高中数学学案：3.2.2函数模型应用举例课堂导学案.pdf

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1、1 3.2.23.2.2 函数模型应用举例函数模型应用举例 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、函数模型的确定【例 1】以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表：身高/cm 60 70 80 90 100 110 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高 cm 120 130 140 150 160 170 体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（1）根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数 y=ax+b,y=alnx+b,y=abx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重 y 关于

2、身高 x 的函数关系？试求出这个函数的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为 175 cm，体重为 78 kg，他的体重是否正常？思路分析：可先根据表中的数据，描点画出函数图象（散点图），再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高数据代入求得的解析式，看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合.解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，如右图.根据点的分布特征可考虑用函数 y=abx反映上述数据之间的对应关系.把 x=70,y=7.90

3、和 x=170,y=55.05 两组数据分别代入 y=abx，得 解得 a2，b1.02,故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为 y=21.02x.将已知数据代入所得函数解析式，可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与身高的关系.（2）把 x=175 代入 y=21.02x，得 y=21.0217563.98.7863.981.221.2，这名男生体重偏胖.二、数学模型的应用【例 2】某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:月份 用气量 煤气费 1 4 m3 4 元 2 25 m3 14 元 3 35 m3 19 元,05.55,90.7170

4、70baba2 该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量 A m3,那么只付基本费 3 元和每户每月的定额保险费 C 元;若用气量超过 A m3,那么超出部分付超额费,每立方米为 B 元,又知保险费 C 不超过 5 元,试根据上述条件及数据求 A、B 的值.思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系，这显然是一分段函数.解:设月用气量为 x m3,支付的煤气费为 y 元,依题意有，0C5,33+C8.二、三月份煤气费满足 若一月份用气超过 A m3,则 4A,4=3+0.5(4-A)+C,这不可能.4=3+C，C=1,B=,A=5.温馨提示温馨提示 解决

5、实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际问题转化成相应的函数来解决.函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型.并利用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量.各个击破各个击破 类题演练类题演练 1 1 我国 19902000 年的国内生产总值如下表所示：年份 1990 1991 1992 1993 产值/亿元 18 598.4 21 662.5 26 651.9 34 560.5 年份 1994 1995 1996 1997 产值/亿元 46

6、670.0 57 494.9 66 850.5 73 142.7 年份 1998 1999 2000 产值/亿元 76 967.1 80 422.8 89 404.0 （1）描点画出 19902000 年国内生产总值的图象；（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图象；（3）根据所建立的函数模型，预测 2004 年的国内生产总值.解析：（1）取自变量 x 为 0，1，10，对应年份为 1990，1991，2000 得函数图象，如下图：)(,)(3)0(,3AxCAxBAxC,)35(319,)25(314CABCAB.23,5.0CAB213 （2）根据图象，取

7、函数模型 y=abx.取 2 组数据：（2，26 651.9）,(8,76 967.1).代入 y=abx得 解得 a18 715.5,b1.19，得函数模型：y=18 715.51.19x.将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合.（3）令 x=14 得 y213 726.8（亿元），根据所建函数模型预测 2004 年的国内生产总值为 213 726.8 亿元.类题演练类题演练 2 2 已知某企业的原有产品，每年投入 x 万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-（x-30）2+8（万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入 x 万元，可获得年利润 Q（x）=-

8、（100-x）2+(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从 100 万元的生产准备金中，拿出 80 万元来投入新产品开发.从第三年开始这 100 万元全部用于新旧两种产品的生产投入.（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款 1 000 万元，利率为 5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？（2）从新产品投产的第三年开始，从 100 万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出 70%来，能否还清对银行的欠款？解析：（1）五年利息是 1 0000.0555

9、=275（万元），本利和为 1 275 万元.（2）设从第三年年初起每年旧产品投入 x 万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润 是 W=P（x）+Q(100-x)=-（x-30）2+8 +-100-(100-x)2+100-(100-x)=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.投入旧产品 26 万元，新产品 74 万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是 675 万元.（3）因为 P（x）在（0，30上是增函数，所以在 100 万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的 20 万元全部投入即可得到最大利润.于是，头 2 年的利润是 W1=2P（20）=14（万元）；后 3 年的利润是 W2=3P（26）+Q（74）=3675=2 025（万元），故 5 年的总利润是 W=W1+W2=2 039 万元，又 2 03970%=1 427.31 275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出 70%来，能够还清对银行的欠款.,1.76967,9.2665182baba100110099525710011009952571001531009952574