高中数学学案：3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式课堂探究学案.pdf

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1、1 3.1.13.1.1不等关系与不等式不等关系与不等式 课堂探究课堂探究 一、比较大小常用的方法一、比较大小常用的方法 剖析：剖析：证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决 一般实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与 0 的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与 0 的大小关系的式子 作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性，作商后要与 1 进行比较，

2、所以，作商后必须易于变成能与 1 比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子的大小的比较，例如，比较aabb与的大小就可以使用作商法 在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法 要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法(2)要注意不等式与函数的结合，函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具，尤其是函数的单调性如：aba3b3，可根据幂函数yx3在 R R 上单调递增得到 名师点拨名师点拨：利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时应做到不重不漏 二、教材中的二、教材中的“思考与讨论思考与讨论”已

3、知abcd，如果cd，那么ab是否一定成立？请说明理由 剖析：剖析：不一定成立如c1，d1 时，cd，此时若a1，b1，也满足abcd，但不满足ab 题型一题型一 用不等式用不等式(组组)表示不等关系表示不等关系【例例 1 1】某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式 分析：分析：解答本题只需用不等式表示上述不等关系即可 解：解：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则 2a bab2

4、即 反思反思：本题易忽略甲型卡车和乙型卡车的总和不超过驾驶员人数而导致错误导致错误的原因是没有真正理解题意，因此解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系 题型二比较两数的大小题型二比较两数的大小【例例 2 2】当x1 时，比较x31 与 2x22x2 的大小 分析：分析：根据abab0，abab0，(x1)(x12)2340 x312x22x2 反思反思：利用作差法比较大小时关键在于变形，变形的方向是将差式化成多因式积的形式，然后确定每个因式的符号，从而确定积的符号变形中常用平方差、立方差、立方和公式，还可能用到通分、因式分解、分子(或分母)有理化等方法 题型三题型三 不等关系的实际应用

5、不等关系的实际应用【例例 3 3】商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的 92%付款 某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若设购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱 分析分析：本题是一次函数问题，通过建立两种优惠办法的一次函数模型，然后利用作差法讨论选哪种优惠办法 解：解：由优惠办法(1)得y12045(x4)5x60(x4)，5430,04,07,xyxxNyyN3 由优惠办法(2)得y

6、2(5x204)92%4.6x73.6(x4)y1y204x13.6(x4)，令y1y20，得x34 当购买 34 只茶杯时，两种办法付款相同；当 4x34 时，y134 时，y1y2，优惠办法(2)省钱 反思反思：利用作差法比较两个代数式的大小时，如果不能直接得出结果，就需要对某些字母的取值进行分类讨论 题型四题型四 易错辨析易错辨析【例例 4 4】设ab0，n为偶数，比较bn1anan1bn与1a1b的大小 错解：错解：bn1anan1bn1a1b(anbn)(an1bn1)(ab)n n为偶数，(ab)n0又anbn与an1bn1同号，(anbn)(an1bn1)(ab)n0，即bn1a

7、nan1bn1a1b0 bn1anan1bn1a1b 错因分析错因分析：n为偶数时，anbn和an1bn1不一定同号，这里忽略了在题设条件ab0 且没有明确字母的具体值的情况下，要考虑分类讨论，即对a0，b0 和a，b有一个负值的情况加以讨论 正解：正解：bn1anan1bn1a1b(anbn)(an1bn1)(ab)n(1)当a0，b0 时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0，所以(anbn)(an1bn1)(ab)n0，故bn1anan1bn1a1b(2)当a，b有一个为负数时，不妨设a0，b0，且ab0，所以a|b|又n为偶数，所以(anbn)(an1bn1)0，且(ab)n0，故(anbn)(an1bn1)(ab)n0，即bn1anan1bn1a1b 综合(1)(2)可知，bn1anan1bn1a1b