普通高等学校招生全国统一考试湖北卷（《数学》理）.pdf

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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）全解全析一、选择题:本大题共1 0 小题,每小题5 分，共 5 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数的最小值为（A.3答案:选BB.5 C.6 D.10)解析：由 展 开 式 通 项 有=C；（3x2=C,（-2/-由题意得2-5 r=0=厂（r=0,1,2 ,-1）,故当八=2 时,正整数的最小值为5,故选B点评:本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求.本题中“非零常数项”为干扰条件.易错点:将通项公式中C；误记为。,丁，

2、以及忽略r=0,1,2,-1 为整数的条件.2.将 y =2 c o s g +的图象按向量a=寸-2 平移，则平移后所得图象的解析式为（)答案:选A解析:法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点P （x,y ）,P（x，V）,则”（一 ：,一 2）=P P =（x-x x=x +?，=y +2,带入到己知解析式中可得选A法二 由a =（-?-2）平移的意义可知,先向左平移?个单位,再向下平移2 个单位.点评:本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入,为简单题.易错点:将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移一个单位，再向下平4移 2 个

3、单位，误选C3.设 P和 0是两个集合,定义集合尸一 0=R|X/AD R C0 ,如果尸=x|l o g 2 X l ，1第 1页 共 1 6 页0 =工|人 一2|1 ,那么产一。等于（）A.x|O x l B.*O x Wl C.9|l Wx 2 D.g|2 Wx 3 答案:选B解析:先解两个不等式得P=x|0 x 2 ,0 =*|l x g 2 x 用 _ L ;z n L =机 L;,与n相交=机与 相交或重合；“与 平行=m与 平行或重合.其中不正确的命题个数是（）A.1 B.2 C.3.4答案:选D解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，可知均错，具体可观察如图的正方体:A

4、C 1 BD但A ,B D 不垂直,故错；A 1 B 1 /g但在底面上的射影都是A B故错；A C,BD相交，但4。,BD异面,故错；ABC D但AXB,C Q异面,故错点评:本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解.关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同;线在面内，线面平行,线面相交的不同位置下,射影也不相同.要从不用的方向看三垂线定理,充分发挥空间想象力.易错点:空间想象力不够,容易误判、正确，而错选B或C5.已知p和q是两个不相等的正整数，且q 2 2,则 皿 +：一（）q q-i答案:选c解析:法一 特殊值法，由题意取P =1,4 =2,2第2页 共1 6页可见应选

5、c法二v 1 +(1+x)+(l+X)2+(!+x y 1 -(+x)1 -(1 +x).(l +x)m-l =x l +(l +x)+(l +x)2+-(l +x)m-1令x =,，m分别取2和q,则原式化为nv l i m I 1 +|=1,l i m|1 +j=1 +|=1,“A n)n)n 所以原式J（分子、分 母】的个数分别为P个、M）点评:本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论,即同时考察学生思维的灵活性.当不能直接运用极限运算法则时,首先化简变形,后用法则即可.本题也体现了等比数列求和公式的逆用.易错点:取特值时忽略P和q是两个不相等的正整数的条件,误选B;或不知变形而

6、无法求解,或者认为是。型而误选B,看错项数而错选D06.若数列 4 满 足 编 =p（p为正常数，e N*）,则称 为 为“等方比数列”.甲：数列%是等方比数列；乙:数列 4 是等比数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案:选B解析：由等比数列的定义数列,若乙：%是等比数歹U,公比为q,即 也.=4=冬.=/则a”4+i甲命题成立;反之,若甲：数列 4 是等方比数列，即&=/=旦乜=土“即公比不一定为q,则命题乙不成立，故选B点评:本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换.要是等比

7、数列，则公比应唯一确定.3第 3 页 共 1 6 页易错点:本题是易错题.由 4=n&北=yp,得到的是两个等比数列,而命题乙是指%4一个等比数列，忽略等比数列的确定性,容易错选C7.双曲线G：0-1=1（。0,b0）的左准线为/,左焦点和右焦点分别为耳和久；抛a b物线G 的准线为/，焦点为g；G 与G 的 一 个 交 点 为 ，则一P雪 等 于 （）MFi MF2A.-1 B.1 C.答案:选A解析：由题设可知点“同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得.四卬一|尼|=2a=孙|9闾=出 M R2=M D c-a c-aMFX =MD2 ac故原式 _ 2。_ c _

8、a _ c a _ _，选 A2 ac 2 a 2 a ac-a c-a点评:本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组,消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性.易错点：由于畏惧心理而胡乱选择,不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识.8.已知两个等差数列 4 和 b,的前n项和分别为An和B,且=7 +45,则 使 得%为整数的正整数的个数是()纥+3 b“A.2 B.3 C.4D.5答案:选D解析：由等差数列的前n项和及等差中项,可得2 =*+*)=5(21)(4+*)b g(4+2-i)g(2 -1 )3+b2 n_t)二 7(2 1)+45 1 4+3 8

9、 7 +1 9 刀 1 2 小 吟,B2 n_(2 一 1)+3 2 n-+-2 +1 +1故=1,2,3,5,1 1 时,%为整数.故选D4第 4 页 共 1 6 页点评:本题主要考察等差数列的性质,等差中项的综合应用，以及部分分式法,数的整除性是传统问题的进一步深化,对教学研究有很好的启示作用.易错点:不能将等差数列的项与前项和进行合理转化,胡乱选择.9 .连掷两次骰子得到的点数分别为?和，记向量4=（加，）与向量 的夹角为氏则0弓的概率是（）56答案:选C解析：由向量夹角的定义，图形直观可得,当点/（掰,）位于直线丁=%上及其下方时,满足。e（0片，点、A（m,）的总个数为6X 6个,而

10、位于直线y =x上及其下方的点2 1 7/（见）有6+l +C；+C；+C：+C=21个，故 所 求 概 率=石=古,选C点评:本题综合考察向量夹角，等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法.T T易错点:不能数形直观,确定点的位置,或忽略夹角范围中的左，而误选A2io .已知直线二+2=1（%b是非零常数）与圆/+_/=io。有公共点，且公共点的横坐a b标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A.6 0 条 B.6 6 条 C.7 2 条D.7 8 条答案:选A解析:可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,而圆%2+产=1 0 0上的整数点共有12个,分别为（6

11、,8）,（6,8）,（8,6）,（-8,6）,（1 0,0）,（0,1 0）,前8个点中，过任意一点的圆的切线满足,有8条；1 2个点 中 过 任 意 两 点,构 成=6 6条直线,其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴,还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有5 2条.综上可知满足题设的直线共有5 2 +8 =6 0条，选A点评:本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识,既要数形结合,又要分类考虑,要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征.是较难问题易错点:不能准确理解题意,甚至混淆.对直线截距式方程认识不明确,认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示;对圆上的整数点探索

12、不准确,或分类不明确,都会导致错误,胡乱选择.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分，共2 5分.把答案填在答题卡相应位置上.5第 5 页 共 1 6 页1 1 .已知函数y =2 x-a的反函数是y =b x +3,则。=；b =.答案：。=6,6 =!解析：由互反函数点之间的对称关系,取特殊点求解.在y =b x+3上取点（0,3）,得点（3,0）在y =2 x-a 上,故得a =6 ;又 =2 x-6上有点（0,-6）,则点（一6,0）在y =b x +3点评:本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用.直接求反函数也可,较为简单.易错点：运算错误导致填写其他错误答案.1 2 .复数z =

13、a +6 i,a b e R,且6工0,若z?4历是实数,则有序实数对（a,b）可以是.（写出一个有序实数对即可）答案:（2,I）或满足a=2 b的任意一对非零实数对解析：由复数运算法则可知z2-4bz=a2-b2-4ab+（2 ab-4b26由题意得lab A b1-0（b 丰 0）,；.a-2 b（a 0,b 丰 0）,答案众多，如（2,1）也可.点评：本题主要考察复数的基本概念和运算,有一般结论需要写出一个具体结果,属开放性易错点:复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出a =2 6,不合题意要求.x-y+3 2 01 3 .设变量x,y满 足 约 束 条 件+则目标函数2 x +y

14、的最小值为 2W京，33 y答案：一5 /解析：由约束条件得如图所示的三角形区域，、/令2 x +y =z,y =-2 x +z,显然当平行直线过点（-d）时,z 取得最小值为-5 x点评:本题主要考察线性规划的基本知识,考察学生的动手能力2作图观察能力.易错点:不能准确画出不等式组的平面区域,把上下位置搞错，以及把直线间的相对位置搞错,找错点的位置而得到错误结果.1 4.某篮运动员在三分线投球的命中率是,，他投球1 0次，恰好投进3个球的概率2.（用数值作答）第6页 共1 6页解析:点评:本题考察n次独立重复试验中，某事件恰好发生k次的概率,直接用公式解决.易错点:把“恰好投进3个球”错误理

15、解为某三次投进球，忽 略“三次”的任意性.1 5为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释 放 嘤 月每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间八小时）成正比；、了（毫兄药物释放完毕后,y与/的函数关系式为歹为常数），如图所示.据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；t（小时）（I I）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2 5毫克以下时,学 生方可进教室,那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.10/(0 /0）解析：（1）由题意和图示，当时，可设=股（人为待定系数），由于

16、点（0,1,1）在直线上，.后=1 0;同理，当，0.1时，可得 1 =n O.l a =0na=L（I I）由题意可得y 4 0.2 5 =w,即得(Fz 0.1=0 /或4 00 /3 c o s 2。+1 =2 s i n2-yj+l.研羽,2”科鳄.2 i n l 2-yj+l3.即当，咤JTT时,/(%、=3 ；当”:TT时,/(%1,=2 .1 7.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.解：分组频数频率 1.3 C 0 1.3 4)40.0 4 1.3 4 1.3 8)2 50.2 5 1,3 3

17、1.4 2)3 00.3 0 1,4 2 0 1.4 6)2 90.2 9 1,4 6 0 1.50)1 00.1 0 1.5C 0 1.54)20.0 2合计1 0 01.0 0(II)纤度落在 1,3 3 1.50)中的概率约为0.3 0 +0.2 9+0.1 0 =0.6 9,纤度小于1.4 0的概率约为 0.0 4 +0.2 5+-x 0.3 0 =0.4 4.2(III)总体数据的期望约为1.3 2 x0.0 4 +1.3 6 x 0.2 5+1.4 0 x 0.3 0 +1.4 4 x0.2 9+1.4 8 x 0.1 0 +1.52 x 0.0 2 =1.4 0 8 8 .1 8

18、.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.第 8 页 共 1 6 页解 法1:（I ）：/C =5 C =a,.NC 8是等腰三角形，又。是48的中点，.。_1 4 8,又 。上底面/8。.：.VC L A B.于 是 平 面 PC。.又A B u平面VAB,平面VAB 平面V C D .（II）过点C在平面P CD内作S_ L以）于 ，则由（I）知平面力1 8.连接6”,于是N C B H就是直线B C与平面V A B所成的角.在 R t A C H D 中，C =、一 a s i n。；2/y设乙C B H =(

19、p,在 R t Z B H C 中，C H =asx(p,-s i n6 =s i n .j rV 0 -,2后；0 s i n 6 v 1,0 s i n 夕 .又oW茶:.Q （p nKD =。，二48,平面 PC。.又4 8 u平 面 以8 .，平面以8 J_平面-C Z.（II）设直线B C与平面V A B所成的角为,平面以8的一个法向量为n=（就y z）,z A则由/8 =C 0 n V D =O.9第9页 共1 6页By-ax+ay=C D得。a 6-2x+y-az tan 0=O U2 2,2于是sin。可取=(叩 应cot。)，又 或=(M-aO),且 sine,2*/0 ,/

20、.0 sin 1,0 sin 0 .2 2又 0 买,*.0，于是2 2(及m&-4 1 ID a2 2A B=(5啦a 0).从而 ABD C =(CDBEQ 0)孝 加)0同 理 丽 加=（5呃。0）-等atan。C|-aO o 2tan。,D C70,即*与。277、0,即ABt D C.7-,27又。CnO P=。，平面PCQ.又4 6 u平面K45,工平面 8 J_平面PC。.（II）设直线BC与平面V A B所成的角为,平面以6的一个法向量为=（见。y z）,则由 5=C fl。忆=0,得-Jlay=C O-ord乙 az tan 6=00I 2 2io第1 0页 共1 6页、可取

21、=(t an6 BGD l),又8 C=,22于是s i n=n B C巫。t an。2|忸 a Jl+t an。包 sin,2*/0 9 ,0 s i n 1,0 s i n 0 .又oW茶:.o(p 0).(I )3=(C OT C D =0)A B -(-a a 0),A B CV=(-d l O D Ih 0)(0 0 z)=0 +0 +0 =0,即 A B A.C V .A B C D (-o D O D f c 0)02 2-f+T+0=0即 A B L C D.又C VnC。=C,二 Z 8 _ L平面 P CO.又Z6u平面匕4 5,，平面以8,平面-CO.(II)设直线BC与

22、平面V A B所成的角为(p,设=(珊y z)是平面 8的一个非零法向量,则n A B=(迎叩 z)(-a a0)=-ax+=0_ _ _取Z=Q,得x =y =n A V =(E O D Q Q z)(-a 0 t)=-ax-tz=0可取=仙0，幻，又C6 =(W a 0),11第1 1页 共1 6页.髭(E+),sin夕关于 递增.0 sin 夕 0）在公共点（刈 为）处的切线相同.13第 1 3 页 共 1 6 页W 2,*f(x)=x+2 a,g(x)=,由题意/(x()=g(X o),/(X o)=g(X o)X即VL；+2 ax0=3(72 In x0 4-/f l 22由x 0

23、+2 a=得：/=a ,或=-3Q(舍去).x 0 +2 a =3 XX。即有6 =/+2a2-3a2 ina=a2-3a2 In a .22令h(t)=-t2-3/Int(t 0),则(/)=2 z(l-3 1 n/).于是J当 l 3 1 n f)0,即 0 /0 ;1当 1 3 1 n f)0,即 时,ht)0),r “、-3/(x-t z)(x +3 a).八、则 尸(x)=x +2 a-=-(x 0).x x故尸(x)在(8a)为减函数，在(山+8)为增函数,于是函数尸(x)在(5+8)上的最小值是b(0 =F(x0)=/(x o)-g(x。)=0 .故当x 0 时，有/(x)-g(

24、x)2 0,即当x 0 时,/(%)2 g(x).2 1.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力.解 法1:(I )证:用数学归纳法证明：(i)当a=1时，原不等式成立；当机=2时，左边=l +2 x +d,右边=i+2 x,因为X?20,所以左边2右边，原不等式成立；5)假设当帆=左时,不等式成立，即(1+x)*?1 +依，则当?=左+1时，.l+x。，于是在不等式(l+x 2 1 +6两边同乘以1 +x得14第 1 4 页 共 1 6 页(1+x ：(1+x)，泊*A x)(l+x)=1 +(%+l)x +kx2 1 +(左 +l)

25、x,所以(l+x)/i 2 1 +(%+l)x.即当7 =左+1时，不等式也成立.综合(i)(ii)知，对一切正整数?，不等式都成立.（II）证：当廖加 时，由（I）得（1 +一21 0,I 7 7 +3/+3(III)解：由(H)知，当 26时,+I1 +3 1 1.即3 +4 +(+2)1 +/W C .(i)当/=2时，,左边=1 +2%+2,右 边=1 +2%，因为x#0,所以x?0,即左边右边,不等式成立；(ii)假设当m =k(k 2 2)时,不等式成立,即(1+X)1 +依，则当?=左+1时，因为x -l,所以l +x0.又因为X HCO左22,所以A x?。.于是在不等式(1+

26、x?1 +去两边同乘以1 +x得15第15页 共16页(1+x)A-(1+x)(1+日)(1+x)=1 +(左 +l)x+kx2 1 +(左 +l)x,所以（l+x）l 1+（左+l）x.即当2=左+1时，不等式也成立.综上所述,所证不等式成立.(II)证：当 2 6,mW 时,-I +31-,2in 佃而由(I),11-I n+3mI Yw fl-I +3m1 一 不I d（III）解:假设存在正整数0 2 6使等式3。+4。+（0+2）。=（。+3）。成立,即有o+3j“o+3j 0+,+%+2=1.又由（II）可得o+2n0o+3jo+3j、现+1 -o+3j3+(34、劭+4(o+3 j、0、“o+3,、+3,）+9一呆1,与式矛盾.故当 2 6时,不存在满足该等式的正整数.下同解法1.16第1 6页 共1 6页