本科毕业设计-常微分一阶微分方程最基本两种类型.doc

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1、目 录摘 要11.一阶微分方程的几种类型及其解法22.一阶微分方程的基本解法32.1变量变换法32.1.1齐次微分方程32.1.2可化为齐次方程的方程42.1.3伯努利微分方程52.1.4里卡蒂（Riccati）微分方程62.2积分因子法72.2.1 恰当微分方程（全微分方程）72.2.2 积分因子法83.一阶微分方程的其他解法103.1常数变易法103.2降阶法103.3参数法12小结：13参考文献:13致谢词:13摘 要本文首先介绍一阶微分方程的最基本的两种类型:可分离变量的微分方程、一阶线性非齐次微分方程的解法.其次介绍了变量变换法.许多一阶微分方程通过变量变换可化为上述基本类型的方程得

2、到解决.再次介绍了恰当微分方程及其求解公式,通过积分因子法可将一些微分方程化为恰当微分方程进而得到解决.最后针对一些特殊类型的一阶微分方程介绍了常数变易法、降阶法、参数法.【关键词】一阶微分方程 变量变换法 积分因子法 ABSTRACTThis paper first introduces first-order differential equation of the most basic two types: separable variables of the ordinary differential equations, first-order nonhomogeneous line

3、ar differential equation solution. Secondly introduces variable transformation method. Many first-order differential equation by means of variable transformation can be translated into the basic types of equations solved. Once again introduces appropriate differential equation and solution formula b

4、y integral factor method, can be some differential equation into appropriate differential equation and solved. Finally based on some special types of first-order differential equation introduces delay.a new, the reduced order method, parameters method.【KEY-WORDS】 first-order differential equation va

5、riable transformation method the integral factor method1.一阶微分方程的几种类型及其解法一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示.现在先简要介绍一下一阶微分方程的一些基本类型及其基本解法：可分离变量的微分方程：形如 ,其中为连续函数解法：分离变量,即 两边积分,即可求得通解， 化简,整理,即可.可以说只要是可分离变量的微分方程,都可求解.例1 求解方程,.解：方程可变量分离为 积分得 这里为任意常数,上式可化为 ,其中.因方程还有特解,并考虑到条件,于是方程的通解为 .一阶线性非齐次

6、微分方程 解法：方程的通解公式：y=C(x) =+C （常数变易法）恰当微分方程 解法：方程的通解为 ,为任意常数里卡蒂方程 解法：当能够找到方程的一个特解,在经过变换后方程就变为伯努利方程,因而可解.2.一阶微分方程的基本解法一阶微分方程解法主要有变量变换法,积分因子法两种基本解法.2.1变量变换法 我们知道微分方程有很多形式,但最简单的一种就是变量分离方程,它可以用初等积分法求解.而碰到其它的类型,我们最常用的技巧就是用变量变换来改变方程的形状,让它转化为我们能求解的类型,这种方法称为变量变换法.2.1.1齐次微分方程 形如 ，为连续函数.解法：令, 即 . 于是,有 代入,便得方程 即

7、分离变量,得,两边积分,得求出积分后,再用代,便得所给方程的通解.齐次微分方程可看作一个基本类型,只要能判断这个方程是齐次微分方程,就可利用上述变换将方程变换为可分离变量的微分方程,进而得到解决.例2 求微分方程的通解.解:原方程可化为= ,这是一个齐次微分方程,故可 令,即.则 于是方程变为这是一个可分离变量的微分方程,分离变量得 ,两边积分,得 ,以代入,得所给方程的通解为 .2.1.2可化为齐次方程的方程方程,分以下三种情况进行求解:当 时,可化为齐次方程求解. 当不全为零时,但,即,我们令,可将方程化为求解.当不全为零时,但,即,令变换 其中,是待定常数（即两直线的交点）,可将方程化为

8、关于X与Y的齐次方程 求解,最后代回原变量即可得原方程的解.例3 求微分方程 的通解. 解:解方程组 得现令代入则有,再令,即,则,化为 两边积分得因此.记并代回原方程有容易验证也为原方程的解.因此方程的通解为,其中c为任意常数.2.1.3伯努利微分方程 形如 这里的是的连续函数,是常数.解法：对于,用乘两边,得到引入变量变换,从而.得到,这是一个一阶线性微分方程,可套用一阶线性微分方程的通解公式进行求解.例4 求微分方程的通解.解:将原方程变形为,即,这是的伯努利方程. 令,得一阶线性方程 ,由公式得 ，故通解为 .从上述可以看出齐次微分方程、可化为齐次的微分方程、伯努利微分方程都有着固定的

9、解法,因此可以看作基本类型的方程,其他一阶微分方程只要能通过变量变换转化成上述基本类型,就可求出通解.2.1.4里卡蒂（Riccati）微分方程形如 ,这里为连续函数.这种类型的方程一般没有初等解法,只有当能够找到方程的一个特解,在经过变换后方程就变为伯努利方程,因而可解.例5 求解微分方程.解:由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是n=2的伯努利方程，两边同除以得： 即 从而故原方程的解为 2.1.5根据方程的特点寻求恰当的变换例6 求微分方程的通解.解:方程可变形为：，注意到变量以整体出现，故可令,则方程可变形为 ,这是齐次方程,再令即,则上面方程化为,整理得,两边同时积

10、分,得,为任意常数.代入,并且化简得原方程的解为 .为任意常数.例7 求微分方程的通解.解:令,则,代入原方程,得,这是一个时的伯努利微分方程.令,算得.代入上面的方程,得.因此有该方程的通解为,计算化简得 .把代入,得. 例8 求微分方程的通解.解:方程可化为 两边同加1得 再由，可知 由上两式得 即 整理得 两边积分得 ,即 另外,也是方程的解.2.2积分因子法2.2.1 恰当微分方程（全微分方程）如果微分方程 (1-2)的左端恰是某一函数的全微分,即, (1-3) 则称(1-2)式为恰当微分方程（或全微分方程）. (1-3)式的通解是 其中是任意常数. 另外,微分方程是恰当微分方程的充要

11、条件是 例9 求微分方程的通解.解：这里这时因此方程是恰当微分方程.现在求u,使它同时满足如下两个方程 ，由对积分得到 (1-4)为了确定，将 (1-4)式对求导数，并使它满足 即得于是积分可得.将代入(1-4)式因此方程的通解为样 ,是任意常数2.2.2 积分因子法通过寻找一个方程的积分因子，将方程化为恰当微分方程的方法称为积分因子法.给出(2-1)式的微分方程 如果它不是恰当微分方程,如果能找到一个函数,使得 (1-5)是一个恰当微分方程,即存在函数,使 则称函数 是方程(1-2)的一个积分因子.这时 是(1-5)式的通解但同一方程可以有不同的积分因子,因此一个方程如果存在积分因子,那么积

12、分因子不只是一个.方程解的形式也不一定相同.函数为(1-2)式的积分因子的充要条件是, 如果方程满足条件它仅是的函数,那么易求其积分因子为.同样,方程满足条件 它仅是的函数,那么易求其积分因子为例10 求微分方程的通解.解:显然,对于方程 ,有 ,因为,所以方程有积分因子.以乘以方程 两边得综上所述,得到原方程的通解为或,是任意常数3.一阶微分方程的其他解法3.1常数变易法形如 的方程称为一阶线性微分方程,其中P(x)、Q(x)都是连续函数.当Q(x) = 0时,方程称为一阶线性齐次微分方程, 其解法为:将方程, 分离变量得两边积分得 方程的通解为 (C任意常数) 当Q(x) 0 ,方程称为一

13、阶线性非齐次微分方程. 其解法为:非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项Q(x).从齐次方程的通解的结构及导数运算的规律, 我们有理由推测非齐次方程的解 形如 (C(x)是关于x的函数） 代入非齐次方程,得一阶非齐次线性方程通解的公式为：此求解方法称为常数变易法. 3.2降阶法某些特殊的高阶微分方程有时很难直接找到求解方法，但在通过适当变量代换后，可化为低阶微分方程，当该低阶微分方程可解时，即原方程可解这种类型的方程称为可降阶的方程,相应的求解方法称为降阶法.这在求解某些高阶微分方程时是一种很有效的方法,通过降阶法最终可化为一阶微分方程再用上述基本方法进行求解,这样就可以化繁为简,大大减少

14、了计算时间.例11 求微分方程的通解.解:设代入原方程，解线性方程，得，即两端积分，得，即也即原方程的通解为例12 求方程满足初始条件的特解.解: 令,则,原方程化为,即,这是变量可分离型方程.分离变量并积分得 ,解得,化为,从而.因为,故舍去负值.将初始条件代入,得,于是 上式为变量可分离型方程.分离变量并积分解得.将代入得,于是所求特解为,化为.就解法的本质而言降阶法是变量变换法,不过一般这里的变换都涉及到的导数.3.3参数法除了以上解法外,还有一种巧妙的方法就是参数法,它也能够解出一些基本解法所不能解出的微分方程.例13 求微分方程的通解.解:令,由,可得,把代入可得 ,由此可得,于是两

15、边积分可得,综上可得方程的参数形式的通解为,c为任意常数.小结：由于上述基本类型的方程都有很成熟的初等解法，因而在熟悉各种类型方程的解法后,正确而敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,但仅仅能做到这一点还不够,因为我们所遇到的方程只有小部分是我们所介绍过的方程类型,也就是说能有初等解法的微分方程是很有限的,还有大部分微分方程是找不到初等解法的. 参考文献: 1.周义仓,靳祯,秦军林.常微分方程及其应用方法、理论、建模、计算机 M.北京:科学出版社,2003.2.蔡燧林.常微分方程M.杭州:浙江大学出版社,20023.王高雄,周之铭,朱思铭等.常微分方程第3版 M.北京:高等教育出版社,2006.致谢词:在本次论文设计过程中,老师对该论文从选题,构思到最后定稿的各个环节给予细心指引与教导,使我得以最终完成该毕业论文.在学习中,老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及侮人不倦的师者风范是我终生学习的楷模,老师们的高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神,将永远激励着我,使我在人生的道路上有了一个完善的精神支柱.此外,这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助.在此,谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意！最后,我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅,评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.12