高中数学学案：1.2函数及其表示互动课堂学案.pdf

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1、1 1.21.2 函数及其表示函数及其表示 互动课堂互动课堂 疏导引导疏导引导 1.2.11.2.1函数的概念函数的概念 1.1.函数的定义函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)，xA.其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域,显然值域是集合 B 的子集.疑难疏引疑难疏引 函数概念的正确理解：解：(1)关于

2、函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数 f(x)|x|，与 f(x)x2是同一个函数.(3)函数的核心是对应关系.在函数符号 yf(x)中，f 是表示函数的对应关系，等式 yf(x)表明，对于定义域中的任意 x，在对应关系 f 的作用下，可得到 y，因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号 yf(x)是“y 是 x 的函数”这句话的数学表示，它不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.（4）值域是全体函数值所

3、组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.2.2.函数的三要素函数的三要素 构成函数的三要素：定义域 A，对应法则 f，值域 B.疑难疏引疑难疏引 核心是对应法则 f，它是联系 x 和 y 的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合 A 中的每一个元素在 B 中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.定义域 A

4、，值域 C 以及从 A 到 C 的对应法则 f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.3 3区间的概念区间的概念（1）满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a,b.（2）满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a,b).（3）满足不等式 axb 或 a0)；y=1 与 y=x0.(2)若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集合；在实际中，还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围.(3)常见函数定义域类型及求解策略：如果给出具体解析式求定义域：一般

5、首先分析解析式中含有哪几种运算，然后列出各运算对象的范围，组成不等式组，解不等式组，即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：解析式是整式的函数，其定义域为 R；解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合.复合函数 fg(x)的定义域和 f(x)定义域互相转化，要注意定义域就是 x 的取值范围，并且前者中 g(x)的取值范围等价于后者中 x 的取值范围.如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使思路分析式有意义的实数的集合.案例 2 已知函数 y=的

6、定义域为 R，求实数 m 的取值范围.【探究】首先向不等式转化，在求 m 的取值范围时，由于 m 为二次项系数，要对其进行分类讨论；当 xR 时,mx2-6mx+m+80 恒成立.当 m=0 时,xR.当 m0 时，即 解之，得 00 时,值域为,+);06360241cbacbacba5125851cba515851251515158512262mama22)42(0)41(10419amam5451ma51545158512xkxkabac4425 当 a1 且 x1，所以这个函数的定义域为x|x1 且 x1.5.若函数 f(x+1)的定义域为0，1，则 f(3x-1)的定义域为.【思路解

7、析】0 x1,1x+12.又f(x+1)和 f(3x-1)在对应法则上有联系，13x-12.x1,即 f(3x-1)的定义域为x1.【答案】x1 6.如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是，这个函数的定义域为.23xx31x12x,01,03xx,012,01xx32323210 【思路解析】据长方体的体积公式，易得 V=x（a2x）2，其中 0 x.【答案】V=x（a2x）2x|0 x 7.设 f（x）=则 f（）=，f（1）=_，f（6）=_.【思路解析】分清自变量对应的解析式.【答

8、案】13 8.如果 f（）=，求 f（x）的解析式.【思路解析】函数解析式 y=f（x）是自变量 x 确定 y 值的关系式，本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.【答案】配凑法：f（）=，f（x）=（xR 且 x0，x1）.换元法：设 t=，则 x=，代入 f（）=，得 f（t）=，f（x）=（xR 且 x0，x1）.9.已知一次函数 y=f(x)满足 ff(x)=4x+3,求一次函数的解析式.【思路解析】设 f(x)=ax+b（a0），用待定系数法.【答案】设 f(x)=ax+b（a0）,ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b 2a2a,2,3,20,21,01,22xxxxx212

9、1x121xx21xxx121xx1122xxx1)1(12xx12xxx1t1x121xx2111tt12tt12xx11=a2x+ab+b.a2x+ab+b=4x+3.f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3.10.已知函数 f(x)=（a、b 为常数）且方程 f(x)x+12=0 有两个实根为x1=3,x2=4，求函数 f(x)的解析式.【思路解析】求出函数 f(x)的解析式中的待定系数 a、b 是我们解题的目标，根据已知条件f(x)x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4，可以将题意转化为方程组求解.【答案】将 x1=3,x2=4 分别代入方程-x+12=0,得 解之得 所以

10、 f(x)=(x2).11.设函数 f(x)满足 f(x)+2f（-x）=x(x0)，求 f(x).【思路解析】以-x 代换 x，解关于-x、x 的方程组，消去-x.【答案】f(x)+2f(-x)=x 以-x 代换 x,得 f(-x)+2f(x)=-x 解组成的方程组得 f(x)=-3x.12.已知 f(xy)=f(x)f(y),且 f(0)0，求 f(x).【思路解析】可利用赋值法求解.赋值法：在求函数的解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋于特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解.【答案】由于等式 f(xy)=f(x)f(y)对于一切实数都成立，故不妨设 y=0,代入得 f(

11、x0)=f(x)f(0),即 f(0)=f(x)f(0).又f(0)0，f(x)=1.13.已知 a 为实数，x(-,a),则函数 f(x)=x2-x+a+1 的最小值是()A.a+B.a2+1 C.1 D.a2+1 或 a+342baba3212baba或baxx2baxx28416939baba21baxx22434312【思路解析】此题考查用配方法求二次函数，并用分类讨论的数学思想确定函数的最小值.f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+，若 a，则函数 f(x)=x2-x+a+1 在(-,a)上单调递减，从 而 函 数 f(x)=x2-x+a+1 在(-,a)上 的 最 小 值 为

12、 f(a)=a2+1;若 a，则 函 数f(x)=x2-x+a+1 在(-,a)上的最小值为 f()=a+.综上，当 a时，函数的最小值为 a2+1；当 a时，函数的最小值为 a+.因此选 D.【答案】D 14.二次函数 y=-x2+6x+k 的值域为(-,0,求 k 的值.【思路解析】二次函数 y=-x2+6x+k 的值域为(-,0,其最小值为 0,即顶点纵坐标为 0,从图形上看就二次函数的图象与 x 轴相切.【答案】法 1:y=-x2+6x+k=-(x-3)2+k+9.值域为(-,0,k+9=0,k=-9.法 2:二次函数开口向下,值域为(-,0,其图象与 x 轴相切,判别式=0,即=62

13、-4(-1)k=36+4k=0.k=-9.15.函数 y=的值域是()A(，1)(1，)B(，1)(1，)C(，0)(0，)D(，0)(1，)【思路解析】因为函数的分子与分母都是关于 x 的一次函数,所以可用“分离常数法”求此函数的值域.y=1-0,y1.故选 B.【答案】B 16.求函数 y=2x-3+4x-13 的值域.【思路解析】函数解析式中含有根式,并且根式内 x 的次数与根式外的 x 的次数相同,故可用“换元法”来求值域.【答案】令 t=4x-13(t0),则 x=.2143212121432121433232xx3232xx326)32(xx326x326x4132t13 所以 y

14、=+t=.因为 t0,所以当 t=0 时，y min=.所以函数的值域是(-,.17.求函数 y=的值域.【思路解析】函数的解析式是分式,且分母中变量 x 的次数是二次的,函数式可化为关于 x的一元二次方程,利用“判别式法”来求值域.【答案】将解析式改写成关于 x 的一元二次方程(2y-2)x2+(2y-2)x+y-5=0.当 y1 时,0,即(2y-2)2+20(2y-2)0y1 或 y-9.当 y=1 时，y=5 不成立，所以值域为(-,-9(1,+).18.李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个

15、函数示意图中（s 为距离，t 为时间），符合以上情况的是()【思路解析】对位要清楚,注意时间和路程的变化关系【答案】C 19.已知 f(x)=x2+2x-3，用图象法表示函数 g(x)=.【思路解析】知道函数 g(x)的定义域、值域和对应法则，就能根据这三个要素画出函数 g(x)的图象，所以要先求出函数 g(x)的三要素.当 f(x)0，x2+2x-30，-3x1，g(x)=0.当 f(x)0，即 x1，g(x)=f(x)=(x+1)2-4.【答案】272t21322 tt212)1(2t21321312252222xxxx2|)(|)(xfxf14 20.函数在闭区间-1,2上的图象如图所示

16、，求此函数的解析式.【思路解析】根据函数的图象求函数的解析式，关键是确定自变量在每一段上所对应的函数类型，然后由待定系数法求出每一段上的解析式，从而得出整个函数的解析式.【答案】f(x)=21.已知函数 y=则函数 y 的最大值是_.【思路解析】可根据函数图象直接观察函数的取值范围,如图，画出分段函数的图象，图象的最高点 A 的纵坐标就是函数的最大值.而点 A 的坐标就是方程组的解，解得 A（-1，4）.函数的最大值为 4.【答案】4 20,2101,1xxxx,1,501,30,32xxxxxx53xyxy41yx15 22.判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？（1）设 A=

17、1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，对应法则 f：x2x+1；（2）设 A=N*,B=0,1，对应法则 f：xx 除以 2 得到的余数；（3）设 X=1,2,3,4，Y=1,f:xx 取倒数；（4）A=(x,y)|x|2，x+y2,xN，B=N,f：x小于 x 的最大质数；（6）A=N，B=0,1,2，f：xx 被 3 除所得余数.【思路解析】根据映射的概念判断对应是否是映射，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射.【答案】（1）、

18、（2）、（3）、（5）、（6）都是 A 到 B 的映射，（4）不是 A 到 B 的映射.23.是不是从 A 到 B 的映射？是不是函数？（1）A=(,+)，B=（0，+）,fxy=|x|;（2）A=x|x0,B=R,fxy,y2=x;（3）A=x|x2,xZ,B=y|y0,yZ,fxy=x2-2x+2;（4）A=平面内的矩形，B=平面内的圆，f作矩形的外接圆.【思路分析】按映射的特点可以判断：（1）不是映射，因为 0A，但|0|=0B，当然更不是函数.（2）不是映射，更不是函数.因为 y=x，当 x0 时，元素 x 的象不唯一.（3）是映射.因为 y=(x-1)2+10，又当 xA 时，yZ，

19、所以(3)是映射.又因为 A、B 都是数集，所以也是函数.（4）是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即 A 中每一元素在 B 中都有唯一的象，所以（4）是映射.但 A、B 不是数集，所以不是函数.【答案】（1）不是；不是.（2）不是；不是.（3）是；是.（4）是；不是.24.已知 A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a,aN,kN,xN,yB,f:xy=3x+1 是从定义域A 到值域 B 的一个函数,求 a、k、A、B.【思路解析】函数就是从定义域到值域的对应,因此值域中的每一元素,在定义域中一定能找到元素与之对应.【答案】由对应法则:14,27,310,k3k+1.a410,a2+3a=10a=2(a=-5 舍去).又 3k+1=16,k=5.故 A=1,2,3,5,B=4,7,10,16.213141