高中数学学案：2.1指数函数第3课时课堂探究学案.pdf

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1、1 2.12.1 指数函数指数函数 课堂探究课堂探究 探究一 指数函数的概念 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构形式指数函数具有以下特征：(1)底数a为大于 0 且不等于 1 的常数，不含有自变量x；(2)指数位置是自变量x，且x的系数是 1；(3)ax的系数是 1.【典型例题 1】(1)下列函数中，哪些是指数函数？y(8)x；y2x21；y(2a1)x；y23x.(2)函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值 思路分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断 解：(1)中，底数8，且a1，2a10，且 2a11.y(2a1)x是指数函数 中，

2、3x前的系数是 2，而不是 1，故不是指数函数 综上所述，仅有是指数函数(2)由y(a23a3)ax是指数函数，可得a23a31，,a0，且a1，解得a2.探究二 指数函数的图象问题 1指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0cd1a0，且a1)的图象与直线x1 相交于点(1，a)，因此，作出直线x1，则该直线与各图象交点的纵坐标即为底数，由此可得底数的大小 2因为函数yax的图象恒过点(0,1)，所以对于函数f(x)kag(x)b(k，a，b均为常数，且k0，a0，且a1)，若g(m)0，则f(x)的图象过定点(m，kb)3指数函数yax与yx(a0，且a1)

3、的图象关于y轴对称 4处理函数图象问题的常用方法：一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性【典型例题 2】函数y|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？思路分析：先讨论x，将函数写为分段函数，然后画出函数的图象，最后根据图象写出函数的值域和单调区间 解：y|x|其图象由yx(x0)和y2x(x0)和y2x(x0，且a1)这类函数：(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf(x)的值域；1a1212102102xxxx，12123 利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域【典型例题 3】求

4、下列函数的定义域与值域(1)；(2)y|x|.思路分析：因为指数函数yax(a0，且a1)的定义域是 R R，所以函数yaf(x)(a0，且a1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域 解：(1)由x40，得x4，定义域为x|xR R，且x4 0，1.的值域为y|y0，且y1(2)定义域为 R R.|x|0，y|x|x|01.故y|x|的值域为y|y1 方法总结 求指数型函数yaf(x)的值域主要是利用指数函数的单调性求解，因而求函数yf(x)的值域就成为求函数yaf(x)值域的关键 探究四 易错辨析 易错点利用换元法时，忽视中间变量的取值范围【典型例题 4】求函数yxx1 的值域 错解：令tx，则原函数可化为yt2t12，故当t时，ymin，故原函数的值域是.错因分析：原函数的自变量x的取值范围是 R R，换元后tx0，而不是tR R，错解中，t的取值范围扩大了 正解：令tx，t(0，)，则原函数可化为yt2t12.因142xy2314x142x142xy2332322314121212t3434123434，121212t344 为函数y2在(0，)上是增函数，所以y1，故原函数的值域是(1，)方法总结求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设axt，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，再转化为求f(t)的值域 12t34