高中数学学案：3.1.1函数与方程课堂导学案.pdf

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1、1 3.1.13.1.1 函数与方程函数与方程 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、函数的零点概念及求法【例 1】求函数 y=-x2-2x+3 的零点，并指出 y0，y0 时，x 的取值范围.解析：解二次方程-x2-2x+3=0 得，x1=-3,x2=1，函数 y=-x2-2x+3 的零点为-3，1.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3x1 时，y0.当 x-3 或 x1 时，y0.函数 y=-x2-2x+3 的零点是-3，1.y0 时，x 的取值范围是（-3，1）；y0 时,x 的取值范围是（-，-3）(1,+).温馨提示温馨提示 函数的零

2、点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式 ax2+bx+c0(0)的解集.二、函数零点的应用【例 2】已知函数 f(x)=x3-8x+1 在区间2,3内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象,你能探究出方程 x3-8x+1=0 的一个实根所在的区间吗?(精确到 0.1)x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 f(x)-7-6.539-5.952-5.233-4.376-3.375 x 2.6 2.7 2.8 2.9 3 f(x)-2.224-0.917 0.552 2.189 4 解析:观察表格并利用描点法作出 f(x)的大体图象,发现当自变量 x 由 2 变到 3

3、时,其函数值由-7 逐渐接近于 0,再变为正值,在此变化过程中,由于 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点 x0使得 f(x)=0,即 x03-8x0+1=0,此 x0所在的区间为2.7,2.8.温馨提示温馨提示 判断零点所在的区间方法有两个：1.f(a)f(b)0，且图象在a,b上连续不断.2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列2 表描点连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI 图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.【例 3】已知函数 y=f(x)在区间a,b上是连续不断

4、的曲线,判断下列结论,正确的是_.若 f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内函数 f(x)有且仅有一个零点 若 f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内函数 f(x)无零点 若 f(x)在(a,b)内有零点,必有 f(a)f(b)0若f(a)f(b)0,则函数 f(x)在(a,b)内有零点 若 f(a)f(b)0,则函数 f(x)在(a,b)内有零点 解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.有条件 f(a)f(b)0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;是在 f(a)f(b)0 的情况下,未必无零点;在(a,b)内有零点,也未必有 f(a)f(b)0 成立;注意端点问题,

5、可能 a、b 恰好使得 f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助.答案:温馨提示温馨提示 对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性.各个击破各个击破 类题演练类题演练 1 1 求 y=x2+2x+1 的零点，并指出 y0 的取值范围.解析：令 x2+2x+1=0，x=-1.y=x2+2x+1 的零点为-1.y0 的取值范围为 x-1.变式提升变式提升 1 1（1）若函数 f(x)=x2+ax+b 的零点是 2 和-4,求 a、b 的值.解析：由

6、条件得 （2）求函数 y=x3-7x+6 的零点.解析：x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)，解 x3-7x+6=0，即(x-1)(x-2)(x+3)=0，x1=-3,x2=1,x3=2.函数 y=x3-7x+6 的零点为-3，1，2.类题演练类题演练 2 2 函数 f(x)=x2+ax+b 的零点是-1 和 2，判断函数 g(x)=ax3+bx+4 的零点所在的大致区间.思路分析：函数 f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根，即 x2+ax+b=0 的根，

7、由根与系数的关系可求得 a、b 的值,从而可求解.解:-1 和 2 是函数 f(x)=x2+ax+b 的零点,-1+2=-a,-12=b,即 a=-1,b=-2.g(x)=-x3-2x+4.g(1)=1,g(2)=-8,g(1)5g(2)0,g(x)在区间(1,2)内有一个零点.又g(x)在 R 上是单增函数，g(x)只有一个零点.变式提升变式提升 2 2 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=-x3-2x+1;(2)f(x)=e1+x+2x+2.,)4(2,42ba.8,2ba3 解析：（1）用计算器或计算机作出 x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图 1）.x-3-2-1 0 1 2 3 f(x)34 13 4 1-2-11-32