高中数学学案：1.3函数的基本性质知识导学案及答案.pdf

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1、1 1.31.3 函数的基本性质函数的基本性质 知识导学知识导学 函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数 y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数 y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说 y=f(x)在(a,b)(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数 y=在(-,0)上是减函数,在(0,+)上也是减函数,但不能说它在整个

2、定义域 即(-,0)(0,+)上 是 减 函 数,因 为 当 取 x1=-1,x2=1 时,对 应 的 函 数 值 为f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有 x1x2,但 f(x1)f(x2),不满足减函数的定义.函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x 轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿 x 轴正方向逐渐下降的.关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;

3、(3)定义域关于原点对称,且满足 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数 f(x)在区间a,b(0ab)上的最大值为-m,最小值为-M;(3)偶函数 f(x)在区间a,b,-b,-a(0a0)上的奇函数,则 f(0)=0.问题导思问题导思 函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的,是函数的“局部”性质.

4、在几个不同区间的单调性并不意味着在这几个区间并集上也具有同样的单调性,必须严格按照函数单调性的定义加以证明才可以得出结论.一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称,即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件,这是奇、偶函数的本质属性之一.奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.关于奇偶性的几个命题:命题 1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件.如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出.命题 2 函数 f(x)+f(-x)是偶函数,函数 f(x)-f(-x

5、)是奇函数.由函数奇偶性易证.命题 3 已知函数 f(x)是奇函数,且 f(0)有定义,则 f(0)=0.由奇函数的定义易证.命题 4 已知 f(x)是奇函数或偶函数,方程 f(x)=0 有实根,那么方程 f(x)=0 的所有实根之和为零;若 f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程 f(x)=0 有奇数个实根.方程 f(x)=0 的实数根即为函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x0)=0,则 f(-x0)=0.对于定义在实数集上的奇函数来说,必有 f(0)=0.故原命题成立.典题导考典题导考 绿色通道绿色通道 应该严格按照求差法的步骤,一步步地走,这个步骤也是个

6、程式化的东西,不能为了省事而对其中的步骤加以简化.这个函数的图象(如图 1-3-2 所示):图 1-3-2 典题变式典题变式判断 f(x)=在 x(1,+)上的单调性.答案答案:减函数.绿色通道绿色通道 如果一个函数在某个区间内单调,那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值,并结合2)()(2)()(xfxfxfxf11xx3 函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.黑色陷阱黑色陷阱 容易对 a 的分类不全面,造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值,也会造成解题错误.典题变式典题变式 1.函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在2,3上有最大值 5 和最小值 2,求 a、b

7、的值.答案答案:2.已知函数 f(x)=.(1)判断 f(x)的奇偶性.(2)确定 f(x)在(-,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+)上呢?证明你的结论.答案答案:(1)f(x)为偶函数.(2)f(x)在(-,0)上是增函数,由于 f(x)为偶函数,所以 f(x)在(0,+)上为减函数.绿色通道绿色通道 根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数.对于一个命题若是假命题,只要举一反例来说明即可.比如,说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差

8、法进行检验.有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.黑色陷阱黑色陷阱 要注意的是,有的函数既不是奇函数又不是偶函数,解题中容易忽视这一点.典题变式典题变式判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=(2)f(x)=(x-1).答案答案:(1)奇函数.(2)偶函数.典题变式典题变式 1.若 f(x)是偶函数,当 x0,+时,f(x)=x-1,则 f(x-1)0 的解集是_.答案答案:x|0 x2 2.设定义在-2,2上的偶函数在区间0,2上单调递减,若 f(1,m)f(m),求实数 m 的取值范围.答案答案:-1m1 时 f(x)0,f(2)=1.(1)求证:f(x)是偶函数;.3,10,1baba或211x22)1()1(xxxx11)214(2)求证:f(x)在(0,+)上是增函数;(3)解不等式 f(2x2-1)2.答案答案:(1)(2)略;(3)(-,).210210