北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全.doc

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1、北师版七下数学第一章北师版七下数学第一章整式的乘除整式的乘除乘法公式应用大全乘法公式应用大全活用乘法公式活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法现介绍几种方法，供同学们参考一、对号一、对号 a、b，正确运用，正确运用例例 1 计算(-2+3x)(-2-3x)分析：两个因式中的-2 完全相同，而 3x 与-3x 互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2 是公式中的 a，3x 是公式中的 b解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2二、适当变形，灵活运用二、适当变形，灵活运用例例 2 计算(2x+y-z+5

2、)(2x-y+z+5)分析：两个因式中 2x 和 5 完全相同，而 y 和 z 的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5)2-(y-z)2= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2三、分析情况，合理选用三、分析情况，合理选用例例 3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算解：原式=(2a+1)(4a2-2a+1)(2a-1)(4a2+2a+1)= (8a3

3、+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用四、创造条件，巧妙应用例例 4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)分析：从表面上看本题不能使用乘法公式但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例 2计算解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=(5a+2c)+(3b-4c)(5a+2c)-(3b-4c)=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc五、避繁就简，逆向运用五、避繁就简，逆向运用例例

4、 5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作 a，(x-y)看作 b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果解：原式=(x+y)-(x-y)2=4y2六、明确联系，综合运用六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；(a+b)2-(a-b)2=4ab；a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程例例 6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值解：由完全平方公式得

5、(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4aba+b=5，ab=2(a-b)2=52-42=17逆用乘法公式解题逆用乘法公式解题1 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22 完全平方公式(ab)2=a22ab+b23 立方和（差）公式它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的基础，所以，同学们不仅要会正向运用，还要熟练地逆向运用1逆用平方差公式逆用平方差公式解解 原式故选(D)解解 对分母逆用平方差公式，得分母=(100319912-1)+(199319932-1)=1993199219931990+1993199419931992=19931992(1993199

6、2-2)+(19931992+2)=2199319922例例 3 计算19902-19892+19882-19872+22-1解解 原式=(19902-19892)+(19882-19872)+(22-1)=(1990+1989)+(1988+1987)+(2+1)=1990+1989+1988+1987+2+1=19810452逆用完全平方公式逆用完全平方公式例例 4 计算1.23452+0.76552+2.4690.7655解解 原式=1.23452+21.23450.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4例例 5 已知 a=123456789，b=12345

7、6785，c=123456783，则 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值是_ 解解 逆用完全平方公式得3逆用立方和（差）公式逆用立方和（差）公式例例 6 已知 a+b=2，那么 a3+6ab+b3=_ 解解 原式=a3+b3+6ab=(a+b)(a2-ab+b2)+6ab=2(a2-ab+b2)+6ab=2a2+4ab+b2=2(a+b)2=222=8解解 设 a=11111，则4逆用多个公式逆用多个公式例例 8 若 a=19952+1995219962+19962求证：a 是一个完全平方数证明证明 a=19952+1995219962+19962=1995219962+19952-1+

8、19962+1=1995219962+19961994+19962+1=1995219962+1996(1994+1996)+1=(19951996)2+219951996+1=(19951996+1)2a 是一个完全平方数例例 9 已知 724-1 可被 40 至 50 之间的两个整数整除，这两个数是 A41,48 B45,47C43,48 D41,47解解 724-1=(712+1)(76+1)(73+1)(73-1)=(712+1)(76+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72+7+1)=(712+1)(76+1)843657=(712+1)(76+1)434857故应选(C)活

9、用乘法公式的活用乘法公式的“八先八先”运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简一、先结合后用公式一、先结合后用公式例例 1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)分析：两因式中的 a，-d 分别相同，而 b，c 分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算解解： 原式=(a-d)-(b-c)(a-d)+(b-c)=(a-d)2 -(b-c)2 =a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2 二、先活用运算律后用公式二、先活用运算律后用公式分析分析：本题虽可利用平方

10、差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便三、先逆用法则后用公式三、先逆用法则后用公式例例 3 计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2 分析分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2 b2 c2 ，再利用平方差公式计算较简捷解解： 原式=(x-y)(x+y)(x2 +y2 )2 =(x2 -y2 )(x2 +y2 )2 =(x4 -y4 )2 =x8-2x4 x4 +y8四、先拆项后用公式四、先拆项后用公式例例 4 计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征

11、，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见解解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=(5y+1)+(2x-4)(5y+1)-(2x-4)=(5y+1)2 -(2x-4)2 =25y2 +10y-4x2 +16x-15五、先增添因式后用公式五、先增添因式后用公式例例 5 计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)分析分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算解解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218

12、+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1六、先换元后用公式六、先换元后用公式例例 6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)分析：注意到 1+4=2+3 这个特征，因而可先换元然后运用公式计算解解：原式=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设 a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc七

13、、先变换所求式后用公式七、先变换所求式后用公式例例 7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么 a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca 的值是_分析分析：注意到所求式的 2 培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算解解：由已知，得 a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式八、先添项后用公式例例 8 若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则 x+z-2y+1999=_分析分析：注意到已知式中 4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中 2ab 的形式，因而在(z-x)2 中添项“-y+y”，把它变形为(z-y)+(y-x)2 ，然后运用公式计算解解：(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=(z-y)+(y-z)2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2 =(z-y)-(y-x)2 =(x+z-2y)2 =0，x+z-2y=0x+z-2y+1999=0+1999=1999