高中数学学案：2.3幂函数知识导学案及答案.pdf

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1、1 2.32.3 幂函数幂函数 知识导学知识导学 我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然 y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1 都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数 y=x2、y=x3及 y=的图象研究归纳y=xn(n0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数 y=x-2、y=x-3及 y=的图象研究归纳y=xn(n0),首先应该分析函数

2、的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即 n0,0n1 三种情况下曲线的基本形状,还要注意 n=0,1 三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即 n0(n1)时图象是抛物线型;n1 时图象是竖直抛物线型;0n1,且 p、q 互质)时,21x21x21xqp2 若 q 为偶数,则定义域为0,+);若 q 为奇数,则定义域为 R R;当 n=-(p、qN N*,q1,且 p、q 互质)时,若 q 为偶数,则定义域为(0,+);若 q 为奇数,则定义域为x|x0.问题导思问题导思 分数指数幂与根式只是

3、形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识.(1)给定正实数 a,等于任意给定的正整数 n,存在唯一的正实数 b,使得 bn=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数 b,记作 b=;(2)给定正实数 a,对于任意给定的正整数 n、m,存在唯一的正实数 b,使得 bn=am,我们规定 b 叫做 a 的次幂,记作 b=.对于负分数指数幂,可按 a-n=去理解.典题导考典题导考 黑色陷阱黑色陷阱 忘记幂函数底数需大于 0,将导致解题失误.典题变式典题变式当 x(1,+)时,函数 y=x的图象恒在直线 y=x 的下方,则的取值范围是()A.1 B.00 D.0 答案答案:A 绿

4、色通道绿色通道 解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题就简单.典题变式典题变式 T1=(,T2=(,T3=(,则下列关系式正确的是()A.T1T2T3 B.T3T1T2 C.T2T3T1 D.T2T11,若 q 为奇数,p 也是奇数,则图象分布在第一和第三象限;若 q 为奇数,p 为偶数,则图象分布在第一和第二象限;若 q 为偶数,p 是奇数,则图象分布在第一象限.qpnnaa1nmnmanmana12132)5132)2131)qp3(4)当为负奇数时,图象分布在第一和第三象限;当为负偶数时,图象分布在第一和第二象限;(5)当为负分数时,类似于(3)可设=-p、q 为

5、正整数,(p,q)=1,q1,情况和(3)一样.幂指数0 时,图象全是“抛物线型”,而幂指数0 时,图象全是“双曲线型”.典题变式典题变式当 0 x1 时,f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的大小关系为()A.h(x)g(x)f(x)B.h(x)f(x)g(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)g(x)h(x)答案答案:D 黑色陷阱黑色陷阱 本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该函数是以 x 为自变量的函数);二是在将函数式变形的过程不是等价变形,导致变形后的函数也不再是原有的函数了.典题变式典题变式 (1)求函数 y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当 x 增大时,函数值

6、如何变化？并画出图象;(2)问上述函数的图象与函数 y=x-2的图象有何关系？思路分析思路分析:根据幂函数的性质求解.答案答案:(1)x|xR R 且 x-2;R R+.当 x-2 时,y 随 x的增大而减小.(2)将 y=x-2的图象向左平移 2 个单位,即得到 y=(x+2)-2的图象.绿色通道绿色通道 据图象特征或性质求解幂函数解析式,需熟练掌握基本幂函数(y=x 上标2,y=x 上标1 等)的图象和性质,特别地,y=x0勿漏.典题变式典题变式 函数 f(x)=(k2+k),当 k=_时成正比例函数,当 k=_时成反比例函数,当 k=_时为幂函数.答案答案:1 2 qp21x122 kkx3251