北师大版本八年级数学下第一章三角形的证明全章教案.docx

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1、1北师大版本八年级数学下第一章三角形的证明全章教案北师大版本八年级数学下第一章三角形的证明全章教案1 1 等腰三角形等腰三角形第第 1 1 课时课时 全等三角形和等腰三角形的性质全等三角形和等腰三角形的性质【知识与技能知识与技能】能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.【过程与方法过程与方法】经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.【情感态度情感态度】启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.【教学重点教学重点】探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证

2、明的基本要求和方法.【教学难点教学难点】明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知提前请学生回忆并整理已经学过的 8 条基本事实中的 5 条：21.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） ；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） ；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.二二. .思考探究，获取新知思考探究，获取新知1.你能用所学知识证

3、明吗？已知：ABC 与DEF，A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.证明：A=D,B=E（已知） ，A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于 180） ，C=180-(A+B)，F=180-(D+E)，C=F（等量代换）.又 BC=EF（已知） ，ABCDEF（ASA）.【归纳结论】（1）两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） ；（2）根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？3【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具

4、体操作中，可以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.【归纳结论】（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角” ）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.三三. .运用新知，深化理解运用新知，深化理解1.在ABC 中，ABAC， A50，求B、C 的度数分析： 根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于180来计算.解：在ABC 中，ABAC，BC.（等边对等角）ABC180，A50,BC65.2.已知在ABC 中，ABAC，直线 AE 交 BC 于点 D，O 是 AE 上一动点但不与 A 重合，

5、且 OBOC，试猜想 AE 与 BC、BD 与 CD 的关系，并说明你的猜想的理由.4猜想：AEBC，BDCD.证明：ABAC，OBOC，AOAO，ABOACO（SSS）.BAOCAO.AE 为BAC 的平分线.AEBC，BD=CD.3.如图，AC 与 BD 交于点 O，AD=CB，E、F 是 BD 上两点，且 AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：（1）D=B；（2）AECF证明：（1）在ADE 与CBF 中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,ADECBF（SSS）. D=B （2）ADECBF,AED=CFB,AEO=CFO.在AOE 与COF 中, AEO=CFO,AECF.54.如

6、图，在ABC 中，AB = AC，ADBC,BAC = 100.求1、3、B的度数.解：在ABC 中，AB = AC，ADBC,BAD=CAD,1=BAC=50.21又ADBC,3=90.在ABC 中,AB = AC,B=C=40.【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书过程.四四. .师生互动师生互动, ,课堂小结课堂小结1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.五五. .教学板书教学板书布置作业:教材“习题 1.1”中第 1、3 题.6在本节课的教学中，要采用小组合作

7、的方式教学，在小组合作的基础上教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强调.第第 2 2 课时课时 等边三角形的性质等边三角形的性质【知识与技能知识与技能】进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性【过程与方法过程与方法】把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处.【情感态度情感态度】体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性【教学重点教学重点】等腰三角形、等边三角形的相关性质.【教学难点教学难点】等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用

8、.一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习7兴趣.二二. .思考探究，获取新知思考探究，获取新知探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.【归纳结论】等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等如对于“等腰三角形两底角的平分线相等” ，的证明方法：证明：AB=AC，ABC=ACBBD、CE 为A

9、BC、ACB 的平分线，3=4在ABD 和ACE 中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)你能证明其它两个结论吗？探究 2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60.已知：在ABC 中，AB=BC=AC求证：A=B=C=60.8证明：在ABC 中，AB=AC，B=C(等边对等角) 同理：C=A，A=B=C（等量代换） 又A+B+C180，A=B=C60【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60.【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.三三. .运用新知，深化理解运用

10、新知，深化理解1.如图,已知ABC 和BDE 都是等边三角形.求证:AE=CD.证明：ABC 和BDE 都是等边三角形.ABE=CBD=60, AB=CB, BE=BD.在ABE 与CBD 中,AB=CB,ABE=CBD,BE=BD.ABECBD(SAS).AE=CD.2.如图，ABC 中，AB=AC，E 在 CA 的延长线上，且 EDBC 于 D，求证：AE=AF证明：AB=AC,9B=C,EDBC,B+BFD=90,C+E=90,BFD=EFA,B+EFA=90,C+E=90,B=C,EFA=E,AE=AF.3.如图，在ABC 中，A=20，D 在 AB 上，AD=DC，ACDBCD=23

11、，求：ABC 的度数.解：AD=DC，ACD=A=20,ACDBCD=23,BCD=30,ACB=50,ABC=110.【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式四四. .师生互动，课堂小结师生互动，课堂小结10掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索发现猜想证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高） ，两底角的平分线相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60.五五. .教学板书教学板书布置作业:教材“习题 1.2”中第 2、3 题.在探究时，对学生探究的结果予以

12、汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明.第第 3 3 课时课时 等腰三角形的判定及反证法等腰三角形的判定及反证法【知识与技能知识与技能】探索等腰三角形判定定理,掌握反证法.【过程与方法过程与方法】理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.【情感态度情感态度】培养学生的逆向思维能力.【教学重点教学重点】理解等腰三角形的判定定理.11【教学难点教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知 问题 1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题 2.我们是如何证明上述定理的

13、？【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流.二二. .思考探究，获取新知思考探究，获取新知 1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?我们来看一位同学的想法：如图，在ABC 中，已知BC，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等假设 AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，但已知

14、条件是BC “C=B”与已知条件“BC”相矛盾，因此 ABAC你能理解他的推理过程吗?再例如，我们要证明ABC 中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设A=90，B=90，可得A+B=180，12但A+B+C=180, “A+B=180”与“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC 中不可能有两个直角 引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢?【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法 【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，

15、让学生了解.三三. .运用新知，深化理解运用新知，深化理解1.已知：如图，CAE 是ABC 的外角，ADBC 且1=2求证：AB=AC证明：ADBC，1=B(两直线平行，同位角相等)，2=C(两直线平行，内错角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角对等边)2.如图，BD 平分CBA，CD 平分ACB，且 MNBC，设 AB=12，AC=18，求AMN 的周长.13解：BD 平分CBA，CD 平分ACB，MBD=DBC,NCD=BCD.MNBC,MDB=DBC,NDC=BCD.MDB=MBD,NDC=NCD. MB=MD,NC=ND.CAMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+A

16、N+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30.3.如图，在ABC 中，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD = CE.求证：ABC 是等腰三角形.解：SABC=(ABCE)=(ACBD)且 BD = CE，21 21AB=AC.ABC 是等腰三角形.4.如图，在ABC 中，AB = AC，DEBC，求证：ADE 是等腰三角形.证明：AB = AC，B=C，DEBC，B=E，D=C.14D=E.ADE 是等腰三角形.5.垂直于同一条直线的两条直线平行.证明：假设 a、b 不平行，那么 a、b 相交 ac，bc 1=900，2=900 1+2=180而 a、b 相交，则1

17、+2180与1+2=180相矛盾.假设不成立. 即：垂直于同一条直线的两条直线平行【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流,培养学生应用知识解决问题的能力.四四. .师生互动，课堂小结师生互动，课堂小结结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别和联系五五. .教学板书教学板书15举例谈谈用反证法说理的基本思路.布置作业:教材“习题 1.3”中第1、2、3 题.通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解.第第 4 4 课时课时 等边三角形的判定等边三角形的判定【知识与技能知识与技能】理解等边三角形的判别条件及其证

18、明，理解含有 30角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.【过程与方法过程与方法】经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.【情感态度情感态度】在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.【教学重点教学重点】等边三角形判定定理的发现与证明.【教学难点教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知161.等腰三角形的性质和判定定理是什么？2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？【教学说明】开门见山，引入新课，同时回

19、顾，也为后续探索提供了铺垫.二二. .思考探究，获取新知思考探究，获取新知1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结.2.用含 30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而

20、得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【归纳结论】（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一角是 60的等腰三角形是等边三角形.三三. .运用新知，深化理解运用新知，深化理解1.见教材 P11 例 32.已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BC=AB求证：BAC=302117证明：延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD21又BC=AB，AB=BD21AB=AD=BD，即ABD 是等边三角形B=60在 RtABC 中，BAC

21、=303.如图，ABC 是等边三角形，BD = CE，1 =2.求证：ADE 是等边三角形证明：ABC 是等边三角形,AB=AC.在ABD 与ACE 中,AB=AC,1 =2,BD = CE,ABDACE（SAS）.EAD=BAC=60,EA=DA.18ADE 是等边三角形(有一角是 60的等腰三角形是等边三角形).4.如图，在 RtABC 中，B = 30，BD = AD，BD = 12，求 DC 的长.解：在 RtABC，B = 30BD = ADB =BAD= 30ADC=60.C=90,DAC=30.在 RtADC 中,DAC=30CD=AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那

22、么它所对的直角21边等于斜边的一半).BD = AD=12,CD=6. 【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有关性质.四四. .师生互动，课堂小结师生互动，课堂小结掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.五五. .教学板书教学板书19布置作业:教材“习题 1.4”中第 3、5 题.通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密，有待加强.2 2 直角三角形直角三角形第第 1 1 课时课时 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理【知识与技能知识与技能】1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直

23、角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.【过程与方法过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维【情感态度情感态度】20体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.【教学重点教学重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.【教学难点教学难点】运用定理解决与直角三角形有关的问题一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺

24、垫.二二. .思考探究，获取新知思考探究，获取新知探究 1：直角三角形的性质和判定直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质.【归纳结论】直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.探究 2：勾股定理及其逆定理.教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程.21【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等

25、于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形探究 3：互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件在前面的学习中还有类似的命题吗?【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结.【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定

26、理.三三. .运用新知，深化理解运用新知，深化理解1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab0，那么 a0， b0.【分析】互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果那么”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难可先分析22命题的条件和结论，然后写出逆命题解：（1）多边形是四边形原命题是真命题，而逆命题是假命题（2）同旁内角互补，两直线平行原命题与逆命题同为真（3）如果 a0，b0，那么 ab0原命题是假命题，而逆命题是真命题2.如图

27、，BADA 于 A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BADC.证明：在ADC 中，AD = 12，DC = 9，CA = 15.AD2+DC2=CA2,ADC 是直角三角形.（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）ADCD,BADA,BADC.3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图 5 所示，ACB90，AC80 米，BC60 米，若线段 CD 是一条小渠，且 D 点在边 AB上，已知水渠的造价为 10 元/米，问 D 点在距 A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？23解：当 CDAB 时，CD 最短，造价最低.ACB

28、90，AC80，BC60，AB=100.设 AD=x,则 BD=100-x.在 RtADC 与 RtBDC 中,CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.AC2-AD2=BC2-BD2.802-x2=602-（100-x）2. 解得：x=64.在 RtADC 中，CD=48.最低造价是：4810=480（元）.你还能用其他方法求出 CD 的长吗？（提示：用面积法）4.已知：如图，在ABC 中，C90，BCa，ACb，ABc求证：a2+b2c2证明：延长证明：延长 CBCB 至至 D D，使，使 BDBDb b，作，作EBDEBDAA，并取并取 BEBEc c，连接，连接 EDED、AEA

29、E（如图）（如图） ，则，则ABCBEDABCBEDBDEBDE9090，EDEDa a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）（全等三角形的对应角相等，对应边相等） 24四边形四边形 ACDEACDE 是直角梯形是直角梯形SS梯形梯形 ACDEACDE(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)（a+ba+b）2 221 21ABEABE180180（ABCABCEBDEBD）18018090909090，ABABBEBESSABEABEc c2 2 SS梯形梯形 ACDEACDES SABEABE+S+SABCABC+S+SBEDBED，21（a+ba+b）2 2c c2 2 + + abab

30、+ + ab,ab, 即即a a2 2 + + abab + + b b2 2c c2 2 + + ab,ab,21 21 21 21 21 21 21aa2 2+b+b2 2c c2 2四四. .师生互动，课堂小结师生互动，课堂小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的能力五五. .教学板书教学板书布置作业:教材“习题 1.5”中第 2、3 题.在教学互逆命题和互逆定理时，要强调：互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题；一个命题是真，

31、它的逆命题可能是真，也可能25是假.第第 2 2 课时课时 直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定【知识与技能知识与技能】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性【过程与方法过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感【情感态度情感态度】进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学重点教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理【教学难点教学难点】进一步理解证明的必要性.一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们

32、相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.26【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等” ，从而引入新课.二二. .思考探究，获取新知思考探究，获取新知探究：“HL”定理.已知：在 RtABC 和 RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求证：RtABCRtABC.证明：在 RtABC 中，AC2=AB2一 BC2(勾股定理)又在 Rt A B C中，A C 2=AB2一 BC2 (勾股定理)AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)【归纳结论】斜边和一

33、条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示)【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.三三. .运用新知，深化理解运用新知，深化理解1.见教材 P20 例题2.填空：如下图，RtABC 和 RtDEF，C=F=90.（1）若A=D，BC=EF，则 RtABCRtDEF 的依据是 AAS.27（2）若A=D，AC=DF，则 RtABCRtDEF 的依据是 ASA.（3）若A=D，AB=DE，则

34、 RtABCRtDEF 的依据是 AAS.（4）若 AC=DF，AB=DE，则 RtABCRtDEF 的依据是 HL.（5）若 AC=DF，CB=FE，则 RtABCRtDEF 的依据是 SAS.3.已知：RtABC 和 RtABC，C=C=90，BC=BC，BD、BD分别是 AC、AC边上的中线，且 BD=BD. 求证：RtABCRtABC证明：在 RtBDC 和 RtBDC中，BD=BD,BC=BC,RtBDCRtBDC (HL 定理)CD=CD又AC=2CD，AC=2CD，AC=AC在 RtABC 和 RtABC 中，BC=BC ，C=C =90，AC=AC，RtABCRtABC(SAS

35、)4.如图，已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.28解：AC=DB.AC=DB,AB=BA,ACBBDA（HL）其他条件：CB=DA 或四边形 ACBD 是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案5.如图，在ABC 与ABC中，CD、CD分别分别是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACB求证：ABCABC分析：要证ABCABC，由已知中找到条件：一组边 AC=AC，一组角ACB=ACB如果寻求A=A，

36、就可用 ASA 证明全等；也可以寻求B=B，这样就可用 AAS；还可寻求 BC=BC，那么就可根据 SAS注意到题目中有 CD、CD是三角形的高，CD=CD观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了 HL 定理的条件，可证得 RtADCRtADC，因此证明A=A 就可行证明：CD、CD分别是ABC、ABC的高(已知)，ADC=ADC=90在 RtADC 和 RtADC中，29AC=AC(已知)，CD=CD (已知)，RtADCRtADC (HL)A=A，(全等三角形的对应角相等)在ABC 和ABC中，A=A (已证)，AC=AC (已知)，ACB=ACB (已知)，ABCABC (

37、ASA)【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.四四. .师生互动，课堂小结师生互动，课堂小结直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.五五. .教学板书教学板书布置作业:教材“习题 1.6”中第 3、4、5 题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出30判定直角三角形全等的特殊方法HL 定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力同学们这一节课的表现很值得夸赞3 3 线

38、段的垂直平分线线段的垂直平分线第第 1 1 课时课时 线段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理【知识与技能知识与技能】证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理【过程与方法过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识【情感态度情感态度】通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.【教学重点教学重点】运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.【教学难点教学难点】垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知如图，A、B 表示两个仓库，要在 A、B 一侧的河岸边建造

39、一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?31【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，用于生活.二二. .思考探究，获取新知思考探究，获取新知探究 1：垂直平分线的性质.已知：如图，直线 MNAB，垂足是 C，且 AC=BC，P 是 MN 上的点求证：PA=PB证明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的对应边相等)【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等探究 2:垂直平分线判定你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?逆命题就很容易写出来 “如果有一个点到线段两个

40、端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 ”写出逆命题后时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明引导学生分析证明过程.已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA=PB32求证：P 点在 AB 的垂直平分线上证明：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC,PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL 定理)AC=BC，即 P 点在 AB 的垂直平分线上【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.三三. .运用新知，深化理解运用新知，深化理解1.已知：如图，在 ABC 中，AB = A

41、C，O 是 ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段 BC证明： AB = AC， 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.2.如图，DE 为ABC 的 AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E， AC = 5，BC = 8，求AEC 的周长.33解：DE 为ABC 的 AB 边的垂直平分线,AE=BE.CAEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.3.如图，已知：

42、线段 CD 垂直平分 AB，AB 平分DAC. 求证：ADBC证明：CD 是 AB 的垂直平分线，AC=BC,CAB=B,又CAB=DAB,DAB=B,ADBC.4.如图，已知：AD 是ABC 的高，E 为 AD 上一点，且 BE=CE. 求证：ABC是等腰三角形.证明：BE=CE，ADBCAD 是 BC 的垂直平分线，AB=AC,ABC 是等腰三角形.345.如图，已知：ABBC，CDBC，AMB=75,DMC=45，AM=DM. 求证：AB=BC.证明：连接 AC.AMD=1807545=60，且 AM=DM，AMD 是等边三角形.AM=AD. 又MDC=9045=45，MDC=DMC，C

43、D=CM，AC 为 DM 的垂直平分线，又CD=CMCH 是DCM 角平分线ACM=9045=45，BAC=180-B=ACM=90-ACM=45AB=BC.【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.四四. .师生互动，课堂小结师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？35五五. .教学板书教学板书布置作业:教材“习题 1.7”中第 1、3 题.由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.第第 2 2 课时课时

44、三角形三边的垂直平分线三角形三边的垂直平分线【知识与技能知识与技能】1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.2.垂直平分线的应用.【过程与方法过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力体验解决问题的方法，提高实践能力和创新意识.【情感态度情感态度】体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.【教学重点教学重点】作已知线段的垂直平分线.【教学难点教学难点】36垂直平分线的应用.一一. .情景导入，初步认知情景导入，初步认知上节课我们学习了线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理、判定定理是什么？【教学说明】回顾旧知，为本节课作准备.二二. .思考探究，获取

45、新知思考探究，获取新知探究 1：请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流【教学说明】让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性的提示.【归纳结论】三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等.探究 2：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段 a、h求作：ABC，使 AB=AC，BC=a，高 AD=h作法：1作 BC=a；2作线段 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于 D 点；3以 D 为圆心，h 长为半径作弧交 MN 于 A 点；4连接 AB、AC.ABC 就是所求作的三角形(如图所示)37探究 3：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？【教学说明】学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由.三三. .运用新知，深化理解运用新知，深化理解1.如图，已知：在ABC 中，AB、BC 边上的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 AC 的垂直平分线上.证明：P 是 AB、BC 边上的垂直平分线，AP=BP