浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期开学考试-数学答案.pdf

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1、2022学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.设 A =x 0 x W4 ,B =x|/_7+10.0,则 Ap|8=（）A.x|2 x 4 B.d 0 x 5 C.x|0 x 2 D.x|4 x 5【答案】C【解析】【分析】化简集合B,再利用交集的定义求解.【详解】解：由题得6 =|（%2）。一5）20 =幻工2 5或；1在2,所以 A n 8=x|0 x 2 .故选：C2.已知i为虚数单位，则 匕21在复平面上对应的点在（）2+iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第

2、四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可得对应点进行求解.【详解】由l +2 i _（l +2i）（2 i）_ 4 +3i _ 4 3.-=-1-12+i （2+i）（2-i）5 5 5（4 3、所以在复平面对应的点为三，三，在第一象限.故选：A3.设命题：3 +4B.V n N,n2 3n +4 D.B n G N,n2 3n +4【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定方法进行求解.【详解】因为命题p：V e N,2 3n +4.故选：C.4 .已知数列 4为递增数列，前项和S“=2+/l,则实数X的取值范围是()A.(-c o,2 B.(-,2)C.(o o,0

3、D.(-8,0)【答案】B【解析】【分析】根据S“可求。”=2,(22),要使 4为递增数列只需满足4 4即可求解.详 解 当“2 2时，见=S“S,i +=2n,故可知当篦2 2时，4单调递增，故 6,为递增数列只需满足4 6,即4 2+4 =/1 匕 2”是“。一2|。一2|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解.【详解】若a匕2时，则。一2 0力一2。,因此a 2 2=性一2|,若。一2|。一2|时，比如a =5,/?=l,但不满足a 0 2,因止匕a 2”是a 2

4、忸一2|”的充分不必要条件.故选：A6 .牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：6 =(a-4)e-+4,其中r为时间(单位：m i n),，为环境温度，4为物体初始温度，e为冷却后温度.假设在室内温度为2。的情况下，一杯饮料由loo c降低到60 c需要20min,则此饮料从60C降低到40C需 要()A.lOmin B.20min C.40min D.30min【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解左=烁，进而将=20,4=60,0=40,k 嘿 代入解析式中即可求解时间.详解】由题意可得，4=2 0，4=1 0 0,。=60,=20代入。=(4-6!)-+4，8

5、0eW +20=60，解得 e-20*=1，2故-20Z=-ln2,解得&=.20故当4 =20,4=6 0,。=40,k=辞 时,将其代入 e=+4 得 40e +20=40，解得 f=20,故选：B2 27.已知月，居 分别为椭圆C:=+4=l(a b 0)的左、右焦点，过冗的直线与C交于P,Q两点，若a b|班|=2忸用=5忸。|,则。的离心率是()AV3 R V3 c V5 65 4 4 3【答案】D【解析】【分析】由已知，画出图像，根据|耳|=2|尸段=5闺可令忻Q|=r,然后表示出|尸 耳|,|尸闾,然后利用椭圆定义找到，与。之间的关系，然后用。分别表示出归。|、耳|、|。&|,在

6、APQ入中，利用勾T T股定理判定NQP居=,然后在P 6 K中，可表示出c与。之间的关系，从而求解离心率.【详解】由已知，可根据条件做出下图:所以|P K|=5 r,|P 用=|/,由椭圆的定义可知|P 用+|P 司+所以 所以|P 6|=g a,|P 用=：%|耳0|=24,|P Q|=|P 6|+恒 Q|=+Wa=1|a，由椭圆的定义可知 3|+|。|=2an 四=1|a,在APQK中，|Q 段2=|QP+|P段 2,所以/。尸 6=去在月中,到=2 c,所以忸闾 2=山尸+|尸闾2在1 6 o 4 2 A 2 c 5 c v5所以a H a=4c=n e =9 9 a2 9 a 3所以

7、。的离心率是好.3故选：D.8.若不等式e+i Nh i x +l n(x+l)+a (其中e 为自然对数的底数，约为2.7 1 8 2 8)对一切正实数x 都成立，则实数。的取值范围是()A (-0 0,e B.(-oo,l C.(一 D.(-oo,0【答案】B【解析】【分析】根据己知条件将式子变形为e*+iZ l n(x 2+x)+a,构造函数/(/)=/I n a ,求导，利用导数求解单调性，进而可求最值进行求解.【详解】由 e+x-a N l a x+I n(X+1)+a得+l n(x2+x)+a,记/+兀=1，f(t)=e-a-nt-a,由于x 0,所以f 0,故e+i l nx+l

8、 n(x+l)+a对一切正实数x都成立等价于/(r)O V r 0都成立./=e _ L 令_f)=0n e i=1t t在同一直角坐标系中画出x=6,%=；的图象，由图可知：存在“(0，+8)满足e 5 =；,且当te(O/o)时，%X，即/(6=9-一！0,当t/e 4，+8)时，为 0,故/在，0,外 单调递减，在单调递增,故*)=eS-l n/0-a因为 e-=；n0%_ Q =_ I n,0 ,故/)min=/G o)e _ I n/0 _ 4 =丁+，o _ 2Q1 0由于一+，o 22,故 一+办 -2 2 2-2，o，0因此2-2之0,解得 =/(X)在,上递减C.丁 =/(力

9、的图象关于直线=-对 称1 8D.当x e 0弓 时，“X)的取值范围是一百,2【答案】BCD【解析】【分析】根据辅助角公式得/(x)=2s i n(3龙一1)，进而结合三角函数的性质即可逐一求解.【详解】由/(X)=s i n 3 x J c o s 3 x得/(x)=2s i n 3 x -,对于A：y =s i n 3 x向右平移四得到丁=4!1 3(x-=-s i n 3 x,故错误；3_ 3.一 ,兀兀，-兀 2兀7兀 兀3兀 ,八/兀 兀，一门 一对于B:当时，3 x-G q 不？，故y =/(x)在 上递减，B正确;3 2 3 3 6 2 2 3 2对于C:.f 1 G|=2s

10、i n 3 x =2,故工=一工是/(x)的对称轴；故C对；y 1 0 y 1 0 y 3 1 0对于 D：当x e 0,时，3 x-G,当3 x =时，/(x)取最大值 2,当3 x =二时,_ 2 J 3|_36 3 2 3 3 x)取 最 小 值-百，故值域为卜月,2,D正确;故选：BCD1 0.甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A,5,C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球“；再从乙袋中随机取出一球，以。表示事件“取出的是红球“，则下列的结论中正确的是()A.事 件 是 两 两 互 斥

11、 的 事 件B.事件O与事件A相互独立C.P(D A)=D.P(D)245 5【答案】AC【解析】【分析】根据互斥事件和相互独立事件即可判断AB,由概率计算值即可判断CD.4 4 2【详解】由题意可得尸(A)=而，P(B)=,P(C)=,P(D)=P(Z M)4-P(B)4-P(Z)C)=4x 4+3 x4+3 2x =34,P(A)=4 x4=1611 10 11 10 11 10 110 1 0 1 1 1 1 0事件A,8,C是两两互斥的事件，故A正确，P(A)手口4)(。),故事件。与事件A不是相互独立，故B错误,16尸(0 4)=鉴?=平=4，故C选项正确，P(A)4 11103 4

12、 1 7P(D)=一，故 D 错误，1 1 0 5 5故选：AC1 1.已知/(X)是定义在 x l X/O 上的奇函数，当W%0时，芯工2/(玉)一/(工2)+%一工2 0恒成立，则()A.y =/(x)在(e,o)上单调递增B.y =/(X)-在(0,+8)上单调递减C./(2)+/(-3)|D./(2)-./(-3)|【答案】BC【解析】【分析】由己知，结合题意给的不等关系，两边同除内马得到，(内)-/()一 ,然 后 根 据 x,0,即可判断了(%)与/(X2)两者的大小，从而判断选项A,选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定./(%)-与/()-/一 的 大 小，从而确定函

13、数的单调性，选项c和选项D,可利用前面得到的不等式，令 =2,=3带入，然后借助/(力 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，%2%,0,/(x1)-/(x2)+x1-x2 0,所以/(%)一/(尤 2)+-0.即/(内)一，/(工2)-,入 入 e 21 1 八因为工2 芯0，所以 一 0，X 尤 2所以/(%)一/(入2):-j 。，因为工2 0,所以-当一 内 0,因为“X)是 定 义 在 何 X H 0 上的奇函数，所以/(%)=/(X),所以/(%)一 /(元 2 )=一/(一%)+一 。，所以于(f)/(一%),X X2因为-W-%v o,所以y=/(x)在(y,0)上单调

14、递增，故选项A错误；因 为/(%)一-/(2)-L -。，所以 J-/-。，X x2 X X2 2%2X2所以/(%)-+y-=/(%i)_y-/(x2)_+y-/(x2)-+；=/(尤2)一；，玉 2 玉 2%x2 2 玉 x2 2X2 2X2即%)一(/(%2)一：，又因为吃 玉 0,所以y=/(x)-=在(0,+e)上单调递减，选项B 正确；因为2 王 0 时，/(xJ-J/(%2)一;恒 成 立，所以令司=2,=3代入上式得了（2）!/（3）_：,即/（2）_/（3）2 3 2 3 6又因为“X）是 定 义 在 例4，（）上的奇函数，所以3）=/（3）,所以2）+一3）,故选项C正确，

15、选 项D错误.故选：BC.1 2.如图，矩形A 8 C O中，A D =2,AB=3,AE=2 E B ,将AAQS沿直线OE翻折成 4。后，若 M为线段A|C的点，满 足 函 =2扬，则在A/W E翻折过程中（点4不在平面O E 3C内），下面四个选项中正确的是（）A.加/平面B.点M在某个圆上运动C.存在某个位置，使。E_ L A。D.线段BA 1的长的取值范围是（6,3）【答案】A BD【解析】【分析】由已知，选项A,在。上取一点N,令 函=2而，可通过面面平行的判定定理证明平面7 TB M N 平面A D E,从而证明8 M 平面选项B,可通过=N M N B =,4NM=，=2 J

16、5，借助余弦定理可知B M为定值，从而确定M点 轨迹;选项C,可先假设D E AtC成立，然后借助线面垂直的判定定理和性质定理得到/犯_ L C W,然后在中，利用勾股定理验证是否满足，即可做出判断；选 项D,可通过点A运行轨迹，分别找出最大值和最小值点，然后求解即可做出判断.如上图所示，在。上取一点N,令 函=2而，连接NB,在矩形ABCD中，4B=C。且AB|GD,又 因 为 衣=2屈，C N =2 N D 所以E B =N D R E B N D ,所以四边形BN为平行四边形，所以NB/E D,又因为NBZ平面ADE，D E u平面A O E,所以NB 平面ADE，又 因 为 函=2而，

17、函=2画，所以NM4。，又因为M0 平面ADE,D&u平面A D E,所以NM 平面ADE,又因为N M C N B =N S.N M、N Bu平面8MN,所以平面BMN 平面ADE，又因为M Bu平面3MN,所 以 平 面A O E,选项A正确；7 T由 N B U E D ,N M H D,AD=A=2,可得幺0=NMN8=,_ _ _ _ _ 2 4由 西=2和，CM=2M4）可知I,N M =-A1D =-,而 E B =N D =2血，由余弦定理可知，为定值，而5为定点，故M在以B为圆心，8M为半径的圆上运动，故选项B正确;取 皮）的中点H,连接”4、H C ,在4。七中，A D =

18、A E =2,所以。EL 4”,假设。EL AC成立，4、4。=平 面4。,所以。，平面4”。，又因为。匚平面A”C,所以）E_LC，而，在ADHC中，D H =0，D C =3,C H =后,所以故。EJ_CH不成立，所以假设不成立，该选项C错误；在。上取一点4,令 璃=2而，在AAOE翻折过程中，线段8 4的最大值是A与A点重合，此时B4=3,线段8 A 的最小值是A 与 4 点重合，此时例=石，又因为点A 不在平面0 E B C 内，所以线段B A 的长的取值范围是（、石,3）,选项D 正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2 0分.把答案填在答题卡中的横线上.1

19、3.（1 +尸的 展 开 式 的 二 项 式 系 数 的 和 是.（用数字作答）【答案】1024【解析】【分析】根据二项式定理的二项式系数和性质即可求解.【详解】由于“=1 0,所以二项式系数的和为2=2 3=1024,故答案为：10244-1 1 .14.在 A 8C 中，A B =3,A C =5,B A C =,若 A)=A8+AC,则力35 3 29【答案】一:4【解析】【分析】根据向量的线性运算可用砺，衣 表 示 而 沅，根据数量积的运算律即可求解._ _ _ _ 2 _ _ 1 _ _ _ _ 1 _ _ 1 _详解】D B=A B -A D =-A B-A C,D C =A C

20、-A D =-A B +-A C,所 以 丽.反=（抑-厚）（一 通+3 回=得 启+g 而松-次2=-X9+-X3X5X-X52=-.9 2 5 4 4故答案为：一二941 5.如图，抛物线C:y 2=2 x（p 0）的 焦 点 为 的 准 线 与 x 轴交于点A,过点尸斜率为6的直线与AMC 交于点M,N（M 在x 轴上方），则匕.【解析】【分析】根据题意可得直线MN方程，联立直线与抛物线方程可解M,N坐标，进而根据两点间距离公式即可求解.【详解】由题意可知尸(5,0),4(-5,0),直线的7方程为：=百(一夕)，联立方程，=-5)n l2 x 2 20px+3P2=0,解 得 玉=2,

21、马=,2 c2 6y=2 p x由于 在X轴上方，故可得M江 6 p),N(,-且p)，故 答 案：31 6.已知实数,y满足x2+2 x y-3 y2=4,则2x2-/的最小值是.【答案】折+7#7+如2 2【解析】【分析】利用换元法，将问题转化为一元二次方程根的分布，即可求解.【详解】2 x2-y2=m,则 y2=2x2-m ,由 +2 d 一3/=4 得 2盯=4 +3/-f,两边平方得 4 x2/=（4 +3y?-丫 ,化简得：1 7/+（4 0 2 6?）/+（3加4）2 =0,令/=/,则1 7/+（4 0-2 6机 +（3 2 4）2=0 （X）有正的实数根，因为当/=0时，-3

22、;/=4不成立，（3加一 4）一-0-1-1 7则满足：=（4 0-2 6。2-4 x 1 7（3加一4）2 20,且m 0,即加2 7根+8 N0，且4 0 2 6帆v 0解 得 心 巨 普 w+7 叶 A 八,L b u-f -v-i y i i H-M-i 2 6相-4 0 5 1 +1 3/r 7 n n 2 5 1 +1 3/r 7当机=-时，=（）,止匕时（:）式的根为=以=-二-，HP x =-，21 2 34 34 342 c 2 9yli 7 1 7 4 4 r 的且 I J 1 7 +7y-=2x m=-，故 m 的最小值为-34 2故答案为：姮 士Z b u2四、解答题：

23、本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,且满足a c os 5-Z?c os A =a c.（1）求B；（2）若。=J 7,a =2,M为边AC的中点，求的长.7 T【答案】（1）-3亚2【解析】【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解.（2）根据余弦定理可求|A 4=3,由三角形中向量加法，由模长公式即可求解.【小 问 1 详解】2 *2 _ 序 Z,2 ,2 _ 2因为a c os B 灰x）s A =ac,由余弦定理得。巴 士 匕-=a-c,化简得2ac 2hcb1=a2+C1-a c，2 2

24、 i_ 2 t所以c os 3=己,结 合 资（0,兀），得 8 =三；lac 2 3【小问2详解】设|朋=“2 2 _ r 2x,根据c os 3=3 之 lac4+X2-7 17x-2解得|A =x =3（负根舍去）,又 丽=g（丽+前），所以|丽|=（而+瑟）2 =,9+4 +6=半.1 8.已知数列。“的前项和为S“，且q =l,S,=a“+1 l,数列 2 为等差数列，且2a4=3b3+1,S6=7.（1）求 q 与 抄“的通项公式；（2）记%=常,求 匕 的前 项和为加【答案】（1）。“=2 -1,bn=2n-/、T /2 几 十 3（2）T=6-7-2 i【解析】【分析】（1）由

25、已知，根据条件给的S“与4M 的关系，令2,递推作差得到%+1 与4 的关系，然后再令=1,验证为与的是否满足，最后利用给等比数列的定义证明数列。“为等比数列，然后直接求解其通项公式，设出数列 2 的公差，然后根据题意列方程解出公差和首项，即可利用等差数列通项公式完成求解;（2）将（I）问中数列%与 2 的通项公式带入到c,=*中，然后利用错位相减可直接进行求和.【小 问 1 详解】时，%=S“-ST%+1 an n an+=2%,又 q =S =4 1 =%=%+1 =2 =2 q ,所以 4是首项是1,公比是 4的等比数列，所以。“=2小；设 也 的公差为 d,则由 2 a 4 =34 +

26、1,S 6 =7，得 1 6 =3（/+2 d）+1,$6 =a7 T=6 3=7 （伪 +加）n 4 +2 4 =5,4 +4 d =9n =l,d=2.=bn=2n l【小问2详解】bn 2/1-1由（1）知g=-丁an 2所以1 3 5-+I 2 221 3 52一3 2一1 I 7 r+-72 22 23 2 i2“2 +2 2/7-3 2一14-2=i+i+L L +22 4 2-22 n-2 所 以 北=6 _”?.1 9.为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校1 5 0名 学 生（男 生1 00人，女生5 0人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有6 0人视力正常，女生

27、中有4 0人视力正常.（1）是否有9 9%的把握认为视力正常与否与性别有关？（2）如果用这1 5 0名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人视力正常”的人数，试求X的分布列和数学期望.n(ad-bc)2(a +O)(c +d)(a +c)(/?+d),n-a+b+c+d.P(/训0.1 00.050.02 50.010.005k2.7 063.8 4 15.02 46.6 357.8 7 9【答案】（1）没有9 9%的把握认为视力正常与性别有关（2）分布列答案见解析，数

28、学期望：2【解析】【分析】（1）根据题意，写出列联表，结合独立性检验的公式，可得答案；（2）由题意，可得此为离散型分布，利用其概率公式和分布律的定义，结合均值计算公式，可得答案.【小 问 1 详解】由已知得1 5 0名学生男女、视力正常与否的2 x 2 列联表为：视力正常视力不正常总计男生6 04 01 00女生4 01 05 0总计1 005 01 5 0所 150(600-1600)2=6 0),g(x)=(ln x)2 ,其中e为自然对数的底数，约为2.7 1 8 2 8.X(1)求函数/(X)的极小值；(2)若实数相，,满足机 0,1且/(m)=g()2 e-2,证明：加 1.【答案】

29、(1)e-2(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解；(2)根据已知条件对m进行讨论，构造函数(x)=/(x)-g(x),再利用导数法求函数的最值，得出“X)g(x),从而/(m)=g(n)1 时，fx)0,当 0 xl 时，/x)0,所以/(x)在(0,1)上递减，在(1,”)上递增.所以当x=l时，函数“X)取得极小值为/(l)=-+l2-2 x l-l=e-2.【小问2详解】若则显然成立；若0 加 l时，g(x)单调递增；当0 x l时，g(x)单调递减；小甘，e、c令 力()=/(%)_g(x)=+x2-2x-l-(lnx)2(0 x 1),x 1X2则=2 Y|?eA+2x-2 Inx 02 4 4所以m(x)m12即左(x)0,所以A(x)在0 x l时递增，从而%(%)刈1)=0,即(x)40,所以(X)在0 (),从而,f(x)g(x),所以/(加)=g()=,即m n 1.n【点睛】解决此题的关键是第-问直接利用导数法求函数的极值的步骤即可，第二问根据已知条件对加进行讨论，构造函数(x)=/(x)-g(x),再利用导数法求函数的最值即可.