高考数学《有理数的乘法》重难点试题-带解析.pdf

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1、专题1.11有理教的乘法-重唯点题型【人 数 版】题型1有理数乘法法则的辨析题型2利用有理数乘法法则判断符号题型3有理数乘法运算律的运用题型4倒数的概念及运用。如芦一 名 三【知识点1 有理数乘法的法则】有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同零相乘,都得0.多个有理数相乘的法则:几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.【题 型 1 有理数乘法法则的辨析】【例 1】（20 20 秋碑林区校级月考）下列叙述正确的是（）A.互为相反数的两数的乘积为1B.所有的有理数

2、都能用数轴上的点表示C.绝对值等于本身的数是0D.个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断.【解答过程】解:力、互为相反数的两个数和为0,故力错误.从实数和数轴一一对应,故所有的有理数都能用数轴上的点表示.故6 正确.C、绝对值等于本身的是0和正数,故C 错误.第 1 页 共 1 5 页D、n个有理数相乘,负因数的个数为奇数个时,积为负，但 0除外,故错误、故选:民【变 式 1 T】（20 20 秋澧县月考）下列说法中，不正确的个数有（）符号相反的数叫相反数；四个有理数相乘,若有两个负因数,则积为正；倒数等于本身的数只有1；相反数等于本身

3、的数只有0；A.。个 B.1 个 C.2 个 D.3个【解题思路】根据相反数的定义即可求解；根据有理数的乘法法则即可求解；根据倒数的定义即可求解；根据相反数的定义即可求解.【解答过程】解:只有符号相反的数叫相反数,故符合题意；四个有理数（0除外）相乘,若有两个负因数,则积为正,故符合题意；倒数等于本身的数有1,故符合题意；相反数等于本身的数只有0是正确的，故不符合题意.故选:.【变 式 1-2（20 20 秋温江区月考）下列说法中正确的有（）同号两数相乘，符号不变；异号两数相乘,积取负号；数 a、6 互为相反数,它们的积一定为负；绝对值等于本身的数是正数.A.1 个 B.2 个 C.3个 D.

4、4个【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数,绝对值的性质进行判断便可.【解答过程】解:同号两数相乘,符号为正号,不是符号不变,该小题说法错误；异号两数相乘,积取负号,这符合乘法法则,该小题说法正确；数a、6 互为相反数,它们的积不一定为负，如a、6 都为0,它们互为相反数,但它们的积为0,不为负，该小题说法错误；绝对值等于本身的数是非负数,包括正数和0,不一定是正数,该小题说法错误；2第 2 页 共 1 5 页故选:/.【变 式 3】（20 20秋海陵区期中）a、6是两个有理数，若 数 0,则下列结论正确的是（）A.a 0,b0B.a、6两数异号，且正数的绝对值大C.a 0,b01）.a、。两

5、数异号，且负数的绝对值大【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号,再根据有理数和的符号判断绝对值的大小,进而得出答案.【解答过程】解：a 6 V 0,:.a、6异号，又二正数的绝对值较大，故选【题型2利用有理数乘法法则判断符号】【例2】（20 20秋万州区校级月考）若 加 0,a-则a、6这两个数（）A.a 0,A 0,6 0 C.a O D.a 0,b0【解题思路】根据ab0,得 出a、6异号,再根据a -b0,得出a0.【解答过程】解：.飞6 0,a、6异号，:a-Z）0,/.a 0-,故选:C.【变式2-1（20 20秋九台区期中）已知a b c 0,a 0,a c 0,b0,c

6、 O B,a 0,Z?0,c0C.0,b O D.a 0,b0,c（）,a c 0,c 0,第3页 共1 5页：.b 6 0,a 6 6,则 a、6的符号是（）A.同为正B.同为负C.a 正 6 负 D.a负 2;正【解题思路】根据a b 6 即可判断出答案.【解答过程】解；：a 6 0 且a b,；.a 正b 负.故选：C.【变式2-3 （20 20 秋高安市校级期末）已知三个有理数m,。满足研=0,nm,mnpQ,则卬/升。一定是（）A.负数B.零 C.正数D.非负数【解题思路】先根据相反数的定义判断出以,n的关系，再根据nm,mnpQ判断出力,n,p的符号,便可求解.【解答过程】解：小

7、尸。，二见一定互为相反数；又n/n,/nnp0,.,.n0,m0,：.mn0,np0,二勿加加一定是负数.故选:4【题型3有理数乘法运算律的运用】【例 3】（20 20 秋喀喇沁旗期末）1 2 3 2 2 4,这步运算运用了（）A.加法结合律B.乘法结合律C.乘法交换律D.乘法分配律【解题思路】根据有理数的运算律进行判断即可.【解答过程】解：1 2 3 2“2 4,这步运算运用了乘法分配律.故选:.1 8 1 1 5 x 1 5 =（1 0 0 ）x 1 5 =1 5 0 0 【变式3-1（20 20 秋鼓楼区校级月考）991 9 1 9，1 9,这个运算应用了（）A.加法交换律B.乘法结合律

8、C.乘法交换律、乘法结合律第4页 共1 5页D.乘法分配律【解题思路】根据有理数的乘法,即可解答.1 8,1、1 5 x 1 5 =(1 0 0 )X 1 5 =1 5 0 0 【解答过程】解：991 9 1 9，1 9,这个运算应用了乘法的分配律，故选：【变式3-2(2 0 2 0 秋诸城市期中)写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：(-0.4)X(-0.8)X(-1.2 5)X 2.5=-(0.4 X 0.8X 1.2 5 X 2.5)(第一步)=-(0.4 X 2.5 X 0.8X 1.2 5)(第二步)=-(0.4 X 2.5)X (0.8X 1.2 5)(第三步)=-(1 X 1

9、)=-1.第一步：；第二步：；第三步：.【解题思路】根据有理数的乘法,即可解答.【解答过程】解:写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：(-0.4)X(-0.8)X(-1.2 5)X 2.5=-(0.4 X 0.8X 1.2 5 X 2.5)(第一步)=-(0.4 X 2.5 X 0.8X 1.2 5)(第二步)=-(0.4 X 2.5)X(0.8X I.2 5)(第三步)=-(1 X 1)=-1.第一步:确定积的符号,并把绝对值相乘；第二步:乘法的交换律；第三步:乘法的结合律.故答案为:确定积的符号,并把绝对值相乘;乘法的交换律;乘法的结合律.【变式3-3 (2 0 2 0 秋普宁市期中)

10、学习有理数的乘法运算后,老师给同学们这样一道题目：1 7 X计算：1 91 8(-9),看谁算得又快又准,有两位同学的解法如下：3 5 9 _ 3 2 3 1 _ 1小方:原式 1 8 X 9 1 8 1 792；1 7 1 7 14-+X 小杨:原式=(1 9 1 8)X (-9)=1 9 X (-9)1 8(-9)=7792.(1)以上两位同学的解法中运算正确吗?如果错误,请帮他们改正;如果正确,分别写出他们解法的算理是什么？5第5页 共1 5页(2)请你给出与上面不同的算法.【解题思路】(1)根据计算判断即可;1 7 1(2)把 1 9元写成(2 0-元)，然后利用乘法分配律进行计算即可

11、得解.【解答过程】解：(1)小方、小杨的解法的运算都正确；小方同学的算理:分数乘法运算性质，小杨同学的算理:乘法分配律.1 7一 X(2).1 91 8(-9)1=(2 0 1 8)X (-9)1-X=2 0 X(-9)1 8(-9)1+=-1 80 21-1 79，.【知识点2 倒数的概念】乘积是1 的两个数互为倒数.“互为倒数”的两个数是互相依存的；0 和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数；互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).【题型4 倒数的概念及运用】2【例 4】(2 0 2 0 秋南岗区校级月考)的倒数是;2.5的倒数是

12、.(解题思路】利用互为倒数的意义求解即可.2 3 2-X X 【解答过程】解：.1 3 5 1,2.5 5 1,2 3 2二二的倒数是42.5的倒数是&3 2故答案为:中小1【变式4-1 (2 0 2 1 春杨浦区校级期中)如果卅3的相反数是-5 3,那么a的倒数是.【解题思路】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a,再根据乘枳是1 的两个数互为倒数解答.1【解答过程】解：V a+3 的相反数是-5 3,6第 6 页 共 1 5 页1.a+3=5 3,_ 7：.a=3 7V（7）X（3）=1,3.二 a的倒数是73故答案为:Z【变式4-2 （2 0 2 0 秋铁锋区期中）已知a 与 2 互

13、为相反数,x 与 3 互为倒数,则代数式济2+|-6x|的值为.【解题思路】依据相反数和倒数的定义可求得a、x的值,再代入所求式子计算即可._ 1【解答过程】解：由 a与 2互为相反数,x与 3互为倒数,可得a=-2,3,/.a+2+-6x|1X 一=-2+2+|-6 3=1 -2|=2.故答案为：2.【变式4-3】（2 0 2 0 秋贵港期末）若 a、6 互为相反数，。、d 互为倒数,R的绝对值为2.（1）直接写出济力c d 的值；a+bH-求 加 cd 瓶 的值.【解题思路】（1）根据互为相反数的和为0,互为倒数的积为1,绝对值的意义，即可解答；（2）分两种情况讨论，即可解答.【解答过程】

14、解：（l）：a、6 互为相反数，c、d 互为倒数,m的绝对值为2,.a+b=0,cd,/Z F=2.a+b-I-=当加=2 时，加 c d 巾 2+l+0=3;a+b4-=-当必=-2 时，/c d 血 2+1+0=-1.【题型5 有理数乘法的计算】【例 5】（2020秋朝阳期中）计算：7第7页 共1 5页3 4 7(1)(一办 X(一%X(一适)；(2)(-A)xlx-5)X (32 30 O X (-325).(解题思路】(1)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案;(2)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案.3 4 7【解答过程】解:(下)x(一 弓)x(-诩3 4 7=-X X

15、7 5 121 5；-A)xl x(2)(-5)X (32 30 O X (-325)=0.【变式5-1 (2020秋城关区校级期中)计算：2(1)-0.7 5 X(-0.4 )X 1 3；3 5 2(2)0.6 X(4)x (6)x (-23).【解题思路】(1)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案;(2)直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案.2x 1-【解答过程】解：(1)原式=-0.7 5 X J 0.4 )33 2 5=X X 4 5 3_ 1-2；3 5 2 原 式=0.6 X(4)x (6)x (-23)3 3 5 8=-X X X 5 4 6 3=-1.【变式5-2 (2

16、020秋兴化市月考)用简便方法计算：8 8 8(1)(-9)X 31 29(-8)X (-31 29)-(-1 6)X 31 29；8第8页 共15页7 1 X(2)997 2(-36).【解题思路】(1)原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；(2)原式变形后,利用乘法分配律计算即可得到结果.8 8X-【解答过程】解：原式=31 29(-9-8+1 6)=-31 29；1 1 _ 1(2)原式=(1 00 7 2)x (-36)=-3600 2 35992.【变式5-3(2020秋沙坪坝区校级月考)计算1 3 13 1 口 正 飞+二*4(下)-5 x(q)+l l x(1)-3 x(一鲁【解题

17、思路】(1)先把括号里面的利用乘法分配律进行计算，然后再次利用乘法分配律进行计算即可得解；(2)先把第三项整理,然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解.1 3 13 1【解答过程】解：万-U%F)X 2 4 X(-g),1 3 1 3 1(X+-X X-=1 24 8 24 6 24 4 24)X(5),25 1=24(9+4-1 8)X(5)y25 1=(24+5)X (5),25 z 1 1=x (24 5)+5X(5),5=2 4-1,2924；1 1 1 1 22-5X(5)+u x(5)-3X(5),1 1 1 1 1 1=-5X(5)+H X(5)-6 义(5),1 1=(-5+1

18、1 -6)X (5),=0.【题型6 有理数乘法的应用(含数轴)【例 6】(2021 春松北区期末)有理数A 6 在数轴上的对应的位置如图所示，则下列结论不正确的是()9第9页 共1 5页b-1 0 1A.济。W.a-b0【解题思路】本题可先对数轴进行分析，找出a、b 之间的大小关系,然后分别分析4 B、C,即可得出答案.【解答过程】解:根据数轴，知a0,ab,K60,abb,a-b 0B.a-b0C.ab0D.（6H-1）（b-l）0【解题思路】根据数轴上点的位置判断即可.【解答过程】解:根据数轴上点的位置得:a -1 06|A|,a+l0,Z?-K O,则 a+60,a -bQ,ab 0.

19、故选:.【变式6-2（2020秋东港市期中）有理数a、8 在数轴上的位置如图所示,则下列各式：a+6 0;a -6 0;|b a;a Z?b 0 aA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解题思路】根据a b 两数的位置,一一判断即可.【解答过程】解:观察图象可知：a+b0,b a,ab O C.，c V O D.ab.Q【解题思路】由数轴知I 4 9=0-a,BCc-b、再由AB=8C得 a+c=2b,再根据ab-c=Ot进而得。=2&。=3&进而由a V 6 V c,知 a、b、。都为正数,便可得出最后答案.【解答过程】解：4?=比；b-a=c-bf：.ayc=2b,ab-c=O,

20、即 c=ab,/.5+(-Z?)=2b,Z?2c?,c=ayb=3a,:a b c,.0,Z?0,c 0,.a+c 0,则力选项错误；a c 0,则占选项正确；A O O,贝 IJC 错误；泌 0,则错误.故选：氏【题型7 有理数乘法的应用(含绝对值)例 7 (2020秋芝景区期中)已知有理数x,满足|削=3,4|=2.(1)若产yV O,求 x -y 的值；(2)若 中 0,求 x+y的值.【解题思路】(1)直接利用绝对值的性质分类讨论得出答案；(2)直接利用绝对值的性质分类讨论得出答案.【解答过程】解：,区=3,3=2,X 3,尸 2,(1)若户 yV O,则 x=-3,y=2 或 x=-

21、3,y=-2,此时 x-y-3-2=-5 或 x -y=-3 -(-2)=-1,即x-y 的值为-5 或-1;第 1 1 页 共 1 5 页（2）若 xy0,则 x=3,尸-2 或 x=-3,尸 2,此时户y=1 或x+y=-1,即 户/的 值 为 1 或-1.【变式7-1 （2020秋岳麓区校级月考）已知有理数ab0,且|a|=2,|引=3,求|a -2 1+26 的值.【解题思路】依据有理数的乘法法则可知a、。异号，然后依据有理数的加法法则可知正数的绝对值较大,故此可确定出a、b的值,然后代入求解即可.【解答过程】解:：=2,=3,.*.,3=2,Z?=3.：abQ,.a-2,8=3,或

22、a2,b-3.又c i 2,Z?=3,I a-2|+26=4+6=10.【变式7-2 （2020秋祁江区校级月考）如果|a|=4,=8,|c|=3,a b 0,求 c -a -|引的值.【解题思路】根据绝对值的意义得到a=4,6=8,c=3,由ab 0,并且L l =3,y=2,|z+l =2,求 x+户 Z 的值.【解题思路】分类讨论:x O,yV O,z V 0;x V 0,y 0,z 0;根据绝对值的意义，可得X、八 z的值，根据代数式求值,可得答案.【解答过程】解：由R=3,5=2,=2,且 孙 0,得当 x=3,y=-2,z=-3 时，x+y+z=3-2-3=-2;当 x-3,尸 2

23、,z=1 时，x-y+z -3+2+1=0.所以x+产z的值是。或-2.【题型8 有理数乘法的应用（新定义）【例 8】（2020秋南潺区期中）定义一种正整数的“运算”是:当它是奇数时，则该数乘以3 加 13;当12第1 2页 共1 5页它是偶数时,则取该数得一半,一直取到结果为奇数停止.如:数3 经 过 1 次“运算”的结果是22,经过2 次“运算”的结果为11,经过三次“运算”的结果为4 6,那么28 经 2019 次“运算”得到的结果是.【解题思路】从 28 开始,分别按照偶数和奇数的计算法则依次计算,直到出现循环即可得解.【解答过程】解：1 次:28 义0.5 X 0.5=72 次:3

24、X 7+13=3 43 次:3 4 X 0.5=174 次：3 义17+13=6 45 次:6 4 X 0.5 X 0.5 X 0.5 X 0.5 X 0.5 X 0.5 =16 次:3 X 1+13=167 次:16 X 0.5 X 0.5 X 0.5 X 0,5 =1,等于第 5 次二从第5次开始,奇数次等于1,偶数次等于16；2019 是奇数.28 经 2019 次“运算”得到的结果是1.故答案为：1.【变式8T】（2021春浦东新区期中）阅读理解题【解题思路】根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果,积如果是一位数前面补0,第二行的后两格是两个两位数的个位

25、数字相乘得到的结果,积如果是一位数前面补0,第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9,进 一 位.“即可得到答案.【解答过程】解：（1）由题意得，第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，13第 1 3 页 共 1 5 页积如果是一位数前面补0,第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0,第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的I-位数字乘以第二个两位数的个位数字，如第二个表格:2 X 8+

26、3 X 7=1 6+2 1 =3 7,第四行，同列的两个数相加,如果大于9,进一位，7 6 4 X 8 7=556 8,6 X 8=4 8,4 X 7=2 8,6 X 7+4 X 8=4 2+3 2 =7 4,(3 4,Z?8,c -2,(7 8,e=7,f 4,故答案为4,8,2,8,7,4.【变式 8-2 (2 0 2 0 秋立山区期中)计算：2 5X 1 1=2 7 5,1 3 X 1 1 =1 4 3,4 8 X 1 1=52 8,7 4 X 1 1=8 1 4,观察上面的算式,我们发现两位数乘1 1 的速算方法:头尾一拉,中间相加,满十进一.仿照上面的速算方法，填空:54 X 1 1

27、 =;8 7 X 1 1 =;9 5X(-1 1)=.(2)己知一个两位数,十位上的数字是a,个位上的数字是b,这个两位数乘1 1.若砒6 1 0,计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是、，请通过计算加以验证.若 云6 2 1 0,请直接写出计算结果中百位上的数字.【解题思路】(1)根据题中的例题确定出所求即可；(2)若济6 V1 0,确定出计算结果的百位、十位、个位上的数字，验证即可；若 a+6 2 1 0,直接写出计算结果中百位上的数字即可.【解答过程】解:54 X 1 1=59 4;8 7 X 1 1=9 57;9 5X (-1 1)=-1 0 4 5.14第 1 4 页 共 1 5

28、页故答案为:59 4;9 57;-1 0 4 5;(2)若济6 (1 0+1)=1 0 0 天 1 0(济 6)+6,则若a+6 1 0,百位、十位、个位上的数字分别是a,尹女6;若 a+1 0,百位上数字为a+1.故答案为：a,ab,b.1 1 2 2-=X 卜 -=X +【变式8-3(2 0 2 1 古冶区一模)观察下列两个等式:2 3 2 3 1,5 3 5 3 1,给出定义如下:我们1 2称使等式a-6=成立的一对有理数“a,b”为“共生有理数对，记为(a,6),如:数对可，(5,)都 是“共生有理数对”.(1)通过计算判断数对(1,2)是不是“共生有理数对”；(2)若(a,3)是“共生有理数对，求 a的值；(3)若(见)是“共生有理数对，则(-，-加“共生有理数对(填“是”或“不是”).解题思路(1)根据共生有理数对的定义判断即可；(2)根据共生有理数对的定义列方程求解；(3)根据共生有理数对的定义对(-n,-4变形即可判断；【解答过程】解：-2=-1,1 X 2+1 =3,：.l-2#IX 2+1,.(1,2)不是共生有理数对；(2)由题意,得 a-3=3 a+l,解得a-2;(3)(/%)是共生有理数对，：.m-n=mn+L-n (-)m-nmnX,：.(-n,-血是共生有理数对；故答案为:是.第 1 5 页 共 1 5 页