 6,-3 时，x+6W 0,3,因为当x e(o,3 时，f(x)=2x+2 x-,函数在 0,3

25、 上单调递增，所以当 x -6,-3 时，J(x)=fix+6)=2X-6+2(X+6)-1 1,函数在 6,3 上单调递增，故 B 错误；对于C,因为兀0=/(-x),且_/(x)的周期为6,所以负 3)=_/(-(13)=/(3 x)=/(x+3),所以凡r)的图象关于直线x=3 对称，故 C 正确；对于 D,y(2 023)=/(337x6+l)=y(l),又-0,3 时，兀0=2,+2%1 1,所以人2 023)=/(l)=2i+2xl-l l=-7,故 D 正确.16.已知定义在R 上的函数兀v),对任意实数x 有./(x+4)=/(x),若函数1)的图象关于直线x=l 对称，火一

26、1)=2,则人2 025)=.16.答 案 2解析 由函数y=/(x-l)的图象关于直线x=l 对称可知，函数./U)的图象关于y 轴对称，故y(x)为偶函数.又由1A x+4)=-7 U),得火x+4+4)=r+4)=/(x),是周期为8 的偶函数.，共2025)=川 +253x8)=/-1)=2.17.已知偶函数犬x)满足4x)+K2x)=0,下列说法正确的是()A.函数凡r)是以2 为周期的周期函数 B.函数应v)是以4 为周期的周期函数C.函数1 x+2)为偶函数 D.函数/U 3)为偶函数17.答 案 BC 解析 依题意知/U)是偶函数，且/U)+/(2x)=0,_/U)=-/(2x

27、)=-/U-2),所以A错误./U)=/(x2)=-/U-2-2)=/U 4),所以 B 正确.A r+2)=/U-2+4)=/(x 2)=/(一 (x-2)=火-x+2),所以函数人r+2)为偶函数，C 正确.若/(x3)是偶函数，则/苫3)=/一x3)=/(x+3),则函数兀0 是周期为6 的周期函数，这与上述分析矛盾，所以人工-3)不是偶函数.D 错误.1 8.已知定义在R 上的函数1 x)满足八一x)=-_/U),/(l+x)=7U x),当 x e 1,1 时，兀v)=3 x,贝 U/2 023)等于()A.1 B.-2 C.-1 D.218.答案 D 解 析 由题意知，函数外)满足

28、火l+x)=/(lx),可得y(x)的图象关于直线x=l 对称，又由/(一x)=-/U),可得.火 好 的图象关于点(0,0)对称，所以函数兀 丫)是周期为4 的函数，所以次2 023)=/(-1),因为当 1 时，4 0=3羽 则人2023)=4-1)=2.19.已知函数大x)满足:危+2)的图象关于直线尸 一 2 对称，且式x+2)=/g,当2WxW3时,_/(x)=log2(x+?),则/(妥 的 值 为()A.2 B.3 C.4 D.619.答 案 B解析 因为/U+2)的图象关于直线x=-2 对称，所以y(x)的图象关于直线x=0 对称，即函数於)为偶函数，因为於+2)=所以函数兀v

29、)是周期函数，且 7=4,所 以/告)=/(1 0 8+*/(|)=/(-1)=/(-1+4)=隐=晦+)=3.20.设函数/(x)为定义在R 上的函数，对VxW R都有:负箝=式一力,负 x)=/(2x)；且函数/U)对VX I，X2G0，1,X1X 2,有成立，设=/.(二 产)匕=7(log43),c=/(T),则 a,b,c 的大小关系为,20.答案 ca 成 立，函数人X)为偶函数、周期为2,在0，1上单调递增，=/(一?MS -*(4)，%=/(log43),其中 log43e1),.!-W=sin号是满足条件的一个函数 D.段)有无数个零点21.答案 BCD 解析 V X 2+A

30、-)=/2-X),式 )是奇函数，.火4+X)=负-X)=-/(X),.火8+X)=-/(X+4)=/(x),二8 为 y(x)的一个周期，故 B 正确；由/(8+x)=/(x)可得人8x)=y(x)=-y(x),二/(8x)冗 丫+y(x)=0,故 A 不正确；y(x)=sin 满足./(x)+./(-x)=0,为奇函数，且图象的一条对称轴为直线x=2,故 C 正确；由/(X)为奇函数且定义域为R 知，犬0)=0,又兀V)为周期函数，；.兀 0 有无数个零点，故 D 正确.22.(多选)已知y(x)是定义在R 上的奇函数，旭 一力=於),当XGO,1时，_/(x)=定,则下列结论错误的是()

31、A.42 021)=0 B.2 是於)的一个周期C.当X d(l,3)时，y(x)=(l-x)3 D.火 x)0 的解集为(4%,4)t+2)(jtez)22.答案 ABC 解析；/U)是定义在 R 上的奇函数，.A 2-x)=/(x)=/(-x),.贝 2+x)=-/(x),.A 4+x)=-X 2+x)=/(x),的最小正周期是 4,故 B 错误；/2 021)=1Al)=1,故 A 错误；;当xC0,1时，人 )是定义在R 上的奇函数，.当x e 1,1时，八 )=3 3,当xC(l,3)时，2-x d(-l,1),./(X)=/(2-X)=(2-X)3,故 C 错误；易知当 xd(0,

32、2)时，加)0,；於)的最小正周期是 4,的解集为(4人,4A+2)(M Z),故 D 正确.题型四抽象函数23.设函数y=/(x)的定义域为(0,+8),y(xy)=r)+/U),若 8)=3,贝(啦)=.23.答案|解 析-/(S)=3,：.fi2 X 4)=7(2)+/4)=y(2)+2 X 2)=fi2)+f(2)+/(2)=3/(2)=3,：.J(2)=1.；J(2)=M x r)=/(巾 什 花)=2花)，：.2式小)=1,：.火业=今24.已知定义在R上的函数兀v)满足式1)=1,且/(x+y)=/(x)+_/O，)+l,则火4)=.24.答案 7 解析 令 x=y=l,则12)

33、=式1)+&1)+1=3.令 x=y=2,则大4)=/(2)+./(2)+1=7.25.(多选)定义在R上的函数火x)满足於+y)=/(x)+J U),当x 0,则函数火x)满足()A.火0)=0 B.y=_/(x)是奇函数C.氏0在 1,2上有最大值1 2)D.夫x l)0的解集为 x|x/(0)=软0)，故汽。)=0,A正确；令y=-x,则/。)=/5)+/(一 工)=0,即yu)=-y(x),故函数y(x)为奇函数，B正确；设x i x 2,则制一X 2 o,即凡+4一x 2)=/(x i)-/(x 2)o,即yu i)y(x 2),故函数人方为R上的减函数，在，2 上的最大值为_ AD，c错误；,/u 1)0等价于./U 1)式0),又7U)为R上的减函数，故x-l 0,解得x l,D正确.2 6.已知7U)是定义在区间(0,+8)上的增函数，且 盾=火 的 一/U),_/(2)=l,如果x满足人)一人士)2,则x的 取 值 范 围 为.2 6.答 案(3,4|解 析 二)=於)一 四)，My)+娟=於).在上述等式中取x=4,y=2,则有人2)+人2)=/(4).又=A2)=l,./(4)=2.一 旧)W 2 可变形为_ Ax(x 3)4).又.兀 冷 是定义在区x(x 3)0,