高中数学学案：1.3.1函数的基本性质课堂导学案.pdf

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1、1 1.3.11.3.1 函数的基本性质函数的基本性质 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、函数单调性【例 1】证明函数 y=x-在(0,+)上单调递增.思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意 x1、x2(0,+)且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x1-(x2-)=(x1-x2)+-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+).0 x1x2,x1-x20,1+0.因此（x1-x2）(1+1x1x2)0,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2).f(x)=x-在（0，+）上单调递增.温馨提示温馨提示 1.函数单调性的证明不同于对

2、它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形将 f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x1-x2)的因式;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例 2】f(x)是二次函数，且在 x=1 处取得最值，又 f()f(),试判断 f(-2)与 f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将 f(-2)与 f(2)置于某一单调区间内再进行

3、比较大小.解：由于 f(x)是二次函数，且在 x=1 处取得最值，因此 x=1 是二次函数的对称轴.又1,f()f(),可以得 f(x)在1,+)上单调递增，二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-,1)上单调递减.由于 0 与 2 关于 x=1 对称，f(2)=f(0).-2f(0),即 f(-2)f(2).温馨提示温馨提示 利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例 3】求 f(x)=x+的最小值.思路分析：该题函数 f(x)由 x 与相加构成，x 与具有相同的单调性，因此该x111x21x21x11x212

4、1)(xxxx 211xx211xxx12221x1x1x2 题可借助单调性直接解决，同时由于 x 的次数不一致，出现了相当于 2 倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：f(x)=x+的定义域为1,+,在1,+上 x、同时单调递增，因此 f(x)=x+在1,+上单调递增，最小值为 f(1)=1+=1.解法二：f(x)=x+的定义域为1,+，令=t0,x=t2+1,f(x)=g(t)=t2+1+t=t2+t+1=(t+)2+(t0).由于 g(t)的对称轴 t=-在0,+)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在0,+)上单调递增，当 t=0 时

5、,g(t)min=1，f(x)的最小值为 1.温馨提示温馨提示 1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若 f(x)在a,b上单调递增，则 f(a)f(x)f(b)，即最大值为 f(b),最小值为 f(a);若 f(x)在a,b上单调递减，则 f(b)f(x)f(a)，即最大值为 f(a),最小值为 f(b).三、函数单调性的应用【例 4】(1)若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-,4 上是减函数，求实数 a 的取值范围；

6、(2)y=kx2-x+1 在0,+)上单调递减，求实数 k 的取值范围.思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx2-x+1 中的 k 是否为零要注意讨论.解：(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2，其对称轴为 x=1-a，若要二次函数在(-,4 上单调递减，必须满足 1-a4,即 a-3.如图所示.(2)k=0 时，y=-x+1 满足题意；k0 时，抛物线开口向上，在0,+)上不可能单调1x1x1x111x1x214321323212)1(2a323 递减；k0 时，对称轴 x=0 在0,+上单调递减.综上，k0.温馨

7、提示温馨提示 f(x)在（-,4上是减函数，只说明区间（-,4是函数 f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破各个击破 类题演练类题演练 1 1 证明二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间（-，-）上是增函数.证 明：设 x1、x2(-,-)，且 x1x,则 f(x1)-f(x2)=ax12+bx1-ax22-bx2=(x1-x2)a(x1+x2)+b.x1,x2(-,-),x1+x2-b,a(x1+x2)+b0.x1-x20，f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2).y=ax2+bx+c 在（-,-上单调递增.变式提升变式提升 1 1 若函数 f(x)=x+定

8、义在(0,+)上，试讨论函数的单调区间.解析：设任意 x1、x2(0,+)且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=(x1-x2).由于 x1-x20,只有 x1x2-10 或 x1x2-10 时，f(x)才具有单调性，而显然 0 x1x21时，有 x1x21,x1x2-10,即 f(x1)f(x2).f(x)在(0,1)上单调递减.当 1x11,从而 x1x2-10,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2).f(x)在1,+上单调递增.当 0 x11,又f(x)在（0，+）上单调递减，f(a2-a+1)f().答案：f(

9、a2-a+1)f()变式提升变式提升 2 2 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f（2+t）=f(2-t)，比较 f(1),f(2),f(4)的大小.解析：f(2+t)=f(2-t),f(x)的对称轴为 x=2.故 f(x)在2，+上是增函数，且 f(1)=f(3).f(2)f(3)f(4),即 f(2)f(1)f(4).类题演练类题演练 3 3 已知函数 f(x)=,x1,+，求函数 f(x)的最小值.解析：f(x)=x+2,设 1x11,00,又 x2-x10,f(x2)-f(x1)0,f(x1)f(x2),f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最

10、小值为 f(1)=.变式提升变式提升 3 3 求函数 f(x)=-x2+2ax+1 在0,2上的最大值.解析：f(x)=-x2+2ax+1=-(x2-2ax+a2)+a2+1=-(x-a)2+a2+1.由于 f(x)的对称轴 x=a 对于0,2有三种位置关系，如下图所示.212143212121xxx2122x212121xx2121xx2121xx275 当 a2 时，f(x)在0,2上单调递增，则最大值为 f(2)=4a-3.综上，f(x)在0,2上的最大值为 g(a)=类题演练类题演练 4 4 二次函数 y=x2+mx+4 在(-,-1上是减函数，在-1,+)上是增函数，则：（1）m 的

11、值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于 y=x2+mx+4 在（-,-1上是减函数，在-1，+）上是增函数，其对称轴为 x=-1，故 m=2.(2)ymin=3.变式提升变式提升 4 4 已知 f(x)=在区间（-2，+）上单调递增，求 a 的取值范围.解析：f(x)=a+.y-a=与 y=比较，知 f（x）要在区间（-2，+）上单调递增只须 1-2a.温馨提示温馨提示 本题关键是将它化为 y=m+型，再根据函数 y=的单调性来考虑 a 应满足的条件，从而求出 a 的取值.2,34,20,1,0,12aaaaa21xax21xax221)2(xaxa221xa221xa xk21cxnxk