重庆市名校联盟2022届高三下学期第一次联考数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、重庆市名校联盟2022年春期第一次联合考试数学试题本试卷总分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.3.请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第 I卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合4 =止1%6

2、0)的左右焦点为6尸2离 心 率 为 弓，过F 2的直线1交C与A,B两点，若 ARB的周长为46，则C的方程为2 2D.三+二1 2 4=15 .设等差数列 4 的前项和为S“，若%+。6 =%+4,则 品=()A 4B.68C.136D.2726 .函数/(无)=1 一 s i n x 图象的大致形状为()7 .记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A.1 4 4 0 种 B.9 6 0 种 C.7 2 0 种 D.4 8 0 种8 .若函数f(x)满足/(x)=/(x +2),且当1,1 时，f(x)=x2,则函数 y=/

3、(x)与函数y=l g|x|的图像的交点个数为().A.1 8 个 B.1 6 个 C.1 4 个 D.1 0 个二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9 .若(x +工)的展开式中第3 项与第8 项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为()A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项1 0 .已知向量。=(2,1),%=(1,一 1),c=(m-2-n),其中加，均为正数，.fa-b)/c,下列说法正确是()A.与石的夹角为钝角 B.向量在坂方向上的投影为4C.2 m

4、 +n=4 D.的最大值为21 1.如果两个函数存在关于轴 对 称 点，我们称这两个函数构成类偶函数对，下列哪些函数能与函数)=一构成类偶函数对()A./(x)=2AB./(x)=x2-x-3C./(x)=l n x+2 D./(x)=2+J x+21 2.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y 2=2 p x()的 焦 点 为 凡 点 M(l,2),/、/、U li U li UUU 1A(X ,y),3(%,%)都在抛物线上，且 必+F8+FM=0，则下列结论正确的是()A.抛物线方程为y2=2x B.F是 A8M的重心C.|+177M +1/目=6 D.S鼠FO+SBFO+S MF

5、O=3第n卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .设随机变量X服从正态分布N(2,/).若尸(X 0)=0.9,则尸(2X4)=.31 4 .已知c o s e =-g,则c o s 2。的值为.1 5 .已知函数4 x)=l n x-a,若/(x)/在(1,+8)上恒成立，则实数。的 取 值 范 围 是.1 6 .已知直三棱柱A B C-45。的侧棱长为2,AB1BC,A B=8 C=2,过A 8,8囱 的中点E,尸作平面a与平面A4CC垂直，则所得截面周长为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .已知等差数列 4的前几项和为

6、S，且4=3,S5=2 5 .(1)求数列 a,的通项公式；(2)设a =+2-,求数列也,的前”项和T.1 8 .AABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为“，b,c,且 b s i n A c o s C =a(6 c o s A-c o s 5 s i n C).(1)求A ；(2)若AABC1的外接圆半径为2,且b c =0,求AABC的面积.21 9 .如图，四边形 A B C O是正方形，2 4 _ L平面 A B C。，EB/PA,A B =Q 4=4，E B =2,F 为 P D的中点.(1)求证：B D 平面P E C；(2)求二面角。P C E的大小.2 0.某农科所对

7、冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 1 2 月 1 日至1 2 月 5日的每天昼夜温差与实验室每天每1 0 0 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期1 2 月 1 日1 2 月 2日1 2 月 3日1 2 月 4日1 2 月 5 I I温差X ()1 01 11 31 28发芽数y (颗)2 32 53 02 61 6该农科所确定 研究方案是：先从这5 组数据中选取2 组，用剩下的3 组数据求线性回归方程，再对被选取的2 组数据进行检验.(1)求选取的2 组数据恰好是不相邻两天数据的概率；(2)若选取的是1 2 月 1日与1 2 月 5日的数据，

8、请根据1 2 月 2日至1 2 月 4日的数据求出y 关于x 的线性回归方程=B x+%.附：3 =上 一;-，a=y-b x.Z()2i=l?v2 12 1.已知椭圆C：T+%=l(a 人)的离心率为5，左、右焦点分别为G，H，过点。(0,3)的动直线/与C交于4,8两点，且当动直线/与y 轴重合时，四边形A 耳的面积为2 6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若AABE与AABF2的面积之比为2:1,求直线/的方程.2 2.已知函数/(工)=/1工 29 一法+口 工(1)讨论函数/(%)的单调性；(2)设赴(赴)是函数f(x)的两个极值点，若人之|，且/(%)/()之左恒成立，求实数A的最

9、大值.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合A=止l x b 0)的左右焦点为F|,F2离 心 率 为 与，过F2的直线1交C与A,B两点，若A A B B的周长为4 6,则C的方程为AA.-1-2-1-y-2 =1 RB.x-2-1-y2 =11 C.-X-2-1-y-2=1 D.%-2-1-y-2-=_ 13 2 3 1 2 8 1 2 4【答案】A【解析】【详解】若 A B B的周长为4 6，由椭圆的定义可知4a =4 6，,。=百，：e=c=,a 3:.b2=2,x2 v2所以方程为土+=1,故选A.3

10、2考点：椭圆方程及性质5.设等差数列 6,的前”项和为S“，若 为+4=%+4,则S*=()A.4 B.6 8 C.1 36 D.2 7 2【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质求出佝的值，然后利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由等差数列的性质可得%+。6=。2+4=。2+。9，则 佝=4，因此，山:47)=7 a9 =6 8.故选：B.6.函 数/(%)=(二，一1卜11图象的大致形状为()【解析】【分析】利用奇偶性定义判断了(X)的奇偶性，结合7(2)的符号，应用排除法确定答案.2 2【详解】由/(-%)=(-1)-sin(-幻=(-1)sin x=f(x)且定义域为R，1+

11、e 1+e所以/(X)为偶函数，排除c、D；2 2/(2)=(-7 l)s i n 2,且5-1 0.即/0,所以与坂的夹角为0，W)，故选项A错误；a-h 1 2对 于B：向量在加方向上的投影为瓦=耳=耳，故选项B错误；对于C：-*=(1,2),因为口词/丘,V均为正数，所以 为非零向量，且-n =2 m-4,2 m +n =4,故选项 C 正确；对于D：由基本不等式知，4=2/n+n lyjlmn,mn 轴对称的点，我们称这两个函数构成类偶函数对，下列哪些函数能与函数=一构成类偶函数对()A./(x)=2AB./(x)=x2 x-3C./(x)=l n x+2 D.x)=2+Jx+2【答案

12、】B CD【解析】【分析】由题意转化为所求函数与y=x有交点即可求解.【详解】因为y=-x关于y轴对称的函数为=，所以能与函数y=-X构成类偶函数对的函数与=%有交点，令/(x)=2*+x =x,可得2*=0,无解；令/(x)=f x-3 =x,可得2%一3 =0，有解X=-1,3；令/(x)=ln x+2 =x,即ln x =x-2,如图令/(X)=2+W T=X,即 疝2=X-2,两边平方可得/一5X+2=0(XN 2),解得5+717-5-V 1 7，仝 土、X,=-，或工2=(舍 去)故选：BCD1 2.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y?=2 p x(0)焦 点 为 凡 点M

13、(l,2),A(X,y),3(%,%)都在抛物线上，且 需+地+随=力，则下列结论正确的是()A.抛物线方程为y2=2 x B.F是 A BM的重心C，I网|+归+=6 D.S鼠FO+SBFO+S工MFO=3【答案】BCD【解析】【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得/是AABM的重心，利用抛物线的定义可得|FA|+|W|+|FB|=6,利用三角形面积公式及M+九2 =2,可得SMFO+S 3F+SNMFO=3.【详解】对于A,由(1,2)在抛物线上可得4=2 ，即抛物线方程为V=4 x,错误；对 于B,分别取的中点 ,*,则 总L+用=2防，=-2 F D 即/在 中 线 上，同

14、理可得尸也在中线的上，所 以 尸 是 的 重 心，正确；uir uuir uur对于C,由抛物线的定义可得E4=玉+1,FM =2,F B=X2+1,I uur uuir所 以 陷+F Muur+F B=%+赴+4.由尸(1,0)是AABM的重心，所以内+；+1=1,I uir I uuir uir所以F M +F B=%+4=6,正确；即%+%=2,对于 D,S2 Mm n.UlyJ ,S2AFO=y）2=x,；同理 SBPO=1%2 =/，S2AMFO=1，所以 SAFO+SB FO+S M F O =玉 +%2 +1 =3，正确故选：B CD.第n卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

15、共20分.1 3 .设随机变量X服从正态分布N（2,b 2）.若P（X 0）=0.9,则尸（2X 4）=.2【答案】0.4#-【解析】【分析】根据正态分布的对称性可求.【详解】因为随机变量X服从正态分布N（2,b 2）,所以正态曲线的对称轴为x =2,所以尸（X 4）=1-P（X 0）=0 1,所以 P（0X 4）=1 2 x 0.1 =0.8,所以尸（2X 4）=g x 0.8=0.4.故答案为：0 431 4 .已知c o s 6=-，则c o s 2。的值为.7【答案】一元【解析】【分析】由二倍角公式计算即可.3 7【详解】c o s 2 =2 c o s2-l=2 x（-）2-l=-.

16、7故答案为：石1 5.已知函数x）=l n x-a,若/（x）/在（1,+8）上恒成立，则实数。的 取 值 范 围 是.【答案】T”）【解析】【分析】利用参数分类法，转化求函数的最值问题，构造函数求函数的导数，利用导数法进行求解即可.【详解】若f （x）V x 2在（1,+0 0）上恒成立，则等价为Inx-aVx?在(1,+oo)上恒成立，即lnx-x2a在(1,+oo)上恒成立，设 h(x)=Inx-x2,1 l-2x2则 h(x)=一-2 x=-,X X当xNl时，h(x)l 时，h(x)-1,故答案为-1,-Foo).【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及构造法是解决本

17、题的关键.综合性较强.16.已知直三棱柱ABC-481cl的侧棱长为2,AB B Cf A B=B C=2,过A8,8囱 的中点E,尸作平面a与平面A 4G C垂直，则所得截面周长为【答案】372+76【解析】【分析】结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面a,运用勾股定理，计算可得所求值.【详解】如图所示，取AC的中点。，连接B。，取4 c l的 中 点 连 接5 9,取A。的中点G,连接E G,连接EF,分别取G。”81G的中点M,N,连接MM FN,G M,可得 EGBD,B DB iDi,MN/B D,即有 EGMN,又由AB=BC,可得8

18、 0,AC,因为441，平面ABC,可得所以BZ)_L平面AAQC,可得EG J_平面4Ale C,由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNb_L平面AAGC,则平面E G M N F即为平面a,A/?i5由 EG=-8O=J,GM=j4+2=，M N=-BiD=,N尸=7171=正，F E=6,2 2 2 2故答案为：3夜+卡.BE4 Di M G四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知等差数列 为 的前项和为S.,且=3,55=2 5.（1）求数列 4的通项公式；（2）设=%+求数列 a的前项和求.【答案】（1）2n-l n2+2-l【解析

19、】【分析】（1）设等差数列 6,公差为乩 首项为，根据已知条件列出方程组求解a”d,代入通项公式即可得答案；（2）根据等差、等比数列的前项和公式，利用分组求和法即可求解.【小 问1详解】解：设等差数列%公差为乩 首项为，4=1d=2,I,2、所 以%=l+（l）x 2 =2”l ；【小问2详解】解：bn=an+2-=2 n-+2-,所以（=.?（+？匕1）+上2 1 =川+.2 1-21 8.A/WC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为“，b,c,且 Z?s i n Ac o s C=a（百 c o s A-c o s Bs i n C）.由题意，有 5x 4 ,，解得，5a,+-d=25(

20、1)求 A ;（2）若AA B C的外接圆半径为2,且b c =3,求AA B C的面积.2【答案】（1）A=地4【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化得s in Bco s C =G e o s A-s in C eo s B,再由两角和的正弦公式可得s in（B+C）=V 3 co s A,从而得s in A =Jico s A，即t a n A =g，所以得A =*（2）由三角形外接圆的半径可计算得边长。，从而得b-c,由余弦定理代入即可计算出C,所以得三角形的面积.【小 问1详解】由已知及正弦定理得 s in B s in A co s C =s in A （百 co s A -co

21、 s B s in c j,又 A （0,兀），/.s in A W 0,*s in 3 co s C =6co s A-s in C co s B，s in B co s C+co s Bs in C =y/i co s A，工 s in（8 +C）=6co s A,B|J s in A =V 3 C O S A，*t a n A =/3，又4（0,兀），A=.3小问2详解】V A BC的外接圆半径R =2，a 2Rs in A-4 s in =23 ,b c=,3 2由余弦定理得6 =+/-2bccosA=b2+。2 _bc=（b-c）2 +b c,即 12=3+c，则。c=9,，z iA

22、 BC 的面积 S =Z?cs in A =x 9 x =.2 2 2 4【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理；应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围.19.如图，四边形 A B C O是正方形，平面 A 5C D,E B/P A,A B =P A=4,E B =2,F为 P D的中点.p(1)求证：B D 平面P E C；(2)求二面角。PC E的大小.【答案】(1)证明见解析.6【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，求 得 而=2而，结合

23、线面平行的判定定理即可证明:(2)求出平面的法向量，求解两个平面的夹角.【小 问1详解】依题意，2 4，平面48。，且四边形ABCD是正方形以A为原点，分 别 以 丽，而，而 的 方 向 为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0),8(0,4,0),C(4,4,0),(4,0,0),尸(0,0,4),(0,4,2),/(2,0,2)取PC的中点M,连接EW.二 M(2,2,2),则 由=(2,2,0),而=(4,-4,0)，B D =2 E M，：B D/E M，,/70 u 平面 PEC,8。二平面 PEC,B D H 平面 PEC.小问2详解】A D=P A，/为P

24、D的中点，则#=(2,0,2),PC=(4,4,-4),.-.AF.PC=O：.A F P C又尸。c 尸。=尸，平面P C D,故/=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量，设平面 P C E 的法向量为n=(x,y,z),因 为 定=(4,4,-4),P E=(0,4,-2),n-PC=OnP E =04x+4y-4z=04y-2z=0令 y =-l,得 x =l,f en =(-1,-1,-2).设二面角D-PC-E的大小为6,则 co s 0=|co s(A F,n)l =|2 0 4|/32V 2.V 6-2S 7 7由图知，所求二面角为钝角，所以二面角D-PC-E的 大 小 是 6

25、20.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12月 1 日至12月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月 1 日12月 2 日12月 3日12月 4日12月 5 日温差X()101113128发芽数y （颗）23253 02616该农科所确定的研究方案是：先从这5 组数据中选取2 组，用剩下的3 组数据求线性回归方程，再对被选取的2 组数据进行检验.（1）求选取的2 组数据恰好是不相邻两天数据的概率;（2）若选取的是1 2 月 1 日与1 2 月 5 日的数据，请根据1 2 月 2日至1 2

26、月 4 日的数据求出y 关于x 的线性回归方程 =%+机附：刃=-，a=y-hx-之（外一可?i=l3【答案】（1）-(2)y =*x-32【解析】【分析】(1)依据古典概型去求解即可；(2)依据公式代入，先 求 入7,再去求66即可求得y关于x的线性回归方程.【小 问1详解】从这5组数据中选取2组，可以得到1 0种可能的结果：(1 日，2 日)，(1 H,3 0),(1 日,4 日)，(1 日，5 日)，(2 日，3 日)，(2 B,4 日)，(2 E ,5 日)，(3 日，4 日)，(3 日，5 日)，(4 H,5 日)其中恰好是不相邻的两天有6种，则选取的2组数据恰好是不相邻两天数据的概

27、率为2=|【小问2详解】依 据1 2月2日、3日、4日的数据求y关于x的线性回归方程则可令 =1 1,%2 =1 3,无3=1 2,y =2 5,%=30,%=2 6则 H=g(l 1 +1 3+1 2)=1 2,=*2 5 +30+2 6)=2 73-x)(y,-y)=(1 1 -1 2)(2 5-2 7)+(1 3-1 2)(30-2 7)+(1 2-1 2)(2 6-2 7)=5/=1(七一元)2=(1 1 1 2 +(1 3 1 2 +(1 2 1 2)2 =2,/=1人 5 人 5则匕=_,a=y-b-x =27一一xl2 =-32 2则y关于X的线性回归方程为y =|X 一 3丫2

28、 2 12 1.已知椭圆C：/+=1(。人 0)的离心率为5,左、右焦点分别为6，入，过点P(0,3)的动直线/与C交于A,B两 点,且当动直线/与y轴重合时，四边形AF产鸟的面积为2石.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若AABG与AAB6的面积之比为2:1,求直线/的方程.2 2【答案】(1)+-=14 3(2)9 x+y-3=0.【解析】【分析】根据离心率和直线/与y轴重合时四边形A G B E的面积列出方程，结 合/=。2+。2,得到。=2,b=，进而求出椭圆方程；（2）根据AABK与AAB鸟 的面积之比为2:1,转化为线段的比值，分为两种情况，进而求出直线/的方程.【小 问1详解】如图

29、，四边形Af；B6的面积为耳6 Q 4=2 c m=2g,又因为?=a2 b2+c2解得：a =2,2 2b=6 所以椭圆c的 标 准 方 程 为 三+工=1；4 3【小问2详解】当直线/的斜率不存在时，此时AA5K与AAB鸟 的面积相等，不合题意；当直线/的斜率存在时;设直线/方程为y =Ax+3与尤轴的交点为。，则。（一j o）,因为AABI与AAB8的面积之比为2:1,如 图1,3 3则耳月二冢。，故；c =2 c,即7=3,解得：k=-l；直线/的方程为x+y 3=0；如图2,则k k叫=3 他,即2 c =3卜+：,解得：k=-9,直线/的方程为9 x+y -3=0；经验证，直线x+

30、y 3=0与椭圆无交点，不合题意;综上：直线/的方程为9 x+y-3=01 92 2.已 知 函 数=/?x+ln x.（1）讨论函数/*）的单调性；（2）设 为，与（）是函数/（x）的两个极值点，若人之 ，且/（七）一/（）2%恒成立，求实数左的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）-2 In 28【解 析】丫？-Z i Y-4-1【分析】（1）尸一以十，进而分_ 2 W b W 2,b-2,匕2三种情况讨论求解;x（2）结 合 得 玉+=工 也=1，进而/（玉）一/（）=:土 一 五+ln上,再令土=f，根据2 1%2 7 X2 X2玉 x,和 2 得0，,进而令（/）=-1+In Z,

31、0/一,求函数最小值即可得答案.2 4 5 2t 2 4【详解】解：（1）函数的定义域为（0,+8）,fx）=x-b +-=xb x+i，X X所以当后一 4W 0，即一2 W bW 2,1（x）N 0成立，故函数/（x）在（0,+。）上单调递增;当万2 一4 0,即匕2或/?一2时，当-2时，/（x）2 0在（0,+“）上恒成立，故函数f（x）在（0,+纥）上单调递增；当人2时，由 必 公+1 =。得 纪业三0 处也三。且玉 多，1 2 2 2所以尸（X）0的解集为（0,3）1 _）（无2，+8），/（工）0的解集为（王，工2），所以函数/（幻在（0,%）和（马，”）上单调递增，在（%,）上

32、单调递减.b _ _ 4、综上，当力2时，函数F（X）在（0,+“）上单调递增；当b 2时，函数/（X）在0,-W 和b+J护-4|b7 b 2-4 b+lb2-4r,上单调递增，在 一号，-j上单调递减.（2）由（1）得.与 是 方 程V-法+1 =0的两个实数根，所以玉+x2=b,xtx2=1所 以/（西）一/（工2）=3片-bX+lr iX +bx2-ln x2（x；x；）+/7 （/%）+I n -=/（一 I）+（玉 +/）（x，%）+I n -_1三 五 +ln五,2 1%x2 J x2令五=f,由于王 赴，所以0，v l,又因为82925所以(玉 +x2)-=b2 ,即/=区区_

33、 =+区+2 2生，解得或王 龙244所以。储,令/i(7)=-L +ln f ，Q t ,v 7 2r 2 4f i f r D l /1 1 1 厂+21 1 (f 1)明以/l Q)=-T-F-=-;-=-;0，)2t2 2 t 2-2t2所以函数(/)=51 g 1 r +h w在(0,；上单调递减,2t2所以M A T1 5-21 n 2,8所以/(%)-/(超)的最小值为”21 n 2,8所以实数后的取值范围为449一21 n 2,即人的最大值为叵 21 n 28 8【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力,分类讨论思路，是难题.本题第二问解题的关键在于结合X +%=6，用巧=1整理化简得/(%)一/(赴)1(-强-五+ln五,2X x?)工2进而根据换元法令之，并求得范围。，,最后将问题转化为求函数最值