高中数学学案：3.2函数模型及其应用第1课时课堂探究学案.pdf

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1、1 3.23.2 函数模型应用举例函数模型应用举例 课堂探究课堂探究 探究一一次或二次函数模型的应用 应用一次函数与二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大(小)值的问题解答时需遵循的基本步骤是：(1)反复阅读理解，认真审清题意；(2)依据数量关系，建立数学模型；(3)利用数学方法，求解数学问题；(4)检验所得结果，译成实际答案答案【典型例题 1】某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将月利润表示为月产量的函数f(x)(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(

2、总收益总成本利润)思路分析：由题目可获取以下主要信息：总成本固定成本100 x；收益函数为一分段函数 解答本题可由已知总收益总成本利润，知利润总收益总成本由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题 解：(1)设 每 月 产 量 为x台，则 总 成 本 为 20 000 100 x，从 而f(x)(2)当 0 x400 时，f(x)(x300)225 000，当x300 时，有最大值 25 000；当x400 时，f(x)60 000100 x是减函数 f(x)60 00010040025 000.当x300 时，f(x)的最大值为 25 000.每月生产

3、300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25 000 元 探究二 指数函数模型的应用 递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写出前 34 个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再214000400280 000400 xxxx，2130020 000 0400260 000 100400.xxxxx，122 推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题【典型例题 2】截止到

4、2013 年底，我国人口约为 13.71 亿，若今后能将人口平均增长率控制在 1%，经过x年后，我国人口为y亿(1)求y与x的函数关系式yf(x)；(2)求函数yf(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义 思路分析：解答本题先根据增长率的意义，列出y与x的函数关系式，然后再求解相应问题 解：(1)2013 年底人口数：13.71 亿 经过 1 年，2014 年底人口数：137113.711%13.71(11%)(亿)经过 2 年，2015 年底人口数：1371(11%)13.71(11%)1%13.71(11%)2(亿)经过 3 年，2016 年底人口

5、数：1371(11%)213.71(11%)21%13.71(11%)3(亿)经过的年数与(11%)的指数相同 经过x年后人口数为 13.71(11%)x(亿)yf(x)13.71(11%)x.(2)理论上指数函数定义域为 R R.此问题以年作为时间单位，x|xN N*是此函数的定义域(3)yf(x)13.71(11%)x.11%1,13.710，yf(x)13.71(11%)x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长 规律总结 1.本题涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式 2

6、在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型 探究三对数函数模型的应用 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多 此类问题一般是先给出对数函数模型，利3 用对数运算性质求解【典型例题 3】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是 m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？思路分析：由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可 解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为

7、0，代入题目所给公式可得 05log2，解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位(2)将耗氧量Q80 代入公式得v5log25log2815(m/s)，即当一只燕子耗氧量为 80 个单位时，速度为 15 m/s.探究四 易错分析 易错点因对图形信息理解不准确导致解答错误【典型例题 4】已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0 x5)的关系如图所示，给出以下说法：甲、乙运动的速度相同，都是 5 km/h；甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；甲、乙运动的时间相同，乙的速度是 4 km/h；当甲、乙运动了 3 h 后，

8、甲的位移比乙大 3 km，但乙在甲前方 2 km 处 其中正确的说法是()A B C D 错解：和一定是一对一错，经分析，是对的；对于，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故错误；对于，当甲、乙运动了 3 h，甲的位移为 3515(km)，乙的位移为 53417(km)，故错误故选 A.10Q10Q80104 错因分析：本题的图象给我们的信息是，甲、乙的运动时间以及运动位移，通过图象可知甲、乙的出发点不同、速度不同，一是由于忽视甲、乙的出发点不同而导致错解；二是忽略了位移是跟速度与时间相关的，在相同的时间内，同一方向上速度快的位移大 正解：和一定是一对一错，经分析是对的；对于，甲、乙运动的时间显然都是5 h，因为甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故正确；对于，当甲、乙运动了 3 h，甲的位移为 3515(km)，乙的位移为 3412(km)，又因为乙是从甲前方 5 km 处开始运动的，所以甲的位移比乙大 3 km，但乙在甲前方 2 km 处，所以正确，故选 D.答案答案：D