高中数学学案：3.1函数与方程第1课时课堂探究学案.pdf

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1、1 3.13.1 函数与方程函数与方程 课堂探究课堂探究 探究一求函数的零点 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)0 的实数根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，通过解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点【典型例题 1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点(1)f(x)8x27x1；(2)f(x)1log3x；(3)f(x)4x16；(4)f(x).思路分析：可通过解方程f(x)0 求得函数的零点 解：(1)令8x27x10，解得x或x1.所以函数的零

2、点为x和x1.(2)令 1log3x0，则 log3x1，解得x.所以函数的零点为x.(3)令 4x160，则 4x42，解得x2.所以函数的零点为x2.(4)因为f(x)，令0，解得x6.所以函数的零点为x6.探究二 判断函数零点的个数 判断函数yf(x)零点的个数的方法主要有：(1)解方程f(x)0，方程实根的个数就是函数零点个数；24122xxx1818131324122xxx(6)(2)2xxx(6)(2)2xxx2(2)当方程f(x)0 不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(3)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在

3、同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数yf(x)零点的个数【典型例题 2】求函数f(x)2xlg(x1)2 的零点个数 解：方法一：f(0)10210，f(2)4lg 322lg 30，f(x)在(0,2)上必定存在实根，又显然f(x)2xlg(x1)2 在(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点 方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：h(x)22x和g(x)lg(x1)的叠合图 由图象知ylg(x1)和y22x有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2 有且只有一个零点 方法总结用零点存在定理判断函数yf(x)在(a，b)内零点唯一，可按

4、以下步骤进行：(1)判断f(a)f(b)0；(2)判断函数yf(x)在(a，b)上单调 探究三判断函数的零点所在的大致区间 如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点如函数yx2的零点就是不变号零点 函数零点存在定理可判断变号零点所在区间【典型例题 3】方程 log3xx3 的解所在的区间为()A(0,2)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间 令f(x)log3xx3，则f(1)log311320，f(2)log3223log30，f(3)log333310，f(4)log3443

5、log3120，那么方程 log3xx3 的解所在的区间为(2,3)233 答案答案：C 探究四 易错辨析 易错点忽视零点存在性定理的使用条件致误【典型例题 4】函数f(x)x的零点个数为()A0 B1 C2 D3 错解：因为f(1)20，f(1)20，所以函数f(x)有 1 个零点，故选 B.错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域通过作图(图略)，可知函数f(x)x的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用 正解：函数f(x)的定义域为x|xR R，且x0 当x0 时，f(x)0，f(x)0 无实根 当x0 时，f(x)0，f(x)0 无实根 综上，函数f(x)没有零点 答案答案：A 1x1x