突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题专题33 立体几何中线面角的计算问题(解析版).pdf

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1、突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题专题专题3 3立体几何中线面角的计算问题【高考真题】1.(20 22全国甲理)在四棱锥尸一 4 J C D 中，PD A B C D,CD/AB,A D =D C =C B =1,AB =2,D P =/3 .(1)证明：BD工PA；(2)求P O与平面P A B所成的角的正弦值.1.解 析(1)在四边形A8CD中，作。E _ L A B于E,于尸，因为 C O A 8,A O=C Q=C B =1,A B =2,所 以 四 边 形 为 等 腰 梯 形，所以A E=B F =g,故 Q E =#，B D =4 D E2+B E2=7 3，所以心

2、+次)2=A B?,所以A D _L B D,因为 P _L 平面 A 8 C D,S O u 平面 A8CD,所以 POJ.B O,又P D c A D =D ,所以8 0 1.平面PA D ,又因尸Au平面P AD,所以8 A J _ P A；D rA E F B(2)如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，B D =3,则A 0,O,O),网0,6 0),网0,0,百),则 丽=卜1,0,丽=仅,-疯6),而=e,0,-.n-AP=-x+y/3 z=0 -(i-设平面P A B的法向量=x,y,z),贝1有 _ 厂 厂，可取“=6,1,1,n-B P=-V3y +V3z =0 则c o s

3、 ，DP)=百 赢=V，所以P O与平面P A B所成角的正弦值为 手.八z2.(2022全国乙理)如图，四面体 ABCO 中，ADA.CD,AD=CD,ZADB=/JiD C,E为 AC 的中点.(1)证明：平面BE。_L平面ACD；(2)设AB=8=2,4 4cB=60。，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面AB。所成的角的正弦值.2.解 析(1)因为A D=8,E为AC的中点，所以AC_LQE；在A8)和 AC E D 中，因为 AD=CD,NADB=NCDB,DB=DB,所以ABZ自所以AB=C B,又因为：为AC的中点，所以AC_LBE；又因为)E,BEu平面BED,DE

4、cBE=E,所以AC_L平面BE。，因为AC u平面ACD,所以平面BED 1,平面ACD.(2)连接E F,由(1)知，AC_L平面B E ),因为E F u平面BE。，所以 AC，F,所以 SO FC=；ACE F,当EFJ.BD时，E F最小，即AFC的面积最小.因为，所以 C8=2,又因为Z4CB=60。，所以AABC是等边三角形，因为E为4 c的中点，所以AE=EC=1,BE=,因 A D Y C D,所以 E=；AC=1,在 4DEB 中，OE2+BE2=BD2，所以 BE J.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则 A(l,0,0),8(0,G,0),(0,0,

5、l),所 以 而=(-1,0,1),福=卜1,6,0),设平面A3。的一个法向量为n=(x,y,z),n AD=-x +z=0n AB=-x+/3y=0取 y=,贝ij =（3,6,3）,又因为C(-l,O,O(o,乎,.，所以-1,中?设C F与平面ABO所成的角的正弦值为所以 sin 0=|cosn,CF|=,3.(2022北京)如图，在三棱柱A B C-A 5 G中，侧面B C G 5为正方形，平面8CG片，平面钙片为，AB=BC=2,M,N分别为4 4，A C的中点.求证：M N 平面BCQBi；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线A 8与 平 面 所 成 角 的

6、正 弦 值.条件：A B M N；条件：B M=M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.3.解 析(1)取A 3的中点为K,连接MK,NK,由三棱柱4 5 C-A q G可得四边形延四4为平行四边形，而5 M=M V 8 K =K 4,则,而 MK g 平面 C B B ,BB|u 平面 C B 8 Q，故 M K H 平面 C B B g ,而CN=N 4 B K =K A,则NK/BC,同理可得NK平面C明G,而 N K C M K =K,NK,MK u 平面 M K N ,故平面MKN平面CBBG,而M V u平面M K N,故MN平面CBBQi,（2）因为侧面C B

7、 8 c 为正方形，故CBLBB,而C 8 u 平面CBBiG,平面C B 4G，平面A8B|A,平面 CBB c平面 A84A=B B,故 CB J_平面 ABJ31A,因为 NKHBC,故 NK_L 平面 A B 8 1 4,因为 AB u 平面 ABqA,故 NK_LAB,若选，则 AB_LM V,而 N K LA B,NK（MN=N,故 A5 _ L 平面 MNK,而 MK u 平面 MNK,故 AB _ L MK,所以 ABA.BB,而 CB_LB8|,CBcAB=B,故 BB|_L 平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则 B（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0

8、）,M（0,l,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,设平面BMW的法向量为 =（x,y,z）,贝叫_,从而 ,取 z=-l,则=（-2,2,-1）,n-BM=0 1y+2z=0设直线A 8与平面BNM所成的角为9,则s i n=|cos=.|.若选，因 NK/BC,故N K L平面ABB1%,而KM u 平面MKN,故 NKLKM ,而 BM=BK=1,NK=1,故 B、M=NK,而用B=MK=2,MB=M N,故 ABB、M 三.MKN,所以乙珥用=NMKN=90。，故 4 q _ 1 8 片，而 CB1 BB,CBcAB=B,故 8与1.平面 ABC,故可

9、建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,4（0,2,0）,N（l,1,0）,“（0,1,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,-,、n-BN=Q fx+y=0-,、设平面RMU的法向重为 =（x,y,z）,贝 叫_,从而 八，取 z=-l,则N=（-2,2,-1）,设直线A 8与平面8NM所成的角为。，则sin6=卜 os4.（2022浙江）如图，已知 4 5 8 和。尸都是直角梯形，AB/DC,DC/EF,AB=5,DC=3,EF=,ZBAD=ZCDE=3,二面角尸-。C-B 的平面角为60。.设 M,N 分 别 为 胆 BC的中点.E F 证明：F

10、N LA D；(2)求直线BM 与平面4QE所成角的正弦值.4.解 析(1)过点E、。分别做直线D C、AB的垂线 G、并分别交于点交于点G、H.,四边形 A8CD 和 EFCZZ都是直角梯形，AB/DC,CD/EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60P,由平面几何知识易知，DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90,则四边形FCG和四边形DCBH 是-矩形，.在 Rt AEGD 和 Rt DHA,EG=DH=2/3,V D C J.C F,D C rC B,且 CFcCB=C,O C,平面8CENBC尸是二面角尸-C-8 的平面角，则 NBCF=60,/

11、XBCF是正三角形，由。C u 平面A B C D,得平面ABCD_L平面BCF,N 是 3 c 的中点，FN _L3C,又 Z)C_L 平面 BCF,FN u平面 BCF,可得 fN LC D,而 BCcCD=C,FN_L平面 A B C O,而 4u 平面 ABCD,.F N A D.(2)因为RVJ平面A B C D,过点N 做 AB平行线N K,所以以点N 为原点，NK,N B、NR所在直线分别为x 轴、V轴、z 轴建立空间直角坐标系N-*,设 A(5,0),B(0,V3,0),D(3,-73,0),E(l,0,3),则，.丽=(3,-走而=(-2,-2 逐,0),诙=(-2,右,3)

12、2 2设平面AOE的法向量为为=(x,y,z)AD=0 0由n-DE=0 付 2x 2/3 y=0 l l ,1 的梭长为 2,则 4(0,0,0),4(0,0,2),D,(2,0,2),E(0,2,1),AXI(0,0,2),j -(2,0,2),A (0,2,1).设平面4iE的法向量为=(x,y,z),由 /(不 i=0,2x+2z=0,得n 盘=0,2y+z=0,令 z=-2,则 x=2,y=1,则=(2,11 2).cos=o2因此，直线A 4 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值为东2.(2020浙江)如图，在三棱台 ABC-D E 尸中，平面 ACFD-L 平面 ABC,ZAC

13、B=ZACD=45,DC=2BC.证明：EFVDB-,(2)求直线O F与平面OBC所成角的正弦值.2.解 析(1)如图，过点。作。O L A C,交直线AC于点。，连接08.由/A C O=45。，DOLAC 得 CD=pCO.由平面ACFD_L平面A 8 C,得。1.平面A 8 C,所以。_L.BC.由 NACB=45。，BC=C D=C O 得 B O L B C.所以 BC_L平面 B D O,故 BCLDB.由三棱台4 8C-D E F 得 3 c E F,所以EFLDB.(2)法一：如图，过点。作 O H L B O,交直线BO于点H,连接C”.由三棱台A B C-D E F 得。

14、尸C。,所以直线。F与平面QBC所成角等于直线CO 与平面O BC所成角.由3C J_平面890得。故 C W _L 平面B C D,所以N O C”为直线CO与平面D BC所成角.设 C D=2 版由 D 0=0 C=2,B O=B C=得 8。=#,0 H=3,所以 s in/O C”=芈，因此，直线OF与平面D 8 C所成角的正弦值为竽.法二：由三棱台A 8 C-O E 尸得。尸C O,所以直线OF与平面QBC所成角等于直线CO与平面08 c所成角，记为6.如图，以。为原点，分别以射线O C,0 D 为y,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系。-孙z.设 C D=2，L由题意知各点坐标如下

15、：0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),0(0,0,2).因此元=(0,2,0),B C=(-1,1,0),前=(0,-2,2).设平面BCQ的法向量=(x,y,z).|nB C=0,x+y=0,由 nCD=0,即1 2cy+42 z-_0,n 可取=(1,1,1).所以 s in J=|c o s|=I O C”|=坐.OC-n因此，直线CF与平面 8C 所成角的正弦值为坐3.(2 0 2 0 全国H)如图，已知三棱柱A B C 4 5 G的底面是正三角形，侧面8 BGC是矩形，M,N分别为BC,SG的中点，P为 AM上一点，过 B iC i和尸的平面交A8 于 E,交 AC

16、于 F.(1)证明：AA/MN,且平面 4 AMM1 平面 E B iC F；(2)设。为 A iB iG 的中心，若 4。平面E B iG 凡 且 A O=A B,求直线SE与平面A i A M N 所成角的正弦值.3.解 析(1)因为M,N 分别为BC,的中点，所以M N C G.又由已知得A4/CG,故A 4i M M因为 4 5 G 是正三角形，所以8 i G J _ 4 M 又 8 1 G _ L M M 故 B C j,平面4 AMM所以平面A|4M V_L 平面EB i C tF.Z/1;(2)由已知得AML3 C以M 为坐标原点，诂 的 方向为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系

17、M一 孙z,则 A 8=2,A M=连接NP,则四边形A O N P 为平行四边形，故 PM=羊，E由(1)知平面4 A M N J _ 平面AB C.y cM正方向，|麻|为单位长，V3.竽y 4作 N Q _ L 4 W,垂足为。，则 N。，平面A 8 c.设。(0 0,0),贝！N Q=A/4(30)2,B l(a,1,寸 4一(4)2),故 盛=(一 ，一|,又=(0,-1,0)是平面4 4 MN的法向量，故si n(A格)=c o s =1,Q为/上的点，求 P B 与平面QCC所,4 一(小一),|8闽 一 3)_L 底面A B C D.设平面以。与平面P B C 的成角的正弦值的

18、最大值.4.解 析(1)在正方形ABCO中，A D/B C,因为A Q C 平面又因为A O u 平面秒1。，平面孙D C 平面P 8 C=/,所以A/)/因为在四棱锥P-4 8 C。中，底面A 8 C D 是正方形，所以A又 P D_L 平面48c。，所以4 _1 _尸。，所以/_L P O.因为0(2)如图建立空间直角坐标系Dxyz,4BC,B C u 平面P B C,所以A D 平面P B C,/.D LD C,所以 L L DC,：HP D=D,所以/J _平面 P C C.因为 PO=AC=1,则有 0(0,0,0),C(0,1,0),4(1,0,0),P(0,0,1),8(1,1,

19、0),设 Q(z,0,1),则 有 皮=(0,1,0),双=(卬 0,1),屈=(1,1,-1).设平面Q C )的法向量为=(x,y,z),贝 小Dtn=0,D n=0,即，y=0,mx+z=0,令 x=l,则 2=也 所以平面0CQ的一个法向量为n=(1,0,/H),则 c o s n,而 1+O +/7 7同 曲,7而+1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线与平面所成角的正弦值等于|c o s 1=ll+ffllSN 户+1w2+1 3 N2mzn2+1三 坐 N i+驾产坐71+1 =半，当且仅当，”=1时取等号,所以直线P B与平

20、面QCO所成角的正弦值的最大值为乎.5.(2 0 2 1 浙江)如图，在四棱锥P A B C O 中，底面A 8C )是平行四边形，乙48c=1 2 0。，AB=,B C=4,PA=yT5,M,N 分别为 B C,P C 的中点，P D1DC,P M V M D.(1)证明：A B L P M；(2)求直线A N与平面P D M所成角的正弦值.5.解 析(1)在平行四边形A B C。中，由已知可得，C D=A B=1,C M=B C=2,N C M=6 0。,所以由余弦定理可得，D M2=C D C M2-2 C DC M c o s 6 0 =3,则 CD2+DM2=I+3=4=CM,即 C

21、 Z)_L O M,又 PMCDM=M,所以 CQ_L 平面 PDW,而 PMu平面 P D M,所以 CD_LPM.因为 C4 8,所以 A8_LPM.（2）由（1）知，CO J平面P D M,又 C Q u 平面ABCD,所以平面AHCDL平面PDM,且平面A8CD平面CIPOM=OM,因为PM_LOM,且 PMu平面P D M,所以PM_L平面A8CD,连接 4 W,则 在ASM 中，AB=,B M=2,乙48M=120。，可得 AAf2=i+4212（一;）=7,又 出=仃，在 RSPMA中，求得P M=26,取 A O 中点E,连接M E,则 MEC。，可得ME、MD、A/P两两互相

22、垂直，以M 为坐标原点，分别以M。、ME、MP分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A（一5，2,0）,P（0,0,2）,C（小，-1,0）.又 N 为 PC 的中点，所以M坐，一/的,忒=（邛,|,包，平面POM的一个法向量为=（0,1,0）,设直线AN 与平面POM所成角为仇 则 sin，=|cos|=-I L=5,1 1加 故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 华.6.（2016全国HI）如图，四棱锥 P-ABCZ）中，必，底面 A8C,AD/BC,A B=A D=A C=3,必=BC=4,M 为线段AO上一点，AM IM D,N 为 PC的中点.证 明 平 面 PAB-

23、,（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.26.解 析（1）由已知得4河=?。=2.取 8P 的中点7,连接AT,TN,由N 为 PC的中点知力V8C,TN=B C=2.又AQB C,故力V触 4W,所以四边形AMNT 为平行四边形，于是M N A T.因为平面aB,A Tu 平面所以MN平面PAB.y(2)取 8 c的中点E,连接4 E.由AB=AC得 A E _L B C,c从而AELAD,且 AEny/ABZ-BE2=弋AB?=小 以 A 为坐,建立如图所示的空间直角坐标系4 一 孙2.由题意知P(丽=(0,2,-4),丽=(坐，1,一2),而=普，1nPM=O,设=(x,y,z)为

24、平面PMN的法向量，则j 丽=0,于是|C O S|但 她 一 嚏.所以直线AN与平星1 曲一7.(2 0 1 8 全国I )如图，四边形A B C O 为正方形，E,尸分起，使点C 到达点尸的位置，且 P/L B F.证明：平面P M J _ 平面A 8F Z)；(2)求D P与平面A B F D所成角的正弦值.7.解 析(1)由已知可得，BFVPF,BFLEF,又P F Q E F=F,所 以 平 面P E F.又 8尸 u 平面AB(2)作 P”_ L EF,垂足为，.由(1),得 P4_ L 平面A B F,以，为坐标原点，济 的 方向为y轴正方向，|昉为单1ZD/标原点，靛 的 方向

25、为X 轴正方向，),0,4),M(0,2,0),C(4,2,0),坐，1,2),2).f 2 y-4z=0,即 1 5 可取=(0，2,1).i+y-2 z=0,mpM N 所成角的正弦值为 嚏.别为A D,BC 的中点，以 尸为折痕把 (7折JyA乙-/F D,所以平面P F _ L 平面A 8F C.f立长，建立如图所示的空间直角坐标系 x y z.c.;-一由（1）可得，DEL P E.又 DP=2,D E=,所以 又 P F=l,EF=2,PEL PF.所以 PH=坐，E H=|，则”（0,0,0）,0,0,明，D（-l,-1,0）,所以苏=1,5,坐），前=（o,0,坐），底 为平面

26、A8FO的法向量.设 OP与平面48斤 ）所成的角为仇3则 sin，=%=坐.所 以。P 与平面ABFD所成角的正弦值为坐.|两 苏|V3，8.（2018浙江）如图，已知多面体 ABCAIBIG，AiA,BB,GC 均垂直于平面 ABC,ZABC=120,A|A=4,GC=1,AB=BC=BiB=2.证 明:ABi_L平面AIBIG；（2）求直线AC,与平面ABBt所成的角的正弦值.8.解析 方法一（1）由 AB=2,AAt=4,BBi=2,AAtAB,B B tlA B,得 A 8=4 8 i=2近,所以 AB?+AB=A图，故 A8|_L4B1.由 BC=2,BBi=2,CCi=l,BBi

27、LBC,C C iB C,得 小.由 AB=BC=2,NA8C=120,得 AC=25.由 CG_L4C,得 4 7|=行，所以 A阴+31c故又因为 A i8nB iC=B i,AiBi,B G u 平面 A iB iG,所以 ABiJ平面 AiBG.如图，过点C i作 CIO LA BI,交直线A B i于点Q,连接AD由A5_L平面A iB iC i,得平面4 8 iG _ 1 _ 平面ABB1.由 C Q L4向,平面451cle平面A8Bi=4/i,C Qu 平面4 8 ,得 CQJ_平面ABBi.所以/G A O 即为AC,与平面ABBt所成的角.由 BC,AiBi=2 /2,A

28、1 C1 =12,1,得 c o sNCj AIBI=7,si n/C4i 8i =,所以 CD=y3,故 s i n/G A O=?2=粤.因此直线AG与平面A3所成的角的正弦值是 喀.AC-i 1 5 1 3方 法 二（I）如图，以AC 的中点。为原点，分别以射线0 8,0 C 为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标 系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A（0,一小，0）,8（1,0,0）,4（0,一小，4）,1（1,0,2）,Ci（0,小，1）.因此盘尸（1,小，2）,Gi=（l,小，-2）,而 乙=（0,2小,-3）.由屁r G i =0,得山i.由癌1 7G 淳|=0,得 A 8i J_

29、 A Q.又 A 山m A i Ci=A i,AiBlt A i G u 平面 ABC,所以 4 3,平面 ABC】.（2）设直线4 G与 平 面 所 成 的 角 为 仇 由（1）可知衣 产（0,2小,1）,牯=（1,小，0）,丽 产（0,0,2）.屈=0,/y=0,设平面A B B i 的一个法向量为=（x,y,z）.由 彳 得，ji.丽 i=0,1 2 z=0,可取=（一小，1,0）.所以 si n e=|c o s|&闾蛇 同因此直线AG与平面A8 S所成的角的正弦值是 簪.9.如图，七面体A B C7）所的底面是凸四边形A B C ,其中A 8=A O=2,Z B A D=1 2 0

30、,AC,8 0互相垂直并相交于点O，O C=2 O A,棱 A E,C F均垂直于底面A B C。，且 A E=2 CF.（1）证明：直线。E 与平面B C F 不平行；若 C尸=1,求直线8 C 与平面B F D所成角的正弦值.9.解析 假 设 平面C,因为4E C尸，A E C 平面8F C,C F u 平面8 F C,所以A E 平面B F C,又因为D E平面2 F C,AEHDE=E,AE,D E t 平面A DE,所以平面4 D E 平面B F C,根据面面平行的性质定理可得A O 8 C,所 以 黑=怒.U D Cz/A因为 A B=A O,A O B D,所以 B O=O O,

31、C O=O A,这与 0 c=2 0 4 矛盾,所以O E 与平面3 尸 C 不平行.(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则 8(0,小，0),C(2,0,0),力(0,小，0),E(-l,0,2),尸(2,0,1),所以比=(2,小，0),仍=(0,2 5，0),肝=(2,一小，1).设平面8 F C 的法向量=(x,y,z),由 由 n=0,乍一2 小 y=0,D .n=0,hl2x-y3y+z=0,则 y=0,取 x=l,得 z=-2,所 以 平 面 的 一 个 法 向 量=(1,0,-2).所以直线8 c与平面8F 所成的角的正弦值为si n(?=庭 坦=2 您.的川1

32、 0.(2 0 1 7浙江)如图，已知四棱锥P-A B C。，以。是以AO 为斜边的等腰直角三角形，BC/AD,CD1.AD,P C=A D=2 D C=2 C B,E 为 P 的中点.(1)证明：CE 平面 以&(2)求直线C E与平面P 8 C 所成角的正弦值.P/E,4 DBC1 0.解 析(向 量 法)：(1)设A。的中点为O,连接OB,OP.以。是以4。为斜边的等腰直角三角形,：.OPAD.：B C=A D=O D,且 B C。/),二.四边形Beno为平行四边形,.4O_ L 平面 OPB.过点。在平面P O B内作O B的垂线O M,交 P B于 M,以。为原点，08 所在直线为

33、x轴，O O 所在直线为y轴，O M 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系,如图.设 C O=1,则有 4 0，1，0),8(1,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0).设 P(x,0,z)(z 0),由 PC=2,O P=l,得，(x-l)2+l+z2=4,得x;1，z 当s即 点f V1，。，而E为尸。的中点,设平面雨3 的法向量为=(，y i,z i),.舒/1,明，A B=(1,1,0),.)2x+y+2 Z1-0,取 y|=_,得=(1,-1,小)./i+y i=0,而 仍=(-*坐)，则 昆 =0,而 C E C 平面附8,；.CE平面外艮(2)设平面 PB C 的法向量为，

34、=(*,刈，Z 2),.进=(0,1,0),丽=(一|,0,明，/2 =0,3 小 取 1 2=1,得小=(1,0,小).-2 2+2 2 2=0,设直线CE与平面P B C 所前角为0.则 s in 0=|c os|=三 无 皿 =、g,故直线CE 与平面P 8 C 所成角的正弦值为坐.(几何法)：(1)如图，设 雨 的 中点为F,连接EF,F B.因 为 瓦 F 分别为P O,雨 的 中点，所以 EFA Z)且 E F=)Z),又因为 8 C4),B C=A D,所以 EF B C 且 EF=B C,即四边形B C E F 为平行四边形，所以C EB F.因为B F u 平面布8,C E

35、U 平面丛3,所以C E 平面B 4B.(2)分别取BC,A O的中点为M,N.连接PN交E尸于点Q,连接MQ,BN.因为E,F,N分别是PO,/次，A O的中点，所以。为E尸的中点，在平行四边形BCEF中，M Q/C E.由B4O为等腰直角三角形得PN_LAZ).由。C_LAD,N是4。的中点得8N_LAO.又P N C B N=N,所以AOJ_平面PBM由B C/AD得BC_L平面P B N,那么平面PBC_L平面PBN.过点。作/由的垂线，垂足为，连接则是M 2在平面P8C上的射影,所以/Q M H是直线CE与平面P 8 c所成的角.设 8=1.在PCQ 中，由 PC=2,CD=1,PD

36、=让得 CE=巾,在PBN 中，由 PN=BN=1,必=小 得 Q，=；,在 中，Q”=7 M Q=,所以 sinNQM=V，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是卓.O1 1.已知四棱锥P-ABC。，底面ABC。为菱形，PD=PB,为PC上的点，过A H的平面分别交尸8,PD于点M,N,且8 0平面AMaN.(1)证明：MN_LPC；(2)当 为PC的中点，P A=P C=/A B,%与平面ABC。所成的角为60。，求与平面所成角的正弦值.因为48C。为菱形，所以B D L A C.因为P D=P B,所以P0L8O.因为A Cn/Y =。，且 AC,尸。u平面P 4 C,所以8。_ L

37、平面PA C.因为P C u 平面P A C,所以BD 1P C.因为B O 平面AM H N,且平面A A/HV C平面所以B D M N,MN _ L 平面P A C,所以M M L P C.(2)由(1)知 8 O _ L A C且 PO _ L B。.因为月 4=尸 C,且。为AC 的中点，所以PO J _ A C,所以PO _ L 平面A B C。，所以P 4 与平面A B C。所成的角为NPA O,所以N P 4 O=6 0。，所以 A O=g p A,P O=P A.因为 P A=，i 4 8,所以 B O=*P A.以。为原点，O A,OD,0P 分别为x轴、y轴、z 轴建立如

38、图所示空间直角坐标系.设 P A=2,所 以。(0,0,0),A(l,0,0),0,-乎，0),C(-l,0,0),D(0,坐，0),P(0,0,所以筋=(o,o),油=(一 去 o,坐),助=(1,坐，o).,2 小 c一 励=0,看 尸 仇设平面AMH N 的法向量为n=a，y9 z),所以，即 广 初=0,/+率=0.令 x=2,则y=0,z=2 小，所以=(2,0,2 小)为平面AW7N 的一个法向量.设 AO与平面AMH N 所成角为。，所以s in 9=|c os 上，且 A E=2 E D(1)已知点F 在 BC 上，且 C F=2 F 8,求证：平面P E F L 平面/M C

39、；(2)当二面角A 尸 8 E 的余弦值为多少时，直线P C 与平面以8所成的角为45。？p12.解 析(1)：48J_AC,A8=AC,；./ACB=45。，：底面 ABC。是直角梯形，Z ADC=90,AD/BC,：.ZACD=45,即 AO=C,AC=y12AD,又 A8J_4C,：.BC=y2AC=2AD,2；AE=2E。,CF=2FB,：.AE=BF=AD,：AE/BF,四边形A8FE是平行四边形，；.ABEF,.ACLE尸，:办L底面 ABC。，：.PALEF,：FACiAC=A,PA,ACu平面 B 4C,，：/1平 面%C,又EFu平面P E F,；.平面PEF_L平面PAC.

40、(2)：PAI AC,ACLAB,PAHABA,PA,A8u 平面以 B,；.AC，平面以8,则NAPC为PC与 平 面 所 成 的 角，若PC与平面B48所成的角为45。，则 ta n/4 P C=)=l,即 R4=4C=啦，I/T I取BC的中点G,连接A G,则AGJ_BC,以A为坐标原点，AG,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Ayyz,则 4（0,0,0）,8（1,-1,0）,C（I,1,0）,电，1,0）,P（0,0,黄），二动=（1,_/。），#=（o，黄），|”.或=0,设平面尸BE的法向量为=（X,y,z）,贝KE?=0,令 y=3,则 x

41、=5,z=让，二”=(5,3,72).V A t=(l,1,0)是平面 B4B 的一个法向量,cosP，平面ABC。，点 F 为棱P D 的中点.(1)在棱A 8 上是否存在一点E,使得AF平面PC E?并说明理由；(2)当二面角。一F C-8 的余弦值为坐 时，求直线PB与平面ABC。所成的角.1 3.解 析(1)在棱AB上存在点E,使得AF平面P C E,点 E 为棱AB的中点.理由如下：取 P C 的中点Q,连接E。，FQ,由题意，尸。OC 且 FQ=：CC,AE/CD S.A E=C D,则 4E 尸。且 AE=FQ.所以四边形4EQ F为平行四边形.所以A尸E Q,又 EQu平面PC

42、E,4PC平面PCE,所以A尸 平面PCE.(2)由题意，知 4B O 为正三角形，所以E。_L4B,亦即EOJ_C。，又乙4OP=90。，所以尸_LAO,且 平 面 平 面 A 8C),平面4OPD平面A8CO=A,所以PO_L平面A B C D,故以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 D=a(a 0),则由题意知。(0,0,0),尸(0,0,a),C(0,2,0),B(小,I,0),进=(0,2,a),&=(小，-1,0),nt的=0,(2yaz=0,设平面尸8 c 的法向量为m=(x,y,z),则 由 彳 得，_mC=0,小 一 尸 0,令 x=l,则 y=/,z=$,所以取m

43、=(1,小，弓 3，显然可取平面。尸 C 的法向量”=(1,0,0),历1由题意知 4=|cos|=-所以 ay fi.V1+3+防由于P)_L平面ABC。，所 以 在 平 面 A8CZ)内的射影为8,所以NPBD 为直线P B 与平面A8CD所成的角，PD易知在 R t A PB C 中，t a n NPB Q=W 7；=a=/5,从而NPB =60。，tsu所以直线P B与平面A B C。所成的角为60。.1 4.(2 0 1 8 全 国 H)如图，在三棱锥 P-A 8 C 中，A B=B C=2 小,P A P B=P C=A C=4,。为 A C 的中点.证明：P。，平面A B C；(

44、2)若点M在棱8c上，且二面角MB A C 为 30。，求 P C 与平面B 4 M 所成角的正弦值.1 4.解 析(1)因为公=P C=AC=4,。为AC 的中点，所以P OLAC,且 P O=2 小.rz.连接08.因为A8=8C=AC,所以AA B C为等腰直角三角形，且 O 8 J_ A C,OB=AC=2.由 PO2+O B2=P B2,知 POOB.由 PO _ L O 8,PO1.AC,A C nOB=O,知 PO _ L 平面 A B C.(2)如图，以 O为坐标原点，oh,o t,力 的方向分别为X轴、y轴、Z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得 0(0

45、,0,0),8(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 小)，则#=(0,2,2 小)，取平面限C 的一个法向量防=(2,0,0).设”(a,2-a,0)(0 a|=坐.所 以/叫4 1 苦.2 2yJ3a-42+3a2+a2 2解得a=-4(舍去)或“=5.所以邛 ,一,).又 户 寸=(0,2,-2 3),所以 c os=+.所以PC与平面印股所成角的正弦值为乎.1 5 .如图，已知在长方体ABC O-ABiGA中，A D=A At=,AB=2,点 E 在棱AB上移动.求证：DiElAiD；(2)在棱AB上是否存在点E 使得Ad与平面2E C 所成的角为却 若存

46、在，求出AE 的长，若不存在,说明理由.1 5 .解 析 Y A E，平面 4 4。，AQu平面 A 4。，：.AEAiD.;在 长方体 A B C。一A i B i CQ i 中,AD=AA=,：.ADLAD.,：AECADt=A,平面 A E i.：9&=平面 AE Q,：.DEVAD.(2)以。为坐标原点，DA,DC,)d 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设棱AB上存在点E(l,r,0)(0 Z i C的法向量为/i=(x,y,z),贝 内 取 y=l,得 =(2 r,1,2),日=x+f 2 y=0,.斌=1 血j l=厂”，)，整理，得户+4f 9=0,解

47、得 小 一 2或 片 一 2 一 回(舍去)，6网|同 巾 业 22+5，在棱4 8 上存在点E 使 得 孙 与平面 i EC所成的角 为/此时4 =巫 一 2.1 6 .如图所示，在四棱锥P-A B C。中，侧面底面A B C Q,底面A B C O 是平行四边形，ZABC=45,A D=A P=2,A B=D P=2 吸,E 为 C O的中点，点 F在线段P B上.求证：ADLPC-,(2)试确定点F的位置，使得直线E F与平面P Q C所成的角和直线E F与平面A B C O所成的角相等.1 6.解 析(1)如图所示，在平行四边形A B C O中，连接A C,因为 4 8=2 W，B C

48、=2,ZAB C=45,由余弦定理得，AC2=AB2+B C2-2 AB B C cos 45=4,得 A C=2,所以N A C8=9 0。，即 5 C_L A C.入 A D U B C,所以 A O J _A C.因为 A O=A P=2,DP=2 2,所以以 _L 4O,又A a i A C=A,AP,A Cu平面出C,所以A L L平面用C,又P Cu平面以C,所以A )J _尸C.因为侧面B 4O _L底面A B CD,P A 1 A D,侧面刑0 n底面A B CD=A O,B 4u侧面B A D,所以出_L底面A 8CD,所以直线4C,AD,A P两两垂直，以A为原点，直线A

49、,AC,A P为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,2,0),8(2,2,0),E(1,1,0),P(0,0,2),所以比=(0,2,-2),可=(-2,0,-2),曲=(2,2,-2).PF 设 丽=“e 0，1 1).则可=(2 2,2；,-2；),F(2A,2 2,2 2+2),所以存=(2 7+1,2 z-l,-2 z+2).易得平面A B C。的一个法向量为,”=(0,0,1).死=0,-2 z=0,设平面P O C的法向量为”=(x,y,z),由，得jn-Pb=0,l-2 x-2 z 0,令 x=l,得=(1,1,-1).

50、因为直线E F与平面P/)C所成的角和直线E尸与平面A 8c。所成的角相等，所以|c os V或m|=|c os|,即 川=回,川,所以|-2 2+2|=,Eh m E l=n W即小以一1|=以|(7 0,1),解得入=汨 在，所以1=宜 手，即当 篇=与 时，直线E F与平面P D C所成的角和直线E F与平面A B C D所成的角相等.AD CF 11 7.等边 A B C的边长为3,点 Q,E 分别是A B,AC 上的点，且满足能=詈=京如图)，将 A Q E沿ULS 2.OE 折起到 4 O E 的位置，使二面角4-OE 8 成直二面角，连接A 小，AC(如图).(1)求证：平面 B