福建省福州市2022届高三下学期3月一模试题 数学【解析版】.pdf

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1、福建省福州市2022届高三下学期3月一模试题数学【解析版】第 I 卷一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 4()分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z满足z(l-i)=4 i,则 z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由z(l-i)=4 i 求出复数z,从而可求得其所在的象限【详解】由 z(l i)=4 i,得 z=/r=2 i +2 i?=-2 +2 i,l-i (l-i)(l +i)所以z 在复平面内对应的点为(-2,2),位于第二象限，故选：B2 .己知A(6,O),B(G

2、,O),C(O,3),则AABC外接圆的方程为()A (x-l)2+y2=2 B.(x-1)2+2=4 C.x2+(y-l)2=2 D.x2+(y-l)2=4【答案】D【解析】【分析】求得AABC外接圆的方程即可进行选择.【详解】设AABC外接圆的方程为(x -a)2 +(y-。)2 =/(-V 3-a)2+(0-/?)2=r 卜=0则有(百 4+(04 =产，解之得=1(0-a)2+(3-)2=r2 1/=2则AABC外接圆的方程为f+(y_ l)2 =4故选：D3 .中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式“，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量 等.下图为甲

3、、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图:星期一星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日则下列结论中不正确的是()A.这一星期内甲的日步数的中位数为1 1 6 0 0 B.乙的日步数星期四比星期三增加了 1 倍以上C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙【答案】B【解析】【分析】对于A：直接求出中位数；对于B：求出乙的星期三和星期四步数，计算可得；对于C：分别计算出甲、乙平均数，即可判断；对于D：分别计算出甲、乙方差，即可判断；【详解】对于A：甲的步数：1 6 0 0 0,7 9 6 5,1 2 7 0 0,2 4 3 5,1 6 8 0 0,9 5 0

4、 0,1 1 6 0 0.从小到大排列为：2 4 3 5,7 9 6 5,9 5 0 0,1 1 6 0 0,1 2 7 0 0,1 6 0 0 0,1 6 8 0 0.中位数是 1 1 6 0 0.故 A 正确；1 2 9 7 0对于B：乙的星期三步数7 0 3 0,星期四步数1 2 9 7 0.因为-1.8 4 立.故 C 正确；对于D：s甲 2=如6 0 0 0 1 1 0 0()y+(7 9 6 5 1 1 0 0 0)2+(1 2 7 0 0 1 1 0 0 0)2+(2 4 3 5 1 1 0 0 0)2+(1 6 8 0 0 1 1 0 0 0)2+(9 5 0 0 1 1,5i

5、,1=1(14200-10500)+(I2300-I0500)2+(7030-10500):+(12970-10500)2+(5340-105()0):+(116OO-1O5OO)2+(10060-I0500);J=9014429 iy,.故 D 正确;故选：B.4 .“0 a b 是”的（）a hA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由=%-，的单调性可依次判断充分性和必要性是否成立，由此可得结论.X【详解】.y=X -g在（y,0）和（0,+8）上均为增函数，当0a 人时，a-b-,充分性成立；a b当。一,力一工时，。v

6、 Z?v O或0a，必要性不成立；a b0a b 是“a的充分不必要条件.a b故选：A.5 .己知P是半径为3 c m的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置凡开始，按逆时针方向做圆周运动,TT7T角速度为r ad/s.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系方为，若/用6 =小,则点尸的纵坐标V关于时间。（单位：s）的函数关系式为（)B.y=3sinn 7 it+2 3C.y=3 s i n 4 r-y【答案】D【解析】D.y=3sin7 i nt2 3【分析】设点p的纵坐标y关于时间。（单位：S）的函数关系式为 丁=击 皿（社+。），求出A的值，/）T T t jr时，射线OP可视角-

7、的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式.2 3【详解】设点p的纵坐标y关于时间，（单位：S）的函数关系式为 丁=4 5 m（a+0）,J T由题意可得A =3,（P=，r（s）时，射线OP可视角日 一?的终边，则 丁 =3 5 m1当 一?1故选：D.6 .从集合 1,2,3 的非空子集中任取两个不同的集合A和5,若AC5W0,则不同的取法共有（）A.4 2 种 B.3 6 种 C.3 0 种 D.1 5 种【答案】C【解析】【分析】分别讨论集合A中元素个数为1,2或3的时候，集合3的取法数，由分步乘法和分类加法计数原理可求得结果.【详解】若集合A仅有1个元素，则集合A有C；=3种取法；集

8、合8有2?=3种取法；此时共有3 x 3 =9种取法；若集合A中有2个元素，则集合A有 =3种取法；集合3有+1 =5种取法；此时共有3 x 5 =1 5种取法；若集合A中有3个元素，则集合3为 1,2,3 的非空真子集，有2 3-2 =6种取法；此时共有1 x 6 =6种取法；综上所述：不同的取法共有9+1 5 +6 =3 0种.故选：C.7 .已知平面向量1万忑均为单位向量，且卜.=1,则 仅 一方）伍 一 的最大值为（）1 1 3A.B.C.1 D.一4 2 2【答案】B【解析】【分 析】利 用 卜-可2 =1和 向 量 数 量 积 的 运 算 律 可 求 得 之名=；,并 将 所 求

9、式 子 化 为-c o s ,由COSG-L 1 可求得结果.【详解】.,|万 一5|二江？一2万5 +5 2 =2 2万5 =1,a-b.a-by（b=a-b-a-c-b2+B 不 （万一）=-|a-Z|-|c|c o s 1 一1一=-c o s ,2,.c o s G-1,1 ,，-乙）w 一|；，即4 0 3的最大值为故选：B.8.折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长l（）cm、宽8 c m的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为H.S?.若5 :$2 =1：3,则折痕长的最大值为（）A./8 9 c m B.1 0 c m C.2/2

10、9 c m D.2 /3 4 c m【答案】C【解析】【分析】由已知可确定5=20cm 分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果.【详解】由题意得：长方形纸片的面积为10 x 8 =8 0（c m 2）,又S：S2 =1:3,S =2 0c m2,S2=6 0c m2；当折痕如下图所示时，设 A E=x,A F =y,-A =2 02则1 0 W x W 1 0,解得:0 4y4 8x y =4 05 x 102 2 2 16 00EF =x+y =x+r-x2令=闫2 5,100,/)=.+四(2 5 W Y 100),./

11、(/)在(25,40)上单调递减，在(40,100)上单调递增,又“25)=25+64=89,”100)=100+16=116,.-./(r)G80,116,/.E Fe 4V5,2X/29;/(40)=40+40=80,当折痕如下图所示时，设=D F =y,则g(x+y)x8=200 x10,解得:0y10.E R 2=(x-y)?+64=(2x-5)?+64,令g(x)=(2x 5)2+64(0MxW5),则 g(x)在(0。x+y=50 x 5 J上单调递减，在(g,5)上单调递增,又g(0)=25+64=89,g11)=64,g(5)=25+64=89,.g(x)e64,89,.,斯

12、平,屈 ;设AE=X,BE=y,则(x+j)xl0=200 x8,解得：，08x+y=40 x 4?.-.EF2=（x-y）2+100=（2x-4）2+100令（x）=（2x 41+100（0WxW4）,则/z（x）在（0,2）上单调递减，在（2,4）上单调递增，又 1（0）=16+100=116,7z（2）=100,/z（4）=16+100=116,/./z（x）e 100,116）,.EFe10,2a ;综上所述：折痕长的取值范围为8 2 a ；折痕长的最大值为2晒cm.故选：C.二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部

13、选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.2 29.已知椭圆C：L +匕=1的左、右焦点分别为,工，P为C上一点，则（）4 3A.C 的离心率为也 B.。耳月的周长为52C./片 尸 与 9（）D,l|P f；|/3,：.ZFtP F2=6 0 ,即(/4尸6)皿=60。，1 -tan2-1-1-23.尸 后 90。,C正确；对于 D,=a-C=l,归6 1max=a+C=3，1-lll-3,D 正确.故选：CD.10.已知等差数列 4 的前项和为s“，公差d w O.若5“K S 6,则()A.(0 B.J 0 C.a6=0 D.S13 0,0,再根据d。o,即可得到 0,最后根

14、据等差数列前n项和公式及下标和性质判断SI3；【详解】解：因为5.臬，所以SsS6且S7Ks6,即4=5$-S5 NO,a7=S7-S6 0,因为即4、%不 同 时 为 零，所 以。=。7-4 0,%=13(4；%)=3%0,故D正确；&不一定为零，故C错误；故选：BD11.设函数/(x)定义域为R,7(x T)为奇函数，/(x+D为偶函数，当x e(-l,l)时，/(x)=-x2+l,则下列结论正确的是()A./()=一；B./(尤+7)为奇函数C./(%)在(6,8)上 减函数 D.方程/(x)+Igx=0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】【分 析】由题干条件可以得到/(x)关于(一 1

15、,0)对 称，关 于x=l对称，/(幻周 期 为8,从而求出3“A正确；根据周期与奇偶性判断出B选项，先根据奇偶性与单调性得到 了(X)在(-2,0)单调递增，再根据周期求出“X)在(6,8)上单调递增，画出f(x)与y =Ig x的函数图象，判断出交点个数，从而得到D选项正确.【详解】/(X+D为偶函数，故/(x +D=/(x+1),令x =|得：/(1)=/(-1+1)=/(-|),f(x-D 为奇函数，故/(x -I)=-/(一一1),令x 得：/($=其中C 3 7 3 3=-7+1 =7)所以/(3)=/(一5)=7=_1人正确；乙)乙 乙 乙)J因为f(x-l)为奇函数，所以八幻关

16、于(一1,0)对称，又/(X +1)为偶函数，则/(X)关于 =1对称，所以/(幻周期为4 x 2 =8,故/(x +7)=/(x-l),所以f(-x+7)=f(-x-T)=-f(x-l)=-f(x-l+S)=-f(x+7),从而/(x +7)为奇函数，B 正确；/(幻=一无2 +1在%(一1,0)上单调递增，又/(幻关于(-1,0)对称，所以/(X)在(-2,0)上单调递增，且/(幻周期为8,故/(X)在(6,8)上单调递增,C错误;根据题目条件画出/(X)与y =-Ig x的函数图象，如图所示:其中y =Ig x单调递减且一 Ig l 2 -1,所以两函数有6个交点，故方程/(x)+l g

17、 x =0仅有6个实数解,D正确.故选：AB D【点睛】抽象函数对称性与周期性的判断如下：若/(%+。)=/(一x+Z?),则函数y =/(x)关于x =对称；若/(x+a)+-x+0)=0,则函数y =/(x)关于1区9,0)中心对称;若f(x+a)=/(x+b),则 一4是y =/(x)的一个周期.12.已知正四面体ABC。的棱长为3,其外接球的球心为。.点 E 满 足 荏=丸 而（0 2C=G”则 A C/E F,A C/G H ,则 EF/GH又 8 0 平面a,平面a f l 平面45。=好/，平面a P l平面则 BD/EH,BD/GF,则 E H GF则四边形E F G H为平行

18、四边形.由 题=2 而，可得 A E:A B=/l，则 H E:D B=2,E F:A C=1-A又正四面体ABC。的棱长为3,则 H E =G F=3 A,E F=GH=3（1-A）选项A：四边形E F G H的周长为H E+G尸+EF+G H=232+3（14）=6.判断正确；1 3 3选项B：当/1=上时，H E =G F=,E F =G H=-,则平行四边形E FG H 为菱形2 2 2又正四面体A3C D 中，对棱B D L A C,则 E F 上E H，则菱形EFG”为正方形.判断正确；分别取B。、BC、AC的中点例、N、Q,连接W、CM.M Q ,设。N、C M 交于K ,连接A

19、 K,则AK为正四面体的高正四面体ABC。的棱长为3,其外接球的球心为。，则。在 AK上，连接C。A M =C M=；g ,K M =；C M =*3 6 =，A K =ylAM2-KM2=娓设球0半径为R，则C O2=K C2+K O2，即R2=（&y+（逐一R，解之得R=（后由 AM=CM,A Q =Q C,可得 M Q L A C同理有M Q-L B O,则 M Q 为异面直线BD、A C 之间的距离M Q M C2-QC-=-yl,则点K 到 A C 的 距 离 为 血，球心。到 A C 的距离为亍J5选项C：当4=工时，设a 与交于7,则7c=4MC=立，T 到 A C 的距离为也3

20、3 2 2球心。到平面E F G H的距离为也4则平面a 截球。所得截面半径为2屈则平面a 截球。所得截面的周长为旧 兀.判断错误;选项D：由 荏=4 A 豆，M Q =：叵可得点4 到平面E F G H的距离为i 血几，又平行四边形E F G H为矩形,21则四棱锥 A-E E G”的体积丫3 r-9 r-3 2 2o a令/(x)=-V2x2(1-x)(0 x 0 得0 c x ,由/(x)0,得5 c x x+I n x,x 0/.f M =7=+,则 八1)=+1=0,a 2,2T x x 2当a =2时，/(x)=l +-=yI X X X0 c x 0,X 1 时，f(x)铤卷手国

21、强【答案】1 7 1 9.6【解析】【分析】根据所给数据算出答案即可.【详解】边长为1 0 c m的正六边形的面积为6 x,x l 0 x l 0 x s i n 6 0 =1 5 0 5 c m22所以表面积为2 x 1506+6 x l 0 x 2 0=1 2 0 0+3 0 0 7 3=1 2 0 0+3 0 0 x 1.7 3 2=1 7 1 9.6 c m2故答案为：1 7 1 9.6s i n。c o s a1 5.写出一个使等式:XZ、十二7775一 成立的。的值为I 6 j I 6 jjr 2 k _1_ 1 T T【答案】一（答案不唯一，只要满足。=-兀一亿e Z）即可）.8

22、 4 8 ，【解析】【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到s in 2a+看=s in 2a+?,由正弦函数性质可确定2a+2 +2a+工=（2攵+l）%（ZeZ）,由此可解得结果.3 6.s in a c o s a+c o s a s in a+工 s in 26 z +1 洋 加.s in a c o s a-（I 6 j _ 6 j _s in a+c o s a+s in a+c o s a+s in 2a+一I 6；I 6；I 6；I 6 j 2 I 3jjr jr 2 k +jr2 a+耳+2 a+q=（2Z +1）（Z Z）,解得：O L TCI TT T当我=0

23、时，a=7，.使得等式成立的一个a的 值 为 了（答案不唯一）.8 8故答案为：-（答案不唯一，只要满足。=竺 担 万 二（Z e Z）即可）.8 4 8 V 16.己知抛物线C:y 2=4 x的焦点为F，过尸的动直线/交。于A B两点，过A,5分别作C的切线，4，4与4交于点尸.经探究可知点P必在一条定直线上，其方程为；记4,4与 轴的交点分别为M,N,若/的倾斜角为30，则四边形P A W的面积为.【答案】x=-l .4【解析】【分析】设/：x=9+i,与抛物线方程联立可得韦达定理形式；结合导数知识可求得4,4方程，由此可求得p点横坐标恒为-1,由此可得定直线x=-1；由412方程可求得“

24、，N坐标，结合韦达定理可求得|MN|,由s =S.PMN+S.N 可求得结果.【详解】由抛物线方程知：尸（1,0）,设/:x=（y +l,A（X ，x）（y0）,3（/,%）（%0），由 x=（y +l/“得:y2=4xy2-4 ty-4 =0,yi+y2=4t71 2=-4当yNO时,由 y?=4x 得：y=2 6，：y=j=,7x,./：y=1=x+；当 y。时，由）3=4 元得：y=,：丫，=-=,又 丫2=-2后：12：y=一卡x-又 j+J R O,.X =_ J q/=-1,*,点P必在定直线工=一 1上；由4,，2方程可求得加仅，嘉），N（0，M）,：,MN=+E；当/倾斜角为3

25、 0 时，/方程为：x=J y +l,.2=4 百 ,J x,+工 2=6（乂+%）+2=14X%=T ，.玉/=1 ，=,+2，中 2=14+2=16 ,解得：|M N|=4,四边形 PMFN 的面积 S =S.PMN+S.=；|M N|x 2=4.y【点睛】结论点睛：过点（。,0）（。0）作直线/交抛物线V=2 px于A 3两点，过A 3两点分别作抛物线的两条切线，则两条切线的交点必在定直线：x=-a上.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 ,的前n项和为Sn,4=1,%=2,且Sn+2=S+1+4a”.（1）求 4 ;【答案】（1）

26、%=2 T（e N*）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知数列 4卜1是首项为4=1，公比为4的等比数列，数 列 是 首 项 为4 =2,公比为4的等比数列，求出外、4 的表达式，即可得出数列 4 的通项公式；（2）利 用 放 缩 法可得出,结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.【小 问1详解】解：由 SN=Sn+l+4an 得 an+2=4an.所以，当=2左一1(%e N*)时，a2k+l=4 a2所以数列%*_）是首项为q =1,公比为4的等比数歹U，故=卬 x 4|=1 x 4 J,即 4bl =22k2=2(2*T)T当=2%(女 e N*)时，则 a21c+2=4 a

27、 2*，所以，数 列 是 首 项 为%=2,公比为4的等比数列,所以，=4 x 4*T=2 x 41=22k-所以 a“=2 T(e N*).【小问2详解】证明：由（1）知-=；4 2-+15所以 一+一 +J 4+1 a2+1 an+1 0+出 好+/故原不等式成立.1 8.记AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,己知。s i n C =s i n C+g c o s C，A =y.（1）求c；（2）在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由.8 c边上的中线长为亚，边 上 的 中 线 长 为 近，三角形的周长为6.注

28、：如果选择多个条件2分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）c=2（2）选，三角形不存在；选，三角形存在，面积为2叵；选，三角形存在，面积为G2【解析】【分析】（1）利用三角形内角和与三角恒等变换化简求值；（2）选，方法一：由c o s/4 Z）B =-c o s N 4 Z）C,在,AADC,AABC分别用余弦定理可得方程组，求解即可；方法二：由A方=,（A月+无。），平方，结合向量数量积公式解方程；方法三：建立平2面直角坐标系，结合中点公式及两点间距离可得方程，求解；选，在AACE中利用余弦定理，可解得A C ,进而可得面积；选，在AABC中用余弦定理，结合周长，可解得各边长，进而求得面

29、积.【小 问1详解】由 /?s i n C =s i n C +G c o s C得 c s i n 3 =2 s i n C +彳71又4 =,A+B+C=TV3所以 c s i n B=2 s i n(;r -B)=2 s i n f i,而Ov，故 s i n B w 0,故。=2 ；【小问2详解】选，方法一：设8 C边上的中线为4。，则A O =上，2由 c o s ZAD B=-c o s ZAD C 得,AD*2+BD2-AB2 AD2+CD2-AC2即7 =7*(4 +2乂2 0*7+b-,即 加+2 0 +2 =0,2 4 1 2 )易知该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在

30、.方法三：如图，以A为原点，A3所在直线为了轴，建立直角坐标系.2ADBD _ 2ADCD1 2 f i 2 即2 +4=七+修，即Y=2户+6,由余弦定理 =+c 2 2/JCCOSA 得 4=一2/?+4,即/+2匕 +2 =0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.方法二：设5 c边上的中线为A。，则 通=!（而+/）,2*2两边平方得A O =回+2通.而12B点坐标为(2,0),由 边 上 的 中 线 长 为 岑 得+整理得廿+2 +2=()，该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.选，设A8边上的中线为。尸，则。尸=疗.在 AACF 中，由余弦定理得 CF?=A F2+A C

31、2-2 A C-A F c o s A，即7=1 +AC2-2 x 1 x AC cos,3整理得 AC?-AC-6=0，解得AC=3或AC=-2(舍去)，故 AABC 的面积 S-A C -A B sinA=x3x2x.2 2 2 2选，依题意得A5+5C+C4=6,由(1)知AB=2，所以 8C+C4=4,在 AABC 中，由余弦定理得，B C2=AB2+C42-2 A B -C4cos A，所以 CB?=22+042 2 x 2 x,0 4,2即 CB2=4+C42-2c4，所以(4 04)2=4+GA2 一 2 6,解得，BC=CA=2,所以 AABC 的面积 S=，AC-A8sinA

32、=L x 2 x 2 x 3 =J.2 2 219.如图，在直三棱柱A BC-AB|G中，点 为4?的中点，点尸在BC上，且AC=5C=33E.(1)证明：平面A f/，平面C C g；(2)若NABC=60。，A 4,=2 A 8,且三棱锥E-4乃 尸 的 体 积 为 乎，求CE与 平 面 尸 所 成 角 的正弦值.【答案】(1)证明见解析 州 7【解析】【分析】(1)先证明线面垂直，再证明面面垂直即可；(2)根据三棱锥后一4四尸的体积为华求出直三棱柱侧面棱长和底面边长，再建立空间直角坐标系求解即可.【小 问1详解】在直三棱柱ABC4中，。6，平面4月6，/.CC,-LAB,点 E为 AB的

33、中点，且 AC=6C,CE,：A B/：.ByL C E,C E c CCf=C ,.A旦，平面CRE,.4月 U 平面A 4广，平面平面C 0 E；【小问2详解】V ZABC=60,AC=8C,.ABC 为正三角形.设 A B =t,则 A4=2 A B =2t,由（1）可得，CE_L平面依题意得B F =-B C,故点F到平面AB耳A的距离为2C E =-x -t =-t，33 3 2 6V-BL VI ABE=R皿乂与，“见=是九E-BXF F-/i|B|E 3 AA 4E 6 3 6|g 三棱锥E-ABF的体积为此,9.正/=迪，解得f=2.18 9以E为原点，分 别 以 成，丽，丽

34、的 方 向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z,则 C(J J,O,O),E(0,0,0),4(，T，4)，用(0,1,4),F -,-,0 ,I 3 3 JA C =(-7 3,0,0),福=(0,2,0),平=母系-4 ,则n-AB.=0,_ 即n-F =Q,设平面A 4尸的法向量为=(x,y,z),2y =0,-x+y 4z 0,、3 3 令z =l，得3 =(4 6。1),C E n _-1 2ICEI-hl-V3x74 7 3.CE 与平面4片尸所 成 角 的 正 弦 值 为 拽.720.某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加(e

35、N，且2 2)次抽奖，每次中奖的概12率为一，不中奖的概率为:，且各次抽奖相互独立.规定第1 次抽奖时，若中奖则得1 0 分，否则得5 分.第3 32 次抽奖，从以下两个方案中任选一个；方 案 ：若中奖则得3 0 分，否则得0 分；方 案 ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5 分.第 3次开始执行第2 次抽奖所选方案，直到抽奖结束.(1)如果=2,以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第，次获得的分数为X,(i =l,2,)，并且选择方案.请直接写出石(X,3)与E(X j的递推关系式，并求E(X g)的值.(精确到0.1,参考数据：(

36、|)0.0 5 9.)【答案】(1)应选择方案，理由见解析；7 i n E(X,.+)=j(X,.)+y-卜9.8【解析】【分析】(1)分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；(2)依据题给条件即可求得E(X g)的值.【小 问1详解】若甲第2次抽奖选方案，两 次 抽 奖 累 计 积 分 为 则q的可能取值为4(),3 5,1 0,5.1 1 1 2 1 2%=40)=X Q=G，P(=3 5)=-x-=-,1 2 2 2 2 4p(1 0)=x =,P(J =5)=x =,3 3 9 3 3 9叱一 匕、4 0 7 0 20 20 1 5 0所以:(4)=一 +=.9 9 9 9 9

37、若甲第2次抽奖选方案，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为3 0,1 5,1 0,1 1 1 2 1 1 2 4 2 2则尸（7 7 =3 0）=3 X 3 =5,P（77=1 5）=-X-+-X-=-,P（Z7=1 0）=-X-、3 0 6 0 4 0 1 3 0E=+=，9 9 9 9因为后修）成），所以应选择方案.【小问2详解】2 i n依题意得E（X+J =qE（X,）+不，4-9-X,的可能取值为1 0,5其分布列为X1105p2323所以 E(X j=g,则 E(X j-10=-#,2 1()2由 E(X G =g E(X j+不 得E(X讣J 10=g E(X j 10,所以 E(

38、X j-10为等比数列.其中首项为 W,公比为3 3所以E(Xg)10=1 x|),故E(X8)=1 x(|)+109.8.2 221.平面直角坐标系x0y中，双曲线。：鼻_ 一卷=1的右焦点为F，T为直线/:x=l上一点，过户作7F的垂线分别交。的左、右支于P、。两点，交/于点A.（1）证明：直线07平分线段PQ；（2）若|/%|=3|。目，求|7下的值.【答案】（1）证明见解析(2)12+3J7【解析】【分析】（1）设直线尸。的方程为x=+3,设点P（%,y）、Q（%,当），将直线P0的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段R2的中点N的坐标，计算得出左恻=%，证明出。、T、N三点

39、共线，即可证得结论成立;（2）由|削=3|。臼 得 丽=3/，可 得 出 一%+3马=8,变形可得出，乩（M +二苍）+）-8 8=4%,两式相乘结合韦达定理可求得产的值，再利用两点间的距离公式可求得177f的值.【小 问1详解】解：依题意，xF=y 3+6 =3,即/（3,0）,设T（l,2r）,则直线尸。的方程为x=）+3,由 C二，N 得（2/_l）y2 +1 2（y+1 2 =（）,2x-y=6、2一IHO .设P-J则A=1 W-4 8（2二）。故F，1 2 f 1 2由韦达定理可得%+%=一书二j，%必=港 口，所以玉+%2=凹+必）+6 =一 ，2.1 1又直线P Q分别交C的左

40、、右支于尸、。两点，所以玉%2 =（3 +3）（必+3）=/必 必+3，（%+%）+9=-2包70,所以g(x)为增函数,又因为g(0)0,2所 以 存 在 唯 一 实 数 使 得g(Xo)=O.(i i)当xe 乃 时，2cosx-xsinx0.由(i)(ii)可知，(。，/，。，。超 单 调 递 减1五 知 田 送 。)。，g(x)单调递增.因为 g(。)=0,g(万)=e+u-1 0,所以存在唯一实数玉(不),)，使得g(x,)=0,所以当xe(O,5)时，g(x)0,即f (x)0,B P f(x)0,f(x)单调递增.因为/(0)=0,/(乃)=_万 _10,所以存在唯一实数：X2G

41、(X1,-),使 得/(毛)=0,即f(x)在(0,万)上有唯一零点，符合题意.当a 4,时，2/(x)=er-arsin x-x -1 ev-xsinx-x-1,i己。(x)=6”-x sin x-x-1,x e(0,hf(x)=ex(sinx+xcosx)-l,所以 (x)=e-cosx+-xsinx e-cosx+-xsinx0,所以(x)为增函数，A,(x)e-1(sin0+()cos()-l=0,所以(x)为增函数，A(x)e-xOxsinO-O-1=0,则xe(0,%),/(x)0,所以f(x)在(0，万)上没有零点，不合题意，舍去.综上，a的取值范围为(g,+o【点睛】关键点点睛：本小题主要考查导数的几何意义、函数的零点、导数的应用等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性，解题的关键是求出了(X)后无法判断其正负，所以构造函数g(x)=/(x),再次求导，又由于g (O)=l 2 a,所以分别由g (0)=l 2 a的正负入手分情况求解，属于难题